第2章 专题8 基本不等式-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 变式2【答案】A 动有材料2得: 【解析】因为命题“-工。R,x一x。-a<0”为真命题, 同理- 所以命题“x。R,a>x^{}一x。”为真命题, 2c 所以xER时,a>(x}-x)mn' 2(a十b十e)-2, 为_-(一(-)#-# a十十c 所以原不等式成立. 变式2【解】因为15{<36,所以-72<-2<-30$ 1 所以a- 又12<a<60. 所以12-72<a-2<60-30. 故选:A. 即-60<a-2<30. 因为12<a<60,所以24<2a<120. 专题7 等式性质与不等式性质 ###220 【经典例题】 题型一 ###2是8. 变式1【答案】D 【解析】依题意,请工人满足的关系式是50x十40y 2000. 即5x+4y<200. 是(2,8). 故选:D. 变式2【答案】B 题型五 【解析】由题意知导火索的长度工(单位:厘米),故导火索 变式1【答案】A 燃烧的时间为-秒, 【解析】若a>b,则a十c>b十c,故A正确; 人在此时间内跑的路程为(4×)米,由题意可得4× ,故B. D错误; >100. 故选:B. 当c-0时,ac*}-bc{-0,故C错误 题型二 故选:A. 变式2【答案】A 变式1【答案】 > 【解析】由a,b,c,deR,且a>b,c>d,可得a十c>b十d,A 【解析】因为a+6^{}-(2a-2b-2)=(a-1)+(b+1)}> 0.a-1,b--1时等号成立, 正确: 取a-3,b-2,c-1,d-0,满足条件,但a-c-b-d,B 所以a*+b?>2a-2b-2. 错误; 故答案为:二. 变式2【答案】 > 取a-3,b-2,c=-2,d=-3,满足条件,但ac-bd,= 【解析】因为P-a*+a+1-(a+){}+3→0,a*-a+1 .C,D错误;故选:A. -(a-){}+3>0则>。 题型六 变式1【答案】[2,11] 【解析】设3a+2b=x(a+b)+y(a-b)-(x+y)a十(x-y)b >1 所以PQ 故答案为:二. 题型三 $.3a+2-(a+)+分(a-6) 变式1【答案】BD 【解析】对于A,当c一0时,则ac^{②}一b^{,故A错误; 因为15a+4,-1<a-62,<(a+)<10,- 对于B,由a>0>b,则ab 0,a→0,故B正确; 对于C,当a-b--2,则a十b--4,故C错误; #<1(a-b)<1. 对于D,由a>b,c>d,则a+c>b+d,所以a-d>b-c,故 D正确. 因此,2<3a+2b<11.故答案为:[2,11]. 故选:BD. 变式2【答案】(2,5) 变式2【答案】BD 【解析】由不等式的性质求解即可. 【解析】对于A,当a<b,c0时,acbc,故A不正确; 3x+y=2(x+y)+(x-y). 对于B,因为a<b,c-3a-(c-3b)-3(b-a)>0,即c -3a 因为实数x,y满足(1<x+y<2 >c-3b,故B正确; 0<x-y<1' 对于C,当a<0<6时,1<士,故C不正确; 所以2<2(x+y)+(x-y)<5, 即3x十y的取值范围为(2,5).故答案为:(2,5) 对于D,由a<b可得a<b<0或0<a<b或a<0<b, 当a b<0时,则-a-b>0,lal>l$bl>0,故-al 专题8 基本不等式 -blbl,即ala<blbl, 当0<a<时,则0<a<,故aa<b,当a<0 时,则alal<bbl, 【经典例题】 所以由ab可得alal<blbl,故D正确 题型一 故选:BD. 变式【答案】AD 【解析】对于A选项,:a→o,6o则:.→o,→0.: 题型四 变式1【解】 因为a,b,c是三角形的三边,则b十ca0,由 材料(1)知f<6caatbtc” aa十a_2a 921 参考答案 项正确; 所以-+-(+)(+# #00年41 于C选项,当a<o时,#+a--[(-+(-)]< ###级# & C选项错误; #6- #以t的小为力士# 对于D选项,因为πyR,xy<0、则王<0,<0.十 #-[(-+(-)]<”(-)·(-)- 故答案为:。 一2,当且仅当x一一y时等号成立,D选项正确. 变式2【答案】2+/③/③+2 故选:AD. 【解析】由a+b-2,得a=2-b,又a,béR ,a>b, 题型二 {2->,解得0<<1,所以0<2-26<2, 变式1【答案】B 所以{ 60 【解析】A:由a,b>0,则a十b-1>2ab,仅当a-6b- #-0一-0)(2-20-20 时等号成立,故0<va,错误; ###(A) △ 2 2) #}二,正确; ##+t-(1+(+-号++→号+ 2 成立. 故答案为:2十3. 题型五 ##,误 变式【解】因为冰池的长为工来,则宽为200米.。 D.由a=14){},仅当a-b-时等号成立,故 3 200(x(0,十o)). +②,错误.故选:B 变式2【答案】C 【解析】①若a>b,c一0时,ac=bc,故为假命题; 12000=36000(xE(0,+00)). ②若ac{}>b^{},则c>0,有a→b,故为真命题; 当且仅当x-15时等号成立. ③若a<6<o,则十6(-a)(-) 故冰池的长设计为15米时,可使总造价最低,最低总造价为 2 2 36000元. 2(-a)·(-)--ab,仅当a-b时等号成立,所以 题型六 2 变式1【答案】(一o,4] a十h一ab,为真命题; 【解析】对任意正实数x,y,不等式x十4y二mxy恒成 立,即恒成立, c(a-b) 0# (##2 -##1 真命题. =4y时取“二” 故真命题有②③④,共3个,故选:C. 所以m4,故答案为:(一oo,4]. 题型三 变式2【答案】5十2/26+5 变式【解】(1)因为b-6-1,所以b+1-6. 【解析】.a0,b>0,..2a+b0 a ####+ (#+)(2a+)恒成立 ##+#(2#-$+0△→△-# .6a.#-5十 故吾的最大值为9. 2、v,当且仅当6a-即b-6a时,等号成立 (2)证明:因为a^}+9b{}+2ab2a·9b{+2ab=8$ '.m5+2,即实数m的最大值为5+2 所以ab>8ab,又a>0,b>0, 解得ab>8, 故答案为:5十26. 当且仅当a-2、6.6-2时,等号成立,故ab→8. 专题9 二次函数与一元二次方程、不等式 3 题型四 1/0.5 【经典例题】 变式1【答案】 题型一 【解析】因为正实数a,b满足4a十b-18, 变式1【答案】(xx<-2或x>2) #2一1 【解析】因为(x-2)(x十3)>x-2, 所以(x-2)(x+3)-(x-2)>0. -H93衔接点二初升高知识衔接 专题8基本不等式 知识梳理 知识点一基本不等式 特别的，如果a>0,b>0,我们用Va、vb分别代替 1.对公式a2+≥2ab及士a的理解 a、b,可得： 如果a>0,b>0,则a+b≥2√ab.(当且仅当a=b (1)成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是 时取等号“=”) 实数，而后者要求a,b都是正数， (2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是 通常我们把上式写作：如果a>0.6>0V< “当且仅当a=b时取等号” (当且仅当a=b时取等号“=”). 2由公式。+≥2ab和士6可以3引申出常 方法二：代数法 :a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， 用结论 当a≠b时，(a-b)2>0:当a=b时，(a-b)2=0. ①2+8>≥2ab同号》 所以(a2+b2)≥2ab,(当且仅当a=b时取等号 “=”) @会+号<-2a,6异号. 知识点诠释：特别的，如果a>0,b>0,我们用 a、vb分别代替a、b,可得： ③1 2 212 ”(a>0,b>0)或 如果a>0,b>0,则a十b≥2ab,(当且仅当a= b时取等号“=”) a≤（≤4a>0.6>0. 通常我们把上式写作： 2 如果a>0,6>0a<a中.（当且仅当a=6时 知识点诠释：a2十2≥2ab可以变形为：ab≤ 生些，可以变形为a长 取等号“=”) 知识点三 基本不等式ab<“的几何意义 知识点二基本不等式ab≤“生的证明 如图，AB是圆的直径，点C是 方法一：几何面积法 AB上的一点，AC=a,BC=b, ab 过点C作DC⊥AB交圆于点 如图，在正方形ABCD中有四 D D,连接AD、BD. 个全等的直角三角形， 易证Rt△ACD~Rt△DCB, 设直角三角形的两条直角边长 那么CD=CA·CB,即CD=ab 为a、b,那么正方形的边长为 a2+ va2+b.这样，4个直角三角 这个圆的半径为“士，它大于或等于CD,即 形的面积的和是2ab,正方形ABCD的面积为 艺一历，其中当且仅当点C与圆心重合，即 a2十b2.由于4个直角三角形的面积小于正方形 a=b时，等号成立 的面积，所以：a2十2≥2ab.当直角三角形变为 等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩 知识点途释：(1)在数学中，我们称士为a,b的 为一个点，这时有a2+b2=2ah. 算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数.因此基 得到结论：如果a,b∈R+,那么a2+b2≥2ab.(当 本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小 且仅当a=b时取等号“=”) 于它们的几何平均数. 43 衔接必刷题 (2)如果把“看作是正数a,6的等差中项，ad 带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取 “=”号这句话的含义要有正确的理解。 看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可 (3)基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不 以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等 等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考 比中项 虑使用平均不等式：若对于所给的“和式”中的各项 知识点四 用基本不等式a<少求最大 的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式” 中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值 (小)值 (4)利用两个数的基本不等式求函数的最值必须 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条 具备三个条件： 件：一正二定三取等. ①各项都是正数 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数. ②和（或积）为定值 ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或 ③各项能取得相等的值， 积必须有一个为定值. (5)基本不等式在解决实际问题中有广泛的应 ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相 用，在应用时一般按以下步骤进行： 等，取得最值。 ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最 知识点诠释：(1)两个不等式：a2+b2≥2ab与 大值或最小值的变量定为函数， “函成立的条件是不同的，崩者要求口，6 ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函 数的最大值或最小值问题 都是实数，后者要求a,b都是正数 ③在定义域内，求出函数的最大或最小值. (2)两个不等式：a2+b≥2ab与“十b√ab都是 ④写出正确答案. 经 典例题 题型一 对基本不等式的理解及简单应用 正确的，且1=兰 ,即x=士2时等号成立，所 【典例】（上海静安·高一校考期中）给出下列命 以②中的基本不等式计算是正确的，②对： 题中，真命题的个数为 1 ①已知a,b∈R,则b+a≥2， b x2+2+ >2(当√2+2=，1 时 b =2成立； vx2+2 √π2+2 a x2=一1无解，等号不成立)，故③错：因为ab<0, ②已知xR且x≠0则x+=x+ 所以-公>0且-2>0，且-合=石2，即a=-6 2x· 4成立： 时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确 的，④对.故选：B ③已知x∈R,则x2+2+ 的最小值为2： x2+2 【变式】（多选题）（全国·高三专题练习）下列推 导过程，正确的为 ④已知a,b∈R,ab<0,则+号=-(-+ A因为06为正实数，所以+号≥2·号=2 6)≤-2-)·(-)=-2成立. B.因为x∈R,所以+> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 Ca<0,所以+a>2√·a=4 【答案】B 【解析】当ab<0时，①中的不等式是错误的， D因为xweR0.所以号+=-[(-）》 ①错：因为x与同号，所以十=+1是 +(-)]<--)·()=-2 44 一衔接点二初升高知识衔接 题型二 利用基本不等式比较大小 【证明】因为a>0,b>0,a+b=1, 【典例】（湖南张家界·高一张家界市民族中学校 所以1+21+6）=(1+4）1+安） 考阶段练习)设0<a<b,则下列不等式成立 的是 ( (2+2+会)=5+0+0≥5+20×9 A.Vab<ajb<a<b 2 =9,当且仅当的-公即a=6=时等号成立. B.a<ajb<yab<b .2 故原题得证。 C.vab<a<u3b<b 【变式】（陕西榆林·高一统考期末）已知a>0 2 b>0. Da<<告b （1)若6=6-日，求会的最大值： 【答案】D (2)若a2+9b2+2ab=ab2,证明：ab≥8. 【解析】因为0<a<b,所以√/ab<a十b: 2 图为4b-4=,4>0,0时-6=a,b<0, 2 2 2 2 所以a,空<6，即a<生<6， 因为0<a<b, 所以wab-a=√ab-√a2=a(√b-a)>0,即 ab>0, 因此a<ab<a十b<b,故选：D. 2 【变式1】（山东青岛·高一青岛二中校考期中）》 设正实数a、b满足a十b=1,则下列结论正确的 是 Avais B.c2+≥号 ca+6>3 D.a+b≥>2 【变式2】（北京·高一北京四中校考阶段练习） 对于实数a,b,c有下列命题： ①若a>b,则ac<bc ②若ac2>bc2,则a>b: @若a<C0.则士-V: 国若c>a>6>0,则，。6 则其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 题型三利用基本不等式证明不等式 【典例】（全国·高一专题练习）已知a>0,b>0, 且a+b=1,求证：(1+)1+方)≥9， 45 衔接必刷题 题型四 利用基本不等式求最值 米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出 【典例】（广东惠州·高一统考期末）已知a>0, 泳池的总造价f(x),问泳池的长为多少米时，可 b>0,且a十b=4,则ab的最大值为 使总造价(x)最低，并求出泳池的最低造价. 【答案】4 【解析】：a>0,b>0,a+b≥2√ab,当且仅当 a=b时等号成立，即4≥2√ab,整理可得4≥ab, 所以ab最大值为4.故答案为：4. 【变式1】（广东汕头·高一金山中学校考期中） 已知正实数a,6满足4a十b=18,则。十方的最 小值为 【变式2】（江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段 练习)已知a+b=2,且a,b∈R,u>b,则1十3 a-b 2b 的最小值为 题型五利用基本不等式求解恒成立问题 【典例】（广东深圳·高一校考阶段练习）为加强 “疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有 墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方 米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由 于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给 出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方 米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急 室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤6)，公司 整体报价为y元. 题型六基本不等式在实际问题中的应用 (1)试求y关于x的函数解析式： (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可 【典例】（辽宁沈阳·高一统考期未）已知实数a,b 以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 满足3a+号-1，若对于Va,6∈R.+36>m 【解】(1)因应急室的左右两侧的长度均为x 恒成立，则实数m的取值范围是 来，则应急室正面的长度为碍来，于是得 【答案】(-∞，27) y=200×4×2x+200×4×32+7200=1600 【解析】 由3a+合=1得：（日+36）3a+) x (+)+72001≤r≤6). 3+4+9ab+12>15+2√36=27， ab (2)y=1600(x+ .16 ）+7200>1600×2,x· 当且仅当4 9ab,即a=)b=6时等号成立， b x x +7200=20000. 所以1十3b的最小值为27， a 当且仅当x=16 ，即工=4时等号成立，此时在 又m<1+3b恒成主，故m<27. a [16内，3是-程-8。 故答案为：（一∞，27）. 【变式1】（北京·高一校考阶段练习）对任意正 故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用 最低，最低20000元. 实数x,y,不等式x十4y≥m√y恒成立，则实数 【变式】（山西太原·高一校联考阶段练习）某游 m的取值范围是 泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳 【变式2】（辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校 池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁 考期中)已知a>0,6>0,若不等式日+名≥ 造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其 造价为100元/米，泳池底面造价为60元：平方 2。件6恒成立，则实数m的最大值为 46