期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 20 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 20 页 目 录 【预测考点 01】我会观察物体 ..........................................................................................4 【预测考点 02】我会还原立体图形 ........................................................................5 【预测考点 03】我能确定正方体的数量与范围 ..........................................5 【预测考点 04】正方体的不同摆法 .............................................................. 6 【预测考点 05】因数和倍数的认识 ........................................................................6 【预测考点 06】2、5、3 的倍数特征 ....................................................................7 【预测考点 07】奇数和偶数的认识及运算性质 ...............................................7 【预测考点 08】质数和合数的认识 ................................................................... 7 【预测考点 09】猜数问题 .............................................................................. 8 【预测考点 10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 ................8 【预测考点 11】分数的认识和意义 ...........................................................................10 【预测考点 12】真分数、假分数和带分数 ..........................................................10 【预测考点 13】分数的基本性质 ..........................................................................11 【预测考点 14】约分和通分 ............................................................................. 11 【预测考点 15】最大公因数和最小公倍数 ................................................12 【预测考点 16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 ............................12 【预测考点 17】长方体和正方体的认识与表面展开图 ............................................... 13 第 3 页 共 20 页 【预测考点 18】棱长总和问题 ..............................................................................14 【预测考点 19】表面积问题 ............................................................................. 15 【预测考点 20】体积和容积问题 ..................................................................... 15 【预测考点 21】问题一：切拼问题 ............................................................ 16 【预测考点 21】问题二：剪角折叠求体积问题 ........................................17 【预测考点 22】问题三：等积变形问题 .................................................... 18 【预测考点 23】问题四：排水法求体积问题 ............................................18 【预测考点 24】问题五：不规则或组合立体图形 ....................................19 第 4 页 共 20 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】 【预测考点 01】我会观察物体 观察左图，从( )面看到的图形是 ，从 ( )面看到的图形是 ，从( )面看到的图形是 。 【对应练习】 1．从图中找出从正面、上面、左面看到的物体的图形，用“正”“上”“左”在括号 里表示出来。 ( ) ( ) ( ) 2．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上 面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下边的图形分别是从哪面 看到的？ 从( )面看 从( )面看 第 5 页 共 20 页 【预测考点 02】我会还原立体图形 根据下图从三个面看到的图形摆几何体，符合要求的是( )。 A． B． C． 【对应练习】 1．如图几何体中，从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ， 这个图形是( )。 A． B． C． D． 2．一个几何体从正面、上面、左面看到的图形如下： 这个几何体是( )。 A． B． C． D． 【预测考点 03】我能确定正方体的数量与范围 一个几何体，从上面看是 ，从左面看是 ，要搭成这样的几何体， 最少要用( )个相同的小正方体，最多要用( )个相同的小正方体。 【对应练习】 1．一个几何体，从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 ， 从左面看到的图形是 。要搭成这个几何体需要( )个小正方体。 第 6 页 共 20 页 2．一个立体图形，从上面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ， 搭这样的立体图形，最多可以有( )个小正方体，最少需要( )个 小正方体。 【预测考点 04】正方体的不同摆法 如图所示，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不 变，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【对应练习】 摆一摆，想一想，填一填。 先用 4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添一个同样大小 的正方体。 (1)从正面看到的图形仍是 ，有( )种摆法。 (2)从左面看到的图形是 ，有( )种摆法。 (3)从上面看到的图形是 ，有( )种摆法。 【预测考点 05】因数和倍数的认识 1．5×7＝35中，( )是( )和( )的倍数；( )和 ( )是( )的因数。 2．一个数的最大因数是 12，这个数是( )；一个数的最小倍数是 9，这 个数是( )。 第 7 页 共 20 页 【对应练习】 1．已知 a、b、c都是不为 0的自然数，且 a÷b＝c，那么 a是 b的( ) 数，b是 a的( )数。a的因数至少有( )个。 2．一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是( )。 【预测考点 06】2、5、3 的倍数特征 要使四位数 652□能同时被 2和 5整除，□里应填( )；如果能同时被 3和 5 整除，□里应填( )。 【对应练习】 1．一个三位数 45□既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，□中的数是( )。 2．□50同时是 2、3、5的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【预测考点 07】奇数和偶数的认识及运算性质 三个连续偶数的和是 18，这三个数中最大偶数是( )，最小偶数是 ( )。 【对应练习】 1．傍晚开电灯时，明明一口气按了 5下开关，现在灯是( )着的；如果 一口气按了 102下，则灯是( )着的。 2．两个奇数相加的和是( )数，五个偶数相加的和是( )数。 【预测考点 08】质数和合数的认识 在 1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是 奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。 【对应练习】 1．在括号里填上适当的质数。 8＝( )＋( ) 12＝( )＋( ) 35＝( )×( ) 18＝( )＋( )＋( ) 2．哥德巴赫猜想提出，所有大于 9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4 ＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋ ( )。 第 8 页 共 20 页 【预测考点 09】猜数问题 喜羊羊的 QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是 质数，也不是合数，也不是 0；④最小奇数的 3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质 数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊 羊的 QQ号码是多少呢？ 【对应练习】 小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为 10以内最大的偶数；第 二位数字为 4的最小倍数；第三位数字为只有因数 1和 3的数；第四位数字为既 是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第 七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为 6的最大因数。你知道这个号码 是多少吗？ 【预测考点 10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 1．致远书店要把 80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案 刚好合适，没有剩余？ 第 9 页 共 20 页 2．小本用 46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用 4根小棒，摆一个独立的六 边形用 6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下 11根小棒，他说得对吗？为什么？ 3．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指 定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是 质数，并且周长是 36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 【对应练习】 1．食品店有 75个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？如果每 3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 2．小华在一个文具店里买了 5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员 2 元钱，售货员叔叔找给他 5角 5分。小华看了看铅笔的价格是每支 8分，就说： “叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？ 3．用一根长 40m的绳子围成一个长方形，要求它的长和宽都是整米数，长和宽 的米数一个是质数，一个是合数，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？ 第 10 页 共 20 页 【预测考点 11】分数的认识和意义 1．一个△占整张纸的 1 7，4个△占整张纸的( )；72的 2 9 是( )。 2．“六一”儿童节快到了，李老师打算买 3kg的糖果，平均分给 10个小朋友，每 个小朋友分得的糖果占总质量的( )，每个小朋友分得( )kg的糖 果。 【对应练习】 1． 25 元可以表示把 1元平均分成 5份，取其中的( )份；还可以表示把 2 元平均分成 5份，取其中的( )份。 2．在括号里填适当的数。 ( )5 7 7   40dm3＝( )cm3 96L＝( )dm3 3．某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的     ；如果这条 公路长 15千米，那么平均每天修( )千米。 【预测考点 12】真分数、假分数和带分数 在直线上面的方块里填合适的假分数，直线下面的方块里填合适的带分数。 【对应练习】 1．分数单位是 15的最大真分数是( )，最小假分数是( )。 2．把下面的假分数化成带分数或整数。 17 3  ( ) 633 ＝( ) 23 8 ＝( ) 50 25 ＝( ) 第 11 页 共 20 页 3．分数 7 a ，当 a＝( )时，它是这个分数的分数单位；当 a＝( ) 时，它是最大的真分数；当 a＝( )时，它是最小的假分数；当 a＝( ) 时，它的分数值等于 1。 【预测考点 13】分数的基本性质 在下面的括号里填上适当的数。 （ ）÷（ ）＝ 42＝ 6    （ ） 5    （ ） ＝ 8 20＝ 4    （ ） 【对应练习】 1． ba 的分母加上 2a，要使分数大小不变，分子应加上( )。 2．在括号里填上适当的数。  1 3 6   10 15 3    1 5 4   12 28 7  【预测考点 14】约分和通分 1．把下面的小数化成最简分数。 6 18＝ 75 100＝ 38 76＝ 24 36 ＝ 2．先通分，再比较大小。 13 20 和 9 15 7 8 和 5 6 【对应练习】 1．先约分，是假分数的要化成带分数或整数。 16 24  121 11  86 42  2．比较下面每组两个分数的大小。 5 12和 11 20 7 12和 5 7 11 18和 5 9 第 12 页 共 20 页 【预测考点 15】最大公因数和最小公倍数 1．已知 A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么 A和 B的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 2．3x＝y（x和 y都是非 0自然数），x和 y的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 【对应练习】 1．两个数是不同的合数，又是互质数，它们的最小公倍数是 36，这两个数分别 是( )和( )。 2．甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当 A＝( )时，甲、乙两数的最大 公因数是 42，此时它们的最小公倍数是( )。 【预测考点 16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 1．学校合唱队有男生 12人，女生 18人。①男生人数是女生人数的几分之几？ ②排练时男生、女生分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多站多少人？ 2．6路、9路公交车分别隔 30分钟、20分钟发一辆车，6路和 9路车刚才同时 发的车，过多长时间两路车第 2次同时发车？先说说你的思考过程，再解答。 【对应练习】 1．有两根长分别是 80厘米和 64厘米的木头。如果要把它们锯成若干同样长度 的小木头，并且没有剩余，锯出的小木头最长是多少厘米？ 第 13 页 共 20 页 2．一种长方形纸长 42厘米、宽 28厘米，用这样的长方形纸拼成一个正方形纸， 至少需要多少张长方形纸？ 3．有一包糖果，无论是平均分给 6个人，8个人，还是 10个人，都剩下 3块， 这包糖果至少有多少块？ 【预测考点 17】长方体和正方体的认识与表面展开图 1．相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、 ( )。长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点，( ) 条棱，相对的面的面积都( )，相对的棱的长度都( )。 2．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【对应练习】 1．如图，有四种型号的塑料板各 4块（单位：cm），若选择其中的 6块拼一个 长方体，则共有( )种可能。 2．如图，一个正方体积木的 6个面分别写 A，B，C，D，E，F。请仔细观察， 积木字母排列的情况可以推断：C 对面的字母是( )，A 对面的字母是 ( )，E对面的字母是( )。 第 14 页 共 20 页 【预测考点 18】棱长总和问题 用彩带捆扎下面的礼品盒，需要多少厘米彩带？（彩带结长 15厘米） 【对应练习】 1．按下图所示用绳子对一个纸盒进行捆扎，如果最后需要 20cm长的绳子来打结， 那么捆扎这个纸盒至少需要多少厘米长的绳子？ 2．灯笼又称灯彩，每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼是我们的传统习俗。李爷 爷用木条制作了一个长方体灯笼框架（如下图），如果用同样长的木条制作一个 正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少厘米？ 第 15 页 共 20 页 【预测考点 19】表面积问题 一个水池的宽是 1.5米，长是宽的 2倍，深 0.5米。现在要在水池的四周和底面 抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【对应练习】 1．走进校园，花坛边上放置了一个长方体鱼缸，长 80厘米，宽 50厘米，高 60 厘米，制作这个金鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（鱼缸上面无盖） 2．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，门窗不涂。教室的长是 8米，宽是 6 米，高是 4米，门窗面积 14平方米。如果每平方米需要花 12元涂料费，粉刷这 个教室需要多少涂料费？ 【预测考点 20】体积和容积问题 小麦收割机的油箱长 9分米，宽 5分米，高 4分米，每 3升油可供收割机工作 1 小时，如果把这个油箱装满油，可供收割机工作多少小时？ 【对应练习】 1．希望小学有一间长 8米、宽 6米、高 3.5米的长方体教室。这间教室的空间 有多大？ 第 16 页 共 20 页 2．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺 列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量 长 21厘米，宽 14厘米，高 7.6厘米，它的容积有多大？ 【预测考点 21】问题一：切拼问题 将长 5米的长方体木料，如下图切割分成 5段后，表面积增加 38.4平方分米。 这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少 立方分米？ 【对应练习】 1．一个长方体的高如果增加 2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来 增加了 48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 2．一个长方体，如果长减少 3厘米，宽、高都不变，它的体积减少 27立方厘米； 如果宽减少 4厘米，长、高都不变，它的体积减少 48厘米；如果高增加 5厘米， 长、宽都不变，它的体积增加 65立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 17 页 共 20 页 【预测考点 21】问题二：剪角折叠求体积问题 现有一张长 40厘米，宽 20c厘米的长方形铁皮，在它的四角各剪去一个相等的 小正方形，做成一个高 5厘米的无盖小铁盒，这个铁盒的表面积是多少平方厘 米？容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【对应练习】 科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的 指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长 12厘米的正方形铝箔， 在它的 4个角各剪去一个边长为 2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的 容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验 室的水槽从里面量长 2.5分米、宽 1.8分米、高 1分米。同学们将 2.7升的水倒 入水槽，水位的高度是多少分米？ 第 18 页 共 20 页 【预测考点 22】问题三：等积变形问题 在一个长 10厘米，宽 8厘米，高 5厘米的密封盒中，测得水深 4厘米。然后将 它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【对应练习】 一个密封的玻璃缸，从里面量长 12分米，宽是 3分米，高是 6分米，现在缸内 的水深 5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图 2），那么鱼缸内水深多少分 米？ 【预测考点 23】问题四：排水法求体积问题 在一个底面积是 78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里 且没有溢出），水面高度由 4厘米上升到 9厘米。这块石头的体积是多少立方厘 米？ 第 19 页 共 20 页 【对应练习】 1．一个长方体水缸长 8分米，宽 5分米，高 3分米，缸内有 2.5分米深的水。 放入一个棱长 4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 2．（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁 块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为 9厘米。这个长方体铁 块的体积是多少立方厘米？ 【预测考点 24】问题五：不规则或组合立体图形 计算图 1的表面积，计算图 2的体积。（单位：厘米） 第 20 页 共 20 页 【对应练习】 下图是由一个正方体和一个长方体组合而成的立体图形，求这个立体图形的表面 积和体积。 第 1 页 共 45 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 45 页 目 录 【预测考点 01】我会观察物体 ..........................................................................................4 【预测考点 02】我会还原立体图形 ........................................................................6 【预测考点 03】我能确定正方体的数量与范围 ..........................................8 【预测考点 04】正方体的不同摆法 ............................................................ 10 【预测考点 05】因数和倍数的认识 ......................................................................12 【预测考点 06】2、5、3 的倍数特征 ..................................................................13 【预测考点 07】奇数和偶数的认识及运算性质 .............................................14 【预测考点 08】质数和合数的认识 .................................................................15 【预测考点 09】猜数问题 ............................................................................ 16 【预测考点 10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 ..............17 【预测考点 11】分数的认识和意义 ...........................................................................20 【预测考点 12】真分数、假分数和带分数 ..........................................................22 【预测考点 13】分数的基本性质 ..........................................................................24 【预测考点 14】约分和通分 ............................................................................. 25 【预测考点 15】最大公因数和最小公倍数 ................................................27 【预测考点 16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 ............................29 【预测考点 17】长方体和正方体的认识与表面展开图 ............................................... 31 第 3 页 共 45 页 【预测考点 18】棱长总和问题 ..............................................................................33 【预测考点 19】表面积问题 ............................................................................. 35 【预测考点 20】体积和容积问题 ..................................................................... 36 【预测考点 21】问题一：切拼问题 ............................................................ 37 【预测考点 21】问题二：剪角折叠求体积问题 ........................................39 【预测考点 22】问题三：等积变形问题 .................................................... 41 【预测考点 23】问题四：排水法求体积问题 ............................................42 【预测考点 24】问题五：不规则或组合立体图形 ....................................44 第 4 页 共 45 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】 【预测考点 01】我会观察物体 观察左图，从( )面看到的图形是 ，从 ( )面看到的图形是 ，从( )面看到的图形是 。 【答案】 上 左 正/前 【分析】从上面看有 2行，前边 1行 4个小正方形，后边 1行靠右 1个小正方形； 从左面看有 2列，左边 1列 3个小正方形，右边 1列 1个小正方形；从正面看有 3行，下边 1行 4个小正方形，中间 1行左边 1个小正方形右边 2个小正方形， 最上边 1行右数第二个位置有 1个小正方形，据此分析。 【详解】 从上面看到的图形是 ，从左面看到的图形是 ，从正面看到 的图形是 。 【对应练习】 1．从图中找出从正面、上面、左面看到的物体的图形，用“正”“上”“左”在括号 里表示出来。 第 5 页 共 45 页 ( ) ( ) ( ) 【答案】 左 正 上 【分析】从正面看是 1行 3个小正方形；从左面看是 1行 2个小正方形；从上面 看有 2行，后边 1行 3个小正方形，前边 1行靠左 1个小正方形，据此分析。 【详解】 2．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上 面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下边的图形分别是从哪面 看到的？ 从( )面看 从( )面看 【答案】 前 左/右 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定底层小正方体的个数和摆放方式，根 据每个正方形上面的数字可以确定层数和每层个数，据此想象出这个几何体的形 状， 从前面看有 2层，底层 2个小正方形，第 2层有 1个小正方形； 从左面或右面看都有 3列，左边 1列 1个小正方形，中间一列有 1个正方形，右 边 1列 1个小正方形。 【详解】 第 6 页 共 45 页 【预测考点 02】我会还原立体图形 根据下图从三个面看到的图形摆几何体，符合要求的是( )。 A． B． C． 【答案】C 【分析】逐项分析三个选项中的几何体从正面看、从左面看、从上面看到的平面 图形，找到符合要求的几何体即可。 【详解】 A． 从正面看是 ，左面看是 ，从上面看是 ，不 符合题意； B． 从正面看是 ，左面看是 ，从上面看是 ，不 符合题意； C． 从正面看是 ，左面看是 ，从上面看是 ，符 合题意。 故答案为：C 【对应练习】 1．如图几何体中，从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ， 这个图形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据物体三视图的认识和画法，画出每个选项几何体从正面、左面和上 第 7 页 共 45 页 面看到的图形，选出符合题意的即可。 【详解】 A． 从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ； B． 从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ； C． 从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ； D． 从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 。 所以从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ，这个图形 是 。 故答案为：A 2．一个几何体从正面、上面、左面看到的图形如下： 这个几何体是( )。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．从正面看有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠右 1个小正 方形；从上面看有 2行，后边 1行 2个小正方形，前边 1行靠右 1个小正方形； 从左面看有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形； B．从正面看有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形；从 上面看有 2行，前边 1行 2个小正方形，后边 1行靠右 1个小正方形；从左面看 有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形； 第 8 页 共 45 页 C．从正面看有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形；从 上面看有 2行，前边 1行 2个小正方形，后边 1行靠左 1个小正方形；从左面看 有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形； D．从正面看有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形；从 上面看有 2行，前边 1行 2个小正方形，后边 1行靠右 1个小正方形；从左面看 有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形。 【详解】 A．从正面看是 ；从上面看是 ；从左面看是 ； B．从正面看是 ；从上面看是 ；从左面看是 ； C．从正面看是 ；从上面看是 ；从左面看是 ； D．从正面看是 ；从上面看是 ；从左面看是 。 这个几何体是 。 故答案为：D 【预测考点 03】我能确定正方体的数量与范围 一个几何体，从上面看是 ，从左面看是 ，要搭成这样的几何体， 最少要用( )个相同的小正方体，最多要用( )个相同的小正方体。 【答案】 6 9 【分析】根据题意，结合用相同的小正方体最少时，下面一层 5个，摆成从上面 看到的形状；上面一层 1个，任意放在从上面看到的一行 4个中的 1个的上面即 可。 用相同的小正方体最多时，下面一层 5个，摆成从上面看到的形状；上面一层 4 个，与从上面看到的一行 4个一一对应，放在其上面即可。据此可以得出答案。 【详解】最少：5＋1＝6（个） 最多：5＋4＝9（个） 所以最少要用 6个相同的小正方体，最多要用 9个相同的小正方体。 【对应练习】 第 9 页 共 45 页 1．一个几何体，从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 ， 从左面看到的图形是 。要搭成这个几何体需要( )个小正方体。 【答案】5 【分析】根据题意，从上面看到的图形是 ，可知底层分三列，靠右有 2 个小正方体；结合从前面看到的图形 ，从左面看到的图形是 ，可知 左列有 2层，中间和右边只有 1层，还原立体图形为 ，据此解答。 【详解】 2 1 2  3 2  5 （个） 即要搭成这个几何体需要 5个小正方体。 2．一个立体图形，从上面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ， 搭这样的立体图形，最多可以有( )个小正方体，最少需要( )个 小正方体。 【答案】 6 4 【分析】 从上面看到的形状是 ，说明这个立体图形有 3列，每列至少 1个小 正方体； 从左面看到的形状是 ，说明这个立体图形有两层，下面一层一定有 3个小正 方体，上面一层至少有 1个小正方体，最多有 3个小正方体，据此解答。 【详解】由分析可得： 最多的小正方体和最少小正方体构成的立体图形如下： 第 10 页 共 45 页 最多需要：3＋3＝6（个） 最少需要：3＋1＝4（个） 【预测考点 04】正方体的不同摆法 如图所示，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不 变，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【答案】 ② ③ 【分析】观察图形，再添加一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，说明从 左面看不到某位置上新放的小方块，据此得出添加的小方块放在②号位置上； 再添加一个同样的小方块，从前面看到的图形不变，说明从前面看不到某位置上 新放的小方块，据此得出添加的小方块应放在③号位置上。 【详解】如图： 在②号位置上面放一个同样的小方块，从左面看： 在③号位置上面放一个同样的小方块，从前面看： 第 11 页 共 45 页 填空如下： 在 ② 号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在 ③ 号位置 上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【对应练习】 摆一摆，想一想，填一填。 先用 4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添一个同样大小 的正方体。 (1)从正面看到的图形仍是 ，有( )种摆法。 (2)从左面看到的图形是 ，有( )种摆法。 (3)从上面看到的图形是 ，有( )种摆法。 【答案】(1)8 (2)4 (3)1 【分析】（1）要想从正面看到的图形不变，添的这个正方体应该摆到现在 4个 正方体的前面或后面，根据遮挡关系，不会改变从正面看到的图形，据此分析； （2）从左面看到的图形是 ，添的这个正方体应该摆到现在 4个正方体的上 面，有 4个位置，即有 4种摆法； （3）从上面看到的图形是 ，添的这个正方体只能摆到左数第二个 正方体的前面，据此分析。 第 12 页 共 45 页 【详解】（1） 从正面看到的图形仍是 ，有 8种摆法。 （2） 从左面看到的图形是 ，有 4种摆法。 （3） 从上面看到的图形是 ，有 1种摆法。 【预测考点 05】因数和倍数的认识 1．5×7＝35中，( )是( )和( )的倍数；( )和 ( )是( )的因数。 【答案】 35 7 5 7 5 35 【分析】如果 a×b＝c（a，b，c是大于 0的自然数），那么 a，b就是 c的因数， c就是 a和 b的倍数。据此解答。 【详解】由分析可知： 在 5×7＝35中，35是 7和 5的倍数，7和 5都是 35的因数。 2．一个数的最大因数是 12，这个数是( )；一个数的最小倍数是 9，这 个数是( )。 【答案】 12 9 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 【详解】一个数的最大因数是 12，这个数是 12；一个数的最小倍数是 9，这个 数是 9。 【对应练习】 1．已知 a、b、c都是不为 0的自然数，且 a÷b＝c，那么 a是 b的( ) 数，b是 a的( )数。a的因数至少有( )个。 第 13 页 共 45 页 【答案】 倍 因 2 【分析】若整数 a能够被 b整除，a叫做 b的倍数，b就叫做 a的因数，因数与 倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】已知 a、b、c都是互不相等且不为 0的自然数，且 a÷b＝c，那么 a是 b 的倍数，b是 a的因数。a的因数至少有 1和它本身这 2个因数。 2．一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是( )。 【答案】16 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。设这个数是 x， 那么它的最大因数是 x，最小倍数也是 x，根据题意列方程为： 32x x  ，求解 即可。 【详解】解：设这个数是 x，那么它的最大因数是 x，最小倍数也是 x， 32x x  2 32x  32 2x   16x  所以，一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是 16。 【预测考点 06】2、5、3 的倍数特征 要使四位数 652□能同时被 2和 5整除，□里应填( )；如果能同时被 3和 5 整除，□里应填( )。 【答案】 0 5 【分析】个位上是 0的数既是 2的倍数又是 5的倍数； 个位上是 0或 5，并且各个数位上的数的和是 3的倍数，这个数同时是 3和 5的 倍数。 【详解】要使四位数 652□能同时被 2和 5整除，□里应填 0； 如果能同时被 3和 5整除，6＋5＋2＋5＝18，□里应填的数是 5。 【对应练习】 1．一个三位数 45□既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，□中的数是( )。 【答案】0 【分析】2的倍数特征：个位上的数是 0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各 第 14 页 共 45 页 个数位上的数相加之和是 3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是 0、5的数。 则 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是 0，各个数位上的数字的和是 3的倍 数的数。据此解答。 【详解】一个三位数 45□既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，□中的数是 0。 2．□50同时是 2、3、5的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 1 7 【分析】既是 2的倍数又是 5的倍数特征：个位上必定是 0，这个三位数个位上 已经是 0，所以只需要满足是 3的倍数的特征即可，根据 3的倍数特征是：各位 上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数；从 0~9依次代入，找出符合要 求最大和最小的数即可。 【详解】根据分析得，这个三位数□50，已经满足同时是 2、5的倍数。 当填入 1时，1＋5＋0＝6，6是 3的倍数，满足题意； 当填入 9时，9＋5＋0＝14，14不是 3的倍数，不满足题意； 当填入 8时，8＋5＋0＝13，13不是 3的倍数，不满足题意； 当填入 7时，7＋5＋0＝12，12是 3的倍数，满足题意； 综上所述：□50同时是 2、3、5的倍数，□里最小填 1，最大填 7。 【预测考点 07】奇数和偶数的认识及运算性质 三个连续偶数的和是 18，这三个数中最大偶数是( )，最小偶数是 ( )。 【答案】 8 4 【分析】相邻的两个偶数相差 2，设中间的一个偶数是 a，则最小的偶数是 a－2， 最大的偶数是 a＋2。再根据“三个连续偶数的和是 18”列出方程，解方程求出中 间的一个偶数，再进一步求出最大的偶数和最小的偶数。 【详解】解：设中间的一个偶数是 a。 （a－2）＋a＋（a＋2）＝18 a－2＋a＋a＋2＝18 3a＝18 3a÷3＝18÷3 a＝6 第 15 页 共 45 页 最大的偶数：6＋2＝8 最小的偶数：6－2＝4 所以这三个数中最大偶数是 8，最小偶数是 4。 【点睛】解决此题关键是明确相邻的两个偶数间的关系。三个连续偶数的平均数 是中间的一个偶数。 【对应练习】 1．傍晚开电灯时，明明一口气按了 5下开关，现在灯是( )着的；如果 一口气按了 102下，则灯是( )着的。 【答案】 开 关 【分析】按奇数下后将改变灯原有状态，按偶数下后不改变灯原有状态。所以按 奇数次是开灯，按偶数次是关灯，据此解答。 【详解】根据分析得，5是奇数，所以按 5下开关，现在灯是开着的；102是偶 数，所以按 102下开关，则灯是关着的。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的意义求解。 2．两个奇数相加的和是( )数，五个偶数相加的和是( )数。 【答案】 偶 偶 【分析】根据：奇数个奇数相加，和是奇数；偶数个奇数相加，和是偶数；偶数 与偶数相加，不管几个，结果都是偶数；据此解答。 【详解】根据分析，两个奇数相加的和是偶数，五个偶数相加的和是偶数。 【点睛】此题考查了奇数与偶数的运算，关键能够理解概念再解答。 【预测考点 08】质数和合数的认识 在 1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是 奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。 【答案】 1、3、7、15 2、8 3、7 8 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数。一个 数，如果只有 l和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】由分析可得：在 1，2，3，7，8，15这些数中，1、3、7、15是奇数， 2、8是偶数，既是奇数又是质数的数是 3、7，既是偶数又是合数的数是 8。 第 16 页 共 45 页 【对应练习】 1．在括号里填上适当的质数。 8＝( )＋( ) 12＝( )＋( ) 35＝( )×( ) 18＝( )＋( )＋( ) 【答案】 3 5 5 7 5 7 2 3 13 【分析】一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。据此 填入合适的质数即可。 【详解】8＝3＋5 12＝5＋7 35＝5×7 18＝2＋3＋13 （答案不唯一） 2．哥德巴赫猜想提出，所有大于 9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4 ＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋ ( )。 【答案】 5 19 【分析】24是大于 9的偶数，根据哥德巴赫猜想，把 24拆解成两个质数相加的 形式即可。 整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，个位上是 0、2、4、6、8的数。 一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 所以，24＝5＋19（答案不唯一）。 【预测考点 09】猜数问题 喜羊羊的 QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是 质数，也不是合数，也不是 0；④最小奇数的 3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质 数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊 羊的 QQ号码是多少呢？ 【答案】641302579 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；除了 1和它本身以外不再有 第 17 页 共 45 页 其他因数，这样的数叫质数；除了 1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合 数；用来表示物体个数的 0，1，2，3，4……都叫自然数。据此确定各数，写出 这个 QQ号码。 【详解】①6的最大因数是 6；②最小的合数是 4；③1既不是质数，也不是合数； ④最小奇数是 1，1的 3倍是 3；⑤最小的自然数是 0；⑥2既是质数，又是偶数； ⑦5的最小倍数是 5；⑧10以内最大的质数是 7；⑨最大的一位数是 9。 答：喜羊羊的 QQ号码是 641302579。 【对应练习】 小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为 10以内最大的偶数；第 二位数字为 4的最小倍数；第三位数字为只有因数 1和 3的数；第四位数字为既 是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第 七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为 6的最大因数。你知道这个号码 是多少吗？ 【答案】84322496 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫偶数，不是 2的倍数的数叫奇数。 一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 除了 1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了 1和它本身以外还 有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，即可写出这个八位数。 【详解】10以内最大的偶数是 8；4的最小倍数是 4；只有因数 1和 3的数是 3； 既是偶数又是质数的数是 2；最小的质数是 2；最小的合数是 4；一位数中最大 的合数是 9；6的最大因数是 6，因此这个八位数是：84322496。 答：这个号码是 84322496。 【预测考点 10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 1．致远书店要把 80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案 刚好合适，没有剩余？ 第 18 页 共 45 页 【答案】选 4本/包刚好合适，没有剩余。 【分析】根据题意，打包方案要刚好合适，没有剩余，那么每一包的本数应该是 80本的因数。 【详解】80的因数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，所以三种方案里， 4本/包打包方案刚好合适，没有剩余。 答：选 4本/包刚好合适，没有剩余。 【点睛】本题考查因数的应用，要理解因数的概念，并掌握找一个数的因数的办 法。 2．小本用 46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用 4根小棒，摆一个独立的六 边形用 6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下 11根小棒，他说得对吗？为什么？ 【答案】不对；因为剩下的小棒根数应该是偶数，而 11是奇数 【分析】分析题目，摆一些独立的四边形需要的小棒数是 4的倍数，摆一些独立 的六边形需要的小棒数是 6的倍数，4的倍数和 6的倍数都是偶数，两个偶数的 和还是偶数，所以一共用去偶数根小棒，一共有 46根小棒，根据两个偶数相减 结果还是偶数解答即可。 【详解】偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以小本无论摆几个四边形， 用的小棒根数都是偶数，无论摆几个六边形，用的小棒根数也是偶数；偶数＋偶 数＝偶数，所以小本用的小棒数一定是偶数；偶数－偶数＝偶数，所以总根数 46减去用去的根数结果是偶数，而 11是奇数，所以他说得不对。 答：他说得不对。因为剩下的小棒数应该是偶数，而 11是奇数，所以不对。 3．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指 定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是 质数，并且周长是 36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 第 19 页 共 45 页 【答案】77平方米 【分析】质数：是指在大于 1的自然数中，除了 1和它本身以外不再有其他因数 的自然数；合数：是指在大于 1的自然数中，除了 1和其本身外还有其他因数的 数。 分析题目，先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长除以 2求出长 和宽之和；再根据质数的概念推导出长和宽各是多少，再根据长方形的面积＝长 ×宽求出长方形的面积，最后比较大小即可得到最大的面积。 【详解】36÷2＝18（米） 18＝13＋5＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77 答：这个专用停车点的面积最大是 77平方米。 【对应练习】 1．食品店有 75个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？如果每 3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】不能正好装完；能正好装完；能正好装完，理由见解析。 【分析】（1）根据能被 2整除的特征：即个位上是 0、2、4、6、8的数判断即 可； （2）根据能被 5整除的特征：即个位上是 0或 5的数判断即可； （3）根据能被 3整除的特征：各个数位上的数字之和能被 3整除这个数就能被 3整除，判断即可。 【详解】（1）75个位上是 5，不能被 2整除，所以每 2个装一袋，不能正好装 完； （2）75个位上是 5，能被 5整除，所以每 5个装一袋，能正好装完； （3）7＋5＝12，能被 3整除，所以每 3个装一袋，能正好装完； 答：如果每 2个装一袋，不能正好装，如果每 5个装一袋，能正好装完，如果每 3个装一袋，能正好装完。 【点睛】此题根据能被 2、3、5整除的数的特征，解决实际问题。 第 20 页 共 45 页 2．小华在一个文具店里买了 5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员 2 元钱，售货员叔叔找给他 5角 5分。小华看了看铅笔的价格是每支 8分，就说： “叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？ 【答案】见详解 【解析】付了 2元，找回 5角 5分，售货员收了 145分，每支 8分，5支铅笔是 40分，那么 4块橡皮，8个练习本是 105分，但是 4块橡皮，8个练习本的价钱 一定是偶数，105是奇数，不可能的。 【详解】2元＝200分，5角 5分＝55分； 200 55 145  （分） 5 8 40  （分） 145 40 105  （分） 不论橡皮和练习本的单价是多少，其总价一定是偶数，不可能等于 105，据此可 判断帐算错啦。 【点睛】本题用到了奇数和偶数的运算规律进行推导，偶数乘奇数或偶数得到的 都是偶数，奇数乘奇数得到奇数。 3．用一根长 40m的绳子围成一个长方形，要求它的长和宽都是整米数，长和宽 的米数一个是质数，一个是合数，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？ 【答案】面积最大是 99m2，最小是 36m2。 【详解】40÷2＝20（m） 20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 面积最大是 9×11＝99（m2） 面积最小是 2×18＝36（m2） 答：面积最大是 99m2，最小是 36m2。 【预测考点 11】分数的认识和意义 1．一个△占整张纸的 1 7，4个△占整张纸的( )；72的 2 9 是( )。 【答案】 4 7 16 第 21 页 共 45 页 【分析】把整张纸看作单位“1”，根据分数的意义，1个△占整张纸的 1 7，说明 4 个△占整张纸的 4 7 ；求 72的 2 9 表示把 72平均分成 9份，取其中的 2份，用 72÷9 求出每份是多少，再乘 2求出 2份。 【详解】一个△占整张纸的 1 7，4个△占整张纸的 4 7 ； 72÷9×2＝16 72的 2 9 是 16。 2．“六一”儿童节快到了，李老师打算买 3kg的糖果，平均分给 10个小朋友，每 个小朋友分得的糖果占总质量的( )，每个小朋友分得( )kg的糖 果。 【答案】 1 10 3 10 /0.3 【分析】把糖果的重量看作单位“1”，平均分成 10份，求每个小朋友分得的糖果 占总质量的几分之几，用 1÷10解答；求每个小朋友分得糖果多少千克，用 3÷10 解答。 【详解】1÷10＝ 1 10 3÷10＝ 3 10 （kg） 每个小朋友分得的糖果占总质量的 1 10 ，每个小朋友分得 3 10 kg的糖果。 【对应练习】 1． 25 元可以表示把 1元平均分成 5份，取其中的( )份；还可以表示把 2 元平均分成 5份，取其中的( )份。 【答案】 2 1 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数 叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。据此解答。 【详解】根据分析可得： 2 5 元可以表示把 1元平均分成 5份，取其中的 2份；也 可以表示把 2元平均分成 5份，取其中的 1份。 2．在括号里填适当的数。 第 22 页 共 45 页 ( )5 7 7   40dm3＝( )cm3 96L＝( )dm3 【答案】5；40000；96 【分析】根据分数与除法的关系：被除数做分子，除数做分母；5÷7＝ 57 1dm3＝1000cm3；1L＝1dm3，高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算 成高级单位，除以进率。据此解答。 【详解】5÷7＝ 57 40dm3＝40×1000＝40000cm3 96L＝96÷1＝96dm3 3．某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的     ；如果这条 公路长 15千米，那么平均每天修( )千米。 【答案】 1 10 ； 1.5 【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，因为 10天修完，所以平均每天修这条 公路的 1÷10＝ 1 10 。已知工作总长度，用公路总长度除以修路时间就能得到每天 修的长度。据此解答。 【详解】 11 10 10   15 10 ＝1.5（千米） 某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的 1 10 ；如果这条公路长 15千米，那么平均每天修 1.5千米。 【预测考点 12】真分数、假分数和带分数 在直线上面的方块里填合适的假分数，直线下面的方块里填合适的带分数。 第 23 页 共 45 页 【答案】 8 5； 12 5 ； 15 5 ； 11 5 ； 42 5； 33 5 【分析】把相邻两个整数之间的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成 5份，其 中的 1份用分数表示为 15；直线上面第一个方块对应的假分数含有 8个 1 5，即 8 5； 直线上面第二个方块对应的假分数含有 12个 15，即 12 5 ；直线上面第三个方块对 应的假分数含有 15个 15，即 15 5 ；直线下面第一个方块对应的带分数位于 1和 2 之间，整数部分是 1，真分数部分是 15，即 11 5 ；直线下面第二个方块对应的带分 数位于 2和 3之间，整数部分是 2，真分数部分是 45 ，即 42 5；直线下面第三个方 块对应的带分数位于 3和 4之间，整数部分是 3，真分数部分是 35，即 33 5，据此 解答。 【详解】填空如下： 【对应练习】 1．分数单位是 15的最大真分数是( )，最小假分数是( )。 【答案】 4 5 5 5 【分析】分子小于分母的分数叫做真分数；分子大于或等于分母的分数叫做假分 数，据此解答。 【详解】分数单位是 1 5的最大真分数是 4 5 ； 分数单位是 1 5的最小假分数是 5 5。 2．把下面的假分数化成带分数或整数。 17 3  ( ) 633 ＝( ) 23 8 ＝( ) 50 25 ＝( ) 第 24 页 共 45 页 【答案】 25 3 21 72 8 2 【分析】假分数化成整数的方法：用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的 倍数，所得的商就是整数；假分数化成带分数的方法：用假分数的分子除以分母， 如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，分母不变，余数做 分数部分的分子；据此解答。 【详解】 17 25 3 3  63 3 ＝21 23 8 ＝ 72 8 50 25＝2 3．分数 7 a ，当 a＝( )时，它是这个分数的分数单位；当 a＝( ) 时，它是最大的真分数；当 a＝( )时，它是最小的假分数；当 a＝( ) 时，它的分数值等于 1。 【答案】 1 6 7 7 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的叫分数单位。即分母是几， 分数单位就是几分之一； 真分数：分子比分母小的分数； 假分数：分子和分母相等或分子比分母大的分数。 【详解】分数 7 a ，当 a＝1时，它是这个分数的分数单位；当 a＝6时，它是最大 的真分数；当 a＝7时，它是最小的假分数；当 a＝7时，它的分数值等于 1。 【预测考点 13】分数的基本性质 在下面的括号里填上适当的数。 （ ）÷（ ）＝ 42＝ 6    （ ） 5    （ ） ＝ 8 20＝ 4    （ ） 【答案】4；2；12；2；10 【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数的分子和分母，同时 乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此根据分数与除法的关系， 以及它们通用的基本性质进行填空。 【详解】 4 2＝4÷2；6÷2×4＝12；8÷（20÷5）＝8÷4＝2；20÷（8÷4）＝20÷2＝10 4÷2＝ 42＝ 12 6 ； 2 5＝ 8 20＝ 4 10 【对应练习】 第 25 页 共 45 页 1． ba 的分母加上 2a，要使分数大小不变，分子应加上( )。 【答案】2b 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）， 分数大小不变； b a 的分母加上 2a，相当于分母乘 3，要使分数大小不变，则分子 也要乘 3，据此解答。 【详解】a＋2a＝3a 3a÷a＝3 b×3－b ＝3b－b ＝2b b a 的分母加上 2a，要使分数大小不变，分子应加上 2b。 2．在括号里填上适当的数。  1 3 6   10 15 3    1 5 4   12 28 7  【答案】2；2；20；3 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）， 分数的大小不变。 【详解】 1 1 2 3 3 2 2 6     10 10 5 2 15 15 5 3     1 1 5 5 4 4 5 20     12 12 4 3 28 28 4 7     即 1 2 3 6  ， 10 2 15 3  ， 1 5 4 20  ， 12 3 28 7  。 【预测考点 14】约分和通分 1．把下面的小数化成最简分数。 6 18＝ 75 100＝ 38 76＝ 24 36 ＝ 【答案】 1 3； 3 4 ； 1 2 ； 2 3 第 26 页 共 45 页 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）， 分数的大小不变。 根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是 分子和分母只有公因数 1的最简分数。 【详解】 6 18＝ 1 3 75 100＝ 3 4 38 76＝ 1 2 24 36 ＝ 2 3 2．先通分，再比较大小。 13 20 和 9 15 7 8 和 5 6 【答案】 39 60 ， 36 60， 13 20 ＞ 9 15； 21 24， 20 24， 7 8 ＞ 5 6 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分；通分时可 以把两个分母的最小公倍数作为公分母，根据分数的基本性质，分子和分母要同 时乘相同的数，这样分数大小不变；最后比较两个同分母分数的大小：分母相同， 分子大的，分数就大。 【详解】 13 20 ＝ 13 3 20 3   ＝ 39 60 9 15＝ 9 4 15 4   ＝ 36 60 因为 39＞36，所以 3960 ＞ 36 60，则 13 20 ＞ 9 15。 7 8 ＝ 7 3 8 3   ＝ 21 24 5 6 ＝ 5 4 4 6   ＝ 20 24 因为 21＞20，所以 2124＞ 20 24，则 7 8 ＞ 5 6 。 【对应练习】 1．先约分，是假分数的要化成带分数或整数。 16 24  121 11  86 42  第 27 页 共 45 页 【答案】 2 3 ；11； 12 21 【分析】根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数， 结果是分子和分母只有公因数 1的最简分数。 把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的 整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时， 能化成整数。 【详解】 16 16 8 2= 24 24 8 3    121 121 11=11 11 11 11    86 86 2 43 1= =2 42 42 2 21 21    2．比较下面每组两个分数的大小。 5 12和 11 20 7 12和 5 7 11 18和 5 9 【答案】 5 12＜ 11 20； 7 12＜ 5 7 ； 11 18＞ 5 9 【分析】异分母分数比较大小，需要先通分，再进行比较。通分，即找到两个分 数分母的最小公倍数，然后分母扩大几倍，分子也相应扩大几倍，分数大小不变。 【详解】12＝2×2×3，20＝2×2×5，12和 20的最小公倍数是 2×2×3×5＝60； 5 12＝ 5 5 25 12 5 60    ， 11 20＝ 11 3 33 20 3 60    ， 25 60＜ 33 60 ，则 5 12＜ 11 20； 12和 7互质，则 12和 7的最小公倍数是 12×7＝84； 7 12 7 7 49 12 7 84     ， 5 7 5 12 60 7 12 84     ， 49 84 ＜ 60 84 ，则 7 12＜ 5 7 ； 18是 9的倍数，则 18和 9的最小公倍数是 18； 5 9 5 2 10 9 2 18     ， 11 18＞ 10 18，则 11 18＞ 5 9。 【预测考点 15】最大公因数和最小公倍数 1．已知 A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么 A和 B的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 【答案】 10 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是 最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 第 28 页 共 45 页 【详解】A和 B的最大公因数是2 5 10  A和 B的最小公倍数是 2 5 3 7 210    已知 A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么 A和 B的最大公因数是 10，最小公倍数是 210。 2．3x＝y（x和 y都是非 0自然数），x和 y的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 【答案】 x y 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数，据 此解答。 【详解】由分析可得：3x＝y（x和 y都是非 0自然数），x和 y的最大公因数是 x，最小公倍数是 y。 【对应练习】 1．两个数是不同的合数，又是互质数，它们的最小公倍数是 36，这两个数分别 是( )和( )。 【答案】 4 9 【分析】根据题干，这两个数都是 36的因数，把 36进行分解质因数：36＝2×2×3×3， 这两个数都是合数，又互质数，说明这两个数最大公因数是 1，据此解答即可。 【详解】36＝2×2×3×3 因为两个数是互质数，又因为两个数都是合数， 所以这两个数分别是 2×2＝4和 3×3＝9 这两个数分别是 4和 9。 【点睛】本题考查最小公倍数、质数与合数、分解质因数，解答此题关键是理解 这两个数“都是合数，又是互质数”，把 36分解质因数即可解决问题。 2．甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当 A＝( )时，甲、乙两数的最大 公因数是 42，此时它们的最小公倍数是( )。 【答案】 3 630 【分析】求最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公 有质因数与独有质因数的连乘积，根据已知，甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A， 可知甲数和乙数有最大公因数 2×7×A，如果要使甲数和乙数的最大公因数是 42， A＝42÷2÷7，A＝3，最小公倍数是：2×3×7×3×5，算出结果即可。 第 29 页 共 45 页 【详解】甲数和乙数有最大公因数 2×7×A，甲数和乙数的最大公因数是 42，则 A＝42÷2÷7＝21÷7＝3，所以 A＝3； 甲数和乙数的最小公倍数是：2×3×7×3×5 42 3 5 126 5 630      【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数、分解质因数，解答本题的关键是掌 握利用分解质因数求两个数的最大公因数和最小公倍数的计算方法。 【预测考点 16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 1．学校合唱队有男生 12人，女生 18人。①男生人数是女生人数的几分之几？ ②排练时男生、女生分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多站多少人？ 【答案】① 2 3 ；②6人 【分析】①求一个数是另一个数的几分之几，用除法。将男生人数除以女生人数， 求出男生是女生的几分之几； ②每排最多的人数是 12和 18的最大公因数。先将 12和 18分别分解质因数，两 个数公有质因数的乘积是它们的最大公因数。 【详解】①12÷18＝ 2 3 答：男生人数是女生人数的 2 3 。 ②12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和 18的最大公因数是 2×3＝6。 答：要使每排的人数相同，每排最多站 6人。 2．6路、9路公交车分别隔 30分钟、20分钟发一辆车，6路和 9路车刚才同时 发的车，过多长时间两路车第 2次同时发车？先说说你的思考过程，再解答。 【答案】60分钟；见详解 【分析】求过多长时间两路车第 2次同时发车，实际上就是求 30和 20的最小公 倍数，据此解答即可。 【详解】思路：先求出 30和 20的最小公倍数，它们的最小公倍数就是两路车第 2次同时发车的间隔时间。 20 2 2 5   30 2 3 5   第 30 页 共 45 页 30和 20的最小公倍数是：2 5 2 3 60    所以过 60分钟两路车第 2次同时发车。 答：过 60分钟两路车第 2次同时发车。 【点睛】本题考查最小公倍数，解答本题的关键是理解求的是两路车发车时间的 最小公倍数。 【对应练习】 1．有两根长分别是 80厘米和 64厘米的木头。如果要把它们锯成若干同样长度 的小木头，并且没有剩余，锯出的小木头最长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】分析题目，要使锯出的小木头最长且没有剩余，则小木头的长度等于 80和 64的最大公因数，据此求出 80和 64的最大公因数即可解答。 【详解】80的因数有：1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 64的因数有：1，2，4，8，16，32，64； 80和 64的最大公因数是：16，所以锯出的小木头最长是 16厘米。 答：锯出的小木头最长是 16厘米。 2．一种长方形纸长 42厘米、宽 28厘米，用这样的长方形纸拼成一个正方形纸， 至少需要多少张长方形纸？ 【答案】6张 【分析】根据题意，正方形的边长既是长方形长的倍数，又是宽的倍数，那么正 方形的边长是长和宽的公倍数。又因为需要求至少需要多少张长方形纸，那么正 方形的边长需要是长方形长和宽的最小公倍数。将 42和 28分别分解质因数，再 将公有质因数和独有质因数相乘，求出最小公倍数，即正方形的最小边长。将最 小边长分别除以长方形的长和宽，求出拼成的正方形由几行几列长方形组成，从 而利用乘法求出至少需要多少张长方形纸。 【详解】42＝2×3×7 28＝2×2×7 2×2×3×7＝84 所以，42和 28的最小公倍数是 84，拼成的正方形的边长是 84厘米。 （84÷42）×（84÷28） 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 目 录 【预测考点01】我会观察物体 4 【预测考点02】我会还原立体图形 5 【预测考点03】我能确定正方体的数量与范围 5 【预测考点04】正方体的不同摆法 6 【预测考点05】因数和倍数的认识 6 【预测考点06】2、5、3的倍数特征 7 【预测考点07】奇数和偶数的认识及运算性质 7 【预测考点08】质数和合数的认识 7 【预测考点09】猜数问题 8 【预测考点10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 8 【预测考点11】分数的认识和意义 10 【预测考点12】真分数、假分数和带分数 10 【预测考点13】分数的基本性质 11 【预测考点14】约分和通分 11 【预测考点15】最大公因数和最小公倍数 12 【预测考点16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 12 【预测考点17】长方体和正方体的认识与表面展开图 13 【预测考点18】棱长总和问题 14 【预测考点19】表面积问题 15 【预测考点20】体积和容积问题 15 【预测考点21】问题一：切拼问题 16 【预测考点21】问题二：剪角折叠求体积问题 17 【预测考点22】问题三：等积变形问题 18 【预测考点23】问题四：排水法求体积问题 18 【预测考点24】问题五：不规则或组合立体图形 19 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】 【预测考点01】我会观察物体 观察左图，从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是。 【对应练习】 1．从图中找出从正面、上面、左面看到的物体的图形，用“正”“上”“左”在括号里表示出来。 ( )          ( )             ( ) 2．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下边的图形分别是从哪面看到的？ 从( )面看      从( )面看      【预测考点02】我会还原立体图形 根据下图从三个面看到的图形摆几何体，符合要求的是( )。 A． B． C． 【对应练习】 1．如图几何体中，从正面看是，从左面看是，从上面看是，这个图形是( )。 A． B． C． D． 2．一个几何体从正面、上面、左面看到的图形如下： 这个几何体是( )。 A． B． C． D． 【预测考点03】我能确定正方体的数量与范围 一个几何体，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的几何体，最少要用( )个相同的小正方体，最多要用( )个相同的小正方体。 【对应练习】 1．一个几何体，从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是。要搭成这个几何体需要( )个小正方体。 2．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最多可以有( )个小正方体，最少需要( )个小正方体。 【预测考点04】正方体的不同摆法 如图所示，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【对应练习】 摆一摆，想一想，填一填。 先用4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添一个同样大小的正方体。 (1)从正面看到的图形仍是，有( )种摆法。 (2)从左面看到的图形是，有( )种摆法。 (3)从上面看到的图形是，有( )种摆法。 【预测考点05】因数和倍数的认识 1．5×7＝35中，( )是( )和( )的倍数；( )和( )是( )的因数。 2．一个数的最大因数是12，这个数是( )；一个数的最小倍数是9，这个数是( )。 【对应练习】 1．已知a、b、c都是不为0的自然数，且a÷b＝c，那么a是b的( )数，b是a的( )数。a的因数至少有( )个。 2．一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是( )。 【预测考点06】2、5、3的倍数特征 要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填( )；如果能同时被3和5整除，□里应填( )。 【对应练习】 1．一个三位数45□既是2和5的倍数，又是3的倍数，□中的数是( )。 2．□50同时是2、3、5的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【预测考点07】奇数和偶数的认识及运算性质 三个连续偶数的和是18，这三个数中最大偶数是( )，最小偶数是( )。 【对应练习】 1．傍晚开电灯时，明明一口气按了5下开关，现在灯是( )着的；如果一口气按了102下，则灯是( )着的。 2．两个奇数相加的和是( )数，五个偶数相加的和是( )数。 【预测考点08】质数和合数的认识 在1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。 【对应练习】 1．在括号里填上适当的质数。 8＝( )＋( )      12＝( )＋( ) 35＝( )×( )     18＝( )＋( )＋( ) 2．哥德巴赫猜想提出，所有大于9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋( )。 【预测考点09】猜数问题 喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 【对应练习】 小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【预测考点10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 1．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？ 2．小本用46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用4根小棒，摆一个独立的六边形用6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下11根小棒，他说得对吗？为什么？ 3．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 【对应练习】 1．食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 2．小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分。小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？ 3．用一根长40m的绳子围成一个长方形，要求它的长和宽都是整米数，长和宽的米数一个是质数，一个是合数，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？ 【预测考点11】分数的认识和意义 1．一个△占整张纸的，4个△占整张纸的( )；72的是( )。 2．“六一”儿童节快到了，李老师打算买3kg的糖果，平均分给10个小朋友，每个小朋友分得的糖果占总质量的( )，每个小朋友分得( )kg的糖果。 【对应练习】 1．元可以表示把1元平均分成5份，取其中的( )份；还可以表示把2元平均分成5份，取其中的( )份。 2．在括号里填适当的数。        40dm3＝( )cm3       96L＝( )dm3 3．某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的；如果这条公路长15千米，那么平均每天修( )千米。 【预测考点12】真分数、假分数和带分数 在直线上面的方块里填合适的假分数，直线下面的方块里填合适的带分数。 【对应练习】 1．分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )。 2．把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )  ＝( )   ＝( )    ＝( ) 3．分数，当a＝( )时，它是这个分数的分数单位；当a＝( )时，它是最大的真分数；当a＝( )时，它是最小的假分数；当a＝( )时，它的分数值等于1。 【预测考点13】分数的基本性质 在下面的括号里填上适当的数。 （    ）÷（    ）＝＝    ＝＝ 【对应练习】 1．的分母加上2a，要使分数大小不变，分子应加上( )。 2．在括号里填上适当的数。           【预测考点14】约分和通分 1．把下面的小数化成最简分数。 ＝       ＝        ＝           ＝ 2．先通分，再比较大小。 和                和 【对应练习】 1．先约分，是假分数的要化成带分数或整数。                             2．比较下面每组两个分数的大小。 和                 和                 和 【预测考点15】最大公因数和最小公倍数 1．已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．3x＝y（x和y都是非0自然数），x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习】 1．两个数是不同的合数，又是互质数，它们的最小公倍数是36，这两个数分别是( )和( )。 2．甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当A＝( )时，甲、乙两数的最大公因数是42，此时它们的最小公倍数是( )。 【预测考点16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 1．学校合唱队有男生12人，女生18人。①男生人数是女生人数的几分之几？②排练时男生、女生分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多站多少人？ 2．6路、9路公交车分别隔30分钟、20分钟发一辆车，6路和9路车刚才同时发的车，过多长时间两路车第2次同时发车？先说说你的思考过程，再解答。 【对应练习】 1．有两根长分别是80厘米和64厘米的木头。如果要把它们锯成若干同样长度的小木头，并且没有剩余，锯出的小木头最长是多少厘米？ 2．一种长方形纸长42厘米、宽28厘米，用这样的长方形纸拼成一个正方形纸，至少需要多少张长方形纸？ 3．有一包糖果，无论是平均分给6个人，8个人，还是10个人，都剩下3块，这包糖果至少有多少块？ 【预测考点17】长方体和正方体的认识与表面展开图 1．相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点，( )条棱，相对的面的面积都( )，相对的棱的长度都( )。 2．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【对应练习】 1．如图，有四种型号的塑料板各4块（单位：cm），若选择其中的6块拼一个长方体，则共有( )种可能。 2．如图，一个正方体积木的6个面分别写A，B，C，D，E，F。请仔细观察，积木字母排列的情况可以推断：C对面的字母是( )，A对面的字母是( )，E对面的字母是( )。 【预测考点18】棱长总和问题 用彩带捆扎下面的礼品盒，需要多少厘米彩带？（彩带结长15厘米） 【对应练习】 1．按下图所示用绳子对一个纸盒进行捆扎，如果最后需要长的绳子来打结，那么捆扎这个纸盒至少需要多少厘米长的绳子？ 2．灯笼又称灯彩，每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个长方体灯笼框架（如下图），如果用同样长的木条制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少厘米？ 【预测考点19】表面积问题 一个水池的宽是1.5米，长是宽的2倍，深0.5米。现在要在水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【对应练习】 1．走进校园，花坛边上放置了一个长方体鱼缸，长80厘米，宽50厘米，高60厘米，制作这个金鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（鱼缸上面无盖） 2．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，门窗不涂。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗面积14平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要多少涂料费？ 【预测考点20】体积和容积问题 小麦收割机的油箱长9分米，宽5分米，高4分米，每3升油可供收割机工作1小时，如果把这个油箱装满油，可供收割机工作多少小时？ 【对应练习】 1．希望小学有一间长8米、宽6米、高3.5米的长方体教室。这间教室的空间有多大？ 2．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量长21厘米，宽14厘米，高7.6厘米，它的容积有多大？ 【预测考点21】问题一：切拼问题 将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 【对应练习】 1．一个长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来增加了48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 2．一个长方体，如果长减少3厘米，宽、高都不变，它的体积减少27立方厘米；如果宽减少4厘米，长、高都不变，它的体积减少48厘米；如果高增加5厘米，长、宽都不变，它的体积增加65立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？ 【预测考点21】问题二：剪角折叠求体积问题 现有一张长40厘米，宽20c厘米的长方形铁皮，在它的四角各剪去一个相等的小正方形，做成一个高5厘米的无盖小铁盒，这个铁盒的表面积是多少平方厘米？容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【对应练习】 科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长12厘米的正方形铝箔，在它的4个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验室的水槽从里面量长2.5分米、宽1.8分米、高1分米。同学们将2.7升的水倒入水槽，水位的高度是多少分米？ 【预测考点22】问题三：等积变形问题 在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【对应练习】 一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 【预测考点23】问题四：排水法求体积问题 在一个底面积是78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里且没有溢出），水面高度由4厘米上升到9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 1．一个长方体水缸长8分米，宽5分米，高3分米，缸内有2.5分米深的水。放入一个棱长4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 2．（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为9厘米。这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【预测考点24】问题五：不规则或组合立体图形 计算图1的表面积，计算图2的体积。（单位：厘米）            【对应练习】 下图是由一个正方体和一个长方体组合而成的立体图形，求这个立体图形的表面积和体积。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 目 录 【预测考点01】我会观察物体 4 【预测考点02】我会还原立体图形 5 【预测考点03】我能确定正方体的数量与范围 6 【预测考点04】正方体的不同摆法 6 【预测考点05】因数和倍数的认识 7 【预测考点06】2、5、3的倍数特征 7 【预测考点07】奇数和偶数的认识及运算性质 8 【预测考点08】质数和合数的认识 8 【预测考点09】猜数问题 8 【预测考点10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 9 【预测考点11】分数的认识和意义 10 【预测考点12】真分数、假分数和带分数 11 【预测考点13】分数的基本性质 12 【预测考点14】约分和通分 12 【预测考点15】最大公因数和最小公倍数 13 【预测考点16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 13 【预测考点17】长方体和正方体的认识与表面展开图 15 【预测考点18】棱长总和问题 16 【预测考点19】表面积问题 17 【预测考点20】体积和容积问题 18 【预测考点21】问题一：切拼问题 19 【预测考点21】问题二：剪角折叠求体积问题 20 【预测考点22】问题三：等积变形问题 22 【预测考点23】问题四：排水法求体积问题 23 【预测考点24】问题五：不规则或组合立体图形 24 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】 【预测考点01】我会观察物体 观察左图，从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是。 【答案】 上 左 正/前 【对应练习】 1．从图中找出从正面、上面、左面看到的物体的图形，用“正”“上”“左”在括号里表示出来。 ( )          ( )             ( ) 【答案】 左 正 上 2．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下边的图形分别是从哪面看到的？ 从( )面看      从( )面看      【答案】 前 左/右 【预测考点02】我会还原立体图形 根据下图从三个面看到的图形摆几何体，符合要求的是( )。 A． B． C． 【答案】C 【对应练习】 1．如图几何体中，从正面看是，从左面看是，从上面看是，这个图形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 2．一个几何体从正面、上面、左面看到的图形如下： 这个几何体是( )。 A． B． C． D． 【答案】D 【预测考点03】我能确定正方体的数量与范围 一个几何体，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的几何体，最少要用( )个相同的小正方体，最多要用( )个相同的小正方体。 【答案】 6 9 【对应练习】 1．一个几何体，从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是。要搭成这个几何体需要( )个小正方体。 【答案】5 2．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最多可以有( )个小正方体，最少需要( )个小正方体。 【答案】 6 4 【预测考点04】正方体的不同摆法 如图所示，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【答案】 ② ③ 【对应练习】 摆一摆，想一想，填一填。 先用4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添一个同样大小的正方体。 (1)从正面看到的图形仍是，有( )种摆法。 (2)从左面看到的图形是，有( )种摆法。 (3)从上面看到的图形是，有( )种摆法。 【答案】(1)8；(2)4；(3)1 【预测考点05】因数和倍数的认识 1．5×7＝35中，( )是( )和( )的倍数；( )和( )是( )的因数。 【答案】 35 7 5 7 5 35 2．一个数的最大因数是12，这个数是( )；一个数的最小倍数是9，这个数是( )。 【答案】 12 9 【对应练习】 1．已知a、b、c都是不为0的自然数，且a÷b＝c，那么a是b的( )数，b是a的( )数。a的因数至少有( )个。 【答案】 倍 因 2 2．一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是( )。 【答案】16 【预测考点06】2、5、3的倍数特征 要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填( )；如果能同时被3和5整除，□里应填( )。 【答案】 0 5 【对应练习】 1．一个三位数45□既是2和5的倍数，又是3的倍数，□中的数是( )。 【答案】0 2．□50同时是2、3、5的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 1 7 【预测考点07】奇数和偶数的认识及运算性质 三个连续偶数的和是18，这三个数中最大偶数是( )，最小偶数是( )。 【答案】 8 4 【对应练习】 1．傍晚开电灯时，明明一口气按了5下开关，现在灯是( )着的；如果一口气按了102下，则灯是( )着的。 【答案】 开 关 2．两个奇数相加的和是( )数，五个偶数相加的和是( )数。 【答案】 偶 偶 【预测考点08】质数和合数的认识 在1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。 【答案】 1、3、7、15 2、8 3、7 8 【对应练习】 1．在括号里填上适当的质数。 8＝( )＋( )      12＝( )＋( ) 35＝( )×( )     18＝( )＋( )＋( ) 【答案】 3 5 5 7 5 7 2 3 13 2．哥德巴赫猜想提出，所有大于9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋( )。 【答案】 5 19 【预测考点09】猜数问题 喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 【答案】641302579 【对应练习】 小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【答案】84322496 【预测考点10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 1．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？ 【答案】选4本/包刚好合适，没有剩余。 2．小本用46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用4根小棒，摆一个独立的六边形用6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下11根小棒，他说得对吗？为什么？ 【答案】不对；因为剩下的小棒根数应该是偶数，而11是奇数 3．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 【答案】77平方米 【对应练习】 1．食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】（1）75个位上是5，不能被2整除，所以每2个装一袋，不能正好装完； （2）75个位上是5，能被5整除，所以每5个装一袋，能正好装完； （3）7＋5＝12，能被3整除，所以每3个装一袋，能正好装完； 答：如果每2个装一袋，不能正好装，如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，能正好装完。 2．小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分。小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？ 【答案】2元＝200分，5角5分＝55分； （分） （分） （分） 不论橡皮和练习本的单价是多少，其总价一定是偶数，不可能等于105，据此可判断帐算错啦。 3．用一根长40m的绳子围成一个长方形，要求它的长和宽都是整米数，长和宽的米数一个是质数，一个是合数，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？ 【答案】 40÷2＝20（m）   20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 面积最大是9×11＝99（m2） 面积最小是2×18＝36（m2） 答：面积最大是99m2，最小是36m2。 【预测考点11】分数的认识和意义 1．一个△占整张纸的，4个△占整张纸的( )；72的是( )。 【答案】 16 2．“六一”儿童节快到了，李老师打算买3kg的糖果，平均分给10个小朋友，每个小朋友分得的糖果占总质量的( )，每个小朋友分得( )kg的糖果。 【答案】 /0.3 【对应练习】 1．元可以表示把1元平均分成5份，取其中的( )份；还可以表示把2元平均分成5份，取其中的( )份。 【答案】 2 1 2．在括号里填适当的数。        40dm3＝( )cm3       96L＝( )dm3 【答案】5；40000；96 3．某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的；如果这条公路长15千米，那么平均每天修( )千米。 【答案】； 1.5 【预测考点12】真分数、假分数和带分数 在直线上面的方块里填合适的假分数，直线下面的方块里填合适的带分数。 【答案】；；； ；； 【对应练习】 1．分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )。 【答案】 2．把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )  ＝( )   ＝( )    ＝( ) 【答案】 21 2 3．分数，当a＝( )时，它是这个分数的分数单位；当a＝( )时，它是最大的真分数；当a＝( )时，它是最小的假分数；当a＝( )时，它的分数值等于1。 【答案】 1 6 7 7 【预测考点13】分数的基本性质 在下面的括号里填上适当的数。 （    ）÷（    ）＝＝    ＝＝ 【答案】4；2；12；2；10 【对应练习】 1．的分母加上2a，要使分数大小不变，分子应加上( )。 【答案】2b 2．在括号里填上适当的数。           【答案】2；2；20；3 【预测考点14】约分和通分 1．把下面的小数化成最简分数。 ＝       ＝        ＝           ＝ 【答案】；；； 2．先通分，再比较大小。 和                和 【答案】，，＞；，，＞ 【对应练习】 1．先约分，是假分数的要化成带分数或整数。                             【答案】；11； 2．比较下面每组两个分数的大小。 和                 和                 和 【答案】＜；＜；＞ 【预测考点15】最大公因数和最小公倍数 1．已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 10 210 2．3x＝y（x和y都是非0自然数），x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 x y 【对应练习】 1．两个数是不同的合数，又是互质数，它们的最小公倍数是36，这两个数分别是( )和( )。 【答案】 4 9 2．甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当A＝( )时，甲、乙两数的最大公因数是42，此时它们的最小公倍数是( )。 【答案】 3 630 【预测考点16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 1．学校合唱队有男生12人，女生18人。①男生人数是女生人数的几分之几？②排练时男生、女生分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多站多少人？ 【答案】①；②6人 2．6路、9路公交车分别隔30分钟、20分钟发一辆车，6路和9路车刚才同时发的车，过多长时间两路车第2次同时发车？先说说你的思考过程，再解答。 【答案】 思路：先求出30和20的最小公倍数，它们的最小公倍数就是两路车第2次同时发车的间隔时间。 30和20的最小公倍数是： 所以过60分钟两路车第2次同时发车。 答：过60分钟两路车第2次同时发车。 【对应练习】 1．有两根长分别是80厘米和64厘米的木头。如果要把它们锯成若干同样长度的小木头，并且没有剩余，锯出的小木头最长是多少厘米？ 【答案】 80的因数有：1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 64的因数有：1，2，4，8，16，32，64； 80和64的最大公因数是：16，所以锯出的小木头最长是16厘米。 答：锯出的小木头最长是16厘米。 2．一种长方形纸长42厘米、宽28厘米，用这样的长方形纸拼成一个正方形纸，至少需要多少张长方形纸？ 【答案】 42＝2×3×7 28＝2×2×7 2×2×3×7＝84 所以，42和28的最小公倍数是84，拼成的正方形的边长是84厘米。 （84÷42）×（84÷28） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少需要6张长方形纸。 3．有一包糖果，无论是平均分给6个人，8个人，还是10个人，都剩下3块，这包糖果至少有多少块？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 10＝2×5 [6、8、10]＝2×2×2×3×5＝120 120＋3＝123（块） 答：这包糖果至少有123块。 【预测考点17】长方体和正方体的认识与表面展开图 1．相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点，( )条棱，相对的面的面积都( )，相对的棱的长度都( )。 【答案】 长 宽 高 6 8 12 相等 相等 2．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【对应练习】 1．如图，有四种型号的塑料板各4块（单位：cm），若选择其中的6块拼一个长方体，则共有( )种可能。 【答案】3 2．如图，一个正方体积木的6个面分别写A，B，C，D，E，F。请仔细观察，积木字母排列的情况可以推断：C对面的字母是( )，A对面的字母是( )，E对面的字母是( )。 【答案】 D F B 【预测考点18】棱长总和问题 用彩带捆扎下面的礼品盒，需要多少厘米彩带？（彩带结长15厘米） 【答案】 30×2＋12×6 ＝60＋72 ＝132（厘米） 132＋15＝147（厘米） 答：需要147厘米彩带。 【对应练习】 1．按下图所示用绳子对一个纸盒进行捆扎，如果最后需要长的绳子来打结，那么捆扎这个纸盒至少需要多少厘米长的绳子？ 【答案】 4×30＋6×15＋6×20＋20 ＝120＋90＋120＋20 ＝350（cm） 答：捆扎这个纸盒至少需要长的绳子。 2．灯笼又称灯彩，每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个长方体灯笼框架（如下图），如果用同样长的木条制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少厘米？ 【答案】 （16＋30＋20）×4÷12 ＝66×4÷12 ＝22（厘米） 答：这个正方体灯笼框架的棱长是22厘米。 【预测考点19】表面积问题 一个水池的宽是1.5米，长是宽的2倍，深0.5米。现在要在水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】 1.5×2＝3（米） 3×1.5＋3×0.5×2＋1.5×0.5×2 ＝4.5＋3＋1.5 ＝9（平方米） 答：抹水泥的面积是9平方米。 【对应练习】 1．走进校园，花坛边上放置了一个长方体鱼缸，长80厘米，宽50厘米，高60厘米，制作这个金鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（鱼缸上面无盖） 【答案】 80×50＋60×50×2＋80×60×2 ＝4000＋6000＋9600 ＝19600（平方厘米） 19600平方厘米＝196平方分米 答：制作这个金鱼缸至少需要196平方分米的玻璃。 2．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，门窗不涂。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗面积14平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要多少涂料费？ 【答案】 8×4×2＋4×6×2＋8×6－14 ＝64＋48＋48－14 ＝146（平方米） 146×12＝1752（元） 答：粉刷这个教室需要涂料费1752元。 【预测考点20】体积和容积问题 小麦收割机的油箱长9分米，宽5分米，高4分米，每3升油可供收割机工作1小时，如果把这个油箱装满油，可供收割机工作多少小时？ 【答案】 9×5×4＝180（立方分米）＝180（升） 180÷3＝60（小时） 答：可供收割机工作60小时。 【对应练习】 1．希望小学有一间长8米、宽6米、高3.5米的长方体教室。这间教室的空间有多大？ 【答案】 教室空间： （立方米） 答：这间教室的空间有168立方米。 2．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量长21厘米，宽14厘米，高7.6厘米，它的容积有多大？ 【答案】 ＝294×7.6 ＝2234.4（立方厘米） 答：它的容积2234.4立方厘米。 【预测考点21】问题一：切拼问题 将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 【答案】 5米＝50分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（面） 38.4÷8＝4.8（平方分米） 4.8×50＝240（立方分米） 答：这个长方体木料的一个侧面的面积是4.8平方分米，原来这根木料体积是240立方分米。 【对应练习】 1．一个长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来增加了48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 长、宽：48÷4÷2＝6（厘米） 高：6－2＝4（厘米） 体积：6×6×4＝144（立方厘米） 答：原长方体的体积是144立方厘米。 2．一个长方体，如果长减少3厘米，宽、高都不变，它的体积减少27立方厘米；如果宽减少4厘米，长、高都不变，它的体积减少48厘米；如果高增加5厘米，长、宽都不变，它的体积增加65立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 （27÷3＋48÷4＋65÷5）×2 ＝（9＋12＋13）×2 ＝34×2 ＝68（平方厘米） 答：原长方体的表面积是68平方厘米。 【预测考点21】问题二：剪角折叠求体积问题 现有一张长40厘米，宽20c厘米的长方形铁皮，在它的四角各剪去一个相等的小正方形，做成一个高5厘米的无盖小铁盒，这个铁盒的表面积是多少平方厘米？容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 表面积： ＝ ＝300＋200×2 ＝300＋400 ＝700（平方厘米） 体积： 30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：这个铁盒的表面积是700平方厘米，容积是1500立方厘米。 【对应练习】 科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长12厘米的正方形铝箔，在它的4个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验室的水槽从里面量长2.5分米、宽1.8分米、高1分米。同学们将2.7升的水倒入水槽，水位的高度是多少分米？ 【答案】 （1）12－2×2 ＝12－4 ＝8（厘米） 8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 128立方厘米＝128毫升 答：制成的铝箔船的容积是128毫升。 （2）2.7升＝2.7立方分米 2.7÷（2.5×1.8） ＝2.7÷4.5 ＝0.6（分米） 答：水位的高度是0.6分米。 【预测考点22】问题三：等积变形问题 在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【答案】 水的体积： 10×8×4＝320（立方厘米） 水深： 320÷（8×5） ＝320÷40 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 【对应练习】 一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 【答案】 12×3×5 ＝36×5 ＝180（立方分米） 180÷（6×3） ＝180÷18 ＝10（分米） 答：鱼缸内水深10分米。 【预测考点23】问题四：排水法求体积问题 在一个底面积是78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里且没有溢出），水面高度由4厘米上升到9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】 78×（9－4） ＝78×5 ＝390（立方厘米） 答：这块石头的体积是390立方厘米。 【对应练习】 1．一个长方体水缸长8分米，宽5分米，高3分米，缸内有2.5分米深的水。放入一个棱长4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 【答案】 4×4×3＝48（立方分米） 8×5×（3－2.5） ＝40×0.5 ＝20（立方分米） 48－20＝28（立方分米） 28立方分米＝28升 答：水会溢出28升。 2．（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为9厘米。这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 20×15×（8－5）÷9×（9＋5） ＝300×3÷9×14 ＝900÷9×14 ＝100×14 ＝1400（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是1400立方厘米。 【预测考点24】问题五：不规则或组合立体图形 计算图1的表面积，计算图2的体积。（单位：厘米）            【答案】 （8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋36 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（平方厘米） 5×5×5－4×2×2 ＝125－16 ＝109（立方厘米） 【对应练习】 下图是由一个正方体和一个长方体组合而成的立体图形，求这个立体图形的表面积和体积。 【答案】 表面积：10×10×6＋（14×5＋14×10）×2 ＝600＋（70＋140）×2 ＝600＋210×2 ＝600＋420 ＝1020（平方厘米） 体积：10×10×10＋14×5×10 ＝1000＋700 ＝1700（立方厘米） 即立体图形的表面积是1020平方厘米，体积是1700立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 目 录 【预测考点01】我会观察物体 4 【预测考点02】我会还原立体图形 6 【预测考点03】我能确定正方体的数量与范围 8 【预测考点04】正方体的不同摆法 10 【预测考点05】因数和倍数的认识 12 【预测考点06】2、5、3的倍数特征 13 【预测考点07】奇数和偶数的认识及运算性质 14 【预测考点08】质数和合数的认识 15 【预测考点09】猜数问题 16 【预测考点10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 17 【预测考点11】分数的认识和意义 20 【预测考点12】真分数、假分数和带分数 22 【预测考点13】分数的基本性质 24 【预测考点14】约分和通分 25 【预测考点15】最大公因数和最小公倍数 27 【预测考点16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 29 【预测考点17】长方体和正方体的认识与表面展开图 31 【预测考点18】棱长总和问题 33 【预测考点19】表面积问题 35 【预测考点20】体积和容积问题 36 【预测考点21】问题一：切拼问题 37 【预测考点21】问题二：剪角折叠求体积问题 39 【预测考点22】问题三：等积变形问题 41 【预测考点23】问题四：排水法求体积问题 42 【预测考点24】问题五：不规则或组合立体图形 44 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】 【预测考点01】我会观察物体 观察左图，从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是。 【答案】 上 左 正/前 【分析】从上面看有2行，前边1行4个小正方形，后边1行靠右1个小正方形；从左面看有2列，左边1列3个小正方形，右边1列1个小正方形；从正面看有3行，下边1行4个小正方形，中间1行左边1个小正方形右边2个小正方形，最上边1行右数第二个位置有1个小正方形，据此分析。 【详解】 从上面看到的图形是，从左面看到的图形是，从正面看到的图形是。 【对应练习】 1．从图中找出从正面、上面、左面看到的物体的图形，用“正”“上”“左”在括号里表示出来。 ( )          ( )             ( ) 【答案】 左 正 上 【分析】从正面看是1行3个小正方形；从左面看是1行2个小正方形；从上面看有2行，后边1行3个小正方形，前边1行靠左1个小正方形，据此分析。 【详解】 2．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下边的图形分别是从哪面看到的？ 从( )面看      从( )面看      【答案】 前 左/右 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定底层小正方体的个数和摆放方式，根据每个正方形上面的数字可以确定层数和每层个数，据此想象出这个几何体的形状， 从前面看有2层，底层2个小正方形，第2层有1个小正方形； 从左面或右面看都有3列，左边1列1个小正方形，中间一列有1个正方形，右边1列1个小正方形。 【详解】 【预测考点02】我会还原立体图形 根据下图从三个面看到的图形摆几何体，符合要求的是( )。 A． B． C． 【答案】C 【分析】逐项分析三个选项中的几何体从正面看、从左面看、从上面看到的平面图形，找到符合要求的几何体即可。 【详解】 A．从正面看是，左面看是，从上面看是，不符合题意； B．从正面看是，左面看是，从上面看是，不符合题意； C．从正面看是，左面看是，从上面看是，符合题意。 故答案为：C 【对应练习】 1．如图几何体中，从正面看是，从左面看是，从上面看是，这个图形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据物体三视图的认识和画法，画出每个选项几何体从正面、左面和上面看到的图形，选出符合题意的即可。 【详解】 A． 从正面看是，从左面看是，从上面看是； B． 从正面看是，从左面看是，从上面看是； C． 从正面看是，从左面看是，从上面看是； D． 从正面看是，从左面看是，从上面看是。 所以从正面看是，从左面看是，从上面看是，这个图形是。 故答案为：A 2．一个几何体从正面、上面、左面看到的图形如下： 这个几何体是( )。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．从正面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形；从上面看有2行，后边1行2个小正方形，前边1行靠右1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形； B．从正面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形；从上面看有2行，前边1行2个小正方形，后边1行靠右1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形； C．从正面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形；从上面看有2行，前边1行2个小正方形，后边1行靠左1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形； D．从正面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形；从上面看有2行，前边1行2个小正方形，后边1行靠右1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形。 【详解】 A．从正面看是；从上面看是；从左面看是； B．从正面看是；从上面看是；从左面看是； C．从正面看是；从上面看是；从左面看是； D．从正面看是；从上面看是；从左面看是。 这个几何体是。 故答案为：D 【预测考点03】我能确定正方体的数量与范围 一个几何体，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的几何体，最少要用( )个相同的小正方体，最多要用( )个相同的小正方体。 【答案】 6 9 【分析】根据题意，结合用相同的小正方体最少时，下面一层5个，摆成从上面看到的形状；上面一层1个，任意放在从上面看到的一行4个中的1个的上面即可。 用相同的小正方体最多时，下面一层5个，摆成从上面看到的形状；上面一层4个，与从上面看到的一行4个一一对应，放在其上面即可。据此可以得出答案。 【详解】最少：5＋1＝6（个） 最多：5＋4＝9（个） 所以最少要用6个相同的小正方体，最多要用9个相同的小正方体。 【对应练习】 1．一个几何体，从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是。要搭成这个几何体需要( )个小正方体。 【答案】5 【分析】根据题意，从上面看到的图形是，可知底层分三列，靠右有2个小正方体；结合从前面看到的图形，从左面看到的图形是，可知左列有2层，中间和右边只有1层，还原立体图形为，据此解答。 【详解】 （个） 即要搭成这个几何体需要5个小正方体。 2．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最多可以有( )个小正方体，最少需要( )个小正方体。 【答案】 6 4 【分析】 从上面看到的形状是，说明这个立体图形有3列，每列至少1个小正方体； 从左面看到的形状是，说明这个立体图形有两层，下面一层一定有3个小正方体，上面一层至少有1个小正方体，最多有3个小正方体，据此解答。 【详解】由分析可得： 最多的小正方体和最少小正方体构成的立体图形如下： 最多需要：3＋3＝6（个） 最少需要：3＋1＝4（个） 【预测考点04】正方体的不同摆法 如图所示，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【答案】 ② ③ 【分析】观察图形，再添加一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，说明从左面看不到某位置上新放的小方块，据此得出添加的小方块放在②号位置上； 再添加一个同样的小方块，从前面看到的图形不变，说明从前面看不到某位置上新放的小方块，据此得出添加的小方块应放在③号位置上。 【详解】如图：        在②号位置上面放一个同样的小方块，从左面看： 在③号位置上面放一个同样的小方块，从前面看： 填空如下： 在 ② 号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不变，在 ③ 号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【对应练习】 摆一摆，想一想，填一填。 先用4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添一个同样大小的正方体。 (1)从正面看到的图形仍是，有( )种摆法。 (2)从左面看到的图形是，有( )种摆法。 (3)从上面看到的图形是，有( )种摆法。 【答案】(1)8 (2)4 (3)1 【分析】（1）要想从正面看到的图形不变，添的这个正方体应该摆到现在4个正方体的前面或后面，根据遮挡关系，不会改变从正面看到的图形，据此分析； （2）从左面看到的图形是，添的这个正方体应该摆到现在4个正方体的上面，有4个位置，即有4种摆法； （3）从上面看到的图形是，添的这个正方体只能摆到左数第二个正方体的前面，据此分析。 【详解】（1） 从正面看到的图形仍是，有8种摆法。 （2） 从左面看到的图形是，有4种摆法。 （3） 从上面看到的图形是，有1种摆法。 【预测考点05】因数和倍数的认识 1．5×7＝35中，( )是( )和( )的倍数；( )和( )是( )的因数。 【答案】 35 7 5 7 5 35 【分析】如果a×b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么a，b就是c的因数，c就是a和b的倍数。据此解答。 【详解】由分析可知： 在5×7＝35中，35是7和5的倍数，7和5都是35的因数。 2．一个数的最大因数是12，这个数是( )；一个数的最小倍数是9，这个数是( )。 【答案】 12 9 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 【详解】一个数的最大因数是12，这个数是12；一个数的最小倍数是9，这个数是9。 【对应练习】 1．已知a、b、c都是不为0的自然数，且a÷b＝c，那么a是b的( )数，b是a的( )数。a的因数至少有( )个。 【答案】 倍 因 2 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】已知a、b、c都是互不相等且不为0的自然数，且a÷b＝c，那么a是b的倍数，b是a的因数。a的因数至少有1和它本身这2个因数。 2．一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是( )。 【答案】16 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。设这个数是，那么它的最大因数是，最小倍数也是，根据题意列方程为：，求解即可。 【详解】解：设这个数是，那么它的最大因数是，最小倍数也是， 所以，一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是16。 【预测考点06】2、5、3的倍数特征 要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填( )；如果能同时被3和5整除，□里应填( )。 【答案】 0 5 【分析】个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数； 个位上是0或5，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是3和5的倍数。 【详解】要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填0； 如果能同时被3和5整除，6＋5＋2＋5＝18，□里应填的数是5。 【对应练习】 1．一个三位数45□既是2和5的倍数，又是3的倍数，□中的数是( )。 【答案】0 【分析】2的倍数特征：个位上的数是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数相加之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0、5的数。则2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。 【详解】一个三位数45□既是2和5的倍数，又是3的倍数，□中的数是0。 2．□50同时是2、3、5的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 1 7 【分析】既是2的倍数又是5的倍数特征：个位上必定是0，这个三位数个位上已经是0，所以只需要满足是3的倍数的特征即可，根据3的倍数特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；从0~9依次代入，找出符合要求最大和最小的数即可。 【详解】根据分析得，这个三位数□50，已经满足同时是2、5的倍数。 当填入1时，1＋5＋0＝6，6是3的倍数，满足题意； 当填入9时，9＋5＋0＝14，14不是3的倍数，不满足题意； 当填入8时，8＋5＋0＝13，13不是3的倍数，不满足题意； 当填入7时，7＋5＋0＝12，12是3的倍数，满足题意； 综上所述：□50同时是2、3、5的倍数，□里最小填1，最大填7。 【预测考点07】奇数和偶数的认识及运算性质 三个连续偶数的和是18，这三个数中最大偶数是( )，最小偶数是( )。 【答案】 8 4 【分析】相邻的两个偶数相差2，设中间的一个偶数是a，则最小的偶数是a－2，最大的偶数是a＋2。再根据“三个连续偶数的和是18”列出方程，解方程求出中间的一个偶数，再进一步求出最大的偶数和最小的偶数。 【详解】解：设中间的一个偶数是a。 （a－2）＋a＋（a＋2）＝18 a－2＋a＋a＋2＝18 3a＝18 3a÷3＝18÷3 a＝6 最大的偶数：6＋2＝8 最小的偶数：6－2＝4 所以这三个数中最大偶数是8，最小偶数是4。 【点睛】解决此题关键是明确相邻的两个偶数间的关系。三个连续偶数的平均数是中间的一个偶数。 【对应练习】 1．傍晚开电灯时，明明一口气按了5下开关，现在灯是( )着的；如果一口气按了102下，则灯是( )着的。 【答案】 开 关 【分析】按奇数下后将改变灯原有状态，按偶数下后不改变灯原有状态。所以按奇数次是开灯，按偶数次是关灯，据此解答。 【详解】根据分析得，5是奇数，所以按5下开关，现在灯是开着的；102是偶数，所以按102下开关，则灯是关着的。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的意义求解。 2．两个奇数相加的和是( )数，五个偶数相加的和是( )数。 【答案】 偶 偶 【分析】根据：奇数个奇数相加，和是奇数；偶数个奇数相加，和是偶数；偶数与偶数相加，不管几个，结果都是偶数；据此解答。 【详解】根据分析，两个奇数相加的和是偶数，五个偶数相加的和是偶数。 【点睛】此题考查了奇数与偶数的运算，关键能够理解概念再解答。 【预测考点08】质数和合数的认识 在1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。 【答案】 1、3、7、15 2、8 3、7 8 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有l和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】由分析可得：在1，2，3，7，8，15这些数中，1、3、7、15是奇数，2、8是偶数，既是奇数又是质数的数是3、7，既是偶数又是合数的数是8。 【对应练习】 1．在括号里填上适当的质数。 8＝( )＋( )      12＝( )＋( ) 35＝( )×( )     18＝( )＋( )＋( ) 【答案】 3 5 5 7 5 7 2 3 13 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。据此填入合适的质数即可。 【详解】8＝3＋5 12＝5＋7 35＝5×7 18＝2＋3＋13 （答案不唯一） 2．哥德巴赫猜想提出，所有大于9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋( )。 【答案】 5 19 【分析】24是大于9的偶数，根据哥德巴赫猜想，把24拆解成两个质数相加的形式即可。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，个位上是0、2、4、6、8的数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 所以，24＝5＋19（答案不唯一）。 【预测考点09】猜数问题 喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 【答案】641302579 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。据此确定各数，写出这个QQ号码。 【详解】①6的最大因数是6；②最小的合数是4；③1既不是质数，也不是合数；④最小奇数是1，1的3倍是3；⑤最小的自然数是0；⑥2既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数是5；⑧10以内最大的质数是7；⑨最大的一位数是9。 答：喜羊羊的QQ号码是641302579。 【对应练习】 小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【答案】84322496 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，即可写出这个八位数。 【详解】10以内最大的偶数是8；4的最小倍数是4；只有因数1和3的数是3；既是偶数又是质数的数是2；最小的质数是2；最小的合数是4；一位数中最大的合数是9；6的最大因数是6，因此这个八位数是：84322496。 答：这个号码是84322496。 【预测考点10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 1．致远书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？ 【答案】选4本/包刚好合适，没有剩余。 【分析】根据题意，打包方案要刚好合适，没有剩余，那么每一包的本数应该是80本的因数。 【详解】80的因数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80，所以三种方案里，4本/包打包方案刚好合适，没有剩余。 答：选4本/包刚好合适，没有剩余。 【点睛】本题考查因数的应用，要理解因数的概念，并掌握找一个数的因数的办法。 2．小本用46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用4根小棒，摆一个独立的六边形用6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下11根小棒，他说得对吗？为什么？ 【答案】不对；因为剩下的小棒根数应该是偶数，而11是奇数 【分析】分析题目，摆一些独立的四边形需要的小棒数是4的倍数，摆一些独立的六边形需要的小棒数是6的倍数，4的倍数和6的倍数都是偶数，两个偶数的和还是偶数，所以一共用去偶数根小棒，一共有46根小棒，根据两个偶数相减结果还是偶数解答即可。 【详解】偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以小本无论摆几个四边形，用的小棒根数都是偶数，无论摆几个六边形，用的小棒根数也是偶数；偶数＋偶数＝偶数，所以小本用的小棒数一定是偶数；偶数－偶数＝偶数，所以总根数46减去用去的根数结果是偶数，而11是奇数，所以他说得不对。 答：他说得不对。因为剩下的小棒数应该是偶数，而11是奇数，所以不对。 3．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 【答案】77平方米 【分析】质数：是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数：是指在大于1的自然数中，除了1和其本身外还有其他因数的数。 分析题目，先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用长方形的周长除以2求出长和宽之和；再根据质数的概念推导出长和宽各是多少，再根据长方形的面积＝长×宽求出长方形的面积，最后比较大小即可得到最大的面积。 【详解】36÷2＝18（米） 18＝13＋5＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77 答：这个专用停车点的面积最大是77平方米。 【对应练习】 1．食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】不能正好装完；能正好装完；能正好装完，理由见解析。 【分析】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可； （2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可； （3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可。 【详解】（1）75个位上是5，不能被2整除，所以每2个装一袋，不能正好装完； （2）75个位上是5，能被5整除，所以每5个装一袋，能正好装完； （3）7＋5＝12，能被3整除，所以每3个装一袋，能正好装完； 答：如果每2个装一袋，不能正好装，如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，能正好装完。 【点睛】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题。 2．小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分。小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？ 【答案】见详解 【解析】付了2元，找回5角5分，售货员收了145分，每支8分，5支铅笔是40分，那么4块橡皮，8个练习本是105分，但是4块橡皮，8个练习本的价钱一定是偶数，105是奇数，不可能的。 【详解】2元＝200分，5角5分＝55分； （分） （分） （分） 不论橡皮和练习本的单价是多少，其总价一定是偶数，不可能等于105，据此可判断帐算错啦。 【点睛】本题用到了奇数和偶数的运算规律进行推导，偶数乘奇数或偶数得到的都是偶数，奇数乘奇数得到奇数。 3．用一根长40m的绳子围成一个长方形，要求它的长和宽都是整米数，长和宽的米数一个是质数，一个是合数，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？ 【答案】面积最大是99m2，最小是36m2。 【详解】40÷2＝20（m）   20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 面积最大是9×11＝99（m2） 面积最小是2×18＝36（m2） 答：面积最大是99m2，最小是36m2。 【预测考点11】分数的认识和意义 1．一个△占整张纸的，4个△占整张纸的( )；72的是( )。 【答案】 16 【分析】把整张纸看作单位“1”，根据分数的意义，1个△占整张纸的，说明4个△占整张纸的；求72的表示把72平均分成9份，取其中的2份，用72÷9求出每份是多少，再乘2求出2份。 【详解】一个△占整张纸的，4个△占整张纸的； 72÷9×2＝16 72的是16。 2．“六一”儿童节快到了，李老师打算买3kg的糖果，平均分给10个小朋友，每个小朋友分得的糖果占总质量的( )，每个小朋友分得( )kg的糖果。 【答案】 /0.3 【分析】把糖果的重量看作单位“1”，平均分成10份，求每个小朋友分得的糖果占总质量的几分之几，用1÷10解答；求每个小朋友分得糖果多少千克，用3÷10解答。 【详解】1÷10＝ 3÷10＝（kg） 每个小朋友分得的糖果占总质量的，每个小朋友分得 kg的糖果。 【对应练习】 1．元可以表示把1元平均分成5份，取其中的( )份；还可以表示把2元平均分成5份，取其中的( )份。 【答案】 2 1 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。据此解答。 【详解】根据分析可得：元可以表示把1元平均分成5份，取其中的2份；也可以表示把2元平均分成5份，取其中的1份。 2．在括号里填适当的数。        40dm3＝( )cm3       96L＝( )dm3 【答案】5；40000；96 【分析】根据分数与除法的关系：被除数做分子，除数做分母；5÷7＝ 1dm3＝1000cm3；1L＝1dm3，高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。据此解答。 【详解】5÷7＝ 40dm3＝40×1000＝40000cm3 96L＝96÷1＝96dm3 3．某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的；如果这条公路长15千米，那么平均每天修( )千米。 【答案】； 1.5 【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，因为10天修完，所以平均每天修这条公路的1÷10＝。已知工作总长度，用公路总长度除以修路时间就能得到每天修的长度。据此解答。 【详解】 ＝1.5（千米） 某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的；如果这条公路长15千米，那么平均每天修1.5千米。 【预测考点12】真分数、假分数和带分数 在直线上面的方块里填合适的假分数，直线下面的方块里填合适的带分数。 【答案】；；； ；； 【分析】把相邻两个整数之间的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成5份，其中的1份用分数表示为；直线上面第一个方块对应的假分数含有8个，即；直线上面第二个方块对应的假分数含有12个，即；直线上面第三个方块对应的假分数含有15个，即；直线下面第一个方块对应的带分数位于1和2之间，整数部分是1，真分数部分是，即；直线下面第二个方块对应的带分数位于2和3之间，整数部分是2，真分数部分是，即；直线下面第三个方块对应的带分数位于3和4之间，整数部分是3，真分数部分是，即，据此解答。 【详解】填空如下： 【对应练习】 1．分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )。 【答案】 【分析】分子小于分母的分数叫做真分数；分子大于或等于分母的分数叫做假分数，据此解答。 【详解】分数单位是的最大真分数是； 分数单位是的最小假分数是。 2．把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )  ＝( )   ＝( )    ＝( ) 【答案】 21 2 【分析】假分数化成整数的方法：用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；假分数化成带分数的方法：用假分数的分子除以分母，如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，分母不变，余数做分数部分的分子；据此解答。 【详解】      ＝21        ＝        ＝2 3．分数，当a＝( )时，它是这个分数的分数单位；当a＝( )时，它是最大的真分数；当a＝( )时，它是最小的假分数；当a＝( )时，它的分数值等于1。 【答案】 1 6 7 7 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的叫分数单位。即分母是几，分数单位就是几分之一； 真分数：分子比分母小的分数； 假分数：分子和分母相等或分子比分母大的分数。 【详解】分数，当a＝1时，它是这个分数的分数单位；当a＝6时，它是最大的真分数；当a＝7时，它是最小的假分数；当a＝7时，它的分数值等于1。 【预测考点13】分数的基本性质 在下面的括号里填上适当的数。 （    ）÷（    ）＝＝    ＝＝ 【答案】4；2；12；2；10 【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此根据分数与除法的关系，以及它们通用的基本性质进行填空。 【详解】＝4÷2；6÷2×4＝12；8÷（20÷5）＝8÷4＝2；20÷（8÷4）＝20÷2＝10 4÷2＝＝；＝＝ 【对应练习】 1．的分母加上2a，要使分数大小不变，分子应加上( )。 【答案】2b 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；的分母加上2a，相当于分母乘3，要使分数大小不变，则分子也要乘3，据此解答。 【详解】a＋2a＝3a 3a÷a＝3 b×3－b ＝3b－b ＝2b 的分母加上2a，要使分数大小不变，分子应加上2b。 2．在括号里填上适当的数。           【答案】2；2；20；3 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】 即，，，。 【预测考点14】约分和通分 1．把下面的小数化成最简分数。 ＝       ＝        ＝           ＝ 【答案】；；； 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是分子和分母只有公因数1的最简分数。 【详解】＝ ＝ ＝ ＝ 2．先通分，再比较大小。 和                和 【答案】，，＞；，，＞ 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分；通分时可以把两个分母的最小公倍数作为公分母，根据分数的基本性质，分子和分母要同时乘相同的数，这样分数大小不变；最后比较两个同分母分数的大小：分母相同，分子大的，分数就大。 【详解】＝＝ ＝＝ 因为39＞36，所以＞，则＞。 ＝＝ ＝＝ 因为21＞20，所以＞，则＞。 【对应练习】 1．先约分，是假分数的要化成带分数或整数。                             【答案】；11； 【分析】根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是分子和分母只有公因数1的最简分数。 把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 【详解】 2．比较下面每组两个分数的大小。 和                 和                 和 【答案】＜；＜；＞ 【分析】异分母分数比较大小，需要先通分，再进行比较。通分，即找到两个分数分母的最小公倍数，然后分母扩大几倍，分子也相应扩大几倍，分数大小不变。 【详解】12＝2×2×3，20＝2×2×5，12和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60； ＝，＝，＜，则＜； 12和7互质，则12和7的最小公倍数是12×7＝84； ，，＜，则＜； 18是9的倍数，则18和9的最小公倍数是18； ，＞，则＞。 【预测考点15】最大公因数和最小公倍数 1．已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 10 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A和B的最大公因数是 A和B的最小公倍数是 已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是10，最小公倍数是210。 2．3x＝y（x和y都是非0自然数），x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 x y 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数，据此解答。 【详解】由分析可得：3x＝y（x和y都是非0自然数），x和y的最大公因数是x，最小公倍数是y。 【对应练习】 1．两个数是不同的合数，又是互质数，它们的最小公倍数是36，这两个数分别是( )和( )。 【答案】 4 9 【分析】根据题干，这两个数都是36的因数，把36进行分解质因数：36＝2×2×3×3，这两个数都是合数，又互质数，说明这两个数最大公因数是1，据此解答即可。 【详解】36＝2×2×3×3 因为两个数是互质数，又因为两个数都是合数， 所以这两个数分别是2×2＝4和3×3＝9 这两个数分别是4和9。 【点睛】本题考查最小公倍数、质数与合数、分解质因数，解答此题关键是理解这两个数“都是合数，又是互质数”，把36分解质因数即可解决问题。 2．甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当A＝( )时，甲、乙两数的最大公因数是42，此时它们的最小公倍数是( )。 【答案】 3 630 【分析】求最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，根据已知，甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，可知甲数和乙数有最大公因数2×7×A，如果要使甲数和乙数的最大公因数是42，A＝42÷2÷7，A＝3，最小公倍数是：2×3×7×3×5，算出结果即可。 【详解】甲数和乙数有最大公因数2×7×A，甲数和乙数的最大公因数是42，则A＝42÷2÷7＝21÷7＝3，所以A＝3； 甲数和乙数的最小公倍数是：2×3×7×3×5 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数、分解质因数，解答本题的关键是掌握利用分解质因数求两个数的最大公因数和最小公倍数的计算方法。 【预测考点16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 1．学校合唱队有男生12人，女生18人。①男生人数是女生人数的几分之几？②排练时男生、女生分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多站多少人？ 【答案】①；②6人 【分析】①求一个数是另一个数的几分之几，用除法。将男生人数除以女生人数，求出男生是女生的几分之几； ②每排最多的人数是12和18的最大公因数。先将12和18分别分解质因数，两个数公有质因数的乘积是它们的最大公因数。 【详解】①12÷18＝ 答：男生人数是女生人数的。 ②12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是2×3＝6。 答：要使每排的人数相同，每排最多站6人。 2．6路、9路公交车分别隔30分钟、20分钟发一辆车，6路和9路车刚才同时发的车，过多长时间两路车第2次同时发车？先说说你的思考过程，再解答。 【答案】60分钟；见详解 【分析】求过多长时间两路车第2次同时发车，实际上就是求30和20的最小公倍数，据此解答即可。 【详解】思路：先求出30和20的最小公倍数，它们的最小公倍数就是两路车第2次同时发车的间隔时间。 30和20的最小公倍数是： 所以过60分钟两路车第2次同时发车。 答：过60分钟两路车第2次同时发车。 【点睛】本题考查最小公倍数，解答本题的关键是理解求的是两路车发车时间的最小公倍数。 【对应练习】 1．有两根长分别是80厘米和64厘米的木头。如果要把它们锯成若干同样长度的小木头，并且没有剩余，锯出的小木头最长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】分析题目，要使锯出的小木头最长且没有剩余，则小木头的长度等于80和64的最大公因数，据此求出80和64的最大公因数即可解答。 【详解】80的因数有：1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 64的因数有：1，2，4，8，16，32，64； 80和64的最大公因数是：16，所以锯出的小木头最长是16厘米。 答：锯出的小木头最长是16厘米。 2．一种长方形纸长42厘米、宽28厘米，用这样的长方形纸拼成一个正方形纸，至少需要多少张长方形纸？ 【答案】6张 【分析】根据题意，正方形的边长既是长方形长的倍数，又是宽的倍数，那么正方形的边长是长和宽的公倍数。又因为需要求至少需要多少张长方形纸，那么正方形的边长需要是长方形长和宽的最小公倍数。将42和28分别分解质因数，再将公有质因数和独有质因数相乘，求出最小公倍数，即正方形的最小边长。将最小边长分别除以长方形的长和宽，求出拼成的正方形由几行几列长方形组成，从而利用乘法求出至少需要多少张长方形纸。 【详解】42＝2×3×7 28＝2×2×7 2×2×3×7＝84 所以，42和28的最小公倍数是84，拼成的正方形的边长是84厘米。 （84÷42）×（84÷28） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少需要6张长方形纸。 【点睛】本题考查了最小公倍数，掌握最小公倍数的意义和求法是解题的关键。 3．有一包糖果，无论是平均分给6个人，8个人，还是10个人，都剩下3块，这包糖果至少有多少块？ 【答案】123块 【分析】由题意，这包糖果无论是平均分给6人、8人还是10人，都剩下3块；平均分表示人数是糖果总数的因数，糖果总数是人数的倍数；还多3块、至少有多少块可以理解为：糖果总数为6、8、10的最小公倍数还多3，据此解答。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 10＝2×5 [6、8、10]＝2×2×2×3×5＝120 120＋3＝123（块） 答：这包糖果至少有123块。 【点睛】考查了最小公倍数在生活中的应用，需要充分理解题意，结合最小公倍数的含义展开思考。 【预测考点17】长方体和正方体的认识与表面展开图 1．相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点，( )条棱，相对的面的面积都( )，相对的棱的长度都( )。 【答案】 长 宽 高 6 8 12 相等 相等 【分析】长方体每个顶点连接三条棱，分别对应长、宽、高三个方向；长方体和正方体均有6个面（上/下、前/后、左/右）；顶点：8个顶点（每个顶点由三条棱相交形成）；12条棱（每条棱属于同一方向，如4条长、4条宽、4条高）；相对的面面积相等（如长方体上下面面积均为长×宽）；相对的棱长度相等（如长方体所有“长”方向棱长度相同）。据此解答。 【详解】根据分析可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。长方体和正方体都有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积都相等，相对的棱的长度都相等。 2．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【分析】根据正方体展开图的特征可知，“1”的对面是“5”；“2”的对面是“4”；“3”的对面是“6”；据此解答即可。 【详解】由分析可知：将所示展开图围成正方体后，“1”对面的是5。 【对应练习】 1．如图，有四种型号的塑料板各4块（单位：cm），若选择其中的6块拼一个长方体，则共有( )种可能。 【答案】3 【分析】根据题意，长方体有6个长方形的面，相对的面完全相同，特殊情况下，相对的两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形，据此拼一拼。 【详解】第一种：①2块、②2块、③2块，拼成长15厘米、宽10厘米、高7厘米的长方体； 第二种：①4块、④2块，拼成长15厘米、宽10厘米、高10厘米的长方体； 第三种：③4块、④2块，拼成长7厘米、宽10厘米、高10厘米的长方体。 所以一共有3种可能。 2．如图，一个正方体积木的6个面分别写A，B，C，D，E，F。请仔细观察，积木字母排列的情况可以推断：C对面的字母是( )，A对面的字母是( )，E对面的字母是( )。 【答案】 D F B 【分析】 正方体相对面的字母是不可能相邻的，找到字母相邻的面有哪些，即可知道它对面的字母，据此解答。 【详解】 观察图中的正方体可知，与字母C相邻的字母有A、B、E、F，所以C对面的字母是D；与F相邻的四个面分别是B、C、D、E，因此，F对面的字母是A，即A对面的字母是F；与E相邻的四个面分别是A、C、D、F，因此，E对面的字母是B。 【预测考点18】棱长总和问题 用彩带捆扎下面的礼品盒，需要多少厘米彩带？（彩带结长15厘米） 【答案】147厘米 【分析】仔细观察发现，六个面上与长相等的彩带有2段，长度为12厘米的彩带有6段，据此算出各段的长度再加上打结处的长度即可。 【详解】30×2＋12×6 ＝60＋72 ＝132（厘米） 132＋15＝147（厘米） 答：需要147厘米彩带。 【点睛】分别找出与长、宽、高相等的彩带段数。 【对应练习】 1．按下图所示用绳子对一个纸盒进行捆扎，如果最后需要长的绳子来打结，那么捆扎这个纸盒至少需要多少厘米长的绳子？ 【答案】 【分析】由题图沿长方体纸盒的长进行捆扎的绳子有4段，沿长方体纸盒的宽进行捆扎的绳子有6段，沿长方体纸盒的高进行捆扎的绳子有6段，另外还需要加上打结用的20厘米长的绳子，据此求出一共需要多长的绳子即可。 【详解】4×30＋6×15＋6×20＋20 ＝120＋90＋120＋20 ＝350（cm） 答：捆扎这个纸盒至少需要长的绳子。 【点睛】本题考查长方体的特征，解答本题的关键是找出捆绑的绳子有几条长、几条宽、几条高。 2．灯笼又称灯彩，每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个长方体灯笼框架（如下图），如果用同样长的木条制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少厘米？ 【答案】22厘米 【分析】先求出这个长方体的棱长和，再将其除以12，求出正方体的棱长。 【详解】（16＋30＋20）×4÷12 ＝66×4÷12 ＝22（厘米） 答：这个正方体灯笼框架的棱长是22厘米。 【点睛】本题考查了正方体的棱长，正方体的棱长等于棱长和除以12。 【预测考点19】表面积问题 一个水池的宽是1.5米，长是宽的2倍，深0.5米。现在要在水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】9平方米 【分析】根据题意可知，长方形的长是（1.5×2）米，无盖的长方体表面积只有5个面的面积，根据无盖的长方体面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据解答即可。 【详解】1.5×2＝3（米） 3×1.5＋3×0.5×2＋1.5×0.5×2 ＝4.5＋3＋1.5 ＝9（平方米） 答：抹水泥的面积是9平方米。 【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【对应练习】 1．走进校园，花坛边上放置了一个长方体鱼缸，长80厘米，宽50厘米，高60厘米，制作这个金鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（鱼缸上面无盖） 【答案】196平方分米 【分析】求玻璃的面积也就是求长方体中除去上面的面其他5个面的面积；根据长方体无盖表面积公式：长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据进行解答即可。 【详解】80×50＋60×50×2＋80×60×2 ＝4000＋6000＋9600 ＝19600（平方厘米） 19600平方厘米＝196平方分米 答：制作这个金鱼缸至少需要196平方分米的玻璃。 【点睛】熟练掌握长方体的表面积公式是解题的关键，注意最后转换单位。 2．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，门窗不涂。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗面积14平方米。如果每平方米需要花12元涂料费，粉刷这个教室需要多少涂料费？ 【答案】1752元 【分析】根据题意可知，涂漆的面积＝上、左、右、前、后面的面积－门窗的面积，据此用8×4×2＋4×6×2＋8×6－14即可求出涂漆的面积，再乘12即可求出需要多少涂料费。 【详解】8×4×2＋4×6×2＋8×6－14 ＝64＋48＋48－14 ＝146（平方米） 146×12＝1752（元） 答：粉刷这个教室需要涂料费1752元。 【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【预测考点20】体积和容积问题 小麦收割机的油箱长9分米，宽5分米，高4分米，每3升油可供收割机工作1小时，如果把这个油箱装满油，可供收割机工作多少小时？ 【答案】60小时 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积，油箱容积÷工作1小时的耗油量＝工作时间，据此列式解答。 【详解】9×5×4＝180（立方分米）＝180（升） 180÷3＝60（小时） 答：可供收割机工作60小时。 【对应练习】 1．希望小学有一间长8米、宽6米、高3.5米的长方体教室。这间教室的空间有多大？ 【答案】168立方米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，把数据带入公式解答即可。 【详解】教室空间： （立方米） 答：这间教室的空间有168立方米。 【点睛】本题考查长方体的体积，解答本题的关键是掌握长方体的体积计算公式。 2．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量长21厘米，宽14厘米，高7.6厘米，它的容积有多大？ 【答案】2234.4立方厘米 【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，计算即可。 【详解】 ＝294×7.6 ＝2234.4（立方厘米） 答：它的容积2234.4立方厘米。 【预测考点21】问题一：切拼问题 将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 【答案】4.8平方分米；240立方分米 【分析】把长方体截成5段后，表面积比原来增加了8个横截面的面积，即38.4平方分米，用增加的面积除以增加的面数，据此求出木料一个侧面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据求出木料原来的体积。 【详解】5米＝50分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（面） 38.4÷8＝4.8（平方分米） 4.8×50＝240（立方分米） 答：这个长方体木料的一个侧面的面积是4.8平方分米，原来这根木料体积是240立方分米。 【对应练习】 1．一个长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来增加了48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】144立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高如果增加2厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；增加的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是2厘米，长是原来长方体的长或宽；用增加的表面积除以4，求出一个面的面积，再除以2，即是原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽减法2厘米，即是原来长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【详解】长、宽：48÷4÷2＝6（厘米） 高：6－2＝4（厘米） 体积：6×6×4＝144（立方厘米） 答：原长方体的体积是144立方厘米。 2．一个长方体，如果长减少3厘米，宽、高都不变，它的体积减少27立方厘米；如果宽减少4厘米，长、高都不变，它的体积减少48厘米；如果高增加5厘米，长、宽都不变，它的体积增加65立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】68平方厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，根据积的变化规律可知：长减少3厘米，体积就减少了3×宽×高，即体积对应减少27立方厘米，列式：27÷3，求出高与宽的乘积；以此类推：列式48÷4，求出长与高的乘积；列式：65÷5，求出长与宽的乘积。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算。 【详解】（27÷3＋48÷4＋65÷5）×2 ＝（9＋12＋13）×2 ＝34×2 ＝68（平方厘米） 答：原长方体的表面积是68平方厘米。 【预测考点21】问题二：剪角折叠求体积问题 现有一张长40厘米，宽20c厘米的长方形铁皮，在它的四角各剪去一个相等的小正方形，做成一个高5厘米的无盖小铁盒，这个铁盒的表面积是多少平方厘米？容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】700平方厘米；1500立方厘米 【分析】由题意知：这个铁盒的长是40－5×2＝30厘米，宽是20－5×2＝10厘米，高是5厘米，此长方体的表面积＝，体积＝长×宽×高，将数值代入计算即可得长方体的表面积和体积。 【详解】40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 表面积： ＝ ＝300＋200×2 ＝300＋400 ＝700（平方厘米） 体积： 30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：这个铁盒的表面积是700平方厘米，容积是1500立方厘米。 【对应练习】 科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长12厘米的正方形铝箔，在它的4个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验室的水槽从里面量长2.5分米、宽1.8分米、高1分米。同学们将2.7升的水倒入水槽，水位的高度是多少分米？ 【答案】（1）128毫升 （2）0.6分米 【分析】（1）制成的铝箔船的容积＝长×宽×高；观察可知，长＝宽＝正方形铝箔的边长－剪去正方形的边长×2；高＝剪去正方形的边长。再根据1立方厘米＝1毫升，把单位转化为毫升。代入数据计算。 （2）先根据1升＝1立方分米，把2.7升转化为以立方分米为单位，再根据长方体体积公式的逆运算，水槽的水位高度＝倒入水的体积÷（水槽的长×水槽的宽），代入数据计算即可。 【详解】（1）12－2×2 ＝12－4 ＝8（厘米） 8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 128立方厘米＝128毫升 答：制成的铝箔船的容积是128毫升。 （2）2.7升＝2.7立方分米 2.7÷（2.5×1.8） ＝2.7÷4.5 ＝0.6（分米） 答：水位的高度是0.6分米。 【预测考点22】问题三：等积变形问题 在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】已知一个长10厘米、宽8厘米的长方体密封盒内水深4厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 然后将它竖立放置，水的体积不变，但密封盒的底面积变成是（8×5）平方厘米，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出这时水的深度。 【详解】水的体积： 10×8×4＝320（立方厘米） 水深： 320÷（8×5） ＝320÷40 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 【对应练习】 一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 【答案】10分米 【分析】已知密封的玻璃缸从里面量长12分米，宽是3分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸内水的体积； 将这个玻璃鱼缸竖起来放，水的体积不变，底面变成（6×3）的长方形；根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算，求出此时鱼缸内水的深度。 【详解】12×3×5 ＝36×5 ＝180（立方分米） 180÷（6×3） ＝180÷18 ＝10（分米） 答：鱼缸内水深10分米。 【预测考点23】问题四：排水法求体积问题 在一个底面积是78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里且没有溢出），水面高度由4厘米上升到9厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】390立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头浸没在底面积是78平方厘米的盛水容器中，水面高度由4厘米上升到9厘米，上升了（9－4）厘米；那么水上升部分的体积就是这块石头的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这块石头的体积。 【详解】78×（9－4） ＝78×5 ＝390（立方厘米） 答：这块石头的体积是390立方厘米。 【对应练习】 1．一个长方体水缸长8分米，宽5分米，高3分米，缸内有2.5分米深的水。放入一个棱长4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 【答案】28升 【分析】首先注意由于水缸高度只有3分米，把棱长4分米的正方体铁块放入水中后，铁块只有3分米的高度没入水中，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算出这段没入水中的铁块的体积；由于水缸中原来剩余一些空间，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算出原来剩余的空间；用没入水中的铁块占据的体积减去原来剩余的体积，所得差即为溢出的水的体积。 【详解】4×4×3＝48（立方分米） 8×5×（3－2.5） ＝40×0.5 ＝20（立方分米） 48－20＝28（立方分米） 28立方分米＝28升 答：水会溢出28升。 2．（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为9厘米。这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】1400立方厘米 【分析】物体的体积＝容器的底面积×水面下降的高度，据此可求出露出水面9厘米部分的体积，进而可求出铁块的底面积，然后根据长方体的体积＝底面积×高，据此代入数值进行计算即可。 【详解】20×15×（8－5）÷9×（9＋5） ＝300×3÷9×14 ＝900÷9×14 ＝100×14 ＝1400（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是1400立方厘米。 【预测考点24】问题五：不规则或组合立体图形 计算图1的表面积，计算图2的体积。（单位：厘米）            【答案】150平方厘米；109立方厘米 【分析】图1的表面积＝完整的长方体表面积＋正方体4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；图2的体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋36 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（平方厘米） 5×5×5－4×2×2 ＝125－16 ＝109（立方厘米） 【对应练习】 下图是由一个正方体和一个长方体组合而成的立体图形，求这个立体图形的表面积和体积。 【答案】1020平方厘米；1700立方厘米 【分析】一个正方体和一个长方体叠加后，立体图形的表面积会在原来表面积的基础上，缺少两个（10×5）的面，用正方形的表面积加上长方体上下、前后4个面的面积之和，根据正方体的表面积和长方体的表面积公式即可得解。立体图形的体积等于正方体的体积加上长方体的体积，分别利用正方体的体积和长方体的体积的计算方法，即可得解。 【详解】表面积：10×10×6＋（14×5＋14×10）×2 ＝600＋（70＋140）×2 ＝600＋210×2 ＝600＋420 ＝1020（平方厘米） 体积：10×10×10＋14×5×10 ＝1000＋700 ＝1700（立方厘米） 即立体图形的表面积是1020平方厘米，体积是1700立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 25 页 莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行。竹杖芒鞋轻胜马，谁怕？ 一蓑烟雨任平生。 ——宋·苏轼《定风波·莫听穿林打叶声》 第 2 页 共 25 页 目 录 【预测考点 01】我会观察物体 ..........................................................................................4 【预测考点 02】我会还原立体图形 ........................................................................5 【预测考点 03】我能确定正方体的数量与范围 ..........................................6 【预测考点 04】正方体的不同摆法 .............................................................. 6 【预测考点 05】因数和倍数的认识 ........................................................................7 【预测考点 06】2、5、3 的倍数特征 ....................................................................7 【预测考点 07】奇数和偶数的认识及运算性质 ...............................................8 【预测考点 08】质数和合数的认识 ................................................................... 8 【预测考点 09】猜数问题 .............................................................................. 8 【预测考点 10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 ................9 【预测考点 11】分数的认识和意义 ...........................................................................10 【预测考点 12】真分数、假分数和带分数 ..........................................................11 【预测考点 13】分数的基本性质 ..........................................................................12 【预测考点 14】约分和通分 ............................................................................. 12 【预测考点 15】最大公因数和最小公倍数 ................................................13 【预测考点 16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 ............................13 【预测考点 17】长方体和正方体的认识与表面展开图 ............................................... 15 第 3 页 共 25 页 【预测考点 18】棱长总和问题 ..............................................................................16 【预测考点 19】表面积问题 ............................................................................. 17 【预测考点 20】体积和容积问题 ..................................................................... 18 【预测考点 21】问题一：切拼问题 ............................................................ 19 【预测考点 21】问题二：剪角折叠求体积问题 ........................................20 【预测考点 22】问题三：等积变形问题 .................................................... 22 【预测考点 23】问题四：排水法求体积问题 ............................................23 【预测考点 24】问题五：不规则或组合立体图形 ....................................24 第 4 页 共 25 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 期中复习·专题讲解篇【二十四大考点】 【预测考点 01】我会观察物体 观察左图，从( )面看到的图形是 ，从 ( )面看到的图形是 ，从( )面看到的图形是 。 【答案】 上 左 正/前 【对应练习】 1．从图中找出从正面、上面、左面看到的物体的图形，用“正”“上”“左”在括号 里表示出来。 ( ) ( ) ( ) 【答案】 左 正 上 2．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图（每个正方形上 面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。下边的图形分别是从哪面 看到的？ 从( )面看 从( )面看 第 5 页 共 25 页 【答案】 前 左/右 【预测考点 02】我会还原立体图形 根据下图从三个面看到的图形摆几何体，符合要求的是( )。 A． B． C． 【答案】C 【对应练习】 1．如图几何体中，从正面看是 ，从左面看是 ，从上面看是 ， 这个图形是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 2．一个几何体从正面、上面、左面看到的图形如下： 这个几何体是( )。 A． B． C． D． 【答案】D 第 6 页 共 25 页 【预测考点 03】我能确定正方体的数量与范围 一个几何体，从上面看是 ，从左面看是 ，要搭成这样的几何体， 最少要用( )个相同的小正方体，最多要用( )个相同的小正方体。 【答案】 6 9 【对应练习】 1．一个几何体，从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 ， 从左面看到的图形是 。要搭成这个几何体需要( )个小正方体。 【答案】5 2．一个立体图形，从上面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ， 搭这样的立体图形，最多可以有( )个小正方体，最少需要( )个 小正方体。 【答案】 6 4 【预测考点 04】正方体的不同摆法 如图所示，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从左面看到的图形不 变，在( )号位置上面放一个同样的小方块，从前面看到的图形不变。 【答案】 ② ③ 【对应练习】 摆一摆，想一想，填一填。 先用 4个同样大小的正方体摆成下面的长方体，按下面的要求再添一个同样大小 的正方体。 (1)从正面看到的图形仍是 ，有( )种摆法。 第 7 页 共 25 页 (2)从左面看到的图形是 ，有( )种摆法。 (3)从上面看到的图形是 ，有( )种摆法。 【答案】(1)8；(2)4；(3)1 【预测考点 05】因数和倍数的认识 1．5×7＝35中，( )是( )和( )的倍数；( )和 ( )是( )的因数。 【答案】 35 7 5 7 5 35 2．一个数的最大因数是 12，这个数是( )；一个数的最小倍数是 9，这 个数是( )。 【答案】 12 9 【对应练习】 1．已知 a、b、c都是不为 0的自然数，且 a÷b＝c，那么 a是 b的( ) 数，b是 a的( )数。a的因数至少有( )个。 【答案】 倍 因 2 2．一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是( )。 【答案】16 【预测考点 06】2、5、3 的倍数特征 要使四位数 652□能同时被 2和 5整除，□里应填( )；如果能同时被 3和 5 整除，□里应填( )。 【答案】 0 5 【对应练习】 1．一个三位数 45□既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，□中的数是( )。 【答案】0 2．□50同时是 2、3、5的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 第 8 页 共 25 页 【答案】 1 7 【预测考点 07】奇数和偶数的认识及运算性质 三个连续偶数的和是 18，这三个数中最大偶数是( )，最小偶数是 ( )。 【答案】 8 4 【对应练习】 1．傍晚开电灯时，明明一口气按了 5下开关，现在灯是( )着的；如果 一口气按了 102下，则灯是( )着的。 【答案】 开 关 2．两个奇数相加的和是( )数，五个偶数相加的和是( )数。 【答案】 偶 偶 【预测考点 08】质数和合数的认识 在 1，2，3，7，8，15这些数中，( )是奇数，( )是偶数，既是 奇数又是质数的数是( )，既是偶数又是合数的数是( )。 【答案】 1、3、7、15 2、8 3、7 8 【对应练习】 1．在括号里填上适当的质数。 8＝( )＋( ) 12＝( )＋( ) 35＝( )×( ) 18＝( )＋( )＋( ) 【答案】 3 5 5 7 5 7 2 3 13 2．哥德巴赫猜想提出，所有大于 9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4 ＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋ ( )。 【答案】 5 19 【预测考点 09】猜数问题 喜羊羊的 QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是 质数，也不是合数，也不是 0；④最小奇数的 3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质 数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊 第 9 页 共 25 页 羊的 QQ号码是多少呢？ 【答案】641302579 【对应练习】 小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为 10以内最大的偶数；第 二位数字为 4的最小倍数；第三位数字为只有因数 1和 3的数；第四位数字为既 是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第 七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为 6的最大因数。你知道这个号码 是多少吗？ 【答案】84322496 【预测考点 10】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用 1．致远书店要把 80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案 刚好合适，没有剩余？ 【答案】选 4本/包刚好合适，没有剩余。 2．小本用 46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用 4根小棒，摆一个独立的六 边形用 6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下 11根小棒，他说得对吗？为什么？ 【答案】不对；因为剩下的小棒根数应该是偶数，而 11是奇数 3．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指 定了一些长方形场地作为专用停车点。某个专用停车点的长和宽的数值正好都是 质数，并且周长是 36米，这个专用停车点的面积最大是多少平方米？ 【答案】77平方米 【对应练习】 1．食品店有 75个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 第 10 页 共 25 页 能正好装完吗？如果每 3个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】（1）75个位上是 5，不能被 2整除，所以每 2个装一袋，不能正好装 完； （2）75个位上是 5，能被 5整除，所以每 5个装一袋，能正好装完； （3）7＋5＝12，能被 3整除，所以每 3个装一袋，能正好装完； 答：如果每 2个装一袋，不能正好装，如果每 5个装一袋，能正好装完，如果每 3个装一袋，能正好装完。 2．小华在一个文具店里买了 5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员 2 元钱，售货员叔叔找给他 5角 5分。小华看了看铅笔的价格是每支 8分，就说： “叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？ 【答案】2元＝200分，5角 5分＝55分； 200 55 145  （分） 5 8 40  （分） 145 40 105  （分） 不论橡皮和练习本的单价是多少，其总价一定是偶数，不可能等于 105，据此可 判断帐算错啦。 3．用一根长 40m的绳子围成一个长方形，要求它的长和宽都是整米数，长和宽 的米数一个是质数，一个是合数，它的面积最大可能是多少？最小可能是多少？ 【答案】 40÷2＝20（m） 20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 面积最大是 9×11＝99（m2） 面积最小是 2×18＝36（m2） 答：面积最大是 99m2，最小是 36m2。 【预测考点 11】分数的认识和意义 1．一个△占整张纸的 1 7，4个△占整张纸的( )；72的 2 9 是( )。 第 11 页 共 25 页 【答案】 4 7 16 2．“六一”儿童节快到了，李老师打算买 3kg的糖果，平均分给 10个小朋友，每 个小朋友分得的糖果占总质量的( )，每个小朋友分得( )kg的糖 果。 【答案】 1 10 3 10 /0.3 【对应练习】 1． 25 元可以表示把 1元平均分成 5份，取其中的( )份；还可以表示把 2 元平均分成 5份，取其中的( )份。 【答案】 2 1 2．在括号里填适当的数。 ( )5 7 7   40dm3＝( )cm3 96L＝( )dm3 【答案】5；40000；96 3．某工程队修一条公路，10天修完，平均每天修这条公路的     ；如果这条 公路长 15千米，那么平均每天修( )千米。 【答案】 1 10 ； 1.5 【预测考点 12】真分数、假分数和带分数 在直线上面的方块里填合适的假分数，直线下面的方块里填合适的带分数。 【答案】 8 5； 12 5 ； 15 5 ； 11 5 ； 42 5； 33 5 【对应练习】 第 12 页 共 25 页 1．分数单位是 15的最大真分数是( )，最小假分数是( )。 【答案】 4 5 5 5 2．把下面的假分数化成带分数或整数。 17 3  ( ) 633 ＝( ) 23 8 ＝( ) 50 25 ＝( ) 【答案】 25 3 21 72 8 2 3．分数 7 a ，当 a＝( )时，它是这个分数的分数单位；当 a＝( ) 时，它是最大的真分数；当 a＝( )时，它是最小的假分数；当 a＝( ) 时，它的分数值等于 1。 【答案】 1 6 7 7 【预测考点 13】分数的基本性质 在下面的括号里填上适当的数。 （ ）÷（ ）＝ 42＝ 6    （ ） 5    （ ） ＝ 8 20＝ 4    （ ） 【答案】4；2；12；2；10 【对应练习】 1． ba 的分母加上 2a，要使分数大小不变，分子应加上( )。 【答案】2b 2．在括号里填上适当的数。  1 3 6   10 15 3    1 5 4   12 28 7  【答案】2；2；20；3 【预测考点 14】约分和通分 1．把下面的小数化成最简分数。 6 18＝ 75 100＝ 38 76＝ 24 36 ＝ 【答案】 1 3； 3 4 ； 1 2 ； 2 3 2．先通分，再比较大小。 13 20 和 9 15 7 8 和 5 6 第 13 页 共 25 页 【答案】 39 60 ， 36 60， 13 20 ＞ 9 15； 21 24， 20 24， 7 8 ＞ 5 6 【对应练习】 1．先约分，是假分数的要化成带分数或整数。 16 24  121 11  86 42  【答案】 2 3 ；11； 12 21 2．比较下面每组两个分数的大小。 5 12和 11 20 7 12和 5 7 11 18和 5 9 【答案】 5 12＜ 11 20； 7 12＜ 5 7 ； 11 18＞ 5 9 【预测考点 15】最大公因数和最小公倍数 1．已知 A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么 A和 B的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 【答案】 10 210 2．3x＝y（x和 y都是非 0自然数），x和 y的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )。 【答案】 x y 【对应练习】 1．两个数是不同的合数，又是互质数，它们的最小公倍数是 36，这两个数分别 是( )和( )。 【答案】 4 9 2．甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当 A＝( )时，甲、乙两数的最大 公因数是 42，此时它们的最小公倍数是( )。 【答案】 3 630 【预测考点 16】最大公因数和最小公倍数的实际应用 1．学校合唱队有男生 12人，女生 18人。①男生人数是女生人数的几分之几？ ②排练时男生、女生分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多站多少人？ 【答案】① 2 3 ；②6人 第 14 页 共 25 页 2．6路、9路公交车分别隔 30分钟、20分钟发一辆车，6路和 9路车刚才同时 发的车，过多长时间两路车第 2次同时发车？先说说你的思考过程，再解答。 【答案】 思路：先求出 30和 20的最小公倍数，它们的最小公倍数就是两路车第 2次同时 发车的间隔时间。 20 2 2 5   30 2 3 5   30和 20的最小公倍数是：2 5 2 3 60    所以过 60分钟两路车第 2次同时发车。 答：过 60分钟两路车第 2次同时发车。 【对应练习】 1．有两根长分别是 80厘米和 64厘米的木头。如果要把它们锯成若干同样长度 的小木头，并且没有剩余，锯出的小木头最长是多少厘米？ 【答案】 80的因数有：1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 64的因数有：1，2，4，8，16，32，64； 80和 64的最大公因数是：16，所以锯出的小木头最长是 16厘米。 答：锯出的小木头最长是 16厘米。 2．一种长方形纸长 42厘米、宽 28厘米，用这样的长方形纸拼成一个正方形纸， 至少需要多少张长方形纸？ 【答案】 42＝2×3×7 28＝2×2×7 2×2×3×7＝84 所以，42和 28的最小公倍数是 84，拼成的正方形的边长是 84厘米。 （84÷42）×（84÷28） ＝2×3 ＝6（张） 答：至少需要 6张长方形纸。 第 15 页 共 25 页 3．有一包糖果，无论是平均分给 6个人，8个人，还是 10个人，都剩下 3块， 这包糖果至少有多少块？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 10＝2×5 [6、8、10]＝2×2×2×3×5＝120 120＋3＝123（块） 答：这包糖果至少有 123块。 【预测考点 17】长方体和正方体的认识与表面展开图 1．相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、 ( )。长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点，( ) 条棱，相对的面的面积都( )，相对的棱的长度都( )。 【答案】 长 宽 高 6 8 12 相等 相等 2．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【对应练习】 1．如图，有四种型号的塑料板各 4块（单位：cm），若选择其中的 6块拼一个 长方体，则共有( )种可能。 【答案】3 2．如图，一个正方体积木的 6个面分别写 A，B，C，D，E，F。请仔细观察， 积木字母排列的情况可以推断：C 对面的字母是( )，A 对面的字母是 第 16 页 共 25 页 ( )，E对面的字母是( )。 【答案】 D F B 【预测考点 18】棱长总和问题 用彩带捆扎下面的礼品盒，需要多少厘米彩带？（彩带结长 15厘米） 【答案】 30×2＋12×6 ＝60＋72 ＝132（厘米） 132＋15＝147（厘米） 答：需要 147厘米彩带。 【对应练习】 1．按下图所示用绳子对一个纸盒进行捆扎，如果最后需要 20cm长的绳子来打结， 那么捆扎这个纸盒至少需要多少厘米长的绳子？ 【答案】 4×30＋6×15＋6×20＋20 ＝120＋90＋120＋20 ＝350（cm） 答：捆扎这个纸盒至少需要350cm长的绳子。 2．灯笼又称灯彩，每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼是我们的传统习俗。李爷 第 17 页 共 25 页 爷用木条制作了一个长方体灯笼框架（如下图），如果用同样长的木条制作一个 正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少厘米？ 【答案】 （16＋30＋20）×4÷12 ＝66×4÷12 ＝22（厘米） 答：这个正方体灯笼框架的棱长是 22厘米。 【预测考点 19】表面积问题 一个水池的宽是 1.5米，长是宽的 2倍，深 0.5米。现在要在水池的四周和底面 抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】 1.5×2＝3（米） 3×1.5＋3×0.5×2＋1.5×0.5×2 ＝4.5＋3＋1.5 ＝9（平方米） 答：抹水泥的面积是 9平方米。 【对应练习】 1．走进校园，花坛边上放置了一个长方体鱼缸，长 80厘米，宽 50厘米，高 60 厘米，制作这个金鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（鱼缸上面无盖） 【答案】 80×50＋60×50×2＋80×60×2 ＝4000＋6000＋9600 ＝19600（平方厘米） 19600平方厘米＝196平方分米 答：制作这个金鱼缸至少需要 196平方分米的玻璃。 第 18 页 共 25 页 2．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，门窗不涂。教室的长是 8米，宽是 6 米，高是 4米，门窗面积 14平方米。如果每平方米需要花 12元涂料费，粉刷这 个教室需要多少涂料费？ 【答案】 8×4×2＋4×6×2＋8×6－14 ＝64＋48＋48－14 ＝146（平方米） 146×12＝1752（元） 答：粉刷这个教室需要涂料费 1752元。 【预测考点 20】体积和容积问题 小麦收割机的油箱长 9分米，宽 5分米，高 4分米，每 3升油可供收割机工作 1 小时，如果把这个油箱装满油，可供收割机工作多少小时？ 【答案】 9×5×4＝180（立方分米）＝180（升） 180÷3＝60（小时） 答：可供收割机工作 60小时。 【对应练习】 1．希望小学有一间长 8米、宽 6米、高 3.5米的长方体教室。这间教室的空间 有多大？ 【答案】 教室空间：8 6 3.5  48 3.5  168 （立方米） 答：这间教室的空间有 168立方米。 2．推光漆器是平遥地方传统手工艺品，以手掌推出光泽而得名，2006年该技艺 列入第一批国家级非物质文化遗产名录。一个推光漆首饰盒（如图），从里面量 长 21厘米，宽 14厘米，高 7.6厘米，它的容积有多大？ 第 19 页 共 25 页 【答案】 21 14 7.6  ＝294×7.6 ＝2234.4（立方厘米） 答：它的容积 2234.4立方厘米。 【预测考点 21】问题一：切拼问题 将长 5米的长方体木料，如下图切割分成 5段后，表面积增加 38.4平方分米。 这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少 立方分米？ 【答案】 5米＝50分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（面） 38.4÷8＝4.8（平方分米） 4.8×50＝240（立方分米） 答：这个长方体木料的一个侧面的面积是 4.8平方分米，原来这根木料体积是 240 立方分米。 【对应练习】 1．一个长方体的高如果增加 2厘米，就成为一个正方体，这时的表面积比原来 增加了 48平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 长、宽：48÷4÷2＝6（厘米） 第 20 页 共 25 页 高：6－2＝4（厘米） 体积：6×6×4＝144（立方厘米） 答：原长方体的体积是 144立方厘米。 2．一个长方体，如果长减少 3厘米，宽、高都不变，它的体积减少 27立方厘米； 如果宽减少 4厘米，长、高都不变，它的体积减少 48厘米；如果高增加 5厘米， 长、宽都不变，它的体积增加 65立方厘米。原长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 （27÷3＋48÷4＋65÷5）×2 ＝（9＋12＋13）×2 ＝34×2 ＝68（平方厘米） 答：原长方体的表面积是 68平方厘米。 【预测考点 21】问题二：剪角折叠求体积问题 现有一张长 40厘米，宽 20c厘米的长方形铁皮，在它的四角各剪去一个相等的 小正方形，做成一个高 5厘米的无盖小铁盒，这个铁盒的表面积是多少平方厘 米？容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】 40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 表面积： 30 10 30 5 10 5 2     （ ） ＝300 150 50 2  （ ） 第 21 页 共 25 页 ＝300＋200×2 ＝300＋400 ＝700（平方厘米） 体积： 30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：这个铁盒的表面积是 700平方厘米，容积是 1500立方厘米。 【对应练习】 科学课上，同学们正在研究如何增加船的载重量。 （1）第一步：自制小船。把铝箔做成船型容易漂浮在水面上，同学们在老师的 指导下用铝箔做了多艘不同底面积的小船。1小组用边长 12厘米的正方形铝箔， 在它的 4个角各剪去一个边长为 2厘米的小正方形（如下图），制成的铝箔船的 容积是多少毫升？ （2）第二步：测试比较，用弹珠或垫圈模拟货物放入铝箔船比较载重量。实验 室的水槽从里面量长 2.5分米、宽 1.8分米、高 1分米。同学们将 2.7升的水倒 入水槽，水位的高度是多少分米？ 【答案】 （1）12－2×2 ＝12－4 ＝8（厘米） 8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 第 22 页 共 25 页 128立方厘米＝128毫升 答：制成的铝箔船的容积是 128毫升。 （2）2.7升＝2.7立方分米 2.7÷（2.5×1.8） ＝2.7÷4.5 ＝0.6（分米） 答：水位的高度是 0.6分米。 【预测考点 22】问题三：等积变形问题 在一个长 10厘米，宽 8厘米，高 5厘米的密封盒中，测得水深 4厘米。然后将 它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【答案】 水的体积： 10×8×4＝320（立方厘米） 水深： 320÷（8×5） ＝320÷40 ＝8（厘米） 答：这时水深 8厘米。 【对应练习】 一个密封的玻璃缸，从里面量长 12分米，宽是 3分米，高是 6分米，现在缸内 的水深 5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图 2），那么鱼缸内水深多少分 米？ 第 23 页 共 25 页 【答案】 12×3×5 ＝36×5 ＝180（立方分米） 180÷（6×3） ＝180÷18 ＝10（分米） 答：鱼缸内水深 10分米。 【预测考点 23】问题四：排水法求体积问题 在一个底面积是 78平方厘米的盛水容器中放入一块石头（石头完全浸没在水里 且没有溢出），水面高度由 4厘米上升到 9厘米。这块石头的体积是多少立方厘 米？ 【答案】 78×（9－4） ＝78×5 ＝390（立方厘米） 答：这块石头的体积是 390立方厘米。 【对应练习】 1．一个长方体水缸长 8分米，宽 5分米，高 3分米，缸内有 2.5分米深的水。 放入一个棱长 4分米的正方体铁块后，水会溢出多少升？ 【答案】 4×4×3＝48（立方分米） 8×5×（3－2.5） 第 24 页 共 25 页 ＝40×0.5 ＝20（立方分米） 48－20＝28（立方分米） 28立方分米＝28升 答：水会溢出 28升。 2．（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁 块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为 9厘米。这个长方体铁 块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 20×15×（8－5）÷9×（9＋5） ＝300×3÷9×14 ＝900÷9×14 ＝100×14 ＝1400（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是 1400立方厘米。 【预测考点 24】问题五：不规则或组合立体图形 计算图 1的表面积，计算图 2的体积。（单位：厘米） 【答案】 （8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋36 ＝57×2＋36 第 25 页 共 25 页 ＝114＋36 ＝150（平方厘米） 5×5×5－4×2×2 ＝125－16 ＝109（立方厘米） 【对应练习】 下图是由一个正方体和一个长方体组合而成的立体图形，求这个立体图形的表面 积和体积。 【答案】 表面积：10×10×6＋（14×5＋14×10）×2 ＝600＋（70＋140）×2 ＝600＋210×2 ＝600＋420 ＝1020（平方厘米） 体积：10×10×10＋14×5×10 ＝1000＋700 ＝1700（立方厘米） 即立体图形的表面积是 1020平方厘米，体积是 1700立方厘米。