第2章 专题6 全称量词与存在量词-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 题型四 根据充要条件求参数取值范围 题型五 充要条件的证明 【典例】 (云南大理高一统考期末)若“不等式x一 【典例】(福建宁德高一福建省霞浦第一中学校考 m1成立”的充要条件为“x2”,则实数的 期末)求证:x=1是一元二次方程ar②十x十c=0 值为 【答案】 的一个根的充要条件是a十b十c一0(a去0). 【证明】 【解析】 (1)充分性:由a十b十c-0得a×1{}+/ 解不等式x-m 1得xm十1, 因为“不等式x-m1成立”的充要条件为“x2” ×1+c-0. 所以2-m+1,解得n-1, 即x-1满足方程ax2十bx十c-0. 所以,n-1.故答案为:1. '.x-1是方程ar2十bx十c-0的一个根 【变式1】(高一课时练习)若“-1<x<1”是“-1 (2)必要性:.x-1是方程ar②十bx十c-0的一 <x-m<1”的充要条件,则实数n的取值是 个根, 将x-1代入方程ar2十bx十c-0得a+b十c-0 【变式2】 (四川眉山高一眉山市彭山区第一中学 校考阶段练习)设nN,一元二次方程x2-4 故x=1是一元二次方程axr②十bx十c-0的一个 十n一0有整数根的充要条件是”= 根的充要条件是a十b十c一0(a去0) 专题6 全称量词与存在量语 知识梳理 知识点一 全称量词与全称量词命题 3.存在量词:“有些”、“有一个”、“存在”、“某个” 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫 “有的”,表示个别或一部分的含义. 做全称量词,并用符号“V”表示,含有全称量词 知识点三 命题的否定 的命题,叫做全称量词命题 1.全称量词命题:VxM,(x),它的否定一 2.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x ]x。EM,一p(x。),全称量词命题的否定是存在 有(x)成立,可简记为:VxEM,p(x). 量词命题. 3.常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、 2.存在量词命题y:x。M,v(xo),它的否定一/: “任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全 VxEM,7p(x),存在量词命题的否定是全称 部的含义. 量词命题. 知识点二 存在量词与存在量词命题 知识点四 常见的命题的否定形式 1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫 至少有至多有 原 对任意:A 是 都是 一个 做存在量词,并用符号“已”表示,含有存在量词 一个 语句 使p(x)真 的命题,叫做存在量词命题. 否定 不 一个也至少有 存在xA 2.存在量词命题的表述形式;存在M中的一个3。 形式 不是 {都是 没有 两个 使p(x)假 使(x。)成立,可简记为,xoM,p(x。). 经典例题 题型一 全称量词命题和存在量词命题的判断 【解析】 根据全称量词和存在量词的定义可知, 【典例】(高一课时练习)下列命题中是存在量词 A选项,“平行四边形的对边相等”是所有的平行 命题的是 ( ) 四边形性质,是全称量词命题;B选项,“同位角 A.平行四边形的对边相等 相等”是所有的同位角都相等,是全称量词命题; B.同位角相等 C选项,“任何实数都存在相反数”中的“任何”是 C.任何实数都存在相反数 全称量词,故其为全称量词命题:D选项,“存在 D.存在实数没有倒数 实数没有倒数”中的“存在”为存在量词,其为存 【答案】 1D 在量词命题,故选:D 38 衔接点二 初升高知识衔接 【变式1】(广东揭阳·高一普宁市华桥中学校考阶 题型三 含有一个量词的命题的否定 段练习)下列命题中全称量词命题的个数是( 【典例】 (广东深圳·高一深圳外国语学校校考期 ①任意一个自然数都是正整数;②有的平行四边 中)命题“xR,x+3x-2-0”的否定为( 形也是萎形;③n(n3,nN*)边形的内角和是 A.Vx-R,x2+3x-2-0 (n-2)×180*. B.VxER,c2+3x-20 A.0 B.1 C.3x1R,r+3r2-2-0$ C.2 D.3 D.3xR,x+3x-20 【变式2】 (高一单元测试)下列命题是存在量词 【答案】B 命题的是 ) 【解析】命题“xoR,x+3x。-2-0”为存 A.一次函数的图象都是上升的或下降的 在量词命题,其否定为:VxR,x^{2}+3x-2-0 B.对任意xER,x2+x+1<0 故选:B. C.存在实数大干或者等于3 【变式1】(高一课时练习)命题“习xR,r②+1<0” D.菱形的对角线互相垂直 的否定是 题型二 全称量词命题与存在量词命题真假 A. VxER,x2+1<0B.VxER,x+1>0 判断 C. 3xER,x+1>0D.3xR.x+1>0 【典例】 (高一课时练习)下列命题中是真命题的 【变式2】(高一课时练习)已知命题):xAB 为 . ) 则命题,的否定是 ( ) A.3xN,使4x-3 A.xA且xB B.xA或xB C.xAB B.3x乙,使2x-1-0 D.xEAB C. VxEN,2>r2 题型四 根据命题的真假求参数 D. VxR,r+20 【典例】(浙江金华·高一统考期中)已知命题 【答案】D 【解析】对于A,由4x<一3,可得x<一 则实数a的取值范围为 ( ) A.(-co,0) 以不存在xN,使4x一3成立,故错误;对于B. B.[0,4] C.[4,十。) ,所以不存在xZ,使 D.(0,4) 【答案】D 2.x-1-0,故错误;对于C,当x-2时,22-2-4 【解析】 由题意可知,命题“习xoR,4x+ 故错误;对于D,因为当xR时,x^}0,r^{}+2 2>0,故正确.故选:D. 【变式1】(湖北武汉·高一武汉外国语学校(武 汉实验外国语学校)校考期末)下列命题中不正 确的是 以A-(a-2)2-4 0,解得0 a 4;故选:D. ( 【变式1】(甘肃庆阳·高一校考期中)对VxER A.对于任意的实数a,二次函数y三x2十a的图 kx2-hx-1<0是真命题,则的取值范围是 象关于y轴对称 C B.存在一个无理数,它的立方是无理数 A.-4<<0 B.-4<<0 C.存在整数x、y,使得2x十4y一5 C.-4<b<0 D.-4<b<0 D.每个正方形都是平行四边形 【变式2】(江西吉安·高一江西省吉水中学校考 【变式2】(湖南彬州·高一校考阶段练习)下列 ( 期末)已知“x。R,x-xo-a<0”为真命题 是存在量词命题且是假命题的是 ) 则实数a的取值范围为 ( ) A.x乙,x2>2 B.VxR,r20 C.x,yR,+<0 D. VxER,EN 139参考答案 根据题意，作出集合对应的韦思图如下所示： (2)由(1)知，M∩P={x|5<x≤8)的充要条件是-3≤4 ≤5， A B 则当a∈[-3,5]时，是M∩P={x5<x≤8}的一个充分但 不必要条件： 10 7-x 10 比如“=0是所求的一个充分但不必要条件，（答案不唯一） (3)求实数a的取值范图，使它成为M∩P=x5<x≤8}的 12-x 9-x 一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{：一3≤a≤ 5}是它的一个真子集， 10 如果{aa≤5}时，未必有M∩P={x5<x≤8}， 但是M∩P=(x|5<x≤8}时，必有4≤5， C 故{aa≤5}是所求的一个必要但不充分条件，（答案不唯一】 设三部都观看的学生有x人， 题型四 10十(7一x)十10十(9一x)十10十(12一x)十x=50,解得 变式1【答案】0 x=4. 【解析】一1<x一m<1→m一1<x<m十1， 即三部都观看的学生有4人， 则{x一1<x<1)={xm一1<x<m十1)， 故答案为：4. 南 →m=0. 故答案为：0， 专题5充分条件与必要条件 变式2【答案】3或4 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、 【经典例题】 整除等进行判断计算。 题型一 变式1【答案】B 工=4生6n=2士√-m,因为x是整数，即2叶/-刀 2 【解析】因为p是r的充分不必要条件，所以p→r,→p, 为整数，所以，4一n为整数，且n≤4，又因为n∈N,取n一1， 因为4是r的充分条件，所以q→r, 2,3,4,验证可知n=3,4特合题意：反之n=3,4时，可推出 因为是r的必要条件，所以→， 因为q是的必要条件，所以8→q, 一元二次方程x一4x十n=0有整数根. 因为→r,r→s,所以g→s,又→g, 所以是？的充要条件：命题①正确， 专题6全称量词与存在量词 因为p→r,r→s,sPq,所以Pg: 若→p,则→s→q4户p,故→p,与户p矛盾， 【经典例题】 所以户p, 题型一 所以p是q的充分不必要条件，命题②正确： 变式1【答案】C 因为→s,→q,所以→q,r是q的充分条件，命题③错误： 【解析】题①③为全称量词命题，命题②为存在量词 因为→gg→r,所以s○r,又r→： 命题. 所以「是x的充要条件，命题④错误： 故选：C 故选：B. 变式2【答案】C 变式2【答案】D 【解析】选项A,B,D中的命题都是全称量词命题，选项C 【解析】由于a>b可得a>b-1,故“a>b-1”是“a>b”的 中的命题是存在量词命题. 必要条件， 故选：C. 由a>b不能得到{a>b,a>b,a>b十1，比如a=-1,b 题型二 =-2, 变式1【答案】C 故选：D 【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函数y■x 题型二 十a图象的对称轴为y轴，A对： 变式【解】(1)由p为假，得x2或x≥4 对于B选项，无理数2的立方为2，且√2为无理数，B对： 故x的取值范围为x≤2或x≥4. 对于C选项，若x,y为整数，则2r、4y均为偶数，所以，2x十 (2)p:A=《x|2<x<4},g:B={x|m-2<x<m十1}， 4y也为偶数， 若p是g的充分条件，则A二B, 则2r+4y=5不成立，C错， 可释份一子解释3Cm≤ 对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对. 故选：C, ∴实数m的取值范围是3≤m≤4. 变式2【答案】C 题型三 【解析】A为真命题：B和D为全称量词命题： 变式1【解】(1)假设存在满足条件的实数4，则B=A,即 因为x,y∈R,所以x2≥0，y≥0，故x2十y>0,故C为假命 r1=一1，xg=3. 题，故选：C 因为x1,x是关于x的方程x2一2x-a2十1=0的两个不同 题型三 的实数根，所以一1×3=一a2十1， 变式1【答案】B 即a=4.解得a=士2，即当a=土2时，“x∈A”是“x∈B"的 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得 充要条件. 到命题：“3x∈R,x+1<0”的否定是"Hx∈R,x2+1≥0”， (2)由题意可知，关于x的方程x一2x一a+1=0的两根分 故选：B. 别为1一a和1十a. 变式2【答案】A 周为“x∈A”是“xEB”的必要不充分条件，所以BCA 【解析】因为x∈AUB即x∈A或x∈B,所以令题p的否 当1-a>1+a,即a<0时，B={x1十a<x<1-a}, 定为，x任A且x任B. 则月亡a>21解得-2<4<0： 故选：A, 11-a<3, 题型四 当1-a<1+a,即a>0时.B={x1-a<x<1十a}, 变式1【答案】C 则十8≥解得0K2 【解析】由题意即kx2-kx一1<0对任意x∈R恒成立， 当k=0时，一1<0位成立， 综上，a的取值范国是{a一2<a<0或0<a<2). 变式2【解】(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是一3≤a 当0时，有合2十C0牌-4长0-40 ≤5，所以实数a的取值范国是{a一3a≤5}. 故选C 91 衔接必刷题 变式2【答案】A 26 ,由材料(2)得： 【解析】因为命题“3x∈Rx一x。一a<0”为真命题， 同理6< a+c a+b+c'a+b a+b+c 所以命题“3x∈R,>x-x。”为真命题， 2a 2c 所以x∈R时，a>(x一E)ma, a+b+c 周为y=-=(-)》- 1 2(a+b+c2=2. a+b+e 1 1 所以原不等式成立 所以当x= 时ym=一4 变式2【解】因为15<h<36,所以-72<-2b<-30. 所以a> 1 又12a<60, 4 所以12-72a-2b<60-30, 故选：A. 即-60<a-2h<30, 因为12<a<60,所以24<2a<120, 专题7等式性质与不等式性质 国为15<36，所以高<名<言： 【经典例题】 所以2420120 36615 题型一 变式1【答案】D 号<<8 【解析】依题意，请工人满足的关系式是50x十40y≤ 2000, 所以a一2b的取值范围是（一60,30）， 会的取值范围 即5.r+4y≤200 故选：D. （号8）. 变式2【答案】B 题型五 【解析】由题意知导火索的长度x(单位：厘来)，故导火索 变式1【答案】A 燃烧的时间为品秒， 【解析】若a>b,则a十c>b十c,故A正确： 人在此时间内跑的路程为(4×5)米，由道意可得4×0 当a=1,6=-2时d=1<4=6,日=1>-专-方，故B 11 D错误： ≥100. 当c=0时，ac=b2=0.故C错误. 故选：B 故选：A. 题型二 变式2【答案】A 变式1【答案】≥ 【解析】由a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,可得a+c>b+d,A 【解析】因为a3+b-(2a-26-2)=(a-1)3+(6十1)≥ 正确： 0,a=1,b=一1时等号成立， 取a=3,b=2,c=1,d=0,满足条件，但a一c=b一d,B 所以a2+b≥2a-2b-2. 错误： 故答案为：≥。 变式2【答案】≥ 取a=3b=2.c=-2,d=-3,满足条件，但ar=bd,号 【解标】周为P=a+a+1=(a+号）)+是>0a-a+1 b,C,D错误；故选：A =(a-)+>0则Q>0 题型六 变式1【答案】[2,11] 6=a2+a+1d2-a+1）=g2+1-。=a+。2+1 【解析】设3a+2b=x(a十b)十y(a一b)=(x十y)a十(x一y)b, 5 ≥1 所以P≥Q 所以任中y解得了 故答案为：≥ y=2 题型三 5 变式1【答案】BD 3a+26=2(a+b)+za-b） 【解析】对于A,当c=0时，则ae=bc2,故A错误： 对于B,由a>0>h,则ah<0,a>0,故B正确： 因为1a+b,-1<a-bc2则受<号a+b)<10,-号 对于C,当a=b=一2，则a十b=一4，故C错误； 对于D,由a>b,c>d,则a+c>b+d,所以a-d>b-e,故 <a-b)<l: D正确， 因此，2≤3a+2h≤11.故答案为：[2,11门. 故选：BD. 变式2【答案】(2,5) 变式2【答案】BD 【解析】由不等式的性质求解即可 【解析】对于A,当a<b,c>0时，a<bc,故A不正确： 3x+y=2(.x+y)+(x-y). 对于B,因为a<h,c-3a-(c-3h)=3(h-a)>0,即c-3a >C一3b,故B正确： 两为来无子 对于C当aC0b时日<石故C不正确， 所以2<2(x+y)+(x-y)<5, 即3x十y的取值范围为(2,5).故答案为：(2,5). 对于D,由a<b可得a<b<0或0<a<b或a<0<b, 当a<b<0时，则-a>-b>0,la>|b>0,故-aa|> -bb,即aa|<bb, 专题8基本不等式 当0<a<b时，则0<|a<|b|,故aa<bb,当a<0<b 时，别aa<bb, 【经典例题】 所以由a<b可得aa<bb,故D正确. 题型 故选：BD. 变式【答案】AD 题型四 变式1【解】因为a,b,c是三角形的三边，则b十c>a>0,由 【解折】对于A选项：a>0,b>0则台>0，号>0 4<,a+a=2a 材料(1)知千e<b十c十aa+b十 名+片≥会·名=2，当卫收每a=6时等号成立A选 92H