第2章 专题4 集合的基本运算(补集与集合的综合应用运算)-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 专题4集合的基本运算（补集与集合的综合应用运算） 知识梳理 知识点一全集 (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集 一般地，如果一个集合含有我们所研 合运算结果的Venn图表示. 文字语言 究问题中涉及的所有元素，那么就称 这个集合为全集 知识点二 补集 对于一个集合A,由全集U中不属于 集合A的所有元素组成的集合称为 A∩B 文字语言 U 集合A相对于全集U的补集，简称为 集合A的补集，记作CwA AQB 符号语言 CA={xx∈U,且xA} Ce(nB) U 图形语言 A B A 【知识点拨】 AUB (1)简单地说，CA是从全集U中取出集合A的 C.(uB) 全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合， (2)性质：AU(CA)=U,A∩(CA)=财，G(CA) A,CuU=必，CeO=U,Ce(A∩B)=(CuA)U C(AnB) An(CB) CoB).CU (AUB)=(CUA)(CuB). 经典例题 题型一 补集的运算 【变式2】（陕西汉中·高一统考期末）已知全集 【典例】（高一单元测试）已知全集U=R,A={x U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},则CM= Ix<3},B={x-1<x<5},则A∩(CB)= ( ) A.{5} B.{1,2} A.{x-3<x<-1} B.{x3<x<5} C.{3,4,5} D.1,2,3,4 C.{x|-3≤x≤-1 D.{x|-3<x≤-1} 题型二集合的交并、补集的综合运算 【答案】D 【典例】（高一课时练习）已知全集U二R,CA= 【解析】，A={x|x<3,B={x-1<r<5}, {1,2},CB={2,3},且AUB=(1,3,4,5},则A= .CuB={xx≥5或x≤-1}，A={x-3<x<3}, () A∩(CuB)={x|-3<x≤-1}.故选：D A.{3,5} B.{4,5} 【变式1】（四川眉山·高一校考期未）已知集合 C.(3,4} D.{3,4,5} U={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={1,2,4, 【答案】D 5},则AU(CB)= ( 【解析】因为(CA)∩(CuB)=Cu(AUB)= A.{3 B.{6 {2},所以U={1,2,3,4,5},则A={3,4,5} C.3,6} D.{2,3,4,6 故选：D. 34H 一衔接点二初升高知识衔接 【变式1】（高一单元测试）已知全集U={x|x≤ 题型四 根据交并补混合运算确定参数 4},集合A={x-2<x<3},B={x-3<x< 【典例】（全国·高一期中）已知集合A={x8<x 3}.求A∩B:C(AUB):(CA)∩B. <10},设集合U={x0<x<9},B={xa<x< 2a-1},若(CB)∩A={x8<x<9},则实数a 的取值范围是 【答案】a<号 【解析】当B=0时，2a一1≤a,解得：a≤1，此 时CB=U, (CuB)∩A=U∩A={x8<x<9},符合题意： 当B≠⑦时，2a-1>a,解得a>1, 因为集合U={x0<x<9},B={xa<x<2a一1}， 所以CuB={x|0<x≤a或2a-1≤x<9}, 因为(CB)∩A={.x8<x<9}, 所以2a-1长8，解得：0<号， 所以B≠②时，1<≤号 综上所运：实敏a的取值范因是a≤号 【变式1】（山西朔州·高一校考阶段练习）已知 集合A={x|x>a},B={xx>1},若A∩CRB ≠☑，则实数a的取值范围是 【变式2】（河北衡水·高一衡水市第二中学校考 【变式2】（广西桂林·高一校考阶段练习）设全 阶段练习)设U={5,6,7,8,9},若A∩B={8), 集U=R,集合A={xx>1},B={x|x<-a}, (CA)∩B={6},(CuA)∩(CuB)={5,9}则集 且BCuA,则实数a的取值范围是 合A= 题型五利用Venn图求集合 题型三与补集有关的求参数问题 【典例】（四川·高一校考阶段练习）高一某班共 【典例】（全国·高一专题练习）已知全集U={1, 有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参 2,n2},集合A={2,m十1}，CA={m,则实数 加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加 m的值为 了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人 【答案】0 数是 【解析】由集合A={2,m十1}，可得m十1≠2， 【答案】29 解得m≠1， 【解析】 由题意画出ven图，如图所示： 又由CuA={m}且U={1,2,m2}, 4 号十”1解得m=0,经验运m=0满足 可得{ 10 12 球类球类与田径田径 条件， 所以实数m的值为0. 故答案为：0. 【变式1】（高一课时练习）设a∈R,b∈R,全集 由ven图知：参加比赛的人数为26人， U=R,A={x|a<x<b),CwA={x|x≤-2或 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29 x≥3}，则a十b 人，故答案为：29. 【变式2】（广东汕尾·高一华中师范大学海丰附 【变式1】（全国·高一专题练习）疫情期间，某社 属学校校考阶段练习)设集合U=(-2,号2,3， 区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的 核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13 A=x2x2-5x+2=01,B={3,2,若A 人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参 加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天 =B,则b= 参加的人数最少为 35 衔接必刷题 【变式2】（山东潍坊·高一校考期中）国庆节期 人，只观看《攀登者》的有10人，既观看《长津湖》 间，某校要求学生从三部电影《长津湖》《中国机 又观看《中国机长》的有7人，既观看《长津湖》又 长》《攀登者》中至少观看一部并写出观后感.高 观看《攀登者》的有12人，既观看《中国机长》又 一某班50名学生全部参与了观看，其中只观看 观看《攀登者》的有9人，则三部都观看的学生有 《长津湖》的有10人，只观看《中国机长》的有10 人 专题5充分条件与必要条件 知识梳理 知识点一充分条件、必要条件与充要条件的 2.从集合与集合间的关系看 概念 若p:x∈A,q:x∈B, 1.符号p→q与py的含义 ①若A二B,则p是q的充分条件，g是p的必要条件. “若p,则g”为真命题，记作：p→q: ②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件， “若，则g”为假命题，记作：p> ③若A=B,则p、9互为充要条件 2.充分条件、必要条件与充要条件 ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p ①若→q,称p是q的充分条件，9是p的必要条件. 是q的既不充分也不必要条件」 ②如果既有p→q,又有g→p,就记作p台q,这时 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论： p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件. 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既 知识点诠释：对p→q的理解：指当p成立时，q 不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤 一定成立，即由p通过推理可以得到q, 进行： ①“若p,则g”为真命题. ①确定哪是条件，哪是结论 ②p是q的充分条件 ②尝试用条件推结论 ③q是p的必要条件. ③再尝试用结论推条件. 以上三种形式均为“p→g”这一逻辑关系的表达. ④最后判断条件是结论的什么条件. 知识点二充分条件、必要条件与充要条件的 知识点三充要条件的证明 判断 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明 1.从逻辑推理关系看 条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件 命题“若p,则q”,其条件p与结论q之间的逻辑关系 的必要性（即证原命题的逆命题成立）》 ①若p→g,但q→，则p是q的充分不必要条 知识点诠释：对于命题“若p,则q” 件，q是p的必要不充分条件。 ①如果p是g的充分条件，则原命题“若p,则g” ②若p9,但q→p,则p是q的必要不充分条 与其逆否命题“若一q,则p”为真命题 件，q是p的充分不必要条件. ②如果p是g的必要条件，则其逆命题“若q,则 ③若p→g,且Pp,即=q,则p、q互为充要条件. p”与其否命题“若p,则g”为真命题， ④若片9，且q→p,则p是q的既不充分也不必 ③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真 要条件. 命题. 8 经典例题 题型一 充分条件与必要条件的判断 【解析】充分性：a>0且b>0,则ab>0,充分性 【典例】（新疆昌吉·高一新疆昌吉回族自治州第二 成立：必要性：若ab>0,则a>0且b>0,或a<0 中学校考期未)“a>0且b>0”是“ab>0”的( 且b<0,必要性不成立.故“a>0且b>0”是“ab A.充分而不必要条件 >0”的充分而不必要条件，故选：A. B.必要而不充分条件 【变式1】（上海浦东新·高一上海市进才中学校 C.充分必要条件 考阶段练习)已知p是r的充分不必要条件，q是 D.既不充分也不必要条件 r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要 【答案】A 条件，现有下列命题：①s是q的充要条件：②p 361衔接必刷题 因为AUB={-2.1,6, ={rx≤≤-2或3≤x≤4}， 所以1∈B,则a·1-2=0, 所以C(AUB)={xlx≤-3或3≤x≤4}， 所以a=2; (CA)∩B={x|-3<x≤-2}. (2)周为A∩B=B,则B二A, 变式2【答案】{7,8)/(8,7} 当B=⑦时，a=0: 【解析】因为A∩B={8),∴.8∈A,8∈B 当B={-2}时a=-1: 因为(CA)∩B={6},.6∈B,6任A 当B=6时a=号 因为(CA)∩(CB)={5,9},.5,9任A,5,9tB, 如果7∈B,则(CA)∩B={6,7}与已知矛盾，所以7∈A. 综上可得集合C-{-1.0,号} 所以A={7,8}, 故答案为：{7,8 变式2【解】(1)因为A={x|2≤x<7},B=(x3<x 题型三 10}, 变式1【答案】1 所以AUB={x2≤x<101. 【解析】因为U=R,A={xla<r<b,所以CA={x|x≤a (2)因为A=(x2≤x71,C={xx<a}且A∩C≠☑， 或x≥b}. 所以a>2,即a的取值范国为(2，十o∞). 又CA={xx≤-2或x≥3，所以a=一2，b=3,所以a+b 变式3【解】(1)当a=0时，A={x|一3<x<1},B=(x0 =1. x≤1}，AUB={x-3<x≤1}. 故答案为：1. (2)A∩B=0 变式2【答案】-2 当A=0时，2a-3≥a十1，解得a≥4， 当A≠8时，21点但iC0解得：2<4或a< 【解析】解方程2r-5x十2=0得x=号或x=2,所以A -1, =(22 综上所述：实数a的取值范国（一∞，一1]U[2,十∞）. 题型四 周为U={-2,72,3所以A=-2.3=B 变式1【解】(1)A=(xx-1≥2)=(-∞，-1]U[3,十∞)， 又3>0，所以3=3,2=-2，解得a=1,b=-2. B=xlx-m<3}=(m-3,m+3): m=2时，B=(一1,5)，故A∩B=[3,5) 故答案为：一2. (2)由于AUB=R,故m3S31,解得0≤m≤2，所以实 题型四 m+3≥3 变式1【答案】{aa<l} 数m的取值范围为[0,2. 【解析】由已知可求得C:B,集合A与集合CB有公共元 变式2【解】(1)当a=1时，B={x(x+1)(x-1)=0}= 素，即可求出实数a的取值范国.由集合B={xx>l},可得 {-1,1},又A=一1,2}， CgB={x|x≤1}， 所以A∩B=(一1}： :A∩C.B≠0，可得集合A与集合CRB有公共元素，∴4 (2)由(x十1)(x-4)=0解得t=-1,x2=a, 1. 若a=一1，则b={一1}，AUB=A,特合题意： 故答案为：{aa<1. 若a≠-1，由于AUB=A,所以a=2: 变式2【答案】a≥-1 综上所述，实数a的取值集合为{一1,2}. 【解析】，CA={xlx≤1}， 题型五 变式1【答案】AB 夕 【解析】对于AB,周为A=-1,2,3,4).B=1,2,3,5}: -a 所以A∩B=2,3},AUB=(-1.1.2,3,4.5},故A、B 又B年CA, 正确： 对于C,因为一1∈A,但一1任B,所以A二B不成立，故C .a1, .a≥-1. 错误： 故答案为：4≥一1. 对于D,由选项A、B易知A∩B≠AUB,故D错误. 题型五 故选：AB. 变式1【答案】29 变式2【答案】ACD 【解析】图为MN,所以MUN=N,A正确： 【解析】记第一天·第二天，第三天参加志愿者的人员分别 构成集合A,B,C, M∩N=M,当MCN时，M∩N≠N,B错误： 因为M∩N=M,而MCM,所以M二(M∩N),C正确： 设三天都参加的志愿者人数为x,第一天和第三天均参加的 因为MUN=N,而N二N,所以(MUN)二N,D正确. 志愿者人数为r十y, 根据题意可作维恩图如图： 故选：ACD. 专题4集合的基本运算（补集与集合的 A B 综合应用运算) 16-y 3一x 6+x 【经典例题】 题型一 变式1【答案】D 【解析】集合U=1,2,3,4,5,6},A=2,4,6},B={1,2, 14-y 4,5}. 则CB={3,6},则AU(CB)={2,3,4,6. C 故选：D, 依题意必有x,y,3一x,14一y均为自然数， 变式2【答案】C 所以0≤x≤3,0≤y≤14， 【解析】因为U=1,2,3,4,5},M={1,2}, 故这三天参加的志愿者总人数为：19十(6十x)十(4一x)十 所以0，M=(3.4,5}. (14-y)=43-y 故选：C. 当y=14时，总人数最少，最少人数为43一14=29. 题型二 故答案为：29. 变式1【解】因为U={xx≤4}，A={x|-2<x<3},B= 变式2【答案】4 {x-3<x<3}, 【解析】设观看《长津湖》的学生的集合为A,观看《中国机 所以A∩B={x|-2<x<3},AUB={x|-3<x<3},CA 长》的学生的集合为B,观看《攀登者》的学生的集合为C, 90H 参考答案 根据题意，作出集合对应的韦思图如下所示： (2)由(1)知，M∩P={x|5<x≤8)的充要条件是-3≤4 ≤5， B 则当a∈[-3,5]时，是M∩P={x5<x≤8}的一个充分但 不必要条件： 10 7-x 10 比如“=0是所求的一个充分但不必要条件，（答案不唯一） (3)求实数a的取值范图，使它成为M∩P=x5<x≤8}的 12-x 9-x 一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{：一3≤a≤ 5}是它的一个真子集， 10 如果{aa≤5}时，未必有M∩P={x5<x≤8}， 但是M∩P=(x|5<x≤8}时，必有4≤5， 故{aa≤5}是所求的一个必要但不充分条件，（答案不唯一】 设三部都观看的学生有x人， 题型四 10十(7一x)十10十(9一x)十10十(12一x)十x=50,解得 变式1【答案】0 x=4. 【解析】一1<x一m<1→m一1<x<m十1， 即三部都观看的学生有4人， 则{x一1<x<1)={xm一1<x<m十1)， 故答案为：4. 南 →m=0. 故答案为：0， 专题5充分条件与必要条件 变式2【答案】3或4 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、 【经典例题】 整除等进行判断计算。 题型一 变式1【答案】B 工=4生6n=2士√-m,因为x是整数，即2叶/-刀 2 【解析】因为p是r的充分不必要条件，所以p→r,→p, 为整数，所以，4一n为整数，且n≤4，又因为n∈N,取n一1， 因为4是r的充分条件，所以q→r, 2,3,4,验证可知n=3,4特合题意：反之n=3,4时，可推出 因为是r的必要条件，所以→， 因为q是的必要条件，所以8→q, 一元二次方程x一4x十n=0有整数根. 因为→r,r→s,所以g→s,又→g, 所以是？的充要条件：命题①正确， 专题6全称量词与存在量词 因为p→r,r→s,sPq,所以Pg: 若→p,则→s→q4户p,故→p,与户p矛盾， 【经典例题】 所以户p, 题型一 所以p是q的充分不必要条件，命题②正确： 变式1【答案】C 因为→s,→q,所以→q,r是q的充分条件，命题③错误： 【解析】题①③为全称量词命题，命题②为存在量词 因为s→gg→r,所以s→r,又r→8 命题. 所以「是x的充要条件，命题④错误： 故选：C 故选：B. 变式2【答案】C 变式2【答案】D 【解析】选项A,B,D中的命题都是全称量词命题，选项C 【解析】由于a>b可得a>b-1,故“a>b-1”是“a>b”的 中的命题是存在量词命题. 必要条件， 故选：C. 由a>b不能得到{a>b,a>b,a>b十1，比如a=-1,b 题型二 =-2, 变式1【答案】C 故选：D 【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函数y■x 题型二 十a图象的对称轴为y轴，A对： 变式【解】(1)由p为假，得x2或x≥4 对于B选项，无理数泛的立方为2，且2为无理数，B对： 故x的取值范围为x≤2或x≥4. 对于C选项，若x,y为整数，则2r、4y均为偶数，所以，2x十 (2)p:A=《x|2<x<4},g:B={x|m-2<x<m十1}， 4y也为偶数， 若p是g的充分条件，则A二B, 则2r+4y=5不成立，C错， 可释份一子解释3Cm≤ 对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对. 故选：C, ∴实数m的取值范围是3≤m≤4. 变式2【答案】C 题型三 【解析】A为真命题：B和D为全称量词命题： 变式1【解】(1)假设存在满足条件的实数4，则B=A,即 因为x,y∈R,所以x2≥0，y≥0，故x2十y>0,故C为假命 r1=一1，xg=3. 题，故选：C 因为x1,x是关于x的方程x2一2x-a2十1=0的两个不同 题型三 的实数根，所以一1×3=一a2十1， 变式1【答案】B 即a=4.解得a=士2，即当a=土2时，“x∈A”是“x∈B"的 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得 充要条件. 到命题：“3x∈R,x+1<0”的否定是"Hx∈R,x2+1≥0”， (2)由题意可知，关于x的方程x一2x一a+1=0的两根分 故选：B. 别为1一a和1十a. 变式2【答案】A 周为“x∈A”是“xEB”的必要不充分条件，所以BCA 【解析】因为x∈AUB即x∈A或x∈B,所以令题p的否 当1-a>1+a,即a<0时，B={x1十a<x<1-a}, 定为，x任A且x任B. 则月亡a>21解得-2<4<0： 故选：A, 11-a<3, 题型四 当1-a<1+a,即a>0时.B={x1-a<x<1十a}, 变式1【答案】C 则十8≥解得0K2 【解析】由题意即kx2-kx一1<0对任意x∈R恒成立， 当k=0时，一1<0位成立， 综上，a的取值范国是{a一2<a<0或0<a<2). 变式2【解】(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是一3≤a 当0时，有合2十C0牌-4长0-40 ≤5，所以实数a的取值范国是{a一3≤a≤5}. 故选C. 91