专题4 定义新运算题型三角函数-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 (3)若M-2x,x2,3-2,求x的值; 12.对于实数a,b,定义运算“。”如下:a。b一(a (4)如果M2,1+x,2x=min2,1十x,2x,求x的值 )-(a-)2.若(m+2)。(m-3)-24,则m= 13.欧几里得的《原本》记载,形如x2十ax一b^{}的方 程的图解法是:画Rt△ABC,使ACB=90* 则该方程的一个正根是 ( ) A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 14.对于实数a,b,定义运算“※”如下;a※b-a2-ab 例如,5※3-52-5×3-10.若(x+1)※(x-2) 一6,则x的值为 专题4 定义新运算题型--三角函数 1.定义一种运算;sin(a十③)=sinacosB十cos asin$, sin (a-③)=sin gcos③-cos asin B. 例如:当g= 图1 图2 -6+2 ,则sin15*的值为 (1)如图1,若a=6, B=45^{*,C-75^*,求$$$ 2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想 的值; 的重要性,在计算tan15{时,如图,在Rt△ACE (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中, /C=90{*, ABC=30{*,延长$CB使BD=$$$ ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示),若 CD AB,AC=14米,AB=10米,sin ACB CD 53 14 ,求景观桥CD的长度. 2-③ 一一2一③.类比这种方 2+3(2+③)(2-③) 法,计算tan22.5的值为 ( ) A At c30 B B A.2十1 B.v2-1 C.2 D1 3.已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、 sin AsinBsinC' 761 衔接点三 初升高专题特训 4.对于三个数a,b,c,用M{a,b,c)表示这三个数的 5.关于三角函数有如下公式: 中位数,用maxa,b,c)表示这三个数中最大数 sin (a十③=sina·cos B十cos a·sin g①、cos (a十 例如:M-2,-1,0)=-1,max -2,-1,0)=0 =cos a·cos B-sina·sin j②、tan(a十)= (a(a>-1) max{-2,-1,a- 1-1(a<-1) 解决问题: 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数 (1)填空:Msin45^{*,cos 60{,tan60{}= 转化为特殊角的三角函数求值,如; 如果max{3,5-3x,2x-6)-3,则x的取值范围 tan 105*-tan(45*+60”)-tan 45·+tan 60{ 1-tan45*·tan 60{ -1+3 (2)如果2·M(2,x+2,x+4)=max(2,x+2 --(2十3). 1-1x③ x十4,求x的值; (3)如果M(9,x2,3x-2=max(9,x2,3x-2), 根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下 求x的值. 面的实际问题: 如图,直升飞机在一建筑物 CD上方A点处测得建筑物 顶端D点的俯角a一60{*,底端 C点的俯角8-75{,此时直升 飞机与建筑物CD的水平距 离BC为42m,求建筑物CD 的高. -/77参考答案 :k≥0，∴4h3十5≥5：.4>0，.方程有两个不相等的实数 14.【答案】 极：故答案逃：B. 【解析】由题意得，(x十1)”-(x+1D(x一2)=6，整理得， 7.【解】由题意可得y'=x2十2(m一1)x十m 3x+3=6,解得，x=1. (1)方程x2十2(m一1).x十m2=0有两个相等实数根，∴.△ 专题4 定义新运算题型一三角函数 =[2(m-1)]-4m=0,解得m=立： 1 6-2 (2)y=m-子2+2(m-1)x+m=m-子 :化简得 L【答案】 【解析】sin15°=sin(45°-30°)=sin45cos30°-cos45 产+2(m-1Dx十m-m+号=0，：方程有两个正教振 一2(m-1)>0 mw-号×号号×-9-9-62 4 m2-n+>0 2.【答案】B 解得m≤且m≠ 【解析】本题考查阅读理解能力，要求能用类比的方法解决 2m-I]-4m-m+子)≥0 问题.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45,延长 CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°，所以1an22.5° 8.【解】(1)①由题意得x(36一2x)=144,化简得x2-18x十 1一2 72=0,解得x=6或12，即垂直于培的一边的长为6米或 1+万1+@-②-1.选B AC 1 12米： ②由题意得S=x(36-2x)=-2x2+36=-2(x一9)2十 3【解】D∠B=45,∠C=75.∠A=60,“ 162.:-2<0,.当x=9时，S有最大值，且最大值为162 b 6 平方米。 Bic六n0sn5icb=26 （2)设所需的篱包长为L来，由题意得L=2x+29,甲L 2)m2A0BnB·2H AB AC 5w3 、mE·mB二奏. (石)+V要)≥2X在×=0÷当里收当 14 √2=20西，即工=10时，L有最小值为40，“若围成面积 ∠B-60,imB-品-，BD-号cD,Ac- CD+AD, 为200平方米的花国，需要用的篱笆最少是40米， 9.【解】将原函数转化成x的一元二次方程，得(y一3)x2+ .196=CD+(10- CDy,∴CD=85,CD=-35(含 3 (2y-1)x+y-2=0,x为实数，.△=(2y-1)-4(y 31(y-2》-16y-23>0y>器因克y的最小位为器 去)，CD的长度为8尽米 4.【解】 10.【解】令xy=a,x+y=b,剥原方程组可化为： :45-号.oms60=之m60°=3M 任+么1现释配 5a+2h=133 1sim45.c0s60,tam601= 21 ②-①得：11a2=275,解得：a2=25.代入②可得：b=4, m35-,2一6-3，时23看的取位花国 方程组的解为：侣或公5 为：号<<号： x2+y2=(x+y)2-2xy=b-2a,当a=5时，x2+y=6, (2)2·M2,x+2,x+4}=max2,.r十2，x+4}, 当a=-5时，x2十y=26,因此x2+y的值为6或26. 分三种情况：①当x十4≤2时，即x≤一2，原等式变为：2(x 11.【解】①M1(-2),2,-2=3 4 十4)=2，x=-3: ②x十2≤2≤x+4时，即一2≤x≤0，原等式变为：2×2=x ②min{sin30°，cos60°，tan45)= 1 十4，x=0: ③当x+2≥2时，即x≥0，原等式变为：2(x十2)=x十4，x 仔十-解释 0, (2)min(3-2x,1+3x,-5}=-5,∴ 综上所迷，x的值为一3或0： -2≤x≤4. (3)不妨设y=9,y=x,y=3x一2，画出图象，如图所示： (3)M-2r,x,31=2-2+r+3=2,解得x=-1 结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点 3 时，满足条件且M{9,x2,3x-21=max{9,x,3r-2}=yA一 或3. y,此时x2=9,解得x=3或-3. (4):M(2,1+x,2.x)=min(2,1+r,2r,又 +12r解得1<r≤1,7 2+1++22=r+1,x+18 =1. B y,=9 12.【答案】一3或4 【解析】根据题意得[(m+2)+(m一3)]2一[(m+2)一(m -3)]=24.(2m-1)2-49=0,(2m-1+7)(2m-1-7)= 0.2m-1十7=0或2m-1-7=0,所以m1=一3，m2=4.故 =x2 答案为一3或4. 13.【答案】B 【解析】欧儿里得的《原本》记载，形如x十ax一心的方程 的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB=90,BC=受，AC -3 0 b,再在斜边AB上截取BD=号，设AD=C,根据勾股定理 y3-3x-2 得：(r十号)=方+（受）P,整理得：+@r=,则接方程 5.【解】由题意可知：a=60°，8=75°，BC=42, 的一个正根是AD的长，故选：B. AB=c.mg=48m5=42X2:053 103 衔接必刷题 1+③ .AC-BC-TAB-3. 42× 3 =42(2+3), 13 ∴.MC=BC-BM=3-2=1, 设OC=x, :A、D垂直距离为：BC·tana=42·tan60°=425，.CD 在R1△COM中，根据勾股定理可得：OM=OC+MC=x +1, =AB-42√5=84. 在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：AO=OC+AC2=x +9, 新高一人门检测卷 .N0=x2+9. 'OM⊥MN. 1.【答案】A ,.MN2=NO-OM=x+9-(x+1)=8, 【解析】 一2024的绝对值是2024 ∴MN=22(负值舍去)， 故选：A 故选：C. 2.【答案】 C 9.【答案】D 【解析】选项A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形 【解析】如图，连接BE, 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对 :∠DCE=a, 称图形. .∠ECB=90°-a, 逃项C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180 CE=CB. 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形. 故选：C ∠CBE=45+号 3.【答案】B 【解析】根据题意，得一2=k十1， ·∠ABE=45-号， 解得，k=一3. :将AE绕点A逆时针旋转90得到AF, 故选：B. .AE=AF,∠EAF=90°=∠DAB, 4.【答案】D .∠DAF=∠BAE 【解析】：△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O, 又AD=AB, OB:OE=2:3. .△ADF≌△ABE(SAS), .AB:DE=OB:OE=2:3. ,△ABCc∽△DEF. ∴∠ADF=∠ABE=45°-号， 故途：D. DE D 5g=号5w=是X4=0. 故选：D, 5.【答案】A 【解析】3a·2a=6a2,故选项A正确： (一a)=一d,故选项B错误： (a十b)°=a2+2ab+b,故选项C错误： 10.【答案】b a十b不能合并为一项，故选项D错误： 【解析】：M=十 x+x+,N=} 2x+1 故选：A, x 6.【答案】C 1 【解析】原式=35一1=/45-1， r(x+1) “6=36,72=49,而36<45<49， .6<√45<7， M=M+N,=++= 2 .5<w45-1<6. N=M-N=+（）品 故选：C 7.【答案】B M=M,+N,=2+2=2(2r+D xx+1x(x+1) 【解析】由题意可得， 2 2 第1福图形中“●”的个数为3=2一1， N=M-N=兰+品=品 第2幅图形中“●”的个数为8=3一1， M=M+N=2出+D兰 2 4 第3福图形中“●”的个数为15=42-1， 2 ∴.第n幅图中“●”的个数为(n十1)2-1， N,=M,-N,=22r+1D r(x+1)x(x+1)r子)，】 .第10福图形中“●”的个数为(10十1)2-1=120， 44… 故选：B. 8.【答案】C 2(2十1=M,故选项①正确 可知2M,=r+1) 【解析】过点O作OC⊥AB于点C,连接AO,NO, 当x=1时，M,+M+M+M=2+4+8+16=2+4 十8十16=30.故选项②不正确： 当列=1时，式 2 左不是定值，故选项③不 x+1 7B 正确： 'AM=2BM=4, :M,=2 ,.BM=2,则AB=AM+BM=4十2=6， ,OC⊥AB, M=4. 104