精品解析：江苏省镇江市2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试题

镇江市2024～2025学年度第二学期高二期中质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（ ） A. 小明得了95分 B. 小明答对了95%试题 C. 95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数 D. 小明排名在第95名 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则导函数（ ） A. B. C. D. 4. 样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为（　　） A. B. C. 2 D. 5. 在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 6. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点、、、、中的一个点 B. 若线性回归方程，则当变量增加个单位时，平均增加个单位 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于 D. 对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 10. 已知函数，其导函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个互不相同的零点 C. 方程有三个不同解，则实数的取值范围为 D. 11. 现有本不同的书，下列说法正确的有（ ） A. 如果平均分成堆，则共有种分法 B. 如果分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，则共有种不同分法 C. 如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有种不同分法 D. 如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有种分法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个______． 13. 的展开式中，含的项的系数为______.（用数字作答） 14. 如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为______h. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最值． 16. 某学校食堂给学生配餐，准备了5种不同的荤菜和种不同的素菜． （1）当时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有100种不同的选择，求的最小值． 17. 某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组的频数为． （1）求的值和样本容量； （2）用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，且女生的获奖率为，问：能否有的把握认为获奖与性别有关？ 附：． 18. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； （3）若，求. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值． （2）讨论的单调性； （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市2024～2025学年度第二学期高二期中质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（ ） A. 小明得了95分 B. 小明答对了95%的试题 C. 95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数 D. 小明排名在第95名 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义进行判断即可 【详解】解：第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值， 故选：C． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数的定义和排列数公式判断即可. 【详解】， 故选：B. 3. 若函数，则导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则可求得. 【详解】因为，则. 故选：C. 4. 样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差的运算公式求解. 【详解】因为样本a,0,1,2,3的平均数为1，则，解得a＝－1， 则样本的方差， 故标准差为. 故选：D. 5. 在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件利用组合知识并借助排除法即可作答. 【详解】在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，共有种选法， 其中，选取的3名学生都是男学生，有种选法， 所以，至少要有一位女学生的选法有种. 故选：A. 6. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，不等式对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数在区间上为增函数， 所以，不等式对任意的恒成立，即， 当时，，所以，， 即实数的取值范围是. 故选：D. 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式通项，对比所求项的指数，求出参数值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得， 因此，展开式中的系数为. 故选：D. 8. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 【详解】由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点、、、、中的一个点 B. 若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于 D. 对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用回归直线相关知识可判断ABD选项；利用线性相关系数可判断C选项. 【详解】对于A选项，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心点，A错； 对于B选项，若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位，B对； 对于C选项，两个具有线性相关关系变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于或，C错； 对于D选项，对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为， 若样本点的中心为，则，解得，D对. 故选：BD. 10. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个互不相同的零点 C. 方程有三个不同解，则实数的取值范围为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值点，可判断A选项；解方程可判断B选项；数形结合可判断C选项；直接验证，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的递增区间为、，单调递减区间为， 所以，函数有两个极值点，A对； 对于B选项，由得或， 所以，只有两个不同的零点，B错； 对于C选项，由A选项可知，函数的极大值为，极小值为， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，C对； 对于D选项，由A选项可知，， 则，D对. 故选：ACD. 11. 现有本不同的书，下列说法正确的有（ ） A. 如果平均分成堆，则共有种分法 B. 如果分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，则共有种不同分法 C. 如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有种不同分法 D. 如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有种分法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均分组原理可判断A选项；利用组合计数原理可判断B选项；利用分步乘法计数原理可判断C选项；考虑在所有的分法中除去甲乙两人分得书本的数量相同的情况，剩余的为甲乙两人分得书的数量不相同，且甲分得的书比乙多和乙分得的书比甲多的分法种数相等，结合间接法可判断D选项. 【详解】对于A选项，将本不同的书平均分成堆，则不同的分法种数为种，A对； 对于B选项，将本不同的书分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本， 则不同的分法种数为种，B对； 对于C选项，将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，则每本书有种不同的选择， 所以，不同的分法种数为种，C错； 对于D选项，将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，共有种， 在所有的分法中除去甲乙两人分得书本的数量相同的情况，剩余的为甲乙两人分得书的数量不相同， 且甲分得的书比乙多和乙分得的书比甲多的分法种数相等， 若甲乙分得书的数量相等，则甲乙丙三人分得书的数量可以为、、、， 所以，甲乙分得书的数量相等的分法种数为， 因此，甲分得的书比乙多的分法种数为种，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用平均变化率的定义计算即可. 【详解】设， 则， 令，解得. 所以可以取任意实数，不妨取， 则从1到的平均变化率为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 的展开式中，含的项的系数为______.（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，含的项的系数为； 当时，含x的项的系数为， 的展开式中含的项的系数为. 故答案为：180. 14. 如图，已知海岛到海岸公路的距离为，、间的距离为．从到，先乘船到海岸公路处，再乘汽车从处到处，已知船速为，车速为，则从到所需的最少时间为______h. 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，求出、的长，设从到所需时间为，求出的解析式，利用导数法可求出的最小值. 【详解】设，其中，根据题意，，，， 则，， 设从到所需时间， 则，其中， 则， 由可得， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，无最小值 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，则，所以，，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 故的最大值为，函数无最小值. 16. 某学校食堂给学生配餐，准备了5种不同的荤菜和种不同的素菜． （1）当时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有100种不同的选择，求的最小值． 【答案】（1）20； （2）5. 【解析】 【分析】（1）利用组合数，结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合数结合分步乘法计数原理，可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值. 【小问1详解】 当时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜， 若每份学生餐有1荤3素，不同的选择方法有种. 【小问2详解】 从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任选2荤2素，不同的选择方法有种， 根据题意，令，即，即， 因为，所以解得.所以的最小值为5. 17. 某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组的频数为． （1）求的值和样本容量； （2）用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，且女生的获奖率为，问：能否有的把握认为获奖与性别有关？ 附：． 【答案】（1），样本容量为 （2）分 （3）没有，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，利用样本容量、频数与频率之间的关系可求出样本容量； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出所有参赛学生的平均成绩； （3）列出列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得， 因为第一小组频数为，则样本容量为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，所有参赛学生的平均成绩为 分. 【小问3详解】 提出零假设获奖与性别无关， 由题意可知，抽取的样本中，男生人数为人，女生人数为，且女生的获奖人数为人， 成绩优秀的学生人数为人，则男生获奖人数为人， 可得出如下列联表： 获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计 所以，， 所以，没有的把握认为获奖与性别有关. 18. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； （3）若，求. 【答案】（1） （2）20，21，22 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令，，即可得结果； （2）根据二项式定理可得，根据题意列式求解即可； （3）整理可得，结合二项式系数的性质运算求解. 【小问1详解】 由， 令，可得； 令，可得； 所以. 【小问2详解】 由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得，即，解得， 所以的所有可能取值为20，21，22. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以，， 则. 因为， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值． （2）讨论的单调性； （3）当时，求证：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数单调性，可求出函数的极大值和极小值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的增区间和减区间； （3）当时，计算得出，然后利用二项式定律结合基本不等式可证得所求不等式成立. 【小问1详解】 当时，，其中， 则， 令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，对任意的，，此时，函数的增区间为，无减区间； 当时，由可得，由可得， 此时，函数增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问3详解】 当时，，其中，则， ， 记， 则 ，当且仅当时，等号成立， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$