第2章 专题11 函数的基本性质-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 变式2【答案】A 题型九 【解析】y=一x的定义战为R, 变式1【答案】CD 对选项A:y=一F=一x,定义城为R,且解析式相同， 3x+5,x≤0 正确； 【解析】因为函数f(x)= 对法项By=的定又城为(-0,1DU1,十) x+>ofa)=2, 所以当a≤0时，3a十5=2，解得a=-1, 错误； 当a>0时，a十合=2，即公2-2a十1=0解得a=1, 对选项C:y=一√=一|x,解析式不同，错误； 故选：CD. 对速项D:y=一√E·√反的定义战为[0，十o∞)，错误 变式2【解】(1)f(一3)=-3+2=-1： 故选：A 题型六 又（受）=（受）=是所以[（受）]=f(得)=号 变式1【答案】一9 【解析】依题意，g(-1)=一3，所以f几g(一1)]=f(一3)= (2)0当a<-1时fa)=a+2=号>a=-是满足题意： 2×(一3)一3=一9.数答案为：一9 变式2【答案】1 ②当-1<a<2时，fa)=a2=言>a=士号，满足题意： 【解析】由表可得g[f(2)]=g(3)=1, 故答案为：1 @当a≥2时，fa)=2a=号>a=<2,不满灵题意 题型七 /3x-4,x≥3 上0②@：a的值为-号或士号 变式1【解】因为y=2x一1+1x一3引 题型十 变式1【答案】[1,3)U(3,5)/(3,5)U[1,3) 【解析】根据题意，集合A表示大于等于1小于5，且不等 当x≥3时，y=3x-4≥5， 于3的实数的集合， 故可用区间表示为：[1,3)U(3,5) 当<x<3时y-x+2(侵，5)， 故答案为：[1,3)U(3,5). 5 变式2【答案】(-2,0)U(0,2] 当x≤2时y=-3x十4>号 【解析】集合{x|一2<x≤2且x≠0}用区间表示为（一2， 0)U(0,2]. 故画数的最小值为号， 故答案为：(-2,0)U(0,2]. 变式2【答案】B 【解折们设y33+y=3++8.-3 专题11函数的基本性质 -x+y-3=0, 【经典例题】 x=0时，y=3, 题型一 y≠3时，国为x∈R,所以4=1-4-3)≥0，解得号≤ 变式1【答案】D <号脚<号县y8 -7 【解折】画数y=丈十z十2对称轴为工=一名，开口向上， 所以函数y=x2+x十2，x∈（一5,5）的单调减区间 综上》<y<子，最大值是子，最小值是号，和为6 为(-5，-) 故选：B 故选：D 题型八 变式2【答案】A 变式1【解】(1)当一2≤x≤1时，设f(x)=kx十b,(k≠0)， 【解析】由已知，函数y=x2一3x为偶函数， f(x)的图象过A(-2,0),B(1,3)两点， 当x≥0时，y=x2-3x;当x<0时，y=x°+3x; ∴.一2k十b=0且k十b=3,解得k=1,b=2,.f(x)=x十2， 可画出函数图像，如下图所示： (-2≤x≤1)； y=x2-3lxl 当>1时f)=马 “f)的图泉过点C2,3)心2号=3，解得a=3 fx)=3 -1(x>1), 3 综上，f(x)= x-1(>1) x十2，(-2≤x≤1) 3 x--2 2fF]=f合)= 所以画数的单调递减区间为(-©，一号)[0，号)】 (3)当-2≤x≤1时，f(x)=x十2，由f(x)=1,得x十2=1， 解得x=一1： 故选：A 题型二 当>1时，)=马由f)=1,得月=1，解得2 变式1【答案】C 4,综上，方程f(x)=1的解为：一1,4， 【解析】由x2+2x≥0，得x≤-2或x≥0，则函数的定义 变式2【答案】82 域为(-∞，-2]U[0,+∞)， 【解析】令f(x)一3=t,所以f(x)=3十t, 令t=x2+2x,则y=一E, 又因为f()=4,所以3+t=4, 因为t=x2+2x在（一∞，一2]上单调递减，在[0，十∞）上单 又周为y=3十t一4是R上的增函数且3+1=4，所以t= 调递增，y=一F在定义战内为减函数， 1,所以，f(x)=3+1,所以f(4)=3+1=82. 所以y=一√+2x在(-∞，-2]上递增，在[0，十∞)上 故答案为：82. 递减， 96 参考答案 所以y=一√金+2z的单调增区间为（一∞，一2]， 题型五 故选：C 变式1【解】(1)因为方程f(x)=x有两个相等实根， 变式2【答案】A 所以ax2+(6-1)x=0,△=(b-1)2=0,即b=1. 【解析】令t=一x+x+2>0,解得f(x)=√一x十x+2 又周为f2)=4a十25=0，解得a=-宁 的定义城为[-1,2] “=-2+x+2在[-1，]上递增，在[合，2]上递减， 所以f)=名+五 函数y=F在[0，十o∞)上为增函数 （2)周为x=(-1,2],f@)=--2z+1D+7-2 “画数f)=√一2+x+2的单调增区间为[-1，号】] +号 故选：A 所以函数f(x)是开口向下的抛物线，对称轴是x=1, 题型 变式1【解】(1)函数y=f(x)在[0，十o∞)上单调递增，证 所以当红=1时，x)取得最大值f)m=名 明如下： 任取x1x2∈[0，十∞)且0<x1<x2, 当x=-1时(-1D=-是， 因为)=骨-2 x+1' 所以f)的值城是(-是，] 则f)-5)=2--(-)- 变式2【解】(1)将a=1代入f(x)得：x2+2x-3<0,即(x 十3)(x-1)<0,解得-3<x<1,即x∈(-3,1)： 3 3(x1-x） (2)将a=1代入f(x)得：f(x)=x2+2x-3,函数图像 1+1(x1+1)(x+ID1 如下： 因为0<x1<x2,所以x1x2<0,x1十1>0，x十1>0， 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<∫(x2),所以函数y= f(x)在[0，十∞)上单调递增. (2)由(1)知函数y=f(x)在[1，m]上单调递增， 所以高数y=f✉)的最大位为fm）=-品，最小值为 -2-1 所以)号即子名名解得m=2 13 变式2【解】(1)证明：在等式f(xy)=f(x)f(y)中，令x= 1,y=2,可得f(2)=f(1)f(2), 所以，f(1)=1, 对任营的>0，在等式》=)中，◆y-名可 当x∈[-2,3]时，f(x)m.=f(-1)=-4,f(x)ma=f(3)= 释x)r(2）-f=1. 12,x∈[-2,3)时的值拔为[-4,12)： (3)由x2+2ax-3≥-6得x2+2ax+3≥0，即△=4a2-12 (2)证明：由题意可知，当x>1时，0<f(x)<1,且对任意的 ≤0，解得-√3≤a≤3， x>0,f(x)>0, 即a的取值范国是[一√3，W3]: 任取工x∈(0，十∞)且x1>x2,则>1， 综上，(1)解集为x∈（一3,1），(2)值城为[一4,12)，(3)a的 所以，f(臣）=f(2)密1，所以aa. 取值范围是[一√3w3. 题型六 所以，函数∫(x)在(0，十∞)上为减函数 变式1【答案】BCD (3)因为f2)=司，则f(侵)-高=9=3×3=f(m) 【解析】A.因为了(-x)=一一x二山=x+1≠ f(m)=f(m2), 一f(x),所以孩函数不是奇函数： 1 B.当x>0时，f(-x)=-x3-1=-f(x), 因为函数f)在(0，十o)上为成函数，则m=2,解得m 当x<0时，f(-x)=-x3+1=-f(x),而f(0)=0, m>0 所以该函数是奇函数： 2 C南二次根式的性质可知：8=士1，则有 题型四 =0, 变式1【答案】A 显然有f(一x)=一∫(x),因此该函数是奇函数： 【解析】由x2-4x-2≥-x十2，即x2-3x-4≥0，解得x ≤-1或x≥4； D由二次根我的性质和分号不为家可知：仔千名3≠0> 由x2-4z-2<-x+2,即x2-3x-4<0,解得-1≤x≤4. x∈[-√2,0)U(0w2, 由题意f(x)=(-4红-2，x≤-1或≥4 2-x =2-z-2-z 一x+2,-1<x<4 所以f(x)= 1x+3-3x+3-3 则f(x)在(-∞，1门上单调递减，在（一1,4）上单调递减，在 [4,十∞)上单调递增， 于是有(-x)=- 2- -=一∫(x),因此该函数是奇函 x 故函数f(x)的最小值是f(4)=一2. 数，故选：BCD. 故选：A. 变式2【答案】C 变式2【解】(D)=-上的定又城为zz≠0，关于 【解析】函数f(x)=x2+2kx一5的对称轴为x=一k, 原点对称， 因为函数f(x)=x2+2kx一5在[一2,4上具有单调性， 所以一≥4或一≤一2，即k≤一4或k≥2. f(-x)=(-)2-1=-(x-)=-fx),则fx)为 x 故选：C, 奇函数 97 衔接必刷题 @由8将得红=士1，因f)=V2+ [-2,21m-2m+≥7 √一x的定义城为{一1,1}，关于原点对称， 即m2-2m≥0，于是有m(m-2)≥0，解得m≥2或m≤0，因 又f(x)=0,则f(x)既是奇函数，也是偶函数 此，实数m的取值范围是（一co,0]U[2,十○）. 8)由2+90可得-K<0或0<6， 变式2【解】(Q)因为函数f(x)=二是定义在R上的寺 x2+61 f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数，也 函教，则f0)=-号=0，可得a=0, 不是偶函数. 题型七 则e)年6期2)。1，解得6-4：所以，1) 变式1【答案】D 【解析】因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(一x)= 一中下面验证画数fx)为奇画数。 4x -f(x),g(-x)=g(x). fx)+g(x)=3x+2 x-2 对任意的工E:工+4>4，故函数f()=年的定义线 所以， /-x)+g(-x)=-3x+_2 为R, -x-2 -4x 2 则f-)=-+4年4=-f®)，故画数fa) f(x)+g(x)=3x+ 即 x-2 2 年为寺画数，合平题意， -fx)+gx)=-3xx+2 因此，a=0,b=4. 国此)=3z+ (2)函数f(x)在[2，十o)上单调递减，证明如下： 任取x1、x,∈[2，十∞)且x1>x2,即x1>x2≥2，则x2一x 故选：D. <0,x1x2>4, 变式2【答案】B 则fx)-f)开4十4 4红1_4红1_4红(z+4)-4红(x十4) 【解析】由f(x)=ax2-bx+1是定义城为[a,a+1]的偶 (x+4)(x十4) 函数得 a+a+1=0 气0 所以，f(x1)<f(x2),故函数f(x)在[2，十o)上单调递减. b=0 (3)若对任意的x1∈[2,4们，总存在xz∈[0,1]，使得f(x1)= a-d2=(-)°-(-)‘= g(x2)成立， 则函数f(x)在[2,4]上的值域为函数g(x)在[0,1]上的值 故选：B. 域的子集， 题型八 因为函数f(x)在[2,4]上单调递减， 变式1【答案】D 【解析】由于f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x) 则当x∈[2,4时，fx)=f(2)=1,f(x)=f4)=号， 又因为x∈[0，十∞)时，f(x)为增函数， 所以f(2x-1)=f(|2x一11)<f(1), 所以，记f)在区同[2，幻内的值线为A=[台1] 有2x-1<1,即-1<2x-1<1,0<x<1, ①当m=0时，g(x)=一2x+2在[0,1]上单调递减， 故选：D. 则g(x)=g(0)=2,g(x)=g(1)=0,得g(x)在区间 变式2【答案】A [0,1门内的值城为B=[0,2]. 【解析】由题意可得1一x2>0,所以一1<x<1, 因为A二B,所以对任意的x1∈[2,4们，总存在x2∈[0,1门，使 即函数的定义城为（一1,1）， 得f(x)=g(x2)成立. 所以f(x)=工-2-2_2-x-2」 -21-云1-元' ②当0<m<1时，>1,8)在[0,1门上单调递减，且2- ∈[1,2)， 云一f田)，所以f)为寺画数， 对f(-x)=x 则g(x)=g(0)=2-m,g(x)m=g(1)=0,得g(x)在区 间[0,1]内的值城为B=[0,2一m], 所以f(x)十f(x)=0,即M十m=0. 因为A二B,所以对任意的x1∈[2,4]，总存在x2∈[0,1]，使 故选：A. 得f(x1)=g(x2)成立. 题型九 变式1【解】(1)函数f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数 ⑦当1Km<2时，<<1，g)在[0，]上单满递减， ÷f0)=0,即冬=0b=0. 在[品]上单河递增， 又因为)=号，甲f(-1D=一号=一号，所以a=1,经 期g)=g0=2-m,gx)m=g(月)=-a十2-m 检验得符合题意. 得g(x)在区间[0,1]内的值域为 综上所述a=1,b=0. 园0咖160aa子有由时 2-m≥1 x 式组无解 勾函数的性质知，x十4在[-2,0]上单调适减，所以(x)在 ④当m>2时，0<<分8)在[0，品]上单调递减，在 [一2,0]上单调递增， 又因为函数f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数 [品1]上单河递增， 所以函数f(x)在[一2,2]为单调递增函数. (3)由(2)知，函数y=f(x)在区间[一2,2]上单调递增，所以 则g=a1)=0,R)=g()=-+2-m得 f.=f2)=4: 1 g在区间0,1门内的值域为B=[-+2-m0],不特 由于fx)≤m-2m+号对Vx[-2,2]恒成立，则Vx∈ 合题意。 综上，实数m的取值范图为[0,1]. 98 参考答案 题型十 不正确； 变式1【答案】C 对于D:y=一x十1在（一1，十∞）上单调递减，故选项D不 【解析】x<0时，f(x)=x一 是增画数（增函数十增函数 正确： 故选：A =增函数)，只有选项C满足， 变式2【答案】C 故选：C 【解析】依题意可设f(x)=x°， 变式2【答案】B 【解析】因为f()=|x一】，所以定义城为{x工≠0，所 则（合）广=4，解得a=-2,所以了)=x, 故f(x)是偶函数，且在（一∞，0）上是增函数，在(0，十∞)上 1 是减函数」 以f(x)=x| 1 xx>0 ,当x>0时f(x)=x 故选：C 1 -x-x<0 题型四 变式1【答案】D ,因为y=x与y=在(0，十⊙)上单调递增，所以画 1 x 【解析】由题意知f(x)是偶函数，因为f(x)在（一∞，0）上 数f(x)在定义域(0，十∞)上单调递增，故藉除A、C,D, 单调递减， 故选：B. 所以-m2+2m十+空为正偶数， 专题12幂函数 又-m2+2加+5-m-1+<, 【经典例题】 -(m-1P+号-2，解得m-号或-子 题型一 故选：D. 变式1【答案】B 变式2【答案】C 【解析】因为暴函数∫(x)=x°的图像经过点(4,2)， 所以2■4°， 【解折】◆gm=fx)-2-bx∈R,g0)=f0) 所以g=是 -2=0, 故选：B. 所以g(-x)=f(-x)-2= ax+b=-gz),所以g(x)为 变式2【答案】B 奇函数， 【解析】因为f(x)=(b-1)x是暴函数，所以b-1=1,解 因为f(x)在(0，十∞)上有最大值M=3,所以g(x)在(0，十o∞) 得b=2, 上有最大值1， 又因为)的国象过点(3，号），可得f)=(3) 所以g(x)在(-∞，0)上有最小值-1，即f(x)-2在 (-∞，0)上有最小值一1， 号解得a=-2, 所以f(x)在（一oo,0)上有最小值1，即N=1,则M+N=4. 故选：C 所以a十b=-2+2=0. 题型五 故选：B 变式1【答案】D 题型 【解析】由题意可知，y1=112=(112)=121.6, 变式1【答案】C 2=844=(2)14=242=(2').8=12806, 【解析】设f(x)=x°，因为f(x)的图象经过点(8,4)， 因为y=x在(0，十0∞)上是增函数，130>128>121，所以 所以8=4，即2=2，解得a=号，则f)=-F, y:>y2>yi 故选：D. 因为f(-x)=(一x)了==f(x),所以f(x)为偶函 变式2【答案】C 数，排除B、D, 【解析】对于A选项，因为y=x5在[0，十∞)上单调递增， 因为f(x)的定义域为R,排除A. 0.5 因为f(x)=x于在[0，十∞)内单调递增，结合偶函数可得 所以（号）“<（受）》广故A错， f(x)在（一∞，0]内单涧递减，故C满足， 对于B选项，因为y=x在（一∞，0）上单调递减，所以 故选：C 变式2【答案】C (-号)>(-)，故B错误， 【解析】设暴函数的解析式为y=x°，因为该暴函数的图象 对于C选项，y=x寸为奇函数，且在[0，十∞)上单调递增，所 经过点P(2,) 以y=x7在（一∞，0）上单调递增， 所以2=，即公=2，解得。=-2， 周为(-22)9-()子-()x(-21 即该暴函数的解析式为y=x,其定义城为{xx≠0}， y=x2为偶函数，且在(0，十∞)上为减函数. <(), 故选：C. 题型三 所以(-2.1)号<(-2.2)号，故C正确， 变式1【答案】A 对于D选项，y=x}在[0，十∞)上是递增函数， 【折】对于A中十2=1所以瑞 又()=（合），所以()>（号）.所以 足在（一1，十∞）上是增函数，故选项A正确： 时于By=引=(0o周为y=2在R上是特 (仁)》>（行），故D错误。 函数，所以y=3|x3在（一1,0）上单调递减，在(0，十∞)上 故选：C 单调递增，不符合题意，故选项B不正确； 题型六 对于Cy=-上在(-1,0)和(0，十四)上都是增函数，定义 变式1【答案】①②④ 【解析】①，y=x言=√丘，不关于原点对称，也不关于y轴 城为{xx≠0}，不满足在（一1，十∞）上单调递增，故选项C 对称，所以①错误 99衔接点二初升高知识衔接 专题11 函数的基本性质 知识梳理 知识点一函数的单调性 4.函数单调性的判断方法 1.增函数、减函数的概念 (1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取 一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间D二A 值一变形一判断符号一下结论”进行判断. 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2,当 (2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上 x1>x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 升或下降趋势，判断函数的单调性。 (3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函 在区间D上是增函数 数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单 如果对于D内的任意两个自变量的值x1、x2,当 调区间. x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(.x) (4)记住几条常用的结论 在区间D上是减函数. ①若f(x)是增函数，则一f(x)为减函数：若f(x)是 知识点诠释：(1)属于定义域A内某个区间上 减函数，则一f(x)为增函数. (2)任意两个自变量x1,x2且x1<x2 ②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x) (3)都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2) 和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增（或 (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左 减)函数 向右是上升的，减函数的图象从左向右是下 ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数vf(x) 降的 为增函数，0为减函数：若f(x)>0且f(x) 2.单调性与单调区间 (1)单调区间的定义 为减函数，则函数√)为减函数，石为增 如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数， 函数， 那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D 5.复合函数单调性的判断 称为函数f(x)的单调区间 讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性时要注意： 函数的单调性是函数在某个区间上的性质， 既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调 知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调 性.一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确 区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真 地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别 子集 判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则 ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方 如下： 向是否一致来描述函数性质的。 (1)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是 ③不能随意合并两个单调区间. 增函数或都是减函数，则y=f[g(x)]为增函数. (2)若u=g(x),y=f()在所讨论的区间上一个 ④有的函数不具有单调性 是增函数，另一个是减函数，则y=f儿g(x)]为减 (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间 函数. 上的单调性？ 列表如下： 3.证明函数单调性的步骤 u=g(x) (1)取值.设x1,x2是f(x)定义域内一个区间上 y=f(u) y=fg(x)] 的任意两个量，且1<x2 增 增 增 (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、 增 减 减 有理化等)或作商变形. 减 增 减 (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系. (4)得出结论 减 减 增 55 衔接必刷题 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函 数的单性相同时递增：单性相异时递减， 3反比例函数y-（≠0) 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： 当k>0时，函数y=的单调递减区间是（一， (1)将复合函数分解成基本初等函数：y=f(), 0),(0,十∞)，不存在单调增区间：当k<0时，函 u=g(x). (2)分别确定各个函数的定义域 数y=的单调递增区间是(-o0,0),(0,十∞)， (3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间. 不存在单调减区间。 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性 4.二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0) 是同增或同减，则y=[g(x)]为增函数；若为 增一减或一减一增，则y=[g(x)]为减函数， 若a>0,在区间 -0，一]，函数是减函数：在 知识点诠释：(1)单调区间必须在定义域内. (2)要确定内层函数u=g(x)的值域，否则就无 区间[一名十∞)，函数是增函数：若a<0,在区 法确定f(u)的单调性. 间(-∞， 品]，函数是增函数：在区间[-一品 b (3)若f(x)>0,且在定义域上f(x)是增函数， 则Vf(x),kf(x)(k>0),f"(.x)(n>1且n∈N+) 十o∞)，函数是减函数. 都是增函数， 知识点三 函数的最大值 6.利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的 1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 单调性，再求最值.常用到下面的结论： 果存在实数M满足： (1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是增函数， (1)Vx∈I,都有f(x)≤M. 在区间[b,c)上是减函数，则函数y=f(x)(x∈ (2)3xo∈I,使得f(xo)=M. a,c)在x=b处有最大值f(b). 那么，称M是函数y=f(x)的最大值. (2)如果函数y=f(x)在区间(a,b门上是减函数， 2.几何意义：函数y=f(x)的最大值是图象最高点 在区间[b,c)上是增函数，则函数y=f(x)(x∈ 的纵坐标. a,c)在x=b处有最小值f(b): 知识点四函数的最小值 若函数y=f(x)在[a,b们上是严格单调函数，则 1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如 函数y=f(x)在[a,b们上一定有最大、最小值. 果存在实数M满足：①Hx∈I,都有f(x)≥M: (3)若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调递增 ②3.xo∈I,使得f(xo)=M. 函数，则y=f(x)的最大值是fb),最小值是f(a). 那么，称M是函数y=f(x)的最小值， (4)若函数y=f(x)在区间[a,b们上是单调递减 2.几何意义：函数y=f(x)的最小值是图象最低点 函数，则y=f(x)的最大值是f(a),最小值是f(b). 的纵坐标. 7.利用函数单调性求参数的范围 知识点五函数的奇偶性概念及判断步骤 若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问 1.函数奇偶性的概念 题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不 偶函数：若对于定义域内的任意一个x,都有 等式，利用下面的结论求解 f(一x)=f(x),那么f(x)称为偶函数. (1)a>f(.x)在[m,n]上恒成立台a>f(x)在[m, 奇函数：若对于定义域内的任意一个x,都有 n]上的最大值. f(一x)=一f(x),那么f(x)称为奇函数. (2)a<f(.x)在[m,n]上恒成立台a<f(x)在[m, 知识点诠释：(1)奇偶性是整体性质， n]上的最小值. (2)x在定义域中，那么一x在定义域中吗？ 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转 具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对 化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题. 称的. 知识点二基本初等函数的单调性 (3)f(一x)=f(x)的等价形式为：f(x)一 1.正比例函数y=kx(k≠0) f-x)=0,f=1x)≠0. f(x) 当k>0时，函数y=kx在定义域R是增函数；当 f(-x)=一f(x)的等价形式为：f(x)+f(-x) k<0时，函数y=kx在定义域R是减函数， 2.一次函数y=kx十b(k≠0) =0,f-x) f(x) =-1(f(x)≠0). 当>0时，函数y=kx十b在定义域R是增函数： (4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原 当k<0时，函数y=kx十b在定义域R是减函数. 点有定义，则必有f(0)=0. 56 衔接点二初升高知识衔接 (5)若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 2.验证法：在判断f(一x)与f(x)的关系时，只需验证 f(x)=0 (一)士f)=0及=士1是香成立即可 2.奇偶函数的图象与性质 f(x) (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象 3.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形：反 (y轴)对称. 之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中 4.性质法：两个奇函数的和仍为奇函数：两个偶函 心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 数的和仍为偶函数：两个奇函数的积是偶函数： (2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶 轴对称：反之，如果一个函数的图像关于y轴对 函数的积是奇函数。 称，则这个函数是偶函数. 5.分段函数奇偶性的判断 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判 (1)求函数f(x)的定义域，判断函数的定义域是 断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范 否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数 围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段 既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称， 函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因 则进行下一步。 此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关 (2)结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式. 于原点对称，然后判断f(一x)与f(x)的关系. (3)求f(一x),可根据f(-x)与f(x)之间的关 首先要特别注意x与一x的范围，然后将它代入 系，判断函数f(x)的奇偶性. 相应段的函数表达式中，f(x)与f(一x)对应不 若f(一x)=一f(x),则f(x)是奇函数； 同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数： 行比较. 若f(一x)≠士f(x),则f(x)既不是奇函数，也 知识点七关于函数奇偶性的常见结论 不是偶函数； 奇函数在其对称区间[a,b们和[一b,一a]上具有 若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x) 相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区 既是奇函数，又是偶函数 间[a,们上是增函数（减函数），则f(x)在区间 知识点六判断函数奇偶性的常用方法 [一b,一a]上也是增函数（减函数）：偶函数在其 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则 对称区间[a,b]和[一b,一a]上具有相反的单调 立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 性，即已知f(x)是偶函数且在区间[a,b]上是增 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(一x) 函数（减函数），则f(x)在区间[一b,一a]上也是 与土f(x)之一是否相等. 减函数（增函数）. 经 典例题 题型一 函数单调区间的确定 A(-,-2) B(-2+) 【典例】（全国·高一专题练习）函数f(x)=二」 的单调增区间为 c(-25 n.(-5,-) A.(0,十∞) B.(-o∞.0) 【变式2】（广东深圳·高一深圳市宝安中学（集 C.(-oo,0)U(0,+o∞) D.(-∞，0)，(0，+00) 团)校考期中)函数y=x2一3x的一个单调递 【答案】D 减区间为 【解析】：画数x)==1一子定义城为 A.（-o∞，- 2 B[-+∞) {xx≠0)， C.[0,+o∞) 且y=的单拥递减区间为(-0,0,0，十60) 题型二 复合函数的单调性 故函数f(x)=二1的单调增区间为（一0,0）， 【典例】（高一课时练习）已知函数y=f(x)在R 上单调递减，则函数y一f(|x十2|)的单调递减 (0,+∞)，故选：D. 区间是 ( 【变式1】（新疆喀什·高一校考期末）函数y A.(-∞，+∞） B.(-o∞，-2] x2+x十2，x∈（一5,5）的单调减区间为( C.[-2,+∞) D.[2,+∞) 57 衔接必刷题 【答案】C 【变式1】（云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学 【解析】令h(x)=|x十2|， 则h(x)=x十2|在（一∞，一2]上为减函数；在 校考路段练习已知函数)-品 [一2，十∞)上为增函数， (1)判断函数f(x)在[0，十∞)的单调性，并用定 又函数y=f(x)在R上单调递减， 义证明： 则根据复合函数同增异减原则得y=f(x十2) (2)若x∈[1，m]时函数f(x)的最大值与最小值 的单调递减区间为[一2，十o).故选：C 的差为号，求m的值。 【变式1】（四川巴中·高一统考期中）y=x2十2x 的单调增区间为 A.(-∞，-1] B.[-1,+oo) C.(-∞，-2] D.[0,+∞) 【变式2】（黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考 期中)函数f(x)=V一x2+x十2的单调递增区间 是 A[-1】 c[2+) n[2] 题型三函数与抽象函数单调性的证明 【典例】（广东深圳·高一深圳外国语学校校考期 中)已知函数)-=之[-1山，清足条 件f0)=号-1D=3. 【变式2】（河南信阳·高一校考阶段练习）已知 (1)求f(x)的解析式： 定义在(0，+o∞)上的函数f(x),满足f(x)>0, (2)用单调性的定义证明f(.x)在x∈[一1,1]上 对于任意正实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y), 的单调性，并求f(x)在x∈[一1,1]上的最值. 【解】周为)-22且f0)=多-D 当x>1时，fx)<1,且f2)=号 x+a b=5 a)求证：fx)）=1x>0: =3,所以 a 2 解得 a=2 -2+b=3 6=5所以f(x) (2)证明：f(x)在(0，十o∞)上为减函数： -1+a (3)若f(m)=3,求实数m的值. =2.+5 x+2 (2)f(x)在x∈[-1,1]上单调递减，证明如下： 由)-2-2u》中=2++2 x+2 x+2 设任意的x1,x2∈[-1,1]且x1<x2, 剥f()-f2)=2+1 ++2(2++2) 1 1 1十2x2+2 (2+2)-(x1+2) x2-x1 (+2)(2+2)=(x1+2)(r2+2 因为12∈[-1,1]且<x2,所以x2一>0， x1+2>0,x2+2>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,则f(x)在x∈[-1,1门 上单调递减， 所以)s=-1D=3m==子 58 一衔接点二初升高知识衔接 题型四 利用函数单调性求最值、求参数 故g(x)在[0,1]上的最小值为g(0)=0: 【典例】（全国·高一专题练习）函数f代)2 1 一在 当一m-1≥1，即m≤-2时，函数在[0,1]上单 调递减， 区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 ( ) 故g(x)在[0,1]的最小值为g(1)=3十2m: A分片 B.2,5 当0<-m一1<1，即一2<m<-1时， 函数在[0，一一1)上单调递减，在（一m一1,1] C.1,2 ng吃 上单调递增， 故g(x)在[0,1]上的最小值为g(一m一1)=-(m十1)2. 【答案】A 3+2m,m≤-2 【解析】，y=x2+1在(0，十o∞)上单调递增， 综上，g(x)mim= 且y>1, -(m+1)2,-2<m<-1. 0,m≥-1 )=中在区间[1,2]上单钢递减， 【变式1】（四川巴中·高一校考期中）已知a,b为 常数，且a≠0，f(x)=ax2十bx,f(2)=0,方程 六函货)在区同1,2]上的爱大值与 f(x)=x有两个相等实根. 1=1 1 (1)求函数f(x)的解析式； 最小值分别是f1)=中12(2)=2 (2)当x∈（一1,2]时，求函数f(x)的值域. =故选：A 【变式1】（高一单元测试）已知max{a,b}= baf)=mar(x-4r-2.-x+2), a,a≥b 则函数f(x)的最小值是 A.-2 B.-1 C.2 D.3 【变式2】（天津红桥·高一统考期末）已知函数 f(x)=x2+2kx-5在[-2,4]上具有单调性，则 实数k的取值范围为 () A.k≤-4 B.k≥2 C.k≤-4或k≥2 D.k<-4或k>2 【变式2】（新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已 题型五二次函数的最值（含参数与不含参数） 知函数f(x)=x2+2a.x-3. 【典例】（云南昆明·高一统考期末）已知二次函 (1)当a=1时，解不等式f(x)<0: 数f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)的图像过点(-2， (2)当a=1时，求函数f(.x)在区间[一2,3)上的 0)和原点，对于任意x∈R,都有f(x)≥2x. 值域； (1)求函数f(x)的表达式： (3)若不等式f(x)≥一6恒成立，求实数a的取 (2)设g(x)=∫(x)十2m.x,求函数g(x)在区间 值范围. [0,1]上的最小值. 【解】(1)由题意得 c=0 4a-2b+c=0所以b=2a, c=0,f(x)=a.x2+2a.x, 因为对于任意x∈R,都有f(x)≥2x,即ax2+ 2(a-1).x≥0恒成立， a>0 故 4=4(a-1)2≤0 解得a=1,.b=2. 所以f(x)=x2+2x; (2)g(x)=f(x)+2mx=x2+(2+2m)x, 则g(x)的对称轴为x=一m一1， 当一m-1≤0，即m≥-1，函数在[0,1]上单调 递增， 59 衔接必刷题 题型六函数奇偶性的判定 题型七 利用函数奇偶性求值、求表达式、求 【典例】（多选题）（云南普洱·高一校考阶段练习） 参数 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的 【典例】（全国·高一专题练习）已知f(x)为偶函 是 ) 数，当x>0时，f(x)=x2-2x一3，则当x<0 A.f(x)f(一x)是偶函数 时，f(x)= () B.|f(x)f(-x)|是偶函数 A.-x2-2x+3 B.x2+2x-3 C.f(x)一f(一x)是偶函数 C.-x2+2x+3 D.x2-2.x-3 D.f(x)+f(一x)是偶函数 【答案】B 【答案】ABD 【解析】当x<0时，一x>0,则f(一x)=(一x)2 【解析】因为F(x)=f(x)·f(一x)满足F(一x)= -2(-x)-3=x2+2.x-3,又因为f(x)是偶函 f-x)·fx)=F(x),所以F(x)=f(x)·f(-x) 数，所以f(x)=f(一x)=x2十2x-3.故选：B. 是偶函数： 【变式1】（河南许昌·高一校考期末）已知函数 因为Mx)=|fx)·f-x)川满足M-x)=M(x), f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)十g(x) 所以M(x)是偶函数， 因为H(x)=f(x)-f(一x)满足H(一x)=f(一x) =8+品2则) 一f(x)=-H(x),所以H(x)是奇函数： 4x B.6x+2-4 4.x A.6x- 图为G(x)=f(.x)十f(-x)满足G(-x)=f(-x) x2-4 十f(x)=G(x),所以G(x)是偶函数：故选：ABD. C.3.x- 3.x x2-4 na+二 【变式1】（多选题）（黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐 【变式2】（江西抚州·高一统考期末）已知f(x) 哈尔市恒昌中学校校考期中)下列函数是奇函数 a.x2一bx+1是定义域为[a,a十1]的偶函数，则 的是 ab-a2= A.fx)=1x-1 A.0 B子 x3+1,x>0 B.f(x)=0,x=0 C.2 D-1 x3-1,x<0 题型八 函数单调性与奇偶性的综合问题 C.f(x)=√x2-1+√/1-x 【典例】（广东深圳·高一深圳外国语学校校考期 V2-x2 D.f(x)=x+3-3 中)定义在R上的偶函数f(x)在[0，十∞)单调 递减，则不等式f(a一2)>f(1)的解集是( 【变式2】（高一课时练习）判断下列函数的奇 A.(-0,3) B.(3,+∞) 偶性： C.(-1.3) D.(1,3) 1)fx)=x3-: 【答案】D 【解析】因为定义在R上的偶函数f(x)在[O, (2)f(x)=√/x2-1+√1-x2; 十∞)单调递减，不等式f(a-2)>f(1)等价于 (3fx)=E3-3 V36-x2 f(|a-21)>f(1),等价于|a-2|<1,即-1<a -2<1,解得1<a<3,即不等式f(a-2)>f(1) 的解集是(1,3).故选：D. 【变式1】（河南郑州·高一郑州市第四十七高级 中学校考期末)已知偶函数f(x)在区间[0， 十∞)上单调递增，则满足f(2x一1)<f(1)的x 的取值范围是 () A.(1,+o∞) B.(-o∞，1) C.(-∞，0)U(1,+o∞)D.(0,1) 【变式2】（云南昆明·高一统考期末）已知函数 f)=一2二2在定义域内的最大值为M,最 v/1-x2 小值为m,则M十m A.0 B.1 C.2 D.4 60 一衔接点二初升高知识衔接 题型九恒成立与有解问题 【变式2】（广东揭阳·高一统考期末）已知f(x)= 【典例】（贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知 4x一是定义在R上的奇函数，其中a,b∈R,且 函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， x2+b f(x)=ax2+x+a-1. f(2)=1. (1)求函数f(x)的解析式： (1)求a、b的值： (2)若对任意的t∈[0,2]，f(m十t)+f(22-31) (2)判断f(x)在[2，+o)上的单调性，并用单调 >0恒成立，求m的取值范围， 性的定义证明： 【解】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，所 (3)设g(x)=m.x2一2x+2-m,若对任意的x∈ 以f(0)=a一1=0，解得a=1. [2,4],总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成 当x>≥0时，f(x)=x2+x, 立，求m的取值范围. 当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(-x)门 2+所以f)=十，0 (2)当x≥0时，f(.x)=x2+x,f(x)单调递增， 因为f(x)在[0，十∞)上是增函数，又f(x)为奇 函数，所以f(x)在R上单调递增. 因为f(x)为奇函数，f(m+t)+f(2t2-3t)>0, 所以f(m+t)>-f(22-3t),即f(m+t)> f(-2+3), 则对任意的1∈[0,2].m十1>一212+3L恒成立， 即m>-22+21对任意的t∈[0,2]恒成立. 当1=号时，一22+2取最大位日：所以m> 故m的取位范国是（侵十） 【变式1】（云南西双版纳·高一西双版纳州第一 中学校考期中)已知函数f(x)是定义在[一2,2] 上的奇函数满足)=号，当-2<<0时有 f(x)=ax十b x2+4 题型十函数图像的识别 (1)求a,b的值： 【典例】（宁夏吴忠·高一统考期中）函数f(x)= (2)判断f(x)的单调性（不需要写证明过程）： (vx)2的图像是 （3)若对Vx[-2,2],都有x)≤m2-2m+ 恒成立，求实数m的取值范围. B 4 D 【答案】D 【解析】由函数f(x)=(x)2的定义域为[0， 十o∞)，所以A、C选项错误；当x≥0，f(x)= (w元)2=x,函数f(x)为一次函数，故B选项错 误，D选项正确：故选：D. 61 衔接必刷题 【变式1】（陕西安康·高一统考期中）函数f(.x)= 【变式2】（山西大同·高一统考期中）函数f(x)= x十 工的图象大致为 x-的图象大致为 专题12 幂函数 知识梳理 知识点一幂函数概念 (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 形如y=x(a∈R)的函数，叫做幂函数，其中a [0,十∞)上是增函数.特别地，当a>1时，幂函数的 为常数. 图象下凸：当0<a<1时，幂函数的图象上凸. 知识点诠释：幂函数必须是形如y=x(a∈R)的 (3)a<0时，幂函数的图象在区间(0，十∞)上是 函数，幂函数底数为单一的自变量x,系数为1， 减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图 指数为常数.例如：y=3.x,y=x2+1.y=(x-2) 象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于 等都不是幂函数. 十∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴， 知识点二幂函数的图象及性质 2.作幂函数图象的步骤如下： 1.作出下列函数的图象： (1)先作出第一象限内的图象。 (2)若幂函数的定义域为(0，十∞)或[0，十∞)， (1)y=x;(2)y=x:(3)y=x2:(4)y=x1: 作图已完成：若在（一∞，0）或（一∞，0]上也有意 (5)y=x3. 义，则应先判断函数的奇偶性，如果为偶函数，则 根据y轴对称作出第二象限的图象：如果为奇函 数，则根据原点对称作出第三象限的图象 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中 相应量的值 (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征 (3)如函数f(x)=k·xa是幂函数，求f(x)的表 达式，就应由定义知必有=1，即f(x)=x“. 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单 调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行 知识点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的 比较.常称为“搭桥”法 定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些 (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并 共同的性质： 明确其单调性，然后由单调性判断值的大小 (1)所有的幂函数在(0，十∞)都有定义，并且图 (3)常用的步骤是：①构造幂函数：②比较底的大 象都过点(1,1). 小：③由单调性确定函数值的大小 62