专题1 定义新运算题型—数的概念-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接点三 初升高专题特训 000000000000 专题1定义新运算题型 数的概念 1.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我 (2)求大于300且小于400的所有“差一数” 们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的 是 () A.205 B.250 C.502 D.520 2.如M={1,2,x},我们叫集合M,其中1,2，x叫 做集合M的元素.集合中的元素具有确定性（如 x必然存在)，互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改 变元素的顺序，集合不变).若集合N={x,1,2,我 们说M=已知集合A=10,@,合B=(合 |a,2},若A=B,则6-a的值是 ( a 5.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某 A.-1 B.0 C.1 D.2 种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发 3.若把第n个位置上的数记为xm,则称x1,x23, 现一种特殊的自然数一一“好数”.定义：对于三 ·,xm有限个有序放置的数为一个数列A.定义 位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十 数列A的“伴生数列”B是：2，为，…，n,其中 位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自 3%是这个数列中第n个位置上的数，n=1,2,…,k 然数n为“好数”例如：426是“好数”，因为4,2,6 且ym= 01二+1，并规定=n1= 都不为0，且4十2=6,6能被6整除：643不是 1,无-1≠xm+1 “好数”，因为6+4=10,10不能被3整除 如果数列A只有四个数，且23x4依次为3， (1)判断312,675是否是“好数”？并说明理由： 1,2,1,则其“伴生数列”B是 (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数” 4.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两 的个数，并说明理由. 种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们 利用整数的除法运算来研究一种数—一“差一数”. 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数 为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”. 例如：14÷5=2…4,14÷3=4…2，所以14 是“差一数”； 19÷5=3…4,但19÷3=6…1，所以19不是 “差一数” (1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由： 701 一衔接点三初升高专题特训 6.阅读理解：对于任意一个三位数正整数，如果n (2)若t是“攀登数”，且1的3倍与t的个位数字 的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那 的和能被7整除，求满足条件的“攀登数”：以及 么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个 P(t)的最大值. 数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新 “陌生数”，把这6个陌生数的和与111的商记为 Mn.例如n=123,可以得到132、213、231、312、 321这5个新的“陌生数”，这6个“陌生数”的和 为123+132+213+231+312+321=1332，因为 1332÷111=12,所以M(123)=12. (1)计算：M(125)和M(361)的值： (2)设s和1都是“陌生数”，其中4和2分别是s 的十位和个位上的数字，2和5分别是t的百位 和个位上的数字，且t的十位上的数字比s的百 位上的数字小2：规定：=品若13M()十 14M(t)=458,则k的值是多少？ 8.对于任意一个四位数m,若千位上的数字与个位 上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字 之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”.例 如：m=3507,因为3十7=2×(5+0)，所以3507 是“共生数”：m=4135,因为4+5≠2×(1+3)， 所以4135不是“共生数”. (1)判断5313,6437是否为“共生数”？并说明理由： (2)对于“共生数”，当十位上的数字是千位上的 数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和 能被9整除时，记F(m)=子.求清足F(n)各数位 上的数字之和是偶数的所有. 7.对任意一个三位正整数n,如果n满足百位上的 数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位 上的数字之 和等于个位上的数字，那么称这个数n为“攀登 数”.用“攀登数”n的个位数字的平方减去十位 数字的平方 再减去百位数字的平方，得到的结果记为P(). 例如：n=123,满足1<2，且1+2=3，所以123 是“攀登 数”，P(123)=32一22一12=4：例如：n=236,满 足2<3；但是2+3≠6，所以236不是“攀登数”； 再如： n=314,满足3十1=4，但是3>1，所以314不是 “攀登数” (1)判断369和147是不是“攀登数”，并说明理由： 71参考答案 所以y=-0.05x+0.35.x+0.7. 2.【答案】C 当x-4时,y--0.05×4+0.35×4+0.7-1.3$ fa+b+c-1 #=-a:lal-1.i.b-0.a=1(含去)或b-0,a=-1, 又对画数y-ax十十c,由已知得 .b-a=1,选C. 3.【答案】 1 0.1,0.1 【解析】 [a-0.05 当n=1时,r=x-1=r.y-0,当n-2时, 解之得 6--0.3,所以y-0.05r- .'y=l,当=3时,r=r.y=0. c-1.25 当n=4时,rr一r.y-1,.“伴生数列”B是;0,1. ③ 当x=4时,=0.05×4-104+1. 25=1.375. 0.1. 4.【解】(1)·.49-5-9....4;49-3-16.....1.49不是 根据四月份的实际产量为1.37万元, “差一数”·74-5-14.....4;74-3-24....2.74是”差 而ly-1.371-0.0050.07-ly -1.371, 一数”: (2).“差一数”这个数除以5余数为4,“差一数”这个数 所以函数y-0.05x- 的个位数字为4或9, 题型三 .大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、 变式【解】(1)(5)-60-(5-10)-35,实际意义为:发车 319、324、329、334、339、344、349,354、359、364、369、374 时间间隔为5分钟时,载客量为35; 379、384、389、394、399,·“差一数”这个数除以3余数为2. (2).:6(1)+24-10, 心“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2..,大于300 且小于400的所有“差一数”为314、329,344,359、374、389. “当51<10时,-360-6(1-10)+24 5.【解】(1).3,1,2都不为0,且3十1-4,4能被2整除... -10-110- ) 312是“好数”.,6,7,5都不为0,且6+7-13,13不能被5 (6+216)<110-2~60.21638. 整除..,675不是“好数”; (2)设十位数字为工,个位数字为y,则百位数字为(x十5). 当且仅当6t-216.即1-6时,等号成立, 其中x,v都是正整数,且1x4,1 y二9.十位数字与个 位数字的和为;2x十5.当x-1时,2r+5-7,此时y-1或 所以,当1一6时,v取得最大值38; 7.“好数”有:611,617。当x-2时,2x+5-9,此时y-1或 3或9,“好数”有;721,723,729当x-3时,2x+5-11,此时 r y-1,“好数”有;831当x-4时,2x十5-13,此时y-1,“好 间[10,20]上单调递减, 数”有:941所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的 则当1-10时,y取得最大值28.4. 个数是7. 综上所述,当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟 6.【解】考查整数问题的综合运用,二元一次方程的应用,正 的净收益最大,最大净收益为38元。 确理解“陌生数”的定义是解题关键 题型四 (1)M(125)=(521+512+215+251+125+152)-111- 变式1【答案】B 16.M(361)-(316+361+136+163+613+631)-111 【解析】 由题意可知:一0时所走的路程为0,离单位的距 -20: 离为最大值,排除A、C. (2).s和1都是“陌生数”,a-100.x+42,b-205十10y,.M 随着时间的增加,先步行,开始时v随工的变化慢,后跑步 (s)-(200r+42+24+20-+402+204+2x+420+240)- 则y随:的变化快, 111=2x+12,M(t)=(205+10y+502+10y+250+x+520 所以适合的图象为B ++100+25+100v+52)-111-2+14. 故选:B. ·13M(s)+14M(t)-458...13(2x+12)+14(2y+14)- 变式2【答案】A $ 6+28y+352-458.13x+14y-53,又,x-y+2. 【解析】根据题意,当0<(<1时,/()-3 r-十2 2 8. :+2:一 7.【解】解题关键:正确理解“攀登数”的定义,根据定义列出 关系式。 (1)*:3 6<9,3+6-9,故369是“攀登数”,·1 4 7,1+ 当12时,/(1)-③. 4去7,故147不是“攀登数” 所以只有A选项符合 (2)设1的百位,十位,个位数分别为x,y,,由题意可 故选:A. [-100.+10y+z 得xy: 衔接点三 初升高专题特训 1十- 设M-31+z-3(100r+10y+)+-300r+30y+42- 300+30y+4(x+y)=304x+34y=(301r+28y)+(3+ 专题1 定义新运算题型--数的概念 6.) 一(301x+28v)+3(x+2y).1的3倍与1的个位数字的和 1.【答案】D 能被7整除,要使M能被7整除,则x十2y能被7整除, 【解析】 本题考查了平方差公式的应用,理解“幸福数”的定 又.xy..x十y9.(x,y)的可能组合有(1.3).(2. 义,正确列出“幸福数”的代数式是解题关键。 6).则1的取值为134,268. 设两个连续奇数中的一个奇数为工,则另一个奇数为x十2 $$134)-4-3-1-6,P(268)-8-6-2-24, 'P$)$ 先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为4(十1),再看四个 的最大值-24. 选项中,能够整除4的即为答案。 8.【解】(1)·5十3-2×(3十1)..,5313是”共生数”,·6+7 解:设两个连续奇数中的一个奇数为1,则另一个奇数为1 子2X(3十4),.,6437不是“共生数”; 十2,由这两个奇数得到的“幸福数” (2).”是“共生数”,根据题意,个位上的数字要大于百位上 为(r+2)-r-2(2x十2)-4(x+1),观察四个选项可知; 的数字,设n的千位上的数字为a,则十位上的数字为2a,(1 只有选项D中的520能够整除4,即520-4-130 a4),设”的百位上的数字为,个位和百位都是0一 故选:D. 的数字,,个位上的数字为9一b,且9-bb.0 b4.,n -101 衔接必刷题。 12.【答案】 -1000+100+20+9-$; C $.F(n)1000a+100+20a+9-b-340+33+3, 【解析】 .'lgM+lg N-lg(MN). 3 '.(l 5)}+lg5$lg 2+lg2-lg5(lg5+lg2)+l2 由于n是“共生数”,..a十9-b-2×(2a十b),即a+b-3,可 的。行 l 5lg 10+lg2-lg5+lg2-lg 10-1.故选C. 13.【解】(1)原式-(28-3)x[-()]-25×(-)- .n的值为1227或2148或3069,各位数和为偶数的有2148 -1. 和3069..,n的值是2148或3069. (2)原式--1-(39-3)--[-()]-11× 专题2 定义新运算题型--有理数 36--1. 1.【答案】 143549 14.【答案】2001 【解析】 $ 32-5$310000+5$2$100+5$(2+3$ 【解析】先根据已知求出T的值,再设出新的凯森和 -151025 T.,列出式子,把得数代入,即可求出结果。 $24=92t10000+9×4t100+9$(2+4)= 183654, $$63=8t6t10 000+8$3t100+8t(3+6)= 7 T.,501XT.-1×501+500×T. 482472. T.-(1×501+500xT)-501-(1×501+500X2004) *725-7$2$10 000+7$5$100+7$(2+5)= -501-1+500×4-2001. 143549. 专题3 定义“新方法”题型 2.【答案】9167 根据算筹计数法,工|T表示的数是: 【解析】 一元二次方程 9167. 1.【答案】A 25 3.【答案】 【解析】'a,b是方程x*-x十-m-o(m<o)的两根,..a 由题可知;十位上表示2个10,个位上表示5个1, 【解析】 +b-1,ab-m 所以这个两位数是25. 4.【答案】 (-5,-6) 【解析】 gf(5,-6)]-g(5,6)-(-5.-6). ',bb-aa-b(l-b)-a(l-a)-b(a+b-b)-a(a+b a)-ab-ab-0.故选A. 2.【答案】 A 【解析】 先根据新定义得出方程,再根据一元二次方程的根 00 的判别式可得答案,考查学生的学习与理解能力,同时考查 101×102_5151; 了一元二次方程的根的判别式,掌握以上知识是解题的 1X2 关键。 (3)原-3×4×××.×.2 根据定义得:1x=x---1-0,:a-1,h=-1,c=-1; '△-b-4ac-(-1)-4×1X(-1)-50..'原方程有 (n十1(n+2) 两个不相等的实数根,故选A. 3.【解】(1).2☆a的值小于0,,2{a+a-5a<0,解得:a 6.【答案】 D 20. 【解析】 由题意得14E-1×16×16+4×16+14-334.故 ($):在方程2r -bx+a-0中,A-(-b)-4×2a-^- 选:D. 8a一8a>0,',方程2r-bx十a-0有两个不相等的实 7.【解】(1)共有8种等可能的情况数,分别是:阴,阴,阴;阴, 数根。 阳,阴;阴,阴,阳;阳,阴,阴;阳,阳,阴;阳,阴,阳;阴,阳,阳 4.【解】(1)2※5-2×5十5-15;2※(-5)-2X(-5)+(-5) 阳、阳,阳;故答案为:8; 二-15. (2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有3种,则有一个阴和 (2)x※(a※x)=x※[(a+1)x]-x(x十1)(a+1)-- 整理得:4(a+1)r*+4(a+1)x十1-0. 8.【答案】B .关于x的方程x※(a※x)一- 【解析】 A.第一行数字从左到右依次为1、0、1、0,序号为1 -有两个相等的实数根, X2+0×2*+1×2 +0×2*-10.不符合题意;B.第一行数 ./+1-0 字从左到右依次为0:1;1,0,序号为0×2+1×2+1×2 △-16(a+1):-16(a+1)-0. a-0. 十0×2{}一6,符合题意;C.第一行数字从左到右依次为1,0. 5.【答案】 C 0.1.序号为1×2+0×2*+0×2+1×2-9,不符合题意; 【解析】 本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是会将 D.第一行数字从左到右依次为0,1,1,1,序号为0×2{+1× 四次先降为二次,再将二次降为一次,先求 2-*+1×2+1×2-7,不符合题意;故选:B. 得-x+1,代入1-2x十3x即可得出答案. 9.【解】101011-1×2*+0×2+1×2+0×2+1×2 +1$ ---1-0..-x+1.-1(-1)*-4x1X(-1 2-32+0+8+0+2+1-43. 2 10.【解】(1)“Y”对应的数字x=25,则y=3×25-53-22. -1_. 所以明文Y对应密文是V: (2)Y对应数字为25,当3.x-53-25时,x-26,对应明文 '-2r*+3r=(r+1)-2r(x+1)+3r=r+2+1 为乙: -2-2r+3x=-r”+3r+1--(r+1)+3x+1-2x. U对应数字为21,当3.x-21时,x-7,对应明文为G; .-1士5 1.原式-211 A对应数字为1,当3x-53-1时,x-18,对应明文为R; 2.且x0..- 2 N对应数字为14,当3r-25-14时,x=13,对应明文 2 为M; +5,故选:C. 6.【答案】 所以密文为YUAN的对应明文为ZGRM B 【解析】 11.【答案】A 根据新运算法则可得:x*一(x十)(x一)-1 -r-^-1,则 *b-:即为x*-{-1-x, 【解析】 2021! 2021×2020×.....×2×1 整理得;r-r-k-1-0,则a=1,b--1,c=-^-1,可 022,故选A. 得,-(-1)*-4×1·(-≠-1)-4+5 102-