专题3 定义“新方法”题型一元二次方程-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 专题3定义“新方法”题型 元二次方程 1.定义运算：a★b=a(1一b).若a,b是方程x2-x十 5.将关于x的一元二次方程x2一px十q=0变形为 x=x一q,就可以将x2表示为关于x的一次多项 m=0(m<0)的两根，则b★b一a★a的值为( 式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x·x2= A.0 B.1 x(px一q)=…,我们将这种方法称为“降次法”， C.2 D.与m有关 通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据 2.定义运算：m★n=mn2一mn-1.例如：4★2= “降次法”，已知：x2一x一1=0，且x>0,则x4 4×22一4×2一1=7.则方程1★x=0的根的情 2x3+3x的值为 () 况为 () A.1-√5 B.3-√5 A.有两个不相等的实数根 C.1+√5 D.3+√5 B.有两个相等的实数根 6.定义新运算a*b,对于任意实数a,b满足a*b C.无实数根 =(a十b)(a一b)一1，其中等式右边是通常的加 D.只有一个实数根 法、减法、乘法运算，例如4*3=(4十3)(4一3)一 3.定义新运算：对于任意实数m,n都有m☆n= 1=7一1=6，若x*k=x(k为实数)是关于x的 mn十n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及 方程，则它的根的情况是 () 乘方运算.例如： A.有一个实根 一3☆2=（一3）2×2+2=20.根据以上知识解决 B.有两个不相等的实数根 问题：若2☆a的值小于0. C.有两个相等的实数根 (1)求a的值； D.没有实数根 (2)请判断方程：2x2一bx十a=0的根的情况. 7.对于函数y=x”十xm,我们定义y=n.x”-1十 mxm-1(m,n为常数). 例如y=+2,则y=4+2,已知：y-号x2 +(m-1)x2+m2x. (1)若方程y=0有两个相等实数根，则m的值为； (2)若方程寸=m一有两个正数根，则m的取 值范围为。 4.对于实数m、n,定义一种运算“※”为：m※n=m十n (1)求2※5与2※（一5）的值； (2)如果关于x的方程x※(a※x)=一有两个 相等的实数根，求实数a的值. 8.(1)对于任意实数a和b,都有(a+b)2≥0，.a2 2ab+b2≥0，于是得到a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b时，等号成立；(2)任意一个非负实数都可 写成一个数的平方的形式，即：如果a≥0，则a= (Wa)2,如：2=(2)2； 例：已知a>0,求证：a+2a2, 74 衔接点三初升高专题特训 证明：a>0,a+。=(a2+(2后)≥2× 10.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数 学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x a×1=2,a+≥2，当且仅当a= 2 一√x=0,就可以利用该思维方式，设√z=y,将原方 √2a 2a 程转化为：y2一y=0这个熟悉的关于y的一元二次 时，等号成立； 方程，解出y再求x,这种方法又叫“换元法”.请你 请解答下列问题：某园艺 用这种思维方式和换元法解决下面的问题 公司准备围建一个矩形 5x2y2+2x+2y=133 花圃，其中一边靠墙（墙 花画 已知实数x,y满足 x+y+2x2y2=51 ,求 足够长)，另外三个边长 4 篱笆围成，如图所示，设垂直于墙的一边长为x米。 x2+y2的值. (1)若所用的篱笆长为36米，那么： ①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的 边的长为多少米？ ②设花圃的面积为S平方米，求当垂直于墙的一 边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求 出这个最大面积： (2)若围成面积为200平方米的花画，需要用的 篱笆最少是多少米？ 9.阅读下列材料：求函数y=3十x十2的最大值， x2+2x+1 11.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中 遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料 摘录如下： 对于三个实数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个 数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最 小的数，例如M1,2,9}=1+?+9=4,mi血1， 3 2,-3}=一3，min(3,1,1}=1.请结合上述材 料，解决下列问题： (1)①M{(-2)2,22,-22}= ②min{sin30°，cos60°，tan45}= (2)若min{3一2x,1十3x,一5}=-5，则x的取 值范围为 75 衔接必刷题 (3)若M{-2x,x2,3}=2,求x的值； 12.对于实数a,b,定义运算“O”如下：aOb=(a十 (4)如果M2,1十x,2x=min{2,1十x,2x},求x的值 b)2-(a-b)2.若(m十2)©(m-3)=24,则m= 13.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方 程的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB=90°， BC=号，AC=b,再在斜边AB上截取BD=号. 则该方程的一个正根是 A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 14.对于实数a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2-ab, 例如，5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(x-2) =6,则x的值为 专题4定义新运算题型一三角函数 1.定义一种运算；sin(a十B)=sin acos B+cos asin B, sin(a-B)=sin acos B--cos asin g.例如：当a= 45,g-30时血(45+30)-号×9+号×号 -6+2,则sin15的值为 图1 图2 4 (1)如图1，若a=6,∠B=45°，∠C=75°，求b 2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想 的值； 的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD= ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若 AB,连接AD,得∠D=15,所以an15=S CD⊥AB,AC=14米，AB=10米，sin∠ACB= ,求景观桥CD的长度. 5W3 1 2-√3 =2一√3.类比这种方 2+3(2+√3)(2-√3) 法，计算tan22.5°的值为 ( ) cb30° 15D Ch 45 22.5 D B A.√2+1 B.√2-1 C.2 D号 3.已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b 6c,边角总满足关系式：ABC 76衔接必刷题。 12.【答案】 -1000+100+20+9-$; C $.F(n)1000a+100+20a+9-b-340+33+3, 【解析】 .'lgM+lg N-lg(MN). 3 '.(l 5)}+lg5$lg 2+lg2-lg5(lg5+lg2)+l2 由于n是“共生数”,..a十9-b-2×(2a十b),即a+b-3,可 的。行 l 5lg 10+lg2-lg5+lg2-lg 10-1.故选C. 13.【解】(1)原式-(28-3)x[-()]-25×(-)- .n的值为1227或2148或3069,各位数和为偶数的有2148 -1. 和3069..,n的值是2148或3069. (2)原式--1-(39-3)--[-()]-11× 专题2 定义新运算题型--有理数 36--1. 1.【答案】 143549 14.【答案】2001 【解析】 $ 32-5$310000+5$2$100+5$(2+3$ 【解析】先根据已知求出T的值,再设出新的凯森和 -151025 T.,列出式子,把得数代入,即可求出结果。 $24=92t10000+9×4t100+9$(2+4)= 183654, $$63=8t6t10 000+8$3t100+8t(3+6)= 7 T.,501XT.-1×501+500×T. 482472. T.-(1×501+500xT)-501-(1×501+500X2004) *725-7$2$10 000+7$5$100+7$(2+5)= -501-1+500×4-2001. 143549. 专题3 定义“新方法”题型 2.【答案】9167 根据算筹计数法,工|T表示的数是: 【解析】 一元二次方程 9167. 1.【答案】A 25 3.【答案】 【解析】'a,b是方程x*-x十-m-o(m<o)的两根,..a 由题可知;十位上表示2个10,个位上表示5个1, 【解析】 +b-1,ab-m 所以这个两位数是25. 4.【答案】 (-5,-6) 【解析】 gf(5,-6)]-g(5,6)-(-5.-6). ',bb-aa-b(l-b)-a(l-a)-b(a+b-b)-a(a+b a)-ab-ab-0.故选A. 2.【答案】 A 【解析】 先根据新定义得出方程,再根据一元二次方程的根 00 的判别式可得答案,考查学生的学习与理解能力,同时考查 101×102_5151; 了一元二次方程的根的判别式,掌握以上知识是解题的 1X2 关键。 (3)原-3×4×××.×.2 根据定义得:1x=x---1-0,:a-1,h=-1,c=-1; '△-b-4ac-(-1)-4×1X(-1)-50..'原方程有 (n十1(n+2) 两个不相等的实数根,故选A. 3.【解】(1).2☆a的值小于0,,2{a+a-5a<0,解得:a 6.【答案】 D 20. 【解析】 由题意得14E-1×16×16+4×16+14-334.故 ($):在方程2r -bx+a-0中,A-(-b)-4×2a-^- 选:D. 8a一8a>0,',方程2r-bx十a-0有两个不相等的实 7.【解】(1)共有8种等可能的情况数,分别是:阴,阴,阴;阴, 数根。 阳,阴;阴,阴,阳;阳,阴,阴;阳,阳,阴;阳,阴,阳;阴,阳,阳 4.【解】(1)2※5-2×5十5-15;2※(-5)-2X(-5)+(-5) 阳、阳,阳;故答案为:8; 二-15. (2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有3种,则有一个阴和 (2)x※(a※x)=x※[(a+1)x]-x(x十1)(a+1)-- 整理得:4(a+1)r*+4(a+1)x十1-0. 8.【答案】B .关于x的方程x※(a※x)一- 【解析】 A.第一行数字从左到右依次为1、0、1、0,序号为1 -有两个相等的实数根, X2+0×2*+1×2 +0×2*-10.不符合题意;B.第一行数 ./+1-0 字从左到右依次为0:1;1,0,序号为0×2+1×2+1×2 △-16(a+1):-16(a+1)-0. a-0. 十0×2{}一6,符合题意;C.第一行数字从左到右依次为1,0. 5.【答案】 C 0.1.序号为1×2+0×2*+0×2+1×2-9,不符合题意; 【解析】 本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是会将 D.第一行数字从左到右依次为0,1,1,1,序号为0×2{+1× 四次先降为二次,再将二次降为一次,先求 2-*+1×2+1×2-7,不符合题意;故选:B. 得-x+1,代入1-2x十3x即可得出答案. 9.【解】101011-1×2*+0×2+1×2+0×2+1×2 +1$ ---1-0..-x+1.-1(-1)*-4x1X(-1 2-32+0+8+0+2+1-43. 2 10.【解】(1)“Y”对应的数字x=25,则y=3×25-53-22. -1_. 所以明文Y对应密文是V: (2)Y对应数字为25,当3.x-53-25时,x-26,对应明文 '-2r*+3r=(r+1)-2r(x+1)+3r=r+2+1 为乙: -2-2r+3x=-r”+3r+1--(r+1)+3x+1-2x. U对应数字为21,当3.x-21时,x-7,对应明文为G; .-1士5 1.原式-211 A对应数字为1,当3x-53-1时,x-18,对应明文为R; 2.且x0..- 2 N对应数字为14,当3r-25-14时,x=13,对应明文 2 为M; +5,故选:C. 6.【答案】 所以密文为YUAN的对应明文为ZGRM B 【解析】 11.【答案】A 根据新运算法则可得:x*一(x十)(x一)-1 -r-^-1,则 *b-:即为x*-{-1-x, 【解析】 2021! 2021×2020×.....×2×1 整理得;r-r-k-1-0,则a=1,b--1,c=-^-1,可 022,故选A. 得,-(-1)*-4×1·(-≠-1)-4+5 102- 参考答案 .0..4}+55;,△0..,方程有两个不相等的实数 14.【答案】1 根;故答案选:B. 【解析】由题意得,(x十1)-(x十1)(x-2)-6,整理得, 7.【解】由题意可得y'-x+2(n-1).x+m{} 3x+3-6,解得,x-1. (1)'方程x^{+2(n-1)x+m-0有两个相等实数根..'A 专题4 定义新运算题型--三角函数 1.【答案】 -2 (2):'-n- 【解析】sin15^{}-sin(45{-30{)-sin45{cos 30{*-cos 45 ##n30四-#0#-# (-2(n-1)。 解得:_1去### 2.【答案】 B 【解析】 本题考查阅读理解能力,要求能用类比的方法解决 [2(n1)]-4(im{-m+)→0 问题,如图,在Rt△ACB中, C-90{}, ABC=45^{},延长 CB使BD-AB,连接AD,得 D-22.5,所以tan22.5^* 8.【解】(1)①由题意得r(36-2x)-144,化简得x2-18x十 AC_1 1一、② CD=1+2(1+2)(1-2) --②-1.选B. 72-0,解得x一6或12,即垂直于墙的一边的长为6米或 12来: 3.【解】(1)·'B-45*,C-75”..乙A-60”.a ②由题意得S-x(36-2x)--2r+36--2(r-9)+$ sinA= 162..-2~0...当x-9时,S有最大值,且最大值为162 -.6--- 6 C , ) 平方来。 (2)设所需的篱芭长为1.来,由题意得1-2x+200即L- (2):AB ACB-_C.0 AC (#)+)#>2×200_40.当仅当 ,r 2200 ,即x-10时,L有最小值为40,,若围成面积 CD十AD, 为200平方米的花围,需要用的篱芭最少是40米. -CD)*,.CD-83.cCD--33(含 9.【解】将原函数转化成:的一元二次方程,得(y一3)r^{}十 .196-CD*+(10- (2-1)r+y-2-0.:x为实数,,△-(2y-1)-4(y 3)(y-2)-16y-23>0.1.y23,因此,y的最小值为1 去)...CD的长度为8③米. 10.【解】 令xy=a,r十y=b,则原方程组可化为; [5a+26-133 (5a+26-133① ##^51理得:{# (sin 45”.cos 60”,tan60)_V2 16a+2-408②' (35-3..x的取值范围 .max(3,5-3x,2r-6-3,则 ②-①得:1la-275,解得;a-25,代入②可得;b-4. 32-6' #为## r+y-(r+y)-2xy-b-2a,当a-5时,r”+y-6, (2)2·M2.r+2,r+4=max(2,r+2,x+4). 当a=-5时,x}+y}-26,因此x+y}的值为6或26.$$ 分三种情况;①当r十4<2时,即x二一2,原等式变为:2( +4)-2,r--3; ②x+2<2<r+4时,即-2<x<0,原等式变为:2×2-x +4,1-0; ③当x+2>2时,即x一0,原等式变为;2(x+2)=x+4,r (2)·'min(3-2x,1+3r,-5)--5.:.(3-2x-5. 0. 11+3-解得 综上所述,r的值为一3或0; -2<<4. (3)不妨设y-9,y-r,y=3x-2,画出图象,如图所示: (3) 'M(-2x,r”3-2..-2++3-2,解得r--1 结合图象,不难得出,在图象中的交点A、B点 ③ 时,满足条件且M(9,r,3x-2)-max{9,r,3x-2=yA= 或3. y,此时r{-9,解得x-3或-3. (4)M(2,1+x,2r)-min(2,1+x,2r),又. 2+1++2+1..{1+1<2 1<2解得1<x<1.. 3 -1. B 2=0 12.【答案】 -3或4 【解析】 根据题意得[(m+2)+(m-3)]-[(m十2)-(m -3)-24,(2m-1)-49-0,(2m-1+7)(2m-1-7) 0.2m-1+7-0或2m-1-7-0,所以m.=-3,m.-4.故 1_? 答案为一3或4. 13.【答案】B 【解析】 欧几里得的《原本》记载,形如r十a文一的方程 的图解法是:画Rt△ABC,使/ACB-90{,BC-,AC- 6.再在斜边AB上截取BD--,设AD-x,根据勾股定理 %-3x-2 得:(十)-十()③},整理得:x”十ax-6^},则该方程 5.【解】由题意可知:a=60{,③-75{,BC-42, 的一个正根是AD的长,故选:B -103