第2章 专题9 二次函数与一元二次方程、不等式-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

参考答案 项正确： 对于B选项，∈R+>10<克<1，B选项错送时 所以是+=（日+）(+) 2 于C选项，当a<0时心+a=-[(-)+(-a)] +总++品 -久/(-4）·(-a)=-4,当且仅当a=-2时等号成立， ≥+念·岛- C选项错误： 当里仅当品-欲脚a=36=6时取等号， 对于D选项，因为xy∈Rxy<0,则<0，义<0.十 y 所以}+六的最小值为， 1 ￥=-[(-)+(-￥)]<-4(-)·(-￥) 1 故答案为：立 一2，当且仅当x=一y时等号成立，D选项正确 变式2【答案】2+√33+2 故选：AD, 【解析】由a十b=2,得a=2-b.又a,b∈R,a>b, 题型二 变式1【答案】B 所以(2二b>b,解得0<b<1,所以0<2-2b<2, 1b>0 【解析】A:由a,b>0,则a十b=1≥2，仅当u=b= 1 以6+-2%+元-(2%+品)2-=0+》 所以 3 1 2 时等号成立，故0<，<号，错误： =1+3++2 26 由+6≥a-号仅当a=6-号时等号成点，故 2 ≥(+V2 2h·322b 】=2+3 26 。+6≥方正确： 当且仅当223220，即6=825a=1时等号 2 2 c:六+六-（公+）a+6)=号+品+≥ 3 成立. 故答紫为：2十5 3会号-是+万，仅当6==2-巨时等号成立，故 题型五 变式【解】因为浓池的长为r来，则宽为200来. D:由a+b=1≥6+b 2 ,仅当a=b=号时等号成立，故 则总造价fx)=400×(2z+2×20）+100×20+60× 200(x∈(0，+∞))， a十B≤2，错误.故选：B. 变式2【答案】C 整型得到f(x)=800×(x+225)+12000≥1600×15+ 【解析】①若a>b,c=0时，ac=c,故为假命题： 12000=36000(.x∈(0，+c∞))， ②若ac>bc,则c2>0,有a>b,故为真命题： 当且仅当x=15时等号成立. @若aCC0,则生-a生 故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为 2 36000元. 2一a)·D=一√品，仅当a=b时等号成立，所以 题型六 2 变式1【答案】（一0，] a士b<一va币，为真命题： 【解析】对任意正实数x,y,不等式x十4y≥m1xy恒成 2 ④若c>u>b>0,则a-b c(a-b) 立，即红+4≥m恒成立， "c-ac-bc-ac-6且a-b> y r 0a>0一6>0：所以。。>0，则>产6为 因得名号停收答 真命题. =4y时取“=”， 故真命题有②③①，共3个.故选：C 所以m≤4，故答案为：（一∞，4们. 题型三 变式2【答案】5+26：26+5 变式【解】1)因为b=6-1,所以b+上=6. 【解析】a>0,b>0,.2a+b>0 b=Xb≤ 1) 6+ 不等式日+名≥6恒成这，即不等式m< =9, a u 2 (日+号)2a+b)板成立 当且仅当=合=号6=3时，等号成主 1 :(日+)2a+61=5+g+台≥5+3层·日 6a.b=5+ b 故会的藏大值为9， 2y6,当且仅当60=么即b=V6a时，等号成立 b a (2)证明：因为a2+9b+2ab≥21a·9b+2ab=8ab. ∴m≤5+26，即实数m的最大值为5十2/6. 所以ab≥8ab,又a>0,b>0, 解得ab≥8， 故答案为：5+2√6. 里收多=26,6=2时，学号成主.故b8 专题9二次函数与一元二次方程、不等式 题型四 变式1【答案】20.5 【经典例题】 题型一 【解析】因为正实数a,h满足4a十b=18, 变式1【答案】《xx<-2或x>2 所以号+=1… 【解析】因为(x一2)(x十3)>x一2， 所以(x-2)(x十3)一(x-2)>0, 93 衔接必刷题 即(x-2)(x十2)>0， 所以x<-2或r>2. 综上：a=号时不等式解集为⑦0>号时，解条为{x-a< 所以不等式的解集为{xx<一2或x>2} x<2a-10a<3 时，解集为{x2a-1<x<一a. 故答案为：{x|x<一2或x>2}, 变式2【答案】{x|-3<r<2或3<x<8} 题型四 【解析】原不等式等价于工产-5r>一6 1x-5x<24 变式1【答案】 <3成≥号 所以仁80 【解析】 35=5r1≤0. 2 x-3 中338 所以/一3)5x17)0.解得x<3或r≥7. 1x-3≠0 故原不等式的解集为{z|-3<x<2或3<x<8}. 所以不等式二<5的解条是<3我≥号。 故答案为：{x|-3<x<2或3<x<8}. 题型二 此答案为：<3或≥号}： 变式1 【塔案】（合） 变式2【答案】{x|-1<x≤2或x>7 x-2 x-2 【解析】由不等式ax2十br十c>0的解集是{xa<x<}(a 【解折】不等式，6r-7≥0可化为红-+D≥0， >0),可知： a,3是一元二次方程ax8十bz十c=0的实数根，且a<0: 故等价于（时BC-别020。 a…gc」 由根与系数的关系可得：a十日=一 利用数轴标根法解得-1<x≤2或x>7, 所以不等式cr+r+a>0化为二x+么x十1<0，即： 即不等大品≥0的解条是小-1K<2我> a a aar-(a十B).x十1<0： 故答案为：{x-1<x≤2或x>7. 化为(a.r-1)(z-1)<0: 题型五 变式1【答案】A 又<>0>日>0： 【解析】结合题意易知，[30-2(x-15)门·x>400,即x2 30x+200<0,解得10<x<20, “不等式+b+a<0的解集为：u日<日 因为x>15,所以15<r<20, 这批台灯的铺住单价x的取值范围是{x115<r<20), 故答案为：（合）】 故选：A, 变式2【答案】(-6∞，1) 变式2【答案】B 【解析】由题意可得：一1,3是方程ar十br一3=0的两 【解折】由题设240×1%×(20-号)≥900且0<1<8， 根，且a>0, 整理得12-81十15≤0，可得3≤1≤5. -1+3= 故选：B 则由韦达定理可得： 日解得份2 题型六 -1×3= 3 a 变式1【解】(1)由题得：x≤x2+m.x一m,即(x十m)(x-1) 所以不等式b.x十1十a>0化为：-2x十2>0，解得x<1, ≥0： 故所求不等式的解集为（一0∞，I). ①m=一1时可得x∈R: 故答案为：（一∞，1）. ②m<一1时，一m>1,可得不等式的解集为{xx≤1或x> 题型三 一1}： 变式1【解】方程：ax+(a十2).x+1=0且a≠0 ③m>一1时，一m<1,可得不等式的解集为{xx≤-m支 ∴.4=(a+2)2-4a=a3+4>0, x≥1}， (2)x∈{x1≤x≤2)时，r≤x2十m.r十n≤4r恒成立， 解得方程两根d=二a-2。+4, 2a 即为1≤x+”+m≤4对x∈{x1≤x≤2}位成立， ,=二0-2+/a+4】 即存在实数m,使得-工-”+1≤m≤-T一”十4对x∈ 2a 当a>0时，原不等式的解集为： {x1≤x≤2)恒成立， 1>4-2+成r<a-2@+到 2a 2a 所以（-一”+1)≤m≤（-x-”+4),周光 当a<0时，原不等式的解集为： (-x-”+)≤(-x是+4) {xa-2++4<r<a=22+ 2a 2a 由于<0时y=一兰y=-在[1,2]上均为单润遥减的 综上所述，当>0时，原不等式的解集为： xx>二a-2合+或<4-22@+4 函数，故y=一一(m<0)在[1,2]上单调适减， 2a 2a 当a<0时，原不等式的解集为： 所以一小<2-受，即心一4，所以负数n的最小值为一4 xa-2a+4<r<二a-2,a+4 变式2【答案】{t1≤-2 2a 2a 【解析】因为不等式-2.r2+bx十c>0的解集{x一1<x< 变式2【解】由(.x十a)(x-2a+1)=0得x=-a或x=2a 3}, 当2a一1=-4，即a-吉时，不等式解集为8： -1+3=2 所以 ,解得6=4 (-1)×3= C c=6 当2a-l1>a:即。>言时，解集为-4<<2a-l: 2 因为对任意一1≤x≤0，不等式2x2+r+c十t≤4恒成立， 当2a-1<-a,即a<号时，解集为{2a-1<<-a 所以为对任意-1≤x≤0，不等式1≤-2x-4x一2恒成立， 令y=-2x2-4x-2, 94 参考答案 =-2(x+1)2≥-2， 所以1≤-2， 即定义域为{<<5 故答案为：{11≤-2. 故选：D 题型七 题型目 变式1【解】(1)若方程ax十2x十1=0(a≠0)有一个正根 变式1【答案】C 和一个负根， 【解析】函数f(x十1)的定义域为[1,7]，则2≤x十1≤8， 则{1∠0 ,即/a<1 (△=4-4a>0 因此在f(2x)中，2≤2x≤8， la<oa<o. a 品载6)-2)+V月7有意又，必有8解释 ,'.方程a.x+2x十1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充 1≤x3. 要条件是a0. 所以函数h(x)的定义拔为[1,3] (2)方程ax3十2r十1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一 故选：C. 个必要而不充分条件是a<1, 变式2【答案】A 证明：若方程ar2+2r+1=0(a≠0)有一个正根和一个 【解析】函数f(x一2)的定义域为（一1,3），即一1<x<3, 负根， 则一3<x一2<1， 则由(1)知其充要条件为a<0, 所以对于f(-x).有-3<-x<1,解得-1<x<3,即f(一x)的 从而a<1,故必要性成立. 定义域为（一1,3）： 若0<a<1,则方程a.x2+2x十1=0中，4=4-4a>0,x1· 由x-1>0解得x>1, 所以gx=八的定义战为1,3). Vr-T ,.方程ax十2x十1=0有两个同号根，，充分性不成立， 故选：A 故a<1是方程ax十2x十1=0(a≠0)有一个正根和一个负 题型四 根的一个必要而不充分条件. 变式1【答案】 变式2【解】(1)证明：a>b>c,.a-c>a一b>0. 6>0+。>0 1 【解析】y= a.r+1 的定义城为R是使a.x2一4a.x /az2-4a.r+3 (2)关于x的方程(n一1)x十(2m一4)x十m=0有两个不 十3>0在实数集R上恒成立 相等的正实数根， 若a≠0时，要使ax2-4a.x+3>0恒成立，则有a>0且△< 则m-1≠0，且4>0x十x=-么>0，x1·x=￡>0， a a 0,即△=(-4如)2-4X3a<0,解得0<a<是 m一1≠0 若a=0时，a.x-4a.x十3>0化为3>0，恒成立，所以a=0 (2m-4)2-4m(m-1)>0 「m一1≠0 满足题意， 0 -12m+16>0 (2m-4)(m-1)<0 所以0<a<是， m”>0 m(m一1)>0 综上：即实数a的取值范周是[0，是) m-1≠0 m<号 故填：[0，) 1<m<2. 变式2 【答案)[0，) <0或m>1 【解析】，函数f(x)的定义城为R, 解得：1Km<子 ,.m.x2一4mx十3>0在R上恒成立， ①当m=0时，3>0恒成立，满足条件。 ②当m≠0时，若函数的定义城为R,则 专题10函数的概念及其表示 公16m-12m<0解得0<m<是 n>0 【经典例题】 题型一 综上可得实数m的取值范国是[0，) 变式1【答案】C 【解析】对于A,BD选项，对于每个x都有唯一对应的y 答案[0，) 与之对应，A,BD选项中的图象均为函数的图象； 题型五 对于C选项，存在x∈R,使得这个x有两个y与之对应，C 变式1【答案】D 选项中的图象不是函数的图象. 【解析】对选项A,因为(x)=x定义域为R,g(x)=|x 故选：C. 定义域为R,定义域相同， 变式2【答案】D 但f(.x)≠g(x),所以f(x),g(x)不是同一函数，故A错误： 【解析】根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图 对选项B,因为f(r)=(x+2)定义城为R,g(r) 象可看出，只有选项D的图象满足， (x+2)2定义域为{xx≥-2， 故选：D. 定义域不同，所以f(x),g(x)不是同一函数，故B错误： 题型二 变式1【答案】C 对选项C,固为f(x)=反定义城为xx≥0，g(x)=工定 【解析】因为√x一2有意义，所以x|一2≥0，所以x 义域为{xx>0), ≥2， 所以x≤-2或x≥2，即实数x∈(-∞，-2]U[2,十∞). 定义域不同，所以f(x),g(2)不是同一函数，故C错误： 故选：C. 对选项D,因为f(x)=x定义域为R,g(x)=Wx定义战 变式2【答案】D 为R, x>0, 又g(x)=VT=x=f(x),所以fx)·g(x)是同一函数，故 【解标】由题意知02>0，解得<<5 D正确. 2x>10-2x, 故选：D 95衔接点二 初升高知识衔接 专题9 二次函数与一元二次方程、不等式 知识梳理 知识点一 一元二次不等式的概念 知识点诠释:(1)一元二次方程ax^②十bx十c=0 一般地,我们把只含有一个末知数,并且未知数 (a关0)的两根、x是相应的不等式的解集的 的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等 端点的取值,是抛物线y=ax2十bx十c与x轴的 式,即形如ax②十bc十c>0(>0)或ax2十bx+( 交点的横坐标 0(<0)(其中a,b,c均为常数,a子0,的不等式 (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式 都是一元二次不等式 的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化 知识点二 二次函数的零点 为二次项系数为正的形式,然后讨论解决 一般地,对于二次函数y一ax②十bx十c,我们把 (3)解集分△>0,△-0,△<0三种情况,得到一 使ax2十bx十c-0的实数x叫做二次函数y= 元二次不等式axr②+bx十c>0与axr②+bx十c<0 ar^?十br十c的零点. 的解集。 知识点三 一元二次不等式的解集的概念 知识点五。 利用不等式解决实际问题的一般 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成 步骤 的集合叫做这个一元二次不等式的解集 1.选取合适的字母表示题中的未知数 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式 2.由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等 的解的对应关系 式(组). 对于一元二次方程ax^②}十bx十c=0(a>0)的两 3.求解所列出的不等式(组) 根为x1、x且xx,设△=b2-4ac,它的解按 4.结合题目的实际意义确定答案. 照△>0,△一0,△<0可分三种情况,相应地,二 知识点六 一元二次不等式恒短成立问题 次函数y=ax2十bx十c(a>0)的图像与x轴的 1.转化为一元二次不等式解集为R的情况,即ar2十 位置关系也分为三种情况,因此我们分三种情况 a0 来讨论一元二次不等式ax②十bx十(>0(a>0) bx十c>0(a0)恒成立一 恒成立 △<0 或ar2十bx十c0(a>0)的解集 (a0 △-2-4ac △>0 △-0 A<0 ar?+bx+c<0(a去0){ ###### 4_。 二次函数 y=x{②+bx十( 2.分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题 0 1 (a>0)的图象 知识点七 简单的分式不等式的解法 系数化为正,大于取“两端”,小于取“中间” ax^②}+bx十c-0有两相异实根有两相等实根 无实根 #_700 (u>0)的根 x,r(rp)n=:= I(ax+b)(cx+d)>0(c0) a2十bx+0 r<x1 可转化为 R 简单分式不等式 一元二次不等式 (a0)的解集 或x>) ar十bx十c0 xlr< 2 ax =0(:0) (ax+b)(cx+d)=0(0)且cx+≠0 (a>0)的解集 <r) -47 衔接必刷题 经典例题 题型一 解不含参数的一元二次不等式 题型三 含有参数的一元二次不等式的解法 【典例】(内蒙古呼伦贝尔高一校考开学考试)解 【典例】 (高一单元测试)解关于x的不等式 不等式: ax②-(a+1)x+1<o(aR). (1)-x2+x>3x+1; 【解】原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, (2)x2-2x>2x2+2. ①当a→0时,原不等式可化为(x-)(tx-一1)<o, 【解】(1)由-2+x>3x+1得2+2x+1<0, 所以当a>1时,解得<x<1; 即(x十1)2<0. .x十1-0. .x--1. 当a-1时,解集为; 即不等式一x2十x>3x十1的解集为(-1》. 当0<<1时,解得1<x<. a (2)由x2-2x>2r+2得x2+2x+2<0. ②当a-0时,原不等式等价于一x十10,即xl 即(x十1)②十1<0,不可能成立, 即不等式2-2x>2x^{十2的解集为. 【变式1】(高一课时练习)(x一2)(x十3)x-2 (x-1)0. 的解集为 【变式2】(高-课时练习)不等式-6 x2-5x 24的解集为 综上,当0<<1时,不等式的解集为{1#1<1,# 题型二 一元二次不等式与根与系数关系的 交汇 当a一1时,不等式的解集为, 【典例】(高一课时练习)已知不等式ax②十bx十( >0的解集为(-3,2),则不等式cx2+bx十a>0 的解集为 当a一0时,不等式的解集为(xlx1), 【答案】 (-o-)(。~) 【变式1】(全国高一专题练习)解下列关于工的 【解析】 1 因为不等式ar^②}十bx十c0的解集为 不等式ax②+(a+2)x+1>0(a字0). [a<0 -3+2-- [b-a (一3,2),所以 ,可得 lc--6a' 所以cx2+bx+a>0可化为-6ar2+ar+a>0 因为a<0,所以-6a.xr^②}+a.x+a>0可化为6r2-x -1>0. 所以不等式cx^②}十bx十a0的解集为 (#-)(,+~). 故答案为:(-,-)U(,+). 【变式1】(高一课时练习)已知不等式ax2十bx十 c0的解集是xa<x<3,a>0,则不等式 cr2十bx十a0的解集是 【变式2】(安徽滁州高一校考开学考试)已知不 等式ax*+bx-3<0的解集为{x -1<x<3 . 则不等式bx+1十a>0的解集为 48 衔接点二 初升高知识衔接 【变式2】 (全国高一专题练习)解下列关于x的 【变式1】(天津滨海新·高一校考期中)某文具 不等式:(x十a)(x-2a+1)<0 店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价 格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元, 日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使 这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的 销售收入.则这批台灯的销售单价x(单位:元) 的取值范围是 ( ) A.(c|15<x20 B.{x|12x18 C.(xl10<x<20 D.xl10<x<16 【变式2】(江苏连云港·高一校考阶段练习)某 地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格 为2400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的 t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少 立方米,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年 不少于900万元,则/的取值范围是 ( A.(zt3 B.(z35 C.(31<5) D.(t/<5) 题型四 一次分式不等式的解法 题型六 不等式的恒成立与有解问题 【典例】(全国·高一期末)已知不等式x^}-2 十6<0(-0). 解集为 (1)若不等式的解集是(x x<-3或x-2 【答案】 1xl1<x<4) 求的值; 【解析】原不等式可化为十2 -2>0, (2)若不等式的解集是R,求人的取值范围 -1 .(x+2)-2(x-1)→0. 【解】(1)由题意可知关于x的二次方程kx2- 即 2.x+6k-0(子0)的两根分别为-2、-3, x-1 22 --3-2,解得-- 2 所以一一 (2)若不等式的解集为R,即kx2-2x+6 0恒 解得1<x<4. [<0 '原不等式的解集为{x1<x4, 成立,则满足 ,解得<-V# △-4-24<0 故答案为:(x|1<x4) 【变式1】(上海长宁高三上海市延安中学校考开 【变式1】(全国·高一专题练习)已知函数y= 2+mx十n(m,nER). (1)若n十n三0,解关于x的不等式y二x(结果 【变式2】(安微芜湖高一芜湖一中校考阶段练 用含式子表示); (2)若存在实数n,使得当xx1<x<2时. 不等式xy4x恒成立,求负数n的最小值 题型五 实际问题中的一元二次不等式问题 【典例】(高一课时练习)某商品在最近30天内的 价格n与时间/(单位:天)的函数关系是n一/ 10(0 1<30,.EN);销售量y与时间t的函数关 系是y--t十35(0 (30,tEN),则使这种商品日 销售金额不小于500元的1的范围为 ) A. (215 20,tN) B.t10 15,tN C.(z10 15.t6N D.(tl0<t10.EN 【答案】B 【解析】 由日销售金额为(t十10)(-t十35) 500(-N),即2-25.+1500(-N). 解得10 15(1N).故选:B. 149 衔接必刷题 【变式2】(四川·高一校考阶段练习)已知不等 (2)写出“方程ax2+2x十1-0(a≠0)有一个正 式-2x^*}+bx+c>0的解集(xl-1<x<3,若 根和一个负根”的一个必要而不充分条件,并给 对任意-1<x<0,不等式2x2+bx+c+t<4恒 予证明. 成立,则.的取值范围是 题型七 一元二次方程根的分布问题 【典例】(高一课时练习)关于x的方程x2一ax十 1一0的两根均大于1,则实数a的取值集合为 【答案】 【解析】 不妨设关于x的方程x2-ax+1一0的 两实数根为x1,x2,则xx2-1. 若两根均大于1,则x1x>1,矛盾, 【变式2】 故不存在实数a,使得关于x的方程x2一ax+1 (上海宝山·高一上海市行知中学校考 一0的两根均大于1, 期中)已知关于x的一元二次方程ar{十bx十c-0. 即实数a的取值集合为 故答案为: 【变式1】(湖北武汉·高一校考期中)已知一元 (2)若a=m-1,b-2m-4,c=m时方程(n-1 二次方程ax2+2x+1-0. 2+(2m-4)x十n=0有两个不相等的正实数 (1)写出“方程ax2十2x十1=0(a字0)有一个正 根,求实数n的取值范围 根和一个负根”的充要条件; 专题10 函数的概念及其表示 知识梳理 知识点一。 函数的概念 知识点诠释:(1)A、B集合的非空性. 1.函数的定义 (2)对应关系的存在性、唯一性、确定性 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对 (3)A中元素的无剩余性. 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在 (4)B中元素的可剩余性 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 记作:y=/(x),xA (1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 值域,由于值域是由定义域和对应关系决定的, 的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一 函数值的集合/(x)xEA叫做函数的值域 致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 50