精品解析：江西省上饶市横峰县横峰中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

横峰中学2024-2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角的特征判断即可. 【详解】， 所以与角终边相同的是. 故选：A 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 3. 已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得 故选：A. 4. 已知，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的投影向量的计算公式求得结论. 【详解】,,, 则在上的投影向量是： . 故选：A. 5. 已知函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合正弦余弦函数奇偶性进行求解即可. 【详解】的定义域为． 令， 则，所以为奇函数， 又，所以， 则，所以． 故选：D 6. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断； 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 7. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数的定义域为 D. 函数在区间单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的周期性、对称性、定义域和单调性相应的理论进行求解判断即可. 【详解】对于A：根据正切函数周期公式，得函数的最小正周期为，故A错； 对于B：根据正切函数对称中心令， 所以当时得到图象的一个对称中心为，故B正确； 对于C：令， 得到的定义域为，故C错； 对于D，令时，，函数没有意义，故D错. 故选：B. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点，所以， 解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或. 故选：B 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选:AD. 10. 给出下列命题，不正确的有（ ） A. 若为非零向量，则与同向 B. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C. 若，则 D. 已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误 故选：BCD. 11. 已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ） A. 若，则点是的外心 B. 若，则动点的轨迹一定通过的重心 C. 若，则点是的垂心 D. 若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用外心的定义判断A；利用正弦定理，结合中点向量公式判断B；利用数量积的定义计算判断C；取中点为，确定点的轨迹，再利用数量积的运算法则计算判断D. 【详解】对于A，由，得点是的外心，A正确； 对于B，由正弦定理得，则， 于是，为边的中点，因此点在边的中线所在直线上， 动点的轨迹一定通过的重心，B正确； 对于C，由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心，C错误； 对于D，设中点为，由，得点的轨迹是以为直径的圆， 而G为AC的中点，则该圆的圆心为，半径为，又，于是点在圆上， 因此 ， 当且仅当三点共线时取等号，因此的最大值为，D错误. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为______. 【答案】## 【解析】 分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知，圆心角为，弧长为， 设扇形半径为，根据弧长公式得，得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13. 设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由与的数量积小于0且不共线即可求得实数的取值范围. 【详解】解：向量、满足，，且、的夹角为， 故. 因为与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线， 所以且， 解之得：且， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 在中，，，点F为AC上一点，且满足，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理计算得出，再结合的值计算求解. 【详解】在中，，， 点F为AC上一点，且满足， 所以，即得， 因为，所以或或或， 所以时得出，时得出， 时得出，时得出，得出的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解； （2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果. 【小问1详解】 由，可得，即． 又，，所以，， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以，解得，所以. 又， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 16. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. （1）求函数解析式； （2）将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象分别求出即可； （2）根据图象变换得到，再根据三角函数的图象求指定区间上的值域. 【小问1详解】 由图象可得，， 所以，所以， 又，所以，， 又，所以，所以. 【小问2详解】 ， 由可得，. . 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若的面积为，，求a、b的值. 【答案】（1） （2），或，. 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理化简可得结果； （2）由三角形面积公式及余弦定理化简可得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得，，化简为， ，， ，. 【小问2详解】 由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将，代入可得：，可得， 所以，所以， 由，解得或. 故，或，. 18. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）利用（1）的结论，运用数量积的运算律和定义即可求得； （3）（方法一），利用三角形相似，将用表示出来，再由（1）即可求得；（方法二），利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由图， ； . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质 （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 ，， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 【小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 横峰中学2024-2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 6. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数的定义域为 D. 函数在区间单调递增 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下化简正确的是（ ） A B. C. D. 10. 给出下列命题，不正确有（ ） A. 若为非零向量，则与同向 B. 若两个向量相等，则它们起点相同，终点相同 C. 若，则 D. 已知，为实数，若，则与共线 11. 已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ） A. 若，则点是的外心 B. 若，则动点的轨迹一定通过的重心 C. 若，则点是的垂心 D. 若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且，，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形弧长，圆心角为，则该扇形面积为______. 13. 设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 14. 在中，，，点F为AC上一点，且满足，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 16. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移，再向下平移2个单位，得到函数的图象.若，求的值域. 17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若的面积为，，求a、b的值. 18. 如图，在梯形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，，，求； （3）若与交于点，，求. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$