第2章 专题5 充分条件与必要条件-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 【变式2】（山东潍坊·高一校考期中）国庆节期 人，只观看《攀登者》的有10人，既观看《长津湖》 间，某校要求学生从三部电影《长津湖》《中国机 又观看《中国机长》的有7人，既观看《长津湖》又 长》《攀登者》中至少观看一部并写出观后感.高 观看《攀登者》的有12人，既观看《中国机长》又 一某班50名学生全部参与了观看，其中只观看 观看《攀登者》的有9人，则三部都观看的学生有 《长津湖》的有10人，只观看《中国机长》的有10 人 专题5充分条件与必要条件 知识梳理 知识点一充分条件、必要条件与充要条件的 2.从集合与集合间的关系看 概念 若p:x∈A,q:x∈B, 1.符号p→q与pg的含义 ①若A二B,则p是q的充分条件，q是p的必要条件 “若p,则q”为真命题，记作：p→q: ②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件， “若，则g”为假命题，记作：pg. ③若A=B,则p、q互为充要条件。 2.充分条件、必要条件与充要条件 ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p ①若→q,称p是q的充分条件，9是p的必要条件 是q的既不充分也不必要条件. ②如果既有p→q,又有q→p,就记作p台q,这时 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论： p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既 知识点诠释：对p→q的理解：指当p成立时，q 不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤 一定成立，即由p通过推理可以得到q 进行： ①“若p,则g”为真命题。 ①确定哪是条件，哪是结论 ②p是g的充分条件. ②尝试用条件推结论 ③q是p的必要条件」 ③再尝试用结论推条件. 以上三种形式均为“p→g”这一逻辑关系的表达. ④最后判断条件是结论的什么条件. 知识点二充分条件、必要条件与充要条件的 知识点三充要条件的证明 判断 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明 1.从逻辑推理关系看 条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件 命题“若p,则q”,其条件p与结论q之间的逻辑关系 的必要性（即证原命题的逆命题成立） ①若p→q,但g护巾，则p是q的充分不必要条 知识点诠释：对于命题“若p,则q” 件，9是p的必要不充分条件。 ①如果p是q的充分条件，则原命题“若p,则q” ②若q,但q→p,则p是q的必要不充分条 与其逆否命题“若一q,则一p”为真命题 件，q是p的充分不必要条件 ②如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q,则 ③若pq,且Pp,即pq,则p9互为充要条件. p”与其否命题“若一p,则一g”为真命题. ④若pq,且q中p,则p是q的既不充分也不必 ③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真 要条件. 命题 经典例题 题型一 充分条件与必要条件的判断 【解析】充分性：a>0且b>0,则ab>0,充分性 【典例】（新疆昌吉·高一新疆昌吉回族自治州第二 成立；必要性：若ab>0,则a>0且b>0,或a<0 中学校考期末)“a>0且b>0”是“ab>0”的( 且b<0,必要性不成立.故“a>0且b>0”是“ab A.充分而不必要条件 >0”的充分而不必要条件.故选：A. B.必要而不充分条件 【变式1】（上海浦东新·高一上海市进才中学校 C.充分必要条件 考阶段练习)已知p是r的充分不必要条件，q是 D.既不充分也不必要条件 r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要 【答案】A 条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p 36 衔接点二初升高知识衔接 是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分 【变式1】（高一课时练习）已知集合A={x一1 条件；④r是s的充分不必要条件；正确的命题序 <x<3),B={xx1<x<x2},其中x1,x2(x1< 号是 x2)是关于x的方程x2一2x一a2+1=0的两个 A.①④ B.①② 不同的实数根. C.②③ D.③④ (1)是否存在实数a,使得“x∈A”是“x∈B”的充 【变式2】（高一课时练习）已知a,b∈R,则“a>b” 要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在， 的一个必要条件是 请说明理由； A.lal>b B.a2>62 (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a C.a>b+1 D.a>b-1 的取值范围 题型二 根据充分条件求参数取值范围 【典例】（高一单元测试）已知全集U=R,集合 A={xm-1<x<m+1},B={xlx<4}. (1)当m=4时，求AUB和A∩(CRB): (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， 求实数m的取值范围. 【解】(1)当m=4时，集合A={xx3<x<5}, 因为B={x|x<4},所以CRB={xx≥4}. 所以AUB={xx<5},A∩CRB={x|4≤x<5} (2)因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， 所以A是B的真子集，而A不为空集， 所以m十1≤4，因此m≤3. 【变式】（河南周口·高一校考阶段练习）已知命 题p:2<x<4,命题q:m-2<x<m十1. (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围， (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围， 【变式2】（湖北十堰高一校考阶段练习）已知集 合M={x|x<-3或x>5},P={xa≤x≤8}. (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={xl 5<x≤8}的充要条件； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={x 5<x≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x 5<x≤8}的一个必要不充分条件. 题型三根据必要条件求参数取值范围 【典例】（高一课时练习）若“x≤一1或x≥1”是 “x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为 【答案】一1 【解析】令A={xx≤-1或x≥1，B={xxa, 若“x≤一1或x≥1”是“x<a”的必要不充分 条件， 则集合B是A的真子集， 所以a≤一1， 所以实数a的最大值为一1， 故答案为：一1. 37 衔接必刷题 题型四 根据充要条件求参数取值范围 题型五充要条件的证明 【典例】（云南大理高一统考期末）若“不等式x一 【典例】（福建宁德高一福建省霞浦第一中学校考 m<1成立”的充要条件为“x<2”,则实数m的 期末)求证：x=1是一元二次方程ax2+bx十c=0 值为 的一个根的充要条件是a十b十c=0(a≠0). 【答案】1 【解析】解不等式x一m<1得x<m十1， 【证明】(1)充分性：由a+b+c=0得a×12+b 因为“不等式x一m<1成立”的充要条件为“x<2”, ×1+c=0. 所以2=m+1,解得m=1, 即x=1满足方程ax2十bx十c=0. 所以，m=1.故答案为：1. ∴.x=1是方程ax2十bx十c=0的一个根， 【变式1】（高一课时练习）若“一1<x<1”是“-1 (2)必要性：，x=1是方程ax2十bx十c=0的一 <x一m<1”的充要条件，则实数m的取值是 个根， 将x=1代入方程a.x2+bx十c=0得a十b十c=0. 【变式2】（四川眉山高一眉山市彭山区第一中学 校考阶段练习)设n∈N,一元二次方程x2一4x 故x=1是一元二次方程ax2+bx十c=0的一个 十n=0有整数根的充要条件是n= 根的充要条件是a十b十c=0(a≠0). 专题6全称量词与存在量词 知识梳理 知识点一全称量词与全称量词命题 3.存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、 1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫 “有的”，表示个别或一部分的含义 做全称量词，并用符号“Y”表示，含有全称量词 知识点三命题的否定 的命题，叫做全称量词命题. 1.全称量词命题p:Hx∈M,p(x),它的否定p: 2.全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x, 3xo∈M,p(xo),全称量词命题的否定是存在 有p(x)成立，可简记为：Hx∈M,p(x). 量词命题. 3.常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、 2.存在量词命题p:3x0∈M,p(x0),它的否定7p: “任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全 Hx∈M,p(x),存在量词命题的否定是全称 部的含义 量词命题 知识点二存在量词与存在量词命题 知识点四 常见的命题的否定形式 1.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫 原 至少有至多有 做存在量词，并用符号“3”表示，含有存在量词 是 都是 对任意x∈A 语句 一个 一个 使(x)真 的命题，叫做存在量词命题. 否定 不 一个也至少有 存在xEA 2.存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0, 不是 形式 都是 没有 两个 使(x)假 使p(xo)成立，可简记为，3xo∈M,p(xo). 经典例题 题型一 全称量词命题和存在量词命题的判断 【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知， 【典例】（高一课时练习）下列命题中是存在量词 A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行 命题的是 ) 四边形性质，是全称量词命题：B选项，“同位角 A.平行四边形的对边相等 相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题： B.同位角相等 C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任何”是 C.任何实数都存在相反数 全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在 D.存在实数没有倒数 实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存 【答案】D 在量词命题.故选：D. 38参考答案 根据题意，作出集合对应的韦思图如下所示： (2)由(1)知，M∩P={x|5<x≤8)的充要条件是一3≤a 5, A B 则当a∈[-3,5]时，是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但 不必要条件： 10 7-x 10 比如：=0是所求的一个充分但不必要条件，（答案不唯一） (3)求实数a的取值范国，使它成为M∩P=x5<x≤8}的 12-x 9-x 一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故{a|一3≤a≤ 5}是它的一个真子集， 10 如果{aa≤5)时，未必有M∩P={x5<x≤8}， 但是M∩P={x5<x≤8}时，必有45， 故{aa≤5}是所求的一个必要但不充分条件，（答案不唯一）】 设三部都观看的学生有x人， 题型四 别10十(7一x)十10十(9一x)十10十(12一x)十x=50,解得 变式1【答案】0 x=4. 【解析】一1<x一m<1=→m一1<xm十1， 即三部都观看的学生有4人， 则{x一1<x<1)={xm一1<x<m十1}， 故答案为：4. 南四 →m=0. 故答案为：0， 专题5充分条件与必要条件 变式2【答案】3或4 【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、 【经典例题】 整除等进行判断计算。 题型一 变式1【答案】B 工=4生6切=2士√-m,因为x是整数，即2叶-n 2 【解析】因为p是r的充分不必要条件，所以p→r,r一p, 为整数，所以、4一n为整数，且n≤4，又因为n∈N,取n一1， 因为4是r的充分条件，所以q→r, 2,3,4,验证可知n=3,4特合题意：反之n=3,4时，可推出 因为是r的必要条件，所以→， 因为q是的必要条件，所以8→q, 一元二次方程x一4x十n=0有整数根. 因为4→r,r→s,所以g→x,又→g, 所以。是q的充要条件：命题①正确， 专题6全称量词与存在量词 图为p→r,→s,s→q,所以pPg, 若→p,则→s→q4p,故→p,与户p矛盾， 【经典例题】 所以4户p, 题型一 所以p是9的充分不必要条件，命题②正确： 变式1【答案】C 因为→s,→q,所以→q,r是g的充分条件，命题③错误： 【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词 固为8→gg→r,所以s○r,又r→8， 命题. 所以「是x的充要条件，命题④错误： 故选：C 故选：B. 变式2【答案】C 变式2【答案】D 【解析】选项A,B,D中的命题都是全称量词命题，选项C 【解析】由于a>b可得a>b-1,故“a>b-1”是“a>b”的 中的命题是存在量词命题. 必要条件， 故选：C. 由a>b不能得到a>b,a>b,a>b十1，此如a=一1，b 题型二 =-2, 变式1【答案】C 故选：D 【解析】对于A选项，对于任意的实数，二次函数y=x 题型二 十a图象的对称轴为y轴，A对： 变式【解】(1)由p为假，得x2或x≥4 对于B选项，无理数泛的立方为2，且2为无理数，B对： 故x的取值范围为x≤2或x≥4. 对于C选项，若x,y为整数，则2r、4y均为偶数，所以，2x十 (2)p:A=(x2<x<4},g:B={x|m-2xm+1}, 4y也为偶数， 若p是g的充分条件，则A二B, 则2r+4y=5不成立，C错： 可释份一界解得3<m< 对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对. 故选：C, ∴实数m的取值范国是3≤m≤4， 变式2【答案】C 题型三 【解析】A为真命题：B和D为全称量词命题： 变式1【解】(1)假设存在满足条件的实数4，则B=A,即 因为x,y∈R,所以x≥0，y≥0，故x+y>0,故C为假命 T1=一1，xg=3. 题，故选：C 因为x1,x是关于x的方程x2一2x-ù2十1=0的两个不同 题型三 的实数根，所以一1×3=一a2十1， 变式1【答案】B 即a=4.解得a=士2，即当a=士2时，“x∈A”是“x∈B"的 【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得 充要条件 到命题：“3x∈R,x+1<0”的否定是"Hx∈R,x+1≥0”， (2)由题意可知，关于x的方程x一2x一a+1=0的两根分 故选：B. 别为1一a和1十a, 变式2【答案】A 周为“x∈A”是“xEB”的必要不充分条件，所以B二A 【解析】因为x∈AUB即x∈A或x∈B,所以命题p的否 当1-a>1+a,即a<0时，B={x1+a<x<1-a}, 定为x任A且x母B. 则月十a>21解得-2<4<0： 故选：A, 11-a3, 题型四 当1-a<1+a,即a>0时.B={x1-a<x<1十a}, 变式1【答案】C 则十8≥解得0<<2 【解析】由题意即kx2-kx一1<0对任意x∈R恒成立， 当k=0时，一1<0位成立， 综上，a的取值范国是{a-2<a<0或0<a<2. 变式2【解】(1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是-3≤a 当0时，有合2十C0牌-4长0-0 ≤5，所以实数a的取值范国是{a一3≤a≤5}. 故选C. 91