第2章 专题7 等式性质与不等式性质-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 专题7 等式性质与不等式性质 知识梳理 知识点一 符号法则与比较大小 (3)可加性:a>ba十c>b十c(cER). 1.实数的符号 (c>0→ac>bc 任意xR,则x0(x为正数)、x=0或x<0( (4)可乘性:a>b,c-0→ac=bc. 为负数)三种情况有且只有一种成立, c<o→ac<bc 2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号 2.运算性质 性质 (1)可加法则;a>b,c>d→a十c>b+d (1)两个同号实数相加,和的符号不变 (2)可乘法则:a>b>0,c>d>0→a·c>b·d>0 符号语言;a>0,6>0→a+b>0; (3)可乘方性;a>0,nEN→a”“0 a<0,b<0→a+b<0. 知识点诠释;不等式的性质是不等式同解变形的 (2)两个同号实数相乘,积是正数 依据。 符号语言:a>0,b>0→a>0 知识点三 比较两代数式大小的方法 a0,b<0→ab>0. 1.作差法 (3)两个异号实数相乘,积是负数 任意两个代数式a、b,可以作差a一b后比较a-b 符号语言;a>0,b<0→ab<0. 与0的关系,进一步比较a与的大小. (4)任何实数的平方为非负数,0的平方为( ①a-b>0→a>b. 符号语言;xER→x2>0,x-0x②-0 ②a-b<0→a<b 3.比较两个实数大小的法则 ③a-b-0→a-b. 对任意两个实数。、b 2.作商法 ①a-b>0→a>b. 任意两个值为正的代数式a、6,可以作商 ②a-b<0→a<b. ab后比较与1的关系,进一步比较a与b的 ③a-b-0-→a-b. 对于任意实数a、b,a>b,a=b,a<b三种关系有 大小. 且只有一种成立. 知识点诠释:这三个式子实质是运用实数运算来 比较两个实数的大小关系,它是本章的基础,也 是证明不等式与解不等式的主要依据 知识点二 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 3.中间量法 1.基本性质 若a>b且b>c,则a>c(实质是不等式的传递 (1)对称性:a>b→ba 性).一般选择0或1为中间量. (2)传递性:a>b,b>c→a>c. 经典例题 题型一 用不等式(组)表示不等关系 A.a+b+c130且abc<72000 【典例】(甘肃酒泉·高一统考期末)铁路总公司 B.a+b+c>130且abc>72000 关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品 的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体 C.a+b+c130且abc72000 积不超过72000cm},设携带品外部尺寸长、宽。 D.a+b+c>130且abc>72000 高分别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学 【答案】 C 关系式可表示为 ( 40 衔接点二 初升高知识衔接 【解析】 由长、宽、高之和不超过l30cm得a十b A.abac B.(b-a)c>0 十c130,由体积不超过72000cm③}得abc C.ch2-ab2} D.ac(a-c)0 72000.故选:C. 【答案】ABD 【变式1】(黑龙江双鸭山·高一校考期中)完成 【解析】由实数a,b,c满足c<b<a,且ac<0, 一项装修工程,请本工需付工资每人50元,请瓦 可得a>0,c 0,对于A中,由b>c,a>0,可得 工需付工资每人40元,现有工人工资预算2000 abac,所以A正确;对于B中,由b a,可得 元,设木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系 b-a0,因为c0,所以(b-a)c>0,所以B正 式是 ( ) 确;对于C中,当$-0,则b^2}-0,可得cb^②}-$a ^}$ A.5x+4200 B.5r+4y200 所以C不正确;对于D中,由ca,可得a一c>0. C.5x+4y-200 D.5x+4v<200 因为ac0,所以ac(a-c)0,所以D正确.故 【变式2】(全国·高一专题练习)在开山工程爆 选:ABD. 破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米 【变式1】(多选题)(湖南长沙·高一校联考阶段 练习)下列不等式成立的是 人跑开的速度为每秒4来,距离爆破点100米以 ) 外(含100米)为安全区,为了使导火索燃尽时人 A.若a>b,则ac2>be{} 能够跑到安全区,导火索的长度x(单位:厘米) B.若a>0>b,则ab<a{} 应满足的不等式为 C ) C.若ab-4,则a十b二4 B.4×100 D.若a>b,c>d,则a-d>b-c 【变式2】(多选题)(宁夏吴忠·高一统考期中) 若a,b,c是不为0的实数,且ab,则下列不等 式一定成立的是 题型二 作差法、作商法比较两数(式)的大小 ( A.ac>bc B.c-3a>c-3b 【典例】(高一课时练习)比大小:2一③ 5-2. D.aa<blbl 【答案】 ) 题型四 利用不等式的性质证明不等式 【解析】因为2-/③0.5-20 【典例】(高一课时练习)证明下列不等式: (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac e-bc 所以(2-3)-7-43,(5-2)-7-4 5 因为7-43-(7-45)-45-43>0 所以(2-③)?(/5-2) 【证明】(1):a>b,c>0. 所以2-35-2. ..ac>bc...-ac-bc. 故答案为:二. 又因为e>f,即f<e, 【变式1】(吉林长春·高一校考阶段练习)设a、b 所以f-ace-bc. 为实数,比较两式的值的大小:a{}十^2} dc 2a-26一2(用符号>,,<,<或=填入划线 部分). d 【变式2】(全国·高一专题练习)P=a2十a+1.Q= ### .(aER),则P,Q的大小关系为 2-a十1 【变式1】(高一课时练习)阅读材料:(1)若x 题型三 利用不等式的性质判断命题真假 #o,且m>o,则有m(2)若a<b.c<d, 【典例】(多选题)(高一单元测试)如果a,b,c满 xx十n 足c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中一定成 则有a十c<b十d. 立的是 ( 请依据以上材料解答问题: H41 衔接必刷题 【答案】 C 【解析】.a>b,c>d,.,a十cb十d,故A正确; ,<2. ra十b .a>b>0,c>d0,..acbd,故B正确; -30,此 故D正确.故选.C. 【变式1】(福建泉州·高一校考期中)若a,一 定成立的是 ) A.a十c>bc B.a2>62 C.ac?>be2 【变式2】(全国·高一专题练习)已知a,b,c,d CR,且ab,c>d,则下列结论中正确的是 【变式2】 (河北衡水高一校考阶段练习)已知 ( ) A.a十c>b十d B.a-c>b-d C.ac>bd 题型六 利用不等式的基本性质求代数式的 取值范围 【典例】(高一课时练习)已知0<a十b<1,2<a一 b<3,则b的取值范围是 【答案】 (-3-)# 【解析】由题意,在2<a-b<3中, -3<b-a<-2 :0<a+b<1. 故答案为:(-3).# 【变式1】(黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考 阶段练习)已知1<a+b<4,-1<a-b<2,则 题型五 利用不等式的性质比较大小 3a十2的取值范围是 【典例】(高一课时练习)已知a>>c>d0,则 【变式2】(吉林·高一吉林文中学校考阶段练 下列结论不正确的是 ( ) 1<x+y<2 B.ac>bd 习)若实数x,y满足 A.a+c>b+d ,则3x十y的 0<x-y<1 取值范围为 42衔接必刷题 变式2【答案】A 26 ,由材料(2)得： 【解析】因为命题“3x∈Rx一x。一a<0”为真命题， 同理6< a+c a+b+c'a+b a+b+c 所以命题“3x∈R,>x-x。”为真命题， 2a 2c 所以x∈R时，a>(x一E)ma, a+b+c 周为y=-=(-)》- 1 2(a+b+c2=2. a+b+e 1 1 所以原不等式成立 所以当x= 时ym=一4 变式2【解】因为15<h<36,所以-72<-2b<-30. 所以a> 1 又12a<60, 4 所以12-72a-2b<60-30, 故选：A. 即-60<a-2h<30, 因为12<a<60,所以24<2a<120, 专题7等式性质与不等式性质 国为15<36，所以高<名< 【经典例题】 所以2420120 36615 题型一 变式1【答案】D 号<<& 【解析】依题意，请工人满足的关系式是50x十40y≤ 2000, 所以a一2b的取值范围是（一60,30）， 会的取值范围 即5.r+4y≤200 故选：D. （号8）. 变式2【答案】B 题型五 【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘来)，故导火索 变式1【答案】A 燃烧的时间为品秒， 【解析】若a>b,则a十c>b十c,故A正确： 人在此时间内跑的路程为(4×5)米，由道意可得4×0 当a=1,6=-2时d=1<4=6,日=1>-专-方，故B 11 D错误： ≥100. 当c=0时，ac=b2=0.故C错误. 故选：B 故选：A. 题型二 变式2【答案】A 变式1【答案】≥ 【解析】由a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,可得a+c>b+d,A 【解析】因为a3+b-(2a-26-2)=(a-1)3+(6十1)≥ 正确： 0,a=1,b=一1时等号成立， 取a=3,b=2,c=1,d=0,满足条件，但a一c=b一d,B 所以a2+b≥2a-2b-2. 错误： 故答案为：≥。 变式2【答案】≥ 取a=3b=2.c=-2,d=-3,满足条件，但ar=bd,号 【解标】周为P=a+a+1=(a+号）)+是>0a-a+1 b,C,D错误；故选：A =(a-)+>0则Q>0 题型六 变式1【答案】[2,11] 6=a2+a+1d2-a+1）=g2+1-。=a+。2+1 【解析】设3a+2b=x(a十b)十y(a一b)=(x十y)a十(x一y)b, 5 ≥1 所以P≥Q 所以任中y解得了 故答案为：≥ y=2 题型三 5 变式1【答案】BD 3a+26=2(a+b)+za-b） 【解析】对于A,当c=0时，则ae=bc2,故A错误： 对于B,由a>0>h,则ah<0,a>0,故B正确： 因为1a+b,-1<a-bc2则受<号a+b)<10,-号 对于C,当a=b=一2，则a十b=一4，故C错误； 对于D,由a>b,c>d,则a+c>b+d,所以a-d>b-e,故 <a-b)<l: D正确， 因此，2≤3a+2h≤11.故答案为：[2,11门. 故选：BD. 变式2【答案】(2,5) 变式2【答案】BD 【解析】由不等式的性质求解即可 【解析】对于A,当a<b,c>0时，a<bc,故A不正确： 3x+y=2(.x+y)+(x-y). 对于B,因为a<h,c-3a-(c-3h)=3(h-a)>0,即c-3a >c一3b,故B正确： 两为来无子 对C当a0b时日石故C不正确， 所以2<2(x+y)+(x-y)<5, 即3x十y的取值范围为(2,5).故答案为：(2,5). 对于D,由a<b可得a<b<0或0<a<b或a<0<b, 当a<b<0时，则-a>-b>0,la>|b>0,故-aa|> -bb,即aa|<bb, 专题8基本不等式 当0<a<b时，则0<|a<|b|,故aa<bb,当a<0<b 时，别aa<bb, 【经典例题】 所以由a<b可得aa<bb,故D正确. 题型 故选：BD. 变式【答案】AD 题型四 变式1【解】因为a,b,c是三角形的三边，则b十c>a>0,由 【解折】对于A选项：a>0,b>0则台>0，号>0 4<,a+a=2a 材料(1)知千e<b十c十aa+b+e 名+片≥会·名=2，当卫收每a=6时等号成立A选 92H