第2章 专题10 函数的概念及其表示-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题店 【变式2】（四川·高一校考阶段练习）已知不等 (2)写出“方程a.x2+2.x十1=0(a≠0)有一个正 式-2x2+b.x+c>0的解集{x|-1<x<3},若 根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给 对任意-1≤x≤0，不等式2.x2十bx十c十1≤4恒 予证明. 成立，则1的取值范围是 题型七一元二次方程根的分布问题 【典例】（高一课时练习）关于x的方程x2一ax十 1=0的两根均大于1，则实数a的取值集合为 【答案】 【解析】不妨设关于x的方程x2一ax十1=0的 两实数根为x1,x2,则1x2=1, 若两根均大于1，则x1x2>1,矛盾， 故不存在实数a,使得关于x的方程x2一ax十1 【变式2】（上海宝山·高一上海市行知中学校考 =0的两根均大于1， 期中)已知关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0, 即实数a的取值集合为☑. 故答案为：0 1诺>>，求证。6。>0： 【变式1】（湖北武汉·高一校考期中）已知一元 (2)若a=m-1,b=2m一4，c=m时方程(m-1) 二次方程ax2+2.x+1=0. x2+(2m一4)x十m=0有两个不相等的正实数 (1)写出“方程a.x2+2.x+1=0(a≠0)有一个正 根，求实数m的取值范围. 根和一个负根”的充要条件： 专题10函数的概念及其表示 知识梳理 知识点一函数的概念 知识点诠释：(1)A、B集合的非空性， 1.函数的定义 (2)对应关系的存在性，唯一性、确定性. 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对 (3)A中元素的无剩余性. 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在 (4)B中元素的可剩余性. 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x),x∈A. (1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的， 的定义域：与x的值相对应的y值叫做函数值， 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全 函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域. 致，即称这两个函数相等（或为同一函数）. 50 衔接点二初升高知识衔接 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应 被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为 关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母 零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的 无关 限制条件 3.区间的概念 (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间. 要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (2)无穷区间 (3)当函数用表格给出时，函数的定义域是指表 (3)区间的数轴表示. 格中实数x的集合. 区间表示： 2.抽象函数定义域的确定 {xa<x<b}=(a,b):{xa≤x≤b}=[a,b]: 所谓抽象函数是指用f(x)表示的函数，而没有 (xa<x≤b}=(a,b]:{xa≤x<b}=a,b): 具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问 {xx≤b}=(-o∞，b];{xa≤x}=[a,+o∞). 题，关键是注意对应法则.在同一对应法则的作 定义 名称 符号 数轴表示 用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数 式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内. {xa≤x≤b} 闭区间 a.b] a b 3.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等 xla<x<b 开区间 (a,b) 式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必 须用集合或区间来表示 半闭半开 {xla≤x<b 区间 La,b) 知识点四函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然 半开半闭 xa<x≤b (a,b] 给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就 区间 a 6 完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方 知识点二 函数的表示法 法，常用的方法有： 1.函数的三种表示方法 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最 优点：简明，给自变量求函数值 高点”和“最低点”，观察求得函数的值域， 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方， 优点：直观形象，反应变化趋势 在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 二次函数的值域方法求函数的值域. 优点：不需计算就可看出函数值. 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用 2.分段函数 判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而 此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围. 应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将 起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基 知识点三函数定义域的求法 本函数的取值范围来求函数的值域。 1.确定函数定义域的原则 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域 了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等. 就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作 合，具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的 用，还要特别注意定义域对值域的制约. 经典例题 题型一 函数的概念 【答案】 A 【典例】（江苏扬州·高一统考期中）下列对应是 【解析】满足函数的定义，A选项正确；集合A 集合A到集合B的函数的是 中取x=0,在集合B中没有对应元素，故B选项 A.A=B=R,f:x→y=1 错误：集合A中取x=3,在集合B中没有对应元 B.A-Z.B-Q.f:t-y-I 素，故C选项错误；集合A中当x>0时，在集合 C.A=B=N*,f:xy=x-3 B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定 D.A=[0,+o∞)，B=R,f:xy=±√a 义，故D选项错误.故选：A 51 衔接必刷题 【变式1】（湖南郴州·高一校考阶段练习）下列 题型三 抽象函数求定义域 各函数图象中，不可能是函数y=f(x)的图象的 【典例】（高一单元测试）已知函数y=f(x十1)的 是 定义域是[-2,3]，则y=f(x-1)的定义域是 A.[-2,3] B.[-1,4] C.[0.5] D.[-4,1] 【答案】C 【解析】因为函数y=f(x十1)的定义域是[一2， 3],所以x∈[-2,3]，所以x十1∈[-1,4]，即f(x) 的定义域为[一1,4]，所以x一1∈[一1,4]，解得 x∈[0,5]，即y=f(x-1)的定义域是[0,5].故 选：C. D 【变式1】（湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期 【变式2】（河南·高一校考阶段练习）下列图象 中)已知函数f(x十1)的定义域为[1,7]，则函数 中，表示函数关系y=f(x)的是 ( h(x)=f(2x)十9-x的定义域为 () A.[4,16] B.(-oo,1]U[3,+o∞) C.[1.3 D.[3,4] 【变式2】（全国·高一专题练习）已知函数f(x一2) & 的定义域为(-1,3)，则函数g(x)=f二的定 Vr-1 义域为 A.(1,3) B.(-1,3) 0 C.(1,+o∞) D.(3,7) D 题型四 给出函数定义域求参数范围 题型二 给出解析式求函数的定义域 【典例】（湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期 【典例】（高一课时练习）函数f(x)=I一 x+的定义 中)若函数y= 的定义域为R,则实 a.x2-a.x+3 域是 数a的取值范围是 A.{x∈Rx≠-1} 【答案】[0,12) B.{x∈Rx≠1} 【解析】 由题意，在y= 中，定义域为R, C.{x∈Rx≠士1} √/a.a2-a.x+3 D.{x∈Rx≠-1或x≠1 当a=0时，y= 特合题意： 1 【答案】A 【解析】f八)=的自变量需满足x+1≠0， 当a≠0时， a>0 所以定义域为{x∈Rx≠一1}，故选：A. (-a)2-4X3·a<0' 【变式1】（江西九江·高一校考阶段练习）若代 解得：0<a<12,综上，a∈[0,12). 故答案为：[0,12). 数式x一2有意义，则实数x∈ ) 【变式1】（天津和平·高一校考期中）若函数y= A.[2,+∞) a,x+1 B.(-∞，-2] 的定义域为R,则实数a的取值 1ax2-4a.r+3 C.(-∞，-2]U[2,+∞) 范围 D.(-∞，十o∞) 【变式2】（高一课时练习）已知等腰三角形ABC 【变式】（高一课时练习）若函数f(x)= mx2-4mz+3 的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关 的定义域为R,则实数m的取值范围是 系为y=10一2.x,则函数的定义域为 ( 题型五同一函数的判断 A.{xx∈R B.{xx>0} 【典例】（高一课时练习）下列各函数中，与函数 C.{x0<x<5】 5 D.x<<5 g(x)=√x表示同一函数的是 52 一衔接点二初升高知识衔接 A.f(x)=xl B.f(x)=±|x (3)f(x)=x2-2x-3,x∈(-1,4]. =员 D.f(.x)=x°·x 【解】(1)设t=/1一元(t≥0)则x=1-t2, 所以g(t)=2(1-2)十41=-212+41+2=-2(1 【答案】A -1)2+4, 【解析】g()=√？-|x,故g()的定义城为R, 根据二次函数的图像和性质，函数g(t)的值域为 对于A,f(x)的定义域为R,且解析式与g(x)相 (-∞，4]. 同，故为同一个函数， (2)函数的定义域为（一0,2）U(2,+o∞)， 对于B,f(x)≠g(x),故不是同一个函数， 对于C,f(x)的定义域为{xx≠0}，而g(x)对定 fx)=5+=5x-2),+14=5+14 x一2 x-2 x-2' 义域为，定义城不同，不是同一个函数， 所以函数f(x)的值域为(-∞，5)U(5,十∞). 对于D,f(x)的定义域为{xx≠0}，而g(x)对定 (3)因为函数f(x)=x2-2x一3的对称轴为x=1, 义域为R,定义城不同，不是同一个函数，故选：A 所以函数f(x)在（一1,1）单调递减，(1,4)单调 【变式1】（全国·高一专题练习）下列四组函数 递增，所以函数f(x)的值域为[一4,5]. 中，表示同一函数的是 【变式1】（高一课时练习）求y=|2.x-1|十 A.f(x)=x与g(x)=|x |x一3的最小值. B.f(.x)=√/(x+2)2与g(.x)=(x+2)2 C.f(.x)=x与g(x)= D.f(.x)=x与g(x)= 【变式2】（湖南郴州·高一校考阶段练习）下列 函数与y=一x是同一函数的是 ( A.y=-V B.y=二x(x-1) x-1 C.y=-√ D.y=-反·元 题型六给出自变量求函数值 【典例】（高一单元测试）若f(2x十1)=2x十3，则 f(3)= 【答案】5 【变式2】（高一课时练习）若函数x)=32十1十3 x2+1 【解析】.f(2x+1)=2x+3, 的最大值为a,最小值为b,则a十b= .f(3)=f(2×1+1)=2×1+3=5. A.4 B.6 故答案为：5. C.7 D.8 【变式1】（甘肃庆阳·高一校考期末）已知定义 题型八求函数的解析式 域为R的函数f(x)=2x一3，g(x)=3x,则 【典例】（江西南昌·高一进贤县第二中学校考阶 fLg(-1)]= 段练习)根据下列条件，求f(x)的解析式. 【变式2】（重庆北碚·高一统考期末）已知函数f(x), (1)已知f(wx+2)=2.x十8x+5: g(x)分别由下表给出，则g[f(2)] (2)已知f(.x)+2f(-x)=3x2-2.x; 2 3 (3)已知f(.x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x +1)-f(x)=2.x. f(x) 1 3 【解】(1)令t=√E+2(≥2)，则√E=t-2,x= g(x) 3 2 (t-2)2, 题型七求函数的值域 所以由f(元+2)=2.x十8+5， 【典例】（浙江杭州·高一校考阶段练习）求下列 得f(t)=2(t-2)2+8(t-2)+5=22-3, 函数的值域， 所以f(x)=2x2-3(x≥2). (1)f(x)=2x+4/1-x: (2)由f(x)+2f(-x)=3.x2-2x, (2)fx)=5x+4 得f(-x)+2f(.x)=3(-x)2-2(-x)=3.x2+2x, x-2 所以f(-x)=3.x2+2x-2f(x), 53 衔接必刷题 所以f(x)+2[3x2+2x2f(x)]=3x2-2x, 【答案】AC 解得f(x)=x2+2x. 【解析】 -2x,x≤1 (3)由题意设f(x)=a.x2+b.x十c(a≠0). 函数f(x)= l2x2,c>1 ,而f(a)=8, 因为f(0)=1,所以c=1, 当a≤1时，一2a=8,解得a=一4，满足条件，即 因为f(x+1)-f(.x)=2x, 有a=-4, 所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(a.x2+bx+c）=2.x, 当a>1时，2a2=8,解得a=士2，显然a=-2不 所以2a.x十a+b=2x, 满足条件，则有a=2, a+6=0得a=1,6=-1, 12a=2 所以实数a的值为一4或2.故选：AC 所以 【变式1】（多选题）（四川宜宾·高一四川省宜宾 所以f(x)=x2-x+1. 市第四中学校校考期中)已知函数f(x)= 【变式1】（湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练 3t+5,x≤0 习)已知函数y=f(x)(x≥一2)的图象如图示， x+1,xo:若八a)=2,则实数a的值为（） 在直线x=1的左侧是经过两点A(-2,0),B(1, 3)的线段（包括两个端点），在直线x=1的右侧 A.-2 B- 是经过点C2,3)且解析式为y=,吕的曲线。 C.-1 D.1 【变式2】 (广西桂林·高一校考期中)设函数 x+2,x<-1 f(.x)=x2,-1≤x<2. 2x,x≥2 -20门 a)求f-3f[f(2]: (1)求函数y=f(x)(x≥一2)的解析式： (2)求f[f(7)]的值： (2)若f(a)= 求a的值， (3)求方程f(x)=1的解. 题型十区间的表示与定义 【变式2】（辽宁葫芦岛·高一统考期未）已知函 【典例】（高一课时练习）用区间表示集合{x∈R 数f(x)为R上的增函数，且对任意x∈R都有 2<x≤4} f几f(x)-3x]=4,则f(4)= 【答案】(2,4] 题型九分段函数求值、不等式问题 【解析】集合{x∈R2<x≤4}用区间表示为 【典例】（多选题）（吉林松原·高一校考期末）已 (2,4]. 故答案为：(2,4]. 知函数f(x)= -2x,x≤1 2r2,x>1,若fa)=8,则实数 【变式1】（高一课时练习）将集合A={x1≤x<5, a的值为 x≠3}用区间表示为 A.-4 B.-2 【变式2】（上海·高一专题练习）集合{x一2< C.2 D.8 ≤2且x≠0}用区间表示为 54H参考答案 =-2(x+1)≥-2， 所以1≤-2， 即定义接为u号<<5 故答案为：{11≤-2 故选：D, 题型七 题型三 变式1【解】(1)若方程ax十2x十1=0(a≠0)有一个正根 变式1【答案】C 和一个负根， 【解析】函数f(x十1)的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8， 则{1∠0 ,即/a<1 (=4-4a>0 因此在f(2x)中，2≤2x≤8， a<0a<0. a 品载6-2)+，月司有意又，必有得8解得 ,∴.方程a.x十2x十1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充 1≤x3. 要条件是a<0. 所以函数h(x)的定义城为[1,3] (2)方程ax3十2r十1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一 故选：C. 个必要而不充分条件是a<1, 变式2【答案】A 证明：若方程ax十2r十1=0(d≠0)有一个正根和一个 【解析】函数f(x一2)的定义城为（一1,3），即一1<x<3, 负根， 则一3<x一2<1， 则由(1)知其充要条件为a<0, 所以对于f(-x),有-3<一x<1,解得-1<x<3,即f(一x)的 从而a<1,故必要性成立. 定义域为（一1,3）： 若0<a<1,则方程a.x2+2x十1=0中，4=4-4a>0,x1· 由x-1>0解得x>1, 50. 所以gx)=2的定义战为1,3. Vr-T ∴.方程a.x+2x十1=0有两个同号根，.充分性不成立， 故选：A 故a<1是方程ax十2x十1=0(a≠0)有一个正根和一个负 题型四 根的一个必要而不充分条件， 变式1【答案】 变式2【解】(1)证明：，a>b>c,.a一c>a一b>0. >00 【解析】y= a.r+1 的定义城为R是使ax2一4a. /a.x2-4ax+3 (2)关于x的方程(m-1)x2十(2m一4)x十m=0有两个不 十3>0在实数集R上恒成立 相等的正实数根， 若a≠0时，要使ax2-4a.x+3>0恒成立，则有a>0且△ 则m-1≠0，且4>0x,+x=-么>0，x1·x=6>0, a a 0,即△=(-4如)2-4X3a<0,解得0<a<是 m一1≠0 若a=0时a.x一4a.x十3>0化为3>0，恒成立，所以a=0 (2m-4)2-4m(m-1)>0 「m一1≠0 满足题意， -12m+16>0 1(2m-4)(m-1)<0' 所以0Ca<是， m”>0 m(m一1)>0 综上.即实数a的取值花周是[0，是) m-1≠0 m<号 故填：[0，) 1<m<2. 变式2 【答案)[o) n<0或m>1 【解析】，函数f(x)的定义城为R, 解得：1<m<子 ,.m.x一4m.x十3>0在R上恒成立. ①当m=0时，3>0恒成立，满足条件 ②当m≠0时，若函数的定义城为R,则 专题10函数的概念及其表示 公16m-12m<0解得0<m<是. m>0 【经典例题】 题型一 综上可得实数m的取值范国是[0，) 变式1【答案】C 【解析】对于A,B,D选项，对于每个x都有唯一对应的y 答案[0，) 与之对应，A,BD选项中的图象均为函数的图象； 题型五 对于C选项，存在x∈R,使得这个x有两个y与之对应，C 变式1【答案】D 选项中的图象不是函数的图象. 【解析】对选项A,国为f(x)=x定义拔为R,g(x)=|x 故选：C. 定义战为R,定义域相同， 变式2【答案】D 但f(.x)≠g(x),所以f(x),g(x)不是同一函数，故A错误： 【解析】根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图 对选项B,因为f(r)=/(x+2)定义城为R,g(r) 象可看出，只有选项D的图象满足， (/x+2)2定义域为{xx≥-2， 故选：D. 定义域不同，所以f(x),g(x)不是同一函数，故B错误： 题型二 变式1【答案】C 对选项C,因为f(x)=厅定义城为xx≥0，g(x)=工定 【解析】因为/x一2有意义，所以1x1一2≥0，所以x 义域为{xx>0), ≥2， 所以x≤-2或x≥2，即实数x∈(-，-2]U[2,+∞). 定义域不同，所以f(x),g(x)不是同一函数，故C错误： 故选：C. 对选项D,因为∫(x)=x定义域为R,g(x)=Nx定义战 变式2【答案】D 为R, x>0, 又g(x)=V7=x=f(x),所以fx)·g(x)是同一函数，故 【解析】由题意知02>0，解得号<<5 D正确. 2x>10-2x, 故选：D 95 衔接必刷题 变式2【答案】A 题型九 【解析】y=一x的定义战为R, 变式1【答案】CD 对选项A:y=一=一E,定义战为R,且解析式相同， 3x+5,x≤0 正确： 【解析】因为函数f(x)一 对选项B:y=气的定又减为(-，U1.十. +2>0/a）-2 所以当a≤≤0时，3a十5=2，解得a=-1, 错误： 当a>0时u+日=2，即d-2a+1=0解得a=1, 对选项C:y=一√T=一x,解析式不同，错误； 故选：CD 对速项D:y=一反·E的定义城为[0，十∞)，错误. 变式2【解】(1)f(-3)=-3+2=-1: 故选：A 题型六 又（受）=（受）广=号，所以[（受）门=（得）=是 变式1【答案】一9 【解析】依题意，g(一1)=一3，所以f几g(一1)]=f(一3)= （20当u<-1时，fu)=a+2=专>a=-受满足题意： 2×(-3)-3=-9.故答案为：一9 变式2【答案】1 @当-1长a<2时a)=。=号>a=士号，满足题意： 【解析】由表可得g[f(2)]=g(3)=1, 故答案为：1 @当a≥2时，fa)=2a=号→a=<2,不满足题意 题型七 /3x-4,x≥3 上000a的维为-一号或士号 变式1【解】因为y=|2x-1川+x一3 +2<r<3 题型 变式1【答案】[1,3)U(3,5)/(3,5)U[1,3) 【解析】根据题意，集合A表示大于等于1小于5，且不等 当x≥3时，y=3x-4≥5， 于3的实数的集合， 故可用区间表示为：[1,3)U(3,5) 当号<<3时y=+2(号) 故答案为：[1,3)U(3,5). 当r2时y=-3r+4>号 5 变式2【答案】(-2,0)U(0,2] 【解析】集合{x|一2<x≤2且x≠0}用区间表示为（一2， 0)U(0,2. 故画数的最小值为号， 故答案为：(-2,0)U(0,2]. 变式2【答案】B 【解折】设=r+y=8+十3.y-3 专题11函数的基本性质 -x十y-3=0, 【经典例题】 x=0时，y=3, 题型一 y≠3时，国为x∈R,所以4=1-4g-3)≥0，解得受≤y 变式1【答案】D <号脚受<<号县y3 7 【解析】函数y=十x十2对称轴为x一一2，开口向上， 所以函数y=x十x十2，x∈（一5,5）的单调减区间 综上号<y<号，最大值是号，最小值是号，和为6 为(-5，-)上 故选：B. 故选：D 题型八 变式2【答案】A 变式1【解】(1)当一2≤x≤1时，设f(r)=kx十b,(k≠0)， 【解析】由已知，函数y=x2一3x为偶函数， :f(x)的图象过A(-2,0),B(1.3)两点 当x≥0时，y=x2-3.x:当x<0时y=x2+3x ∴.一2k十b=0且k十b=3,解得k=1.b=2,.f(x)=x十2， 可画出函数图像，如下图所示： (一2x≤1)： y=x2-3lxl 当>1时)马 “f)的图泉过点C2.3)∴2号=3，解得a=3 f(x)=3 -7(x>1). 3 综上，f(x)= x-1(x>1) x+2,(-2≤x≤1) 3 ②/]=/（号）=多 所以画数的单调递减区间为(-©，-号）[0号)： (3)当-2≤x≤1时，f(x)=x十2，由f(x)=1,得x十2=1， 解得x=一1： 故选：A 题型二 当>1时，)=己南)=1，得昌=1，解得 3 变式1【答案】C 4,综上，方程f(x)=1的解为：一1,4. 【解析】由x+2x≥0，得x≤一2或x≥0，则函数的定义 变式2【答案】82 域为(-∞，-2]U[0,+c∞)， 【解析】令f(r)一3=t,所以f(x)=3+t, 令1=x2+2.x,则y=一f, 又因为f(1)=4,所以3十1=4， 因为1=x+2x在（一∞，一2]上单调递减，在[0，十∞）上单 又因为y=3十1一4是R上的增函数且3+1=4，所以1 调递增，y=一在定义域内为诚函数， 1,所以，f(x)=3+1,所以f(4)=3+1=82. 所以y=-√x十2x在(-∞，一2]上递增，在[0，十∞)上 故答案为：82. 递减， 96H