精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度上学期八年级第三次月考试题 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，积的乘方和幂的乘方指数是相乘． 【详解】解：A，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B，，原式计算错误，不符合题意； C，，原式计算错误，不符合题意； D，，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 如图，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 若，，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．根据幂的乘方将，转化为，求得，利用同底数幂的乘法将，转化为，求得，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4. 如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含 30 度角的直角三角形性质，勾股定理和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到和求出长，题目比较典型，难度适中． 根据线段垂直平分线性质得出，根据含 30 度角的直角三角形性质和勾股定理求出的长，即可求出长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 若是完全平方式，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 6. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据此进行解答即可． 【详解】解：A．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； B．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； C．，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意； D．，故原选项计算错误，故此项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据长方形的性质可得，，由平行线的性质得，再利用平角定义可得，最后根据折叠的性质可得，即可求解；掌握折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， ， ， ， ， ， 由折叠得：， 故选：C． 8. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算的逆运算，将恒等变形为，再利用积的乘方运算的逆运算及有理数乘法运算求解即可得到答案，熟练掌握积的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 9. 若等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，过B作于D，由直角三角形的性质可得，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，中，， 过B作于D， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个内角是的三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④底边相等的两个等腰三角形全等．正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法． 根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可． 【详解】解：①有一个外角是等腰三角形，即有一个内角是，故此三角形是一个内角为的等腰三角形，是等边三角形，故正确； ②有两个内角都是的三角形一定是等边三角形，命题正确； ③“有一边”可能是底边，有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，命题错误； ④底边相等，但等角不一定相等，故底边相等的两个等腰三角形不一定全等，命题错误， 正确的命题有 2 个， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则需要满足的条件是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据底数不等于解答即可，熟记非数的零指数幂为1是解题的关键． 【详解】解：若，则， ∴， 故答案为： 12. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 【答案】a（b﹣2）2 【解析】 【详解】ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4） =a（b﹣2）2 故答案为a（b﹣2）2． 13. 已知点P(，3)与点Q(－2，)关于y轴对称，则+＝_________． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：已知点P（，3）与点Q（－2，）关于y轴对称，所以x值互为相反数，y值相等，a=2，b=3.a+b=5 考点：对称轴 点评：本题难度较低，学生在考试时用作图法最简便直观． 14. 如果，那么的值为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15. 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可以求出多项式的最小值为n．例如：求多项式的最小值，解：当时，的最小值为多项式的最小值为1．根据上述方法，多项式的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】解：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， 当时，的最小值为， 故多项式的最小值为． 故答案为：． 16. 如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值．利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，推导出，再利用利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，进而得到． 【详解】解：如连接，与交于点，此时最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：4． 17. 中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点，根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，分2种情况①点M在边上，②点M在延长线上，连接，利用线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质分别得到，，，设，结合图形利用三角形内角和定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：①若点M在边上，如图，连接， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ； ②若点M在延长线上，如图，连接， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 18. 如图，已知四边形中，的长度为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，得，由含角的直角三角形的性质得，再证明是等边三角形，得，进而证明，然后证明，得，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 三、解答题（19-23每题6分，24、25每题8分，26、27每题10分，共66分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）先算乘方，再算除法，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求的值，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 【答案】36度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，即可得到． 【详解】解：∵于， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 22. 在如图所示的方格纸中，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为； （1）作出关于y轴对称的（其中分别和对应）； （2）将先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到的，请画出（其中分别和对应） （3）试在x轴上找一点P，使得的值最小，不用画图，请直接写出P点坐标． 【答案】（1） 解：作出点关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求，如图所示： （2） 解：作出点平移后的对应点，顺次连接，则即为所求，如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移作图，与轴对称有关的最短路径问题，解题的关键是作出相应点的坐标． （1）作出点关于轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，该点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作出点关于轴的对称点，连接，交轴于一点，该点即为所求作的点，如图所示： ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小， ∴． 23. 实践探究题 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”． （1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号） （2）应用：利用“平方差公式”计算 （3）拓展：运用平方差公式计算 【答案】（1）① （2）1 （3） 【解析】 【分析】此题考查了数形结合思想推导代数式恒等式和平方差公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）根据图形面积求法进行求解即可． （2）运用平方差公式进行求解． （3）将原式变形成，再根据平方差公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：图①验证了等式， 图②验证了等式， ∴图形①能够验证平方差公式， 故答案为：①； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，已知：于，于，与交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，作交的延长线于，连接，在不添加字母和辅助线的条件下直接写出图中与面积相等的所有三角形（除外）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，根据等角对等边即可证明． （2）根据，得出，，根据，得出，同底等高，，证明，得出，，，根据，证明是等边三角形，，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴，同底等高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 即是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴等底同高， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行线的性质以及直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 在中俄贸易博览会前，哈市某展览馆为更好地适应会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长40米，宽30米的长方形，现计划将其分成两个展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． （1）求两个展览区的总面积为多少平方米？（请用含x的式子表示） （2）工程负责人准备用两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览区若用A种彩砖每平方米需要90元，若用B种彩砖每平方米需要60元，当时，若铺设展览区的总费用不超过45540元，求最多购买多少平方米A种彩砖？ 【答案】（1）平方米 （2）366平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式等知识，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设通道的宽度为米，则展览区的长为米，宽为米，再由矩形面积公式计算即可； （2）求出当时，展览区的总面积为 576 平方米，设购买平方米种彩砖，则购买平方米种彩砖，根据铺设展览区的总费用不超过 45540 元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽度为米，则展览区的长为米，宽为米， ∴（平方米）， 答：两个展览区的总面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，展览区的总面积为（平方米）， 设购买平方米种彩砖，则购买平方米种彩砖， 由题意得：， 解得：， 答：最多购买 366 平方米种彩砖． 26. 已知与均为等边三角形，且顶点A重合，现将等边绕顶点A转动得到下列图形． （1）初步探究：如图1，连接、，当、、三点在同一直线上时，猜想， 请证明这一结论是正确的； （2）大胆尝试：如图2，连接、，当、、三点在同一直线上时，作于H，猜想、与的数量关系并证明你猜想的结论． （3）拓展延伸：如图3，连接、，当时，延长交于点F，过点D作于，，的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、、在同一直线上， ， ； （2） ， 证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由 和 均为等边三角形，可证，知，而，故，从而； （2）同（1）得，有，，可推得，故，又，，，故； （3）作于，于，证明，得，可得，，即可得，，根据的面积为，知，由，故； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于，于， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 的面积为， ， ， ； 27. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的正半轴上，顶点在轴正半轴上，的面积为． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发沿射线向右运动，动点从点出发沿射线向下运动，、同时出发，速度都为每秒个单位，若动点、运动的时间为秒，连接、，设的面积为，请用含的式子表示，并直接写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，作于，交直线于，连接，当的面积等于时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由的面积为得，故，而顶点在轴的正半轴上，得； （2）当时，求出，，得；，求出，，得；综上所述，即可求解； （3）在上截取，连接，作轴于，证明得，证明得，，根据的面积等于，可得，即可得；在上截取，连接，作轴于，同理可得；综上所述，即可求解． 【小问1详解】 解：的面积为， ， ， ， ， 在轴正半轴上， ； 【小问2详解】 解：当时， ，， ，， ； ， ，， ，， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：在上截取，连接，作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的面积为， ， ， ， ， ； 在上截取，连接，作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的面积为， ， ， ， ， ， 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期八年级第三次月考试题 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若，，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 18 5. 若是完全平方式，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 6. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1.5 D. 9. 若等腰三角形的顶角为，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 10. 在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个内角是的三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④底边相等的两个等腰三角形全等．正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，则需要满足的条件是______ 12. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 13. 已知点P(，3)与点Q(－2，)关于y轴对称，则+＝_________． 14. 如果，那么的值为_______． 15. 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可以求出多项式的最小值为n．例如：求多项式的最小值，解：当时，的最小值为多项式的最小值为1．根据上述方法，多项式的最小值为_______． 16. 如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为_______． 17. 中，，边的垂直平分线交直线于点M，交于点D，若，则的度数为_______． 18. 如图，已知四边形中，的长度为_______． 三、解答题（19-23每题6分，24、25每题8分，26、27每题10分，共66分） 19. 计算 （1） （2） 20. 先化简，再求的值，其中 21. 如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 22. 在如图所示的方格纸中，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为； （1）作出关于y轴对称的（其中分别和对应）； （2）将先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到的，请画出（其中分别和对应） （3）试在x轴上找一点P，使得的值最小，不用画图，请直接写出P点坐标． 23. 实践探究题 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”． （1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号） （2）应用：利用“平方差公式”计算 （3）拓展：运用平方差公式计算 24. 如图，已知：于，于，与交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，作交的延长线于，连接，在不添加字母和辅助线的条件下直接写出图中与面积相等的所有三角形（除外）． 25. 在中俄贸易博览会前，哈市某展览馆为更好地适应会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长40米，宽30米的长方形，现计划将其分成两个展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． （1）求两个展览区的总面积为多少平方米？（请用含x的式子表示） （2）工程负责人准备用两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览区若用A种彩砖每平方米需要90元，若用B种彩砖每平方米需要60元，当时，若铺设展览区的总费用不超过45540元，求最多购买多少平方米A种彩砖？ 26. 已知与均为等边三角形，且顶点A重合，现将等边绕顶点A转动得到下列图形． （1）初步探究：如图1，连接、，当、、三点在同一直线上时，猜想， 请证明这一结论是正确的； （2）大胆尝试：如图2，连接、，当、、三点在同一直线上时，作于H，猜想、与的数量关系并证明你猜想的结论． （3）拓展延伸：如图3，连接、，当时，延长交于点F，过点D作于，，的面积为，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的正半轴上，顶点在轴正半轴上，的面积为． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发沿射线向右运动，动点从点出发沿射线向下运动，、同时出发，速度都为每秒个单位，若动点、运动的时间为秒，连接、，设的面积为，请用含的式子表示，并直接写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，作于，交直线于，连接，当的面积等于时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $