第2章 专题12 幂函数-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

参考答案 题型十 不正确： 变式I【答案】C 对于D:y=一x十1在（一1，十∞）上单调递减，故选项D不 【解析】x<0时，f(x)=x- 】是增函教（增函数十增西敦 正确： 故选：A =增西数)，只有选项C满足， 变式2【答案】C 故选：C 【解析】依题意可设f(x)=x, 变式2【答案】B 【解析】因为f(x)=|x一】，所以定义接为(xr≠01，所 则（侵）广=4，解得a=-2,所以了x)=x 故f(x)是偶函数，且在（一o∞，0）上是增函数，在(0，十∞)上 1 是减函数 以(x)=x >0 ,当x>0时f(x)=x 故选：C 1 -x<0 题型四 变式1【答案】D 子，周为y=x与y=在0，十0)上单调适增，所以画 【解析】由题意知f(x)是偶函数，因为f(x)在（一o∞，0）上 数f(x)在定义域(0，十o)上单调递增，故捧除A.C,D, 单调递减， 故选：B 所以-m十2m十要为正妈量， 专题12幂函数 又-m+2m+智-m-1+< 【经典例题】 ÷-0m-10+号-2，解得m-号或一写 题型一 故选：D 变式1【答案】B 变式2【答案】C 【解析】因为幂函数f(x)=x的图像经过，点(4,2)， 【解析】令g(x)=f(x)-2=x 所以2=4°， a+bx∈R),g(0)=fo) 所以。=多 -2=0, 所以g(-x)=f(-x)-2= 故选：B. ax+b=一R(x),所以g(r)为 变式2【答案】B 奇函数， 【解析】因为f(x)=(6-1)x是暴函数，所以b-1=1.解 因为(x)在(0，十co)上有最大值M=3,所以g(x)在(0，十oo) 得b=2, 上有最大值1， 又因为)的因象过点(3，号），可得f3)=(3) 所以g(x)在(-∞，0)上有最小值一1，即f(.x)一2在 (-∞，0)上有最小值-1， 号解得a=-2 所以f(x)在（一o∞，0）上有最小值1，即N=1,则M+N=4. 故选：C 所以a十b=一2十2=0. 题型五 故选：B. 变式1【答案】D 题型二 【解析】由题意可知，y1=112=(11)=121, 变式1【答案】C y=81=(2)=2=(2)4.6=1280.4. 【解析】设f(x)=r,因为f(x)的图象经过点(8,4)， 因为y=x“在(0，十∞)上是增函数，130>128>121，所以 所以8=4，脚2=2，解得a=号，则)==万， yi>y:>y. 故选：D. 因为f(-x)=(-x)=云=f(x),所以f(x)为偶函 变式2【答案】C 数，排除B、D, 【解析】对于A选项，因为y=x在[0，十∞)上单调递增， 因为f(x)的定义域为R,排除A. 因为f(x)=r于在[0，十o)内单调递增，结合偶西数可得 所以（号）<（受）°，故A错误， f(x)在（一∞，0]内单调递减，故C满足， 对于B选项，因为y=x在（一©，0）上单调递减，所以 故选：C, 变式2【答案】C （号)厂>(-号)故B婚误， 【解析】设幂西数的解析式为y=x”,因为该暴函数的图象 对于C选项，y=x寸为奇函数，且在[0，十○)上单调递增，所 经过点P(2,) 以y=x在（一o∞，0）上单调递增， 所以2=即2=2，解得。=-2 因为(-22)3=(-号)于=(-)产又(-2.1 即该暴函数的解析式为y=x2,其定义城为{rx≠0， y=x为偶函数，且在(0，+∞)上为减函数， <(), 故选：C 题型三 所以（一2.1）1<（一2.2）7，故C正确， 变式1【答案】A 对于D选项，y=x寸在[0，十∞)上是递增函数， 【折】对于A中十2=1所以话 又(-)广=()）广，所以()>()，所以 足在（一1，十©）上是增函数，故选项A正确： 对于3到=(00周为，=2在R上是号 (仁合)广>（台），故D错溪. 函数，所以y=3引x”在（一1,0）上单调道减，在(0，十∞)上 故选：C 单调递增，不特合题意，故迭项B不正确： 题型六 对于Cy=-在(-1,0)和(0，十0)上都是增画数，定艾 变式1【答案】①②④ 【解析】①，y=x中=√F,不关于原点对称，也不关于y轴 城为{xx≠0，不满足在（一1，+∞）上单调递增，故选项C 对称，所以①错误， 99 衔接必刷题 @.国由解得二支8 题型十 y=r 变式1 【解】(1)已知暴函数f(x)=(m2-3m+3)xm 即暴函数y=x与y=x有3个交点，所以②，①错误. 则m2-3m+3=1,解得m=1或m=2, ③，由于暴函数过点(1,1)，所以图像不经过点（一1,1）的幂 所以f(x)=x或f(x)=x,又函数f(x)为偶虽数，所以 函数，一定不关于y轴对称，③正确， f(x)=x': 故答案为：①②①. (2)由于幕函数f(x)=x'在[0，十∞)上单调适增，又函数 变式2【答案】(2,3) f(x)为偶函数，所以(r)在（一∞，0）单调递减， 【解析】因为1=1，故当x一1=1，即x=2时，y=3, 若f(2x一1)<f(2一x).则|2x一1<2一x,平方后解得 即函数y=(x一1)+2恤过定点(2,3). 1<x<1 故答案为：(2,3). 所以x的取值范围是（一1,1）， 题型七 变式1【答秦】[1.十∞) 变式2【解】()对于暴函数f(x)=(2m°-9m+10)x, 得2m2-9m+10=1, 【解析】，y=(x-1)7=、x-I,x-1≥0，解得：x>≥1. ∴y=(x-1)的定义域为[1.+o∞). 解得m=号或m=3, 故答案为：[1，十∞). 又当m=号时)=中不为锅高纸， 变式2【答案1（-©，-})U(-了2) m=3, 【解折】要化西数有意义，则高保0解得<2且工 .f(x)=x, 六g(x)=x2+k ≠-寻所以共定义城为(-©，-号)U(-言2)， ÷g(2)=4+多=5， 2 故答案为：(-©，-名)U(-号2) 解得k=2: 题型八 变式1【答案】1 （2)关于x的不等式g)-产>0在[1.十∞)上恒成立， 【得折】格路定义得到)=(：真然后 卑+专->0在[1.+四)上投减 利用分段函致的性质求解，由题意得：于(x) =xx≤-1或r21 [+]> 1x2,-1<x<1 先证明h(x)=r2+冬在[L,十6∞)上单调递增： 当x≤-1或x≥1时，f(x)≥1， 任取x>x>1, 当一1<x<1时，f(x)>1, 综上：函数f(x)的最小值为1， 则b(x,)-h(x)=x+-（+)=(x 故答案为：1. 变式2【答案】 )(红+-) 【解析】设f(x)=x,因为f(x)的图象过(2,4)， x1>T>1, .2"=4,解得a=2, 1-x>0,(x1十r)x1:>2,又k≤2， () ∴.(x1十xx1x:-k>0, :f(x)在[0，e门上是单调递增的 .h(x1)-h(x)>0,即h(r1)>h(r), f(r)在[0，e]上的最大值为f(e)=e, 故hx)=x'+在[1，十oo)上单调递增， 故答案为：， 题型九 h(x).=h(1)=1+k, 变式1【答案】D 1+>2,又≤2， 【解析】y=x专定义域为（一∞，0）U(0十∞)，且在(-0,0) 解得1-√3<k≤2. 与(0，十∞)上均为减函数， 且当x∈(-∞，0)上，y=x<0位成立，当x∈(0，+e∞) 专题13函数的应用（一） 上，y=x>0恒成立， x十10 故后9D或520 x+1>0 ②或3-2.x>0 ③ 【经典例题】 题型二 3-2.x<x十1 3-2x<x+1 解①得：x<一1， 变式1【解】(1)由题意知：y=0.25×20x2+0.25×10(100 解②得：⑦， -x） 解③：号<<号 经化简为y=7.5x2-500x十25000，定义战为[10,90]. (2)将(1)中画数配方为y=艺(r-2婴，)+2500= 综上：不等式的解为(-0，-1DU(号，号）.故选：D 变式2【答案】B 5(。-19)'+00. 3 【解析】因为函数f(x)=(a-2a-2)x(a∈R)为幂函数， 所以当r=10即核电站距甲城0km时，月供电总费用最 3 3 所以a-2a-2=1,解得a=3或a=一1， 又暴函数f(x)=(a一2a一2)x(a∈R)在(0，十∞)上单调 小，为50000元. 3 递增， 变式2【解】设二次函效为y=px+qx十r, 所以a=3,此时f(x)=x在R上单调递增， p+q十r=1 因为f(x+5)<f(x2-3.r).所以x+5<x-3r,解得x>5 由已知得4p+2q+r=1,2,… 成x<一1， 9p十3g+r=1.3 所以不等式，f(x十5)<f(x2-3x)的解集为(-o,-1)U p=-0.05 (5,+0∞)， 解之得q=0.35 故选：B r=0.7 100衔接必刷题 【变式1】(陕西安康·高一统考期中)函数/(x)= 【变式2】(山西大同·高一统考期中)函数/(x)= ( ) D 专题12 幕函数 知识梳理 知识点一 霍函数概念 (2)a0时,寡函数的图象通过原点,并且在区间 形如y三x*(aER)的函数,叫做寡函数,其中。 [0,十)上是增函数,特别地,当a1时,寡函数的 为常数. 图象下凸;当0 。1时,幕函数的图象上凸. 知识点诠释:寡函数必须是形如y三x“(aER)的 (3)0时,寡函数的图象在区间(0,十)上是 函数,幕函数底数为单一的自变量x,系数为1. 减函数,在第一象限内,当工从右边趋向原点时,图 指数为常数,例如:y-3x,y-r2+1,y-(x-2) 象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于 等都不是寡函数 十时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 知识点二 寡函数的图象及性质 2.作寡函数图象的步骤如下: 1.作出下列函数的图象: (1)先作出第一象限内的图象 (2)若寡函数的定义域为(0,十一)或[0,十o), (1)y=x;(2)y=x;(3)y=x2;(4)y=x-1; 作图已完成;若在(一-o,0)或(一co,0]上也有意 (5)y-:3. 义,则应先判断函数的奇偶性,如果为偶函数,则 根据v轴对称作出第二象限的图象;如果为奇函 数,则根据原点对称作出第三象限的图象 3.寡函数解析式的确定 (1)借助寡函数的定义,设寡函数或确定函数中 相应量的值. (2)结合寡函数的性质,分析寡函数中指数的特征 (3)如函数f(x)一·x*是幕函数,求f(x)的表 达式,就应由定义知必有一1,即/(x)一x*. 4.寡函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单 调性,当不便于利用单调性时,可与0和1进行 知识点诠释:寡函数随着a的取值不同,它们的 比较,常称为“搭桥”法 定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些 (2)比较寡函数值的大小,一般先构造寡函数并 共同的性质: 明确其单调性,然后由单调性判断值的大小. (1)所有的幕函数在(0,十)都有定义,并且图 (3)常用的步骤是:①构造寡函数;②比较底的大 象都过点(1,1). 小;③由单调性确定函数值的大小. 62 衔接点二 初升高知识衔接 经典例题 题型一 幕函数的概念 【典例】(高一课时练习)下列函数为寡函数的是 ( ) A.y-2x2 B$y-22-1 2 C.y D.y-2 【答案】D 【解析】 由暴函数的定义可知:y一x^*}是暴函 C D 故不是寡函数,故选:D 【变式2】(湖北十堰·高一统考期末)已知寡函 【变式1】 (江苏扬州·高一统考期中)已知寡函数 数的图象经过点P(2.),则该幕函数的大致图 f(x)一”的图像经过点(4,2),则a的值为( ) # 象是 C.-2 D.2 【变式2】 (高一课时练习)已知器函数((x) (6-1):"的图象过点(v3.,),则a十6等于( B.0 _ D.1 题型二 寡函数的图象的应用 【典例】(全国·高一专题练习)如图,下列3个幕 函数的图象,则其图象对应的函数可能是 ) 题型三 寡函数的单调性 【典例】 (高一课时练习)下列函数中,在区间 (一,0]上为增函数的是 ( ) B--2 ② ③ D.--③ A.①y--1,②y-{,③y-}$ 【答案】B B.①y=-1,②y-,③y-{} 【解析】由于y一 C.①y-x,②y-xt,③y=-1 数,在x一0时无意义,A错误;y--r^}在(-. D.①y-x,②y=x-1,③y- {$ 【答案】A 0]为单调递增函数,B正确;y一工定义域为 [0,十),在(-co,0)无意义,C错误;y=-3 【解析】由函数y---1-是反比例函数,其 在(一,0]为单调递减函数,D错误,故选:B. 对应图象为①;函数y一x{}一vx的定义域为(0. 【变式1】(陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考 阶段练习)下列函数中,在区间(一1,十)上是 十),应为图②;因为y=x的定义域为R且为 增函数的是 ( ) 奇函数,故应为图③,故选:A. A.-:+11+2 B.y-3lx|3 【变式1】(全国·高一专题练习)已知寡函数/(x) D.y--x十1 的图象经过点(8,4),则f(x)的大致图象是 H63 衔接必刷题 【变式2】(山西大同·高一统考期中)已知寡函 【解析】 】:已知函数f(x)-(m{-m-1)”-1 数f(x)的图像过点(,4),则对f(x)的表述正 是幕函数, 'm2-m-1-1, 确的有 ) ..m=2,或n=-1,f(x)=x,或f()=x. A.是奇函数,在(0,十)上是减函数 对任意的x1,x2(0,+oo)且x1子x,满足 B.是奇函数,在(一,0)上是增函数 f(x)一f(x2) 20,故f(x)是增函数,.f(x)-x. C.是偶函数,在(0,十x)上是减函数 x1-x2 D.是偶函数,在(一o,0)上是减函数 若a,bER,a+1+b 0,即a+1<-b, 题型四 寡函数的奇偶性 &(a+1) <(-b),即(a+1)7<-b,即(十 【典例】 (山西吕梁·高一统考期中)寡函数y一/(x) 1)7+67<0. 的图象过点(2,v2),则关于该寡函数的下列说法 则 f(a)+f(b)=(a十1)+b 0,故选:B. 正确的是 ( ) 【变式1】(辽宁葫芦岛·高一校联考期中)设y 111.2,y2-81.4,y3-1300.6,则 A.经过第一象限和第三象限 ( ) A.y2>y3>y1 B.经过第一象限 B.y3>y1>y2 C.y1>y3>y2 C.是奇函数 D.yy2>y1 D.是偶函数 【变式2】(福建南平·高一统考期中)下列比较 【答案】B 大小中正确的是 ##(3#){#()#< 【解析】因为暴函数y一f(x)一x*的图象过点 B.(-##(#-3)# C.(-21)(-2.2)- .(#-){#{一()封} -,f(x)定义域为[0,十oo)不关于原点对 题型六 定点问题 称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数,由f(x) -x→0知,函数图象经过第一象限,故选:B. 【典例】(上海徐汇·高一统考期末)当aER时, 函数y-.*-2的图象恒过定点A,则点A的坐 【变式1】 (广西贵港·高一统考期末)若寡函数 标为 f(x)=-叶+2a+{的图象关于y轴对称,f(x) 【答案】 】(1,-1) 解析式的幕的指数为整数,f(x)在(一o,0)上 【解析】 由于对任意的aR,y一x*恒经过点 单调递减,则m一 ( ) .#4 (1,1),所以函数v一x“一2的图象恒过定点A(1 #.# 一1),故答案为:(1,一1). 【变式1】(高一课时练习)有关幕函数的下列叙 述中,错误的序号是 ①寡函数的图像关于原点对称或者关于y轴对称 【变式2】(广东珠海·高一珠海市第一中学校考 ②两个寡函数的图像至多有两个交点; 期中)已知/(x)-+2(常数ab≠0)在 ③图像不经过点(一1,1)的寡函数,一定不关于 ax十6 y轴对称; (0.十o)上有最大值M一3,若f(x)的最小值为 ④如果两个幕函数有三个公共点,那么这两个函 N.则M+N= ( ) 数一定相同. A.0 B.3 C.4 D.5 【变式2】(河南濮阳·高一濮阳一高校考期中) 不论实数a取何值,函数y一(x-1)“十2恒过的 题型五 寡值大小的比较 定点坐标是 【典例】(广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校 题型七 定义域问题 考期中)已知幕函数/(x)-(m②-m-1).x”-1. 【典例】(浙江·高一校联考期末)已知幕函数y 对任意的x1,x(0,十)且x1子x,满足 一3a文”,则此函数的定义域为 #(x)-f(x2)→0,若a,bR,a+1+b<0,则 【答案】 (-。o.0)U(0,十o). t1x2 【解析】 1 由幕函数y--3ar*,可得-3a-1,解得。 /(1十a)十f(b)的值 ( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 一-3ax*的定义域为(-,0)(0,十). 【答案】 1 B 故答案为:(一,0)(0,十o). 64 衔接点二 初升高知识衔接 【变式1】 (上海青浦·高一上海市青浦高级中学校 【变式2】 (山东泰安·高一山东省泰安第二中学 考阶段练习)函数y一(x一1)的定义域是 校考阶段练习)已知寡函数f(x)=(a{2-2a-2) 【变式2】(山东河泽·高一阶段练习)已知/(x) r“(aER)在(0,十o)上单调递增,不等式f(x十 5)<f(r2-3x)的解集为 ( ) v2-x A.(-,-5)U(1.+) 题型八 值域问题 B.(-o,-1)U(5,+oo) 【典例】 C.(-1,5) (黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考 期中)函数y=x在区间[-4,-2]上的最小值 D.(-5,1) 题型十 是 寡函数综合问题 【典例】 (四川广安·高一校考阶段练习)已知寡函 【答案】 8/-0.125 数f(x)=(n+m-5)x”1(mER)在(0,+o)上 【解析】因为函数y--3-1 单调递增. (1)求m的值及函数f(x)的解析式; 调递减,所以当x=-2时,ymin=(-2)-3= (2)若函数g(x)=-V[f(x)]+2ax+1-a在 [0,2]上的最大值为3,求实数a的值 (-2)=一 【解】(1)函数f(x)-(n{}+m-5)+1(m R) 【变式1】(全国·高一专题练习)已知maxa,b (m^②+m-5-1 在(0,十)上单调递增,故 (b,a<b ,解得 ln+10 m-2,故/(x)-x3; 义域为xlx<0或x0,则函数f(x)的最小值 为 (2)由(1)知;f(x)-,所以g(x)=-[f(x)]{}+ 【变式2】(高一课时练习)已知幕函数f(x)的图 2ar+1-a=-x2+2ax+1-a,所以函数g(x)的图 象过(2,4),那么f(x)在[0,e]上的最大值为 象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x-a; 由于g(x)在[0,2]上的最大值为3, 题型九 解不等式问题 ①当a→2时,g(x)在[0,2上单调递增,故 【典例】(重庆·高一校联考期末)已知函数/(x) g(x)mx=g(2)-3a-3-3,解得a=2; ②当a<0时,g(x)在[0,2]上单调递减,故 g(x)max-g(0)-1-a-3,解得a=-2; 范围是 ) ( ③当0<a<2时,g(x)在[o,a]上单调递增,在 A.(-。~) B.(2()U(,4)# [a,2]上单调递减,故g(x)max-g(a)-a^2+1- a=3,解得a三-1(舍去)或a三2(舍去). D.(-)(4.,+0) 综上所述,a-士2. C.(4,十oo) 【变式1】(辽宁葫芦岛·高一统考期末)已知幕 【答案】B 函数f(x)=(m②-3m+3)x4m-”是偶函数. 【解析】 (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(2x-1)<f(2一x),求x的取值范围 上递减. ·'f(a+1)f(3-2a) 'la+1>3-2al,(a+1)(3-2a), .ae(,4) .(2,3)U(,4)#.故选:B. 【变式1】(江苏苏州·高一星海实验中学校考期 中)不等式(x十1)-<(3-2x)的解为( ) B.(-#)# A.(0,十。o) C.(03) D.(-o0,-1({#3) /65 衔接必刷题 【变式2】(福建龙岩·高一统考期末)已知幕函数 (2)已知k<2,若关于x的不等式g(x)一 12) f(x)=(2n-9m+10)x”-1为偶函数,g(x)= /(2)(hR). 在[1,十)上恒成立,求 的取值范围 (1)若g(2)-5,求k; 专题13 函数的应用(一) 知识梳理 知识点一 用函数模型解决实际问题的一般步骤 知识点二 常见的函数模型 1.审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关 1.一次函数模型:即直线模型,其特点是随着自变 系,用函数刻画实际问题,初步选择模型 量的增大,函数值匀速增大或减小.现实生活中 2.建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知 很多事例可以用该模型来表示,例如:匀速直线 识,建立相应的数学模型 运动的时间和位移的关系,弹蜜的伸长量与拉力 3.求模:求解数学模型,得到数学结论 的关系等. 4.还原:利用数学知识和方法得出的结论还原到实 2.二次函数模型:二次函数为生活中最常见的一种 际问题中. 可将这些步骤用框图表示如下: 数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小 分析、联想、抽象、转化建立函数模型 值),故最优、最省等问题常常是二次函数的模型 实际问题 3.分段函数模型:由于分段函数在不同的区间中具 E长 有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化 的实际问题,或者在某一特定条件下的实际问题 实际问题结论. 转详 数学问题结论 中具有广泛的应用. 经典例题 题型一 分式型函数模型的应用 造价为100元m{},其他设施等支出约为1万元 【典例】 (广东深圳·高一深圳外国语学校校考期 设游冰池的长为xm. 中)生命在干运动,运动在于锻炼,其中,游泳就 (1)试将总造价y(元)表示为长度x(m)的函数; 是一个非常好的锻炼方式,游冰有众多好处,强 (2)当x取何值时,总造价最低,并求出最低总 身健体、保障生命安全、增强 造价. 心肺功能、锻炼意志、培养勇 【解】 (1)因为游泳池的长为xm,所以游泳池 敢顽强精神、休闲娱乐,近几 的宽为100 m,铺游泳池的花费为100×(400十 2 年,游冰池成了新小区建设 的标配家门口的“游冰池”,成了市民休闲娱乐的 ) 好去处,如图,某小区规划一个深度为2m,底面 区的花费为200×[(x+8)(400+8)-400]- 积为400m{}的矩形游冰池,按规划要求:在游泳 池的四周安排4m宽的休闲区,休闲区造价为 200元/m{},游冰池的底面与墙面铺设瓷砖,瓷砖 66