第2章 专题13 函数的应用(一)-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 【变式2】（福建龙岩·高一统考期未）已知幂函数 fx)=(22-9m+10)"-1为偶函数，g(x)= (2)已知k≤2，若关于x的不等式g(x)- 20 f(x)+(kER). 在[1，十∞)上恒成立，求k的取值范围. (1)若g(2)=5,求k; 专题13 函数的应用（一）》 知识梳理 知识点一用函数模型解决实际问题的一般步骤 知识点二 常见的函数模型 1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关 1.一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变 系，用函数刻画实际问题，初步选择模型， 量的增大，函数值匀速增大或减小.现实生活中 2.建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知 很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线 识，建立相应的数学模型. 运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力 3.求模：求解数学模型，得到数学结论 的关系等. 4.还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实 2.二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种 际问题中 可将这些步骤用框图表示如下： 数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小 实际问题 分析、联想、抽象、转化 值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型. 建立函数模型 3.分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具 数学解答 有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化 的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题 实际问题结论 转译 数学问题结论 中具有广泛的应用。 经典例题 题型一分式型函数模型的应用 造价为100元m2.其他设施等支出约为1万元， 【典例】（广东深圳·高一深圳外国语学校校考期 设游泳池的长为xm. 中)生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就 (1)试将总造价y(元)表示为长度x(m)的函数： 是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处，强 (2)当x取何值时，总造价最低，并求出最低总 身健体、保障生命安全、增强 造价. 心肺功能、锻炼意志、培养勇 【解】(1)因为游泳池的长为xm,所以游泳池 敢顽强精神、休闲娱乐.近几 的宽为400 m,铺游泳池的花费为100×(400+ 年，游泳池成了新小区建设 的标配家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的 2x×2+2x490×2)=40(100+x+19).张用 好去处，如图，某小区规划一个深度为2m,底面 积为400m2的矩形游泳池，按规划要求：在游泳 区的花囊为200×[(x+8)(090+8)-400] 池的四周安排4m宽的休闲区，休闲区造价为 200元/m,游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖 1600(x+400+8）,所以总造价为y 66 一衔接点二初升高知识衔接 40(10+r+4g9）+160(+0+8）+1000- 【变式1】（高一单元测试）甲、乙两城相距100km. 在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给 200(e+409）+6280,其中>0： 甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地 的距离不少于10km.已知各城供电费用（元）与 (2)由基本不等式可得y=200(+49 +62800 供电距离(km)的平方和供电量（亿千瓦时）之积 都成正比，比例系数均是A=0.25,若甲城供电量 ≥2000X2x .400+62800=142800(元)， 为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月， (1)把月供电总费用y(元)表示成x(km)的函 当且仅当x二0，即x=20时，等号成立 数，并求其定义域： 因此，当x=20m时，总造价最低，且最低总造价 (2)求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电 为142800元. 总费用最小。 题型二二次函数模型的应用 【典例】（高一课时练习）某家庭进行理财投资，根 据长期收益率市场预测，投资债券类产品的年收 益f(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)成 正比，其关系如图1：投资股票类产品的年收益 g(x)(单位：万元)与投资额x(单位：万元)的算 术平方根成正比，其关系如图2. 图1 图2 (1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的 函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投 资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益， 其最大年收益是多少万元？ 【解】(1)依题意可设f(x)=k1x(x≥0)，g(x) =k2x(.x≥0). “fD==8g1)=妇=2， fx)=g(x>0),gx)=(≥0. (2)设投资债券类产品x万元，股票类产品(20 x)万元，年收益为y万元， 则由题意得y=()+g(20-x)=名十 220-0<≤20. 令1=20-x,则x=20-2,1∈[0,25]. y20g+号=-言-2+3e[02 8 .当t=2,即x=16时，ymax=3. ∴.投资债券类产品16万元，股票类产品4万元 时可获得最大年收益，且最大年收益为3万元· 167 衔接必刷题 【变式2】（高一课时练习）某工厂去年1月，2月， 【解】(1)设一次订购量为x个时，零件的实际 3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万 出厂单价降为5元， 件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的 则6-(x-100)·0.01=5,解得x=200, 产量数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量 所以当一次订购量为200个时，零件的实际出厂 y与月份数x的关系，模拟函数可以选择二次函 单价降为5元： 数或函数y=ax十b+c(其中a,b,c为常数).已 (2)当0<x≤100时，f(x)=6, 当100<x<200时，f(.x)=6-(x-100)·0.01 知4月份该产品产量为1.37万件，请问用以上 =7-0.01x, 哪个函数作为模拟函数更好，并说明理由， 当x≥200时，f(x)=5, 6,0<x≤100 故f(x)= 7-0.01.x,100<x<200,x∈N°， 5,x≥200 (3)当一次订购150个零件时，出厂单价为7 0.01×150=5.5元， 该厂获得的利润是：(5.5一4)×150=225元 当一次订购500个零件时，出厂单价为5元， 该厂获得的利润是：(5-4)×500=500元， 故销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利 润是225元：若订购500个，该厂获得的利涧是 500元. 【变式】（福建福州·高一福建省福州第一中学校 考期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔 t(单位：分钟)满足5≤1≤20，t∈N,经测算.该路 无人驾驶公交车载客量(t)与发车时间间隔1满 60-(1-10)2,5≤t10 足：p(t)= ,其中1∈N 160,10≤1≤20 (1)求p(5),并说明p(5)的实际意义： 题型三分段函数模型的应用 【典例】（高一课时练习）某厂生产某种零件，每个 零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励 销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每 多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但 实际出厂价不低于5元. (1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单 价降为5元？ (2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价 为p元，求函数p=f(x)的表达式： (3)销售商一次订购150个零件时，该厂获得的 利润是多少元？若订购500个呢？ 681 一衔接点二初升高知识衔接 (2)若该路公交车每分钟的净收益y=6p()+24 从160开始下降，一直降到80，“速度差函数” u(x)=80: 一10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公 当x∈[10,12]时，无人机做匀减速运动，(x)从 交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大 80开始下降，v(x)=180一10x,“速度差函数” 净收益。 u(.x)=160-(180-10.x)=10.x-20: 当x∈[12,15]时无人机做匀加速运动，“速度差 函数”u(x)=160-60=100. 所以函数u(x)在[6,10]和[12,15]两个区间上 都是常数.故选：C. 【变式1】（全国·高一专题练习）小明去上学，先 步行，后跑步，如果y表示小明离学校的距离， x表示出发后的时间，那么下列图象中符合小明 走法的是 ( y 题型四函数图象与实际问题的交汇 【典例】（北京昌平·高一统考期末）某校航模小 0 组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟 内的速度v(x)(单位：米/分钟)与飞行时间x(单 位：分钟)的关系如图所示.若定义“速度差函数” u(x)(单位：米分钟)为无人机在[0，x]这个时 间段内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的 图像为 ( 0 (x) 60 p 40 120 【变式2】（云南红河·高 一校考阶段练习)如图， 60 △OAB是边长为2的正 三角形，记△OAB位于直 101215x 线x=t(t>0)左侧的图形 tu(x) ulx) 的面积为f(t),则y=f(t) 198 100 80 的函数图象是 20 101215x 101215x 3 6 B u(x) tu(x) 100--- 100--- 80 80 20N 20 6 101215x 0 6 101215x C D 【答案】C 【解析】由题图知，当x∈[0,6]时，无人机做匀加 速选动，)=80+碧，速度差函教”)=4 3: 当x∈[6,10]时，无人机做匀减速运动，速度u(x) 69衔接必刷题 #.④ 由年# 题型十 变式1【解】(1)已知暴函数(x)=(m-3m+3)-*} 即寡函数y一x与y-x③}有3个交点,所以②、④错误。 则m{}-3m+3-1,解得m=1或m=2,$ ③,由于攀函数过点(1,1),所以图像不经过点(一1,1)的 函数,一定不关于y轴对称,③正确. 所以f(x)一x或f(x)=工,又函数f(x)为偶函数,所以 故答案为:①②④。 f(x)-x': 变式2【答案】(2,3) (2)由于暴函数f(x)一工*在[0,十oo)上单调递增,又函数 f(x)为偶函数,所以f(x)在(一oo,0)单调递减, 【解析】因为1-1,故当x-1-1,即x-2时,y-3 即函数y-(x-1)“十2幅过定点(2,3). 若f(2x-1)<f(2-x),则|2x-1<|2-x |,平方后解得 -1<x<1. 故答案为:(2,3). 所以x的取值范围是(-1,1). 题型七 变式2【解】(1)对于寡函数f(x)=(2m一9m十10)x”. 变式1【答案】[1,十o) 得2m2-9m+10-1. .y=(x-1)=x-I..x-1>0,解得:x>1. 【解析】 解得m-或m-3, 'y-(c-1)的定义域为[1,十oo). 故答案为:[1,十). 又当m-3时,f(z)-xt不为偶函数, 变式2【答案】(-,-)U(-,2) .n-3. ./()-*, .g()-}. #,以其定义城为(-co,一)U(一-,2). #(2)一4+. 故答案为:(-,-)U(-3,2). 解得-2: )【答案】1 (2)关于工的不等式g(c)-→0在[1,+o)上恒成立, 一 即+→0在[,+0)上短成立, 【解析】根据定义得到f(x)= 利用分段画数的性质求解,由题意得:f(工) #即[+>1{} -{x-1或x→1 -*,-1x<1 先证明h(x)-^2+←在[1,十oo)上单调递增: 当x-1或x>1时,f(x)>1. &( -(2。)-ì+-(=+)-(2π- 任取x>x>1, 当一1<x<1时,f(x)>1. 综上:函数f(x)的最小值为1, 故答案为:1. 2)(2+):一). 变式2【答案】。* 1 【解析】设f(x)一x”,因为/(x)的图象过(2,4), :x>x>1, .2-4,解得a-2, '.x-x0.(x.十x)xx2,又<2, .f(x)-x2 .(十x。):-k>0. “.f(x)在[0,e]上是单调递增的 '.h(x)-h(x)0,即h(x.)>h(x), f(x)在[o,e]上的最大值为f(e)-e2, 故h(x)-x*十在[1,十oo)上单调递增, 故答案为:e{。 题型九 .h(z)-h(1)-1+b, 变式1【答案】D .1+b>吾,又<2, 【解析】y=x定义域为(-oo,0)U(0,十oo),且在(一oo,0) 解得1-3<b<2. 与(0,十oo)上均为减函数, 且当x(-oo,0)上,y=x3<0恒成立,当x(0,十oo) 专题13 函数的应用(一) 上,y-x>0恒成立, #*{#①#。 [x+1<0 {x十1>0 ③. 【经典例题】 ②或3-2x>0 题型二 3-2xx十1 3-2x<x十1 变式1【解】(1)由题意知:y=0.25×20x2+0.25×10(100 解①得:x<-1, 解②得:, 一)2 解③得:3, 经化简为y-7.5x*-500x十25000,定义域为[10,90] (2)将(1)中函数配方为y- 综上:不等式的解为(-oo,-1)U(2,).故选:D 15(-100)500. 变式2【答案】B 3. 【解析】因为函数f(x)-(a-2a-2)x*(aR)为寡函数, 所以a”-2a-2-1,解得a-3或a--1, 小,0 又寡函数f(x)-(a②-2a-2)x”(aER)在(0,十oo)上单调 递增, 变式2【解】设二次函数为y-x十qx十r 所以a-3,此时f(x)一x*在R上单调递增, [q十r-1 因为f(x+5)<f(x*-3x),所以x+5<x-3x,解得x>5 由已知得4十2q+r-1.2., 或x-1. 9十3q十--1.3 所以不等式,f(x十5)<f(x^{}-3x)的解集为(一o,-1) [-0.05 (5.十). 解之得-0.35, 故选:B. 1,-0.7 100 参考答案 所以y=-0.05x+0.35x+0.7, 2.【答案】C 当x-4时,y--0.05×4+0.35×4+0.7-1.3 fa+b+c-1 {2+t+c-12 #-o_-a,lal-1,b-0,a-1(含去)或b-0,a--1, 又对画数y-ax十吾十c,由已知得 3a+#=一1.3 .b-a-1,选C. 。 3.【答案】 10,1,0,1 【解析】 (a-0.05 当n=1时,x。=x=1=x. 'y-0,当n=2时, .x.'y=1,当n=3时,x:=x.y=, c-1.25 当n=4时,xx。一..y=1,“伴生数列”B是:0,1, ③。 当x=4时,:-0.05×4-104+1. 25-1.375. 0,1. 4.【解】(1).49-5-9......4;49-3-16....1.1.'49不是 根据四月份的实际产量为1.37万元, “差一数”,·'74-5-14...4;74-3-24....2,.74是“差 而y:-1.371-0.0050.07-ly-1.371, 一数”: (2).'“差一数”这个数除以5余数为4,“差一数”这个数 的个位数字为4或9, 题型三 ·大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、 变式【解】(1)(5)-60-(5-10)-35,实际意义为:发车 319324、329,334、339、344、349、354、359、364、369、374、 时间间隔为5分钟时,载客量为35; 379、384、389、394、399,·“差一数”这个数除以3余数为2. (2).:-6(1)+24-10. ·“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2,.',大于300 且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389. 5.【解】(1).3,1,2都不为0,且3十1-4,4能被2整除, t 312是“好数”..6,7,5都不为0,且6+7-13,13不能被5 (6-+216)<10-261.216-38. 整除,.,675不是“好数”; (2)设十位数字为工,个位数字为y,则百位数字为(工十5). 当且仅当6t-216.即t-6时,等号成立, 其中x,v都是正整数,且1<x之4,1<y之9.十位数字与个 位数字的和为:2x十5.当x-1时,2x十5-7,此时y-1或 所以,当t一6时,y取得最大值38; 7,“好数”有:611,617。当x-2时,2x十5-9,此时y-1或 当10<(<20时,y6×60+24-10-384-10,该画数在区 3或9,“好数”有;721,723,729当x=3时,2x+5-11,此时 y-1,“好数”有;831当x-4时,2x+5-13,此时y-1,“好 间[10,20]上单调递减, 数”有:941所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的 则当t-10时,y取得最大值28.4. 个数是7. 综上所述,当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟 6.【解】考查整数问题的综合运用,二元一次方程的应用,正 的净收益最大,最大净收益为38元. 确理解“陌生数”的定义是解题关键 题型四 (1)M(125)-(521+512+215+251+125+152)-111= 变式1【答案】B $6,M(361)-(316+361+136+163+613+631)-111 【解析】由题意可知:x一0时所走的路程为0,离单位的距 -20; 离为最大值,排除A、C. (2).s和t都是“陌生数”,a-100x+42,b-205十10y,.'.M 随着时间的增加,先步行,开始时v随工的变化慢,后跑步 (s)-(200x+42+24+20x+402+204+2x+420+240)- 则y随:的变化快, 111=2x+12,M(t)=(205+10y+502+10y+250+x+520 所以适合的图象为B ++100+25+100v+52)-111-2v+14. 故选:B. .13M(s)+14M(t)-458...13(2x+12)+14(2v+14)= 变式2【答案】A 14,得 01 $6+28y+352-458,13x+14y-53,又.·x-y+2. 【解析】根据题意,当0<(<1时,f(t)-3, M(s)-2X3+12 1r-y+2 当1<( 2时:(1)_3-(2-)-3-(4-4:t+) --3:+2/3:-3. 7.【解】解题关键:正确理解“攀登数”的定义,根据定义列出 关系式。 (1).3<6<9,3+6-9,故369是“攀登数”,·1<4 7,1+ 当t2时,f(t)-V3, 47,故147不是“攀登数”. 所以只有A选项符合, (2)设1的百位,十位,个位数分别为工,y,z,由题意可 故选:A. [t-100x+10y+z 得xy: . 衔接点三 初升高专题特训 a十y=z 设M-3t+z-3(100x+10y+z)+z=300x+30y+4= 300x+30y+4(x+y)-304x+34y=(301x+28y)+(3x+ 专题1 定义新运算题型--数的概念 6) -(301x+28)+3(x十2).的3倍与t的个位数字的和 1.【答案】D 能被7整除,要使M能被7整除,则x十2y能被7整除, 【解析】 本题考查了平方差公式的应用,理解“幸福数”的定 又.xyz,.x十y9..(x,y)的可能组合有(1,3),(2. 义,正确列出“幸福数”的代数式是解题关键。 6),则1的取值为134,268, 设两个连续奇数中的一个奇数为工,则另一个奇数为工十2 P$134)-4-3-1-6,P(268)-8-6-2-24,.'P$(t$) 先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为4(x十1),再看四个 的最大值一24. 选项中,能够整除4的即为答案。 8.【解】(1)·5+3-2×(3十1),.,5313是”共生数“,·.6+7 解:设两个连续奇数中的一个奇数为工,则另一个奇数为工 子2X(3十4),.,6437不是“共生数”; 十2,由这两个奇数得到的“幸福数” (2).”是“共生数”,根据题意,个位上的数字要大于百位上 为(x+2)*-x^②-2(2x十2)-4(x十1),观察四个选项可知, 的数字,设n的千位上的数字为a,则十位上的数字为2a,(1 只有选项D中的520能够整除4,即520-4-130 <a4),设n的百位上的数字为,.个位和百位都是0一 故选:D. 的数字,,个位上的数字为9一b,且9-bb,..0b4. -101