第2章 专题2 集合间的基本关系-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 专题2集合间的基本关系 知识梳理 知识点一Venn图的优点及其表示 (2)不能把“A二B”理解为“A是B中部分元素组成 1.优点：形象直观. 的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 2.表示：通常用封闭曲线的内部表示集合。 (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B 知识点二子集、真子集、集合相等的相关概念 中的元素，那么集合A不包含于B,或集合B不 B巾的元素都是 包含集合A. A中的元素 AB Venn图： A(B) (4)对于集合A,B,C,若A二B,B二C,则A二C; 相等 符号表示：A-B 任何集合都不是它本身的真子集 A中的 (5)若A≤B,且A≠B,则AB. 元泰都 A是B的 厂Vcnn图：(A(A) 4) 是B巾 子集 知识点三空集 符号表示：MCB或者B2A 的心素 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为心 A是B的 Vcnn雨.B4) 2.规定：空集是任何集合的子集. 真了集 知识点四集合间关系的性质 A≠B L符号表示：AB或#B?A 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A二A. 【知识点拨】 2.对于集合A,B,C (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一 (1)若A二B,且B二C,则A二C. 个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推 (2)若A军B,BC,则A车C 出x∈B. (3)若A二B,A≠B,则AB. 经典例题 题型一求集合的子集、真子集 【变式2】（山东聊城·高一校考阶段练习）设集 【典例】（海南儋州·高一校考期中）写出集合{3， 合A={x∈N一2≤x≤2}，列出集合A的子集. 5,8}的所有子集和它的真子集. 【答案】集合{3,5,8}的所有子集为0，{3， {5},{8},{3,5},{3,8},{5,8},{3,5,8}: 集合{3,5,8}的所有真子集为0，{3}，{5}，{8}， {3,5},{3,8},{5,8. 【变式1】（河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学 校联考阶段练习)已知集合A={a-3,2a2十5a, 0},且-3∈A. (1)求实数a的取值的集合M; (2)写出(1)中集合M的所有子集. 题型二判断集合的子集、真子集个数 【典例】（广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期 中)集合{1,3,7}的真子集的个数是 A.8 B.7 C.3 D.5 28 衔接点二初升高知识衔接 【答案】B 题型四由集合间的关系求参数问题 【解析】集合{1,3,7}中有3个元素，所以集合 【典例】（高一课时练习）已知集合A={xx<1}, 的真子集个数为23-1=7个.故选：B. B={.x|x<a. 【变式1】（高一课时练习）设集合M={xx∈A, (1)若A=B,则实数a的值是多少？ 且xB},若A={1,3,5,6,7},B={2,3,5),则 (2)若A二B,则实数a的取值范围是多少？ 集合M的非空真子集的个数为 (3)若BA,则实数a的取值范围是多少？ A.4 B.6 【解】(1)因为集合A={x|x<1},B={x|x< a},A=B,所以a=1. C.7 D.15 (2)因为A二B,如图， 【变式2】（河南洛阳·高一校考阶段练习）满足 条件{1,2,3,4}二M{1,2,3,4,5.6}的集合M 01 a 的个数是 ( 由图可知a≥1，即实数a的取值范围是{aa≥l}. A.1 B.2 (3)因为B军A,如图， C.3 D.4 à1x 题型三集合间关系的判断 由图可知a<1,即实数a的取值范国是{aa<1}. 【典例】（福建泉州·高一校考阶段练习）有下列 【变式1】（广东东莞·高一东莞实验中学校考期 四个命题：①{0}三⑦：②0∈{0}③若a∈N,则 中)设集合A={x-1≤x十1≤6}，B={xm-1 -aN:④A={x∈Rx2-2x+1=0}集合有两 <x<m+1}. 个元素：⑤集合B={x∈N∈N是有限集.其 (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数： (2)若B二A,求m的取值范围. 中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】①因为⑦是任何集合的子集，所以 {0}2心，①正确： ②0是{心}的一个元素，故财∈{0)，②正确： ③若a=0,满足a∈N,一a∈N,故③错误； ④A=1},集合有1个元素，故④错误： ⑤集合B={1,2,3,6},故是有限集，⑤正确 故选：C. 【变式1】（高一课时练习）如果A={x∈Rx>一1}， 那么 ( A.0≤A B.{0}∈A C.0∈A D.{0}二A 【变式2】（高一课时练习）已知集合M= 【变式2】（上海宝山·高一上海交大附中校考期 x=m+meZ,N={=- 中)已知集合A={1},B={x|x2+2.x+a=0, x∈R},且ACB,则实数a的值是 n∈Z,P={x=台+石p∈z,则M、N,P 题型五空集的概念及判断 【典例】（高一课时练习）下列集合中为心的是 的关系满足 A.M=NP B.MN=P A.{0》 B.() C.MNP D.NSPM C.{xx2+4=0} D.{x|x+12x} 29 衔接必刷题 【答案】C A.3 B.4 【解析】对于A中，由集合{0}中有一个元素0， C.5 D.6 不符合题意：对于B中，由集合{}中有一个元 【变式2】 (甘肃庆阳·高一校考阶段练习)有下 素0，不符合题意；对于C中，由方程x2十4=0， 列四个命题：①心={0}：②0二{0}：③{1}二{1， 即x2=一4，此时方程无解，可得{xx2十4=0 2,3}:④1}∈{1,2,3：其中正确的个数是() =必，符合题意；对于D中，不等式x+1≤2x,解 A.1 B.2 得x≥1，{x|x十1≤2x}={xx≥1}，不符合题 C.3 D.4 意.故选：C 题型七 集合间基本关系的综合问题 【变式1】（河南三门峡·高一校考阶段练习）对 【典例】（高一课时练习）已知集合A={x|x= 任意集合A,下列各式①0∈{0}：②A∩A=A: m2-n2,m,n∈Z. ③AU必=A:④N∈R,正确的个数是() (1)判断8,9,10是否属于集合A: A.1 B.2 (2)集合B={xx=2k+1,k∈Z},证明：B是A C.3 D.4 的真子集 【变式2】（天津和平·高一天津市汇文中学校考 【解】(1)8=32-12,9=52-42，∴.8∈A,9∈A, 阶段练习)下列四个说法中，正确的有 () 假设10=m2-n2,m,n∈Z, ①空集没有子集：②空集是任何集合的真子集； 则(|m十|n)(ml-|n)=10,且|m十n> ③若二A,则A=心：④任何集合至少有两个子集. |m-|n>0, A.0个 B.1个 ,10=1×10=2×5, C.2个 D.3个 lm+1n=10.m+|n=5 或 题型六空集的性质及应用 Uml-nl=1ml-nl=2 【典例】（河北承德·高一河北承德第一中学校考 显然均无整数解，∴.10氏A, 期末)有下列关系式：①{a,b}={b,a};②{a,b} ∴.8∈A,9∈A,10GA. 二{b,a}:③0={0}：④{0}=☑：⑤☑{0}； (2)证明：.集合B={xx=2k+1,k∈Z}, ⑥0∈{0}.其中不正确的是 ( ) 则恒有2k+1=(k+1)2-k2,.2k+1∈A, A.①③④ B.②④⑤ ∴.即一切奇数都属于A,故B是A的子集. C.②⑤⑥ D.③④ 又8∈A,8庄B, 【答案】D 所以B是A的真子集， 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然 【变式1】（上海虹口·高一上海市复兴高级中学 ①正确：对②：因为集合{a,b}={b,a},故{a,b} 校考阶段练习)已知集合M={m∈Zx2十m.x 二{b,a}正确，即②正确：对③：空集0是一个集 36=0有整数解}，非空集合A满足条件：(1)A二M, 合，而集合{⑦}是以⑦为元素的一个集合，因此 (2)若a∈A,则一a∈A,则所有这样的集合A的 0≠{}，故③不正确：对④：{0}是一个集合，仅 个数为 有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是{0} 【变式2】（陕西安康·高一陕西省安康中学校考 ≠心，故④不正确：对⑤：由④可知，{0}非空，于 阶段练习)规定：在整数集Z中，被7除所得余数 是有0军{0}，因此⑤正确：对⑥：显然0∈{0}成 为k的所有整数组成一个“家族”，记为[k],即 立，因此⑥正确.综上，本题不正确的有③④，故 [k]={7n+k1n∈Z},k=0,1,2,3,4,5,6,给出如 选：D. 下四个结论： 【变式1】（北京·高一首都师范大学附属中学校 ①2021∈[5]：②-3∈[3]：③若整数a,b属于 考阶段练习)已知六个关系式①☑∈{⑦)：②心 同一“家族”，则a-b∈[0]：④若a-b∈[0]， {0}:③{0}星☑：④0氏心：⑤d={0}:⑥0≠ 则整数a,b属于同一“家族”.其中，正确结论 {0},它们中关系表达正确的个数为 ( 为 ,(填写正确的序号) 30衔接必刷题 a=1,b=-1,c=-56,b-4ac=(-1)2+4×56=225 根据集合元素的互并性可知，x=5,6,7,8.即M >0, {5,6,7,8},共有4个元素， “x=1±2②_1±15 故答案为：4， 2 2 题型四 .x1=8,r2=-7: 变式1【答案】{6,3,2,1 ②2x(x-2)=2-x 2x(x-2)十x-2=0, 【解折】{女-8a∈Nr∈N=63,2.1. (x-2)(2.x+1)=0 故答案为：{6,3,2,1. x-2=0或2x十1=0. 变式2【解】由题意A={1,2,3,4,5,B={2,3,5,7},C 1=8=- {1,2,3,4,6,12}. (1)M={1,2,3,4} (2)①：关于x的一元二次方程x2十3x+k一2=0有实 (2)M={.xx∈B且xgC 数根， .N=(5,7). .b2-4ac=32-4×1×(k-2)≥0 变式3【解】(1)11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以 构成的集合为{0,2,4,6,8,10}： 解得：<子，即长的取值花周是k<子： (2)(x+1)(x1-4)=0的根为x1=-1,=2,x3=-2,所 ②：方程x+3r十k一2=0的两个实教根分别为x1· 以所有实数根组成的集合为{一2，一1,2}： .x1十x:=-3,x1x2=k-2, 3》联立y=x十1和y=2江，解得{二2，所以两个函蟹图 (x1+1)(x:+1)=-3, .x1x:十(x1+x:)+1=-3, 的交，点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)} ∴.k-2十(-3)十1=-3， 题型五 解得：k=1,即k的值是1. 变式1【解】由题意可得-1≤x≤3.0≤y≤3， 所以图中阴影部分（含边界）的，点组成的集合为{(x,y)一1 第二章 高中知识预习 ≤x3,0y3}, 变式2【解】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描递 法可表示为：{xx=3k,k∈Z. 专题1集合的概念 (2)不等式2x一3>5的解集，用描述法可表示为：{xr>4, x∈R. 【经典例题】 (3)方程x十x十1=0的所有实数解组成的集合， 题型一 用描述法可表示为：{xx十x十1=0，x∈R}. 变式【答案】B (4)抛物线y=一x十3.x一6上所有点组成的集合， 【解析】根据集合中元素的三要素判断，上课迟到的学生属 用描述法可表示为：{(x,y)y=-x十3x一6). 于确定的互异的对豪，所以能构成集合：2020年高考数学难 (5)集合1,3.5,7,9}，用描述法可表示为：{x|x=2n一1,1 题界定不明确，所以不能构成集合：任意给一个数都能判断 ≤n5且nEN}, 是否为有理数，所以能构成集合：小于π的正整数分别为1， 题型六 2,3,所以能够组成集合.故选：B. 变式1【解】(1)因为1∈A,所以a+2+1=0,得a=-3, 题型 变式1【答案】D 所以A=女∈R-3x+2x+1=0)={号1： 【解析】，R表示实数集，2∈R,则①正确 (2)当A中只有一个元素时，a.x2+2.x十1=0只有一个解， “Q表示有理数集，.4∈Q,则②正确 N表示自然数集，∴0∈N,则③正确. 所以a=0或a0 1△=4-4a=0' :0是集合{0,1}的一个元素，.0∈{0,1}，别④正确.本题 所以a=0或a=1, 正确选项：D. 当A中没有元素时，ax十2x十1=0无解，所以 变式2【答案】D /a≠0 【解析】由集合中元素的确定性知a一-a+2=4或1一“ 4=4-4u<0解得a>L, =4. 综上所述：a=0或a≥l. 当a2-a十2=4时，a=一1或a=2:当1-a=4时，a=一3. 变式2【解】 当a=一1时，A=(2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故 8EM告各-2eM告二=号 a=一1舍去： 1+(-3) 1 当a=2时，A={2,4,一1}满足集合中元素的互异性，故a 1 1十 ∈M, -(-3) ∈M,. =3∈M =2满足要求： 当=一3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a 3 1一2 =一3满足要求. 11 第上，a=2或a=-3 “在M中还有元素-2，-32 故选：D 故集合M一定含有的元素有3，一2，一32 11 题型三 变式1【答案】2 【解析】当a=0时，a=一a=a=√a=0,此时元素个数 专题2集合间的基本关系 为1： 当a≠0时，a-a=a.a>0 【经典例题】 -4.a<0' 题型 所以一定与a或一a中的一个一致，此时元素个数为2. 变式1【解】(1)因为-3∈A,且A={a-3,2a2+5a,01, 所以由a,一4，a,a构成的集合中，元素个数最多是 所以a-3=-3或2a+5a=-3.解得a=0或a=-1或a 2个. 故答案为：2. 变式2【答案】4 当a=0时，2a2+5a=0,集合中出现两个0，故含去： 【解析】因为集合M中的元素x=a十b,a∈A,b∈B,所以 当a=一1时，A={一4，-3,0)，符合题意； 当b=4时，a=1,2,3,此时x=5,6,7.当b=5时，a=1,2,3 此时x=6,7,8. 当a=-是时A={一号，-3,0小，特合道意： 88H 参考答案 六实数a的取值的条合M={-1.-} 正确： 必没有元素，故0任0，④正确：且必≠{01、必≠{必}，⑤错 (2)因为M={-1.-受}所以桑合M的子桑有：②，-1 误，⑥正确： 所以①②③④⑥⑤正确 故选±C, 变式2【答案】B 变式2【解】由A={x∈N-2≤x≤2}化简可得A={0,1, 【解析】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子 2},所以A的子集为⑦，{0}，{1)，{2}，{0,1}，{0,2}，1,2}， 集，故①错误，②正确： {0,1.2} {1}二{1,2,3}，故③正确，①错误，正确的个数为2. 题型二 故选：B. 变式1【答案】B 题型七 【解析】根据题意知，集合M={xx∈A且x庄B)=1,6, 变式1【答案】31 7},其非空真子集的个数为2一2=6.故选：B 【解析】因为x2+m.x一36=0的整数解只能是36的约数， 变式2【答案】D 当方程的解为一1,36时，m=一35：当方程的解为一2,18 【解析】周为{1,2,3,4}CMC(1,2,3,4,5,6), 时，m=一16： 所以集合M的个数即为{5,6}的子集个数. 当方程的解为一3,12时，m=一9：当方程的解为一4,9时，m 因为集合{5,6》的子集个数为2=4， =-5 所以满足条件的集合M的个数是4. 当方程的解为一6,6时，m=0:当方程的解为1，一36时，m 故选：D =35: 题型三 当方程的解为2，一18时，m=16:当方程的解为3，一12时， 变式1【答案】D n=9: 【解析】0是元素，所以故0与集合A的关系是0∈A,故A 当方程的解为4，一9时，m=5: 错误：{0}是集合，所以{0}与集合A的关系是{0}二A,故B 故集合M={-35,-16.-9.-5.0,5,9,16,35} 错误，D正确，⑦是集合，所以⑦二A,故C错误.故选：D. 由非空集合A满足条件：(1)A二M,(2)若a∈A,则一a∈A, 变式2【答案】B 即集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不属 ,m∈Z 于集合A, 6 得这样的集合共有2-1=31个， ={r32m+.mEz).N={女=号-gme☑ 故答策为：31. 6 ={xx=3-10+1 变式2【答案】①③① 【解析】①因为2021=288×7+5，所以2021∈[5].故 6 .mez)-(r-1z). 6 正确： 6,p∈Z ②@-3■7×（一1）十4，所以一3∈[4]，故错误： ③根据“家族”定义可知当，b属于同一“家族”时， 所以M军N=P.故选：B 不坊设a∈[k],b∈[k],k=0,1,2,3,4,5,6, 题型四 则a=7k1十k,b=7k2十k(k1,k,∈Z), 变式1【解】(1)由题知，A={x1-2≤x≤5}， 所以则有a一b=7(k,一k:)∈[0]，故正确： 当x∈7时，A={x|-2≤x≤5)={-2，-1,0,1,2,3,4,5 ①当a-b∈[0]时，则a一b=7k,(k,∈Z), 共8个元素， 不粉授b∈[k],k=0,1,2,3,4,5,6,即b=7k1十k(k,∈Z), A的非空真子集的个数为2一2=254个： 则a=7(k,十k,)十k∈[k], (2)由题知，A={x-1≤x十1≤6)，B={xm-1<x<m十1) 所以整数，b属于同一“家族”，故正确. 显然m一1<m十1， 所以正确的有①③④. 因为BCA, 故答案为：①③①. 所以/m+1≤5 m-1≥2解得-1≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[一1,4门. 专题3 集合的基本运算（交集与并集）》 变式2【答案】一3 【解析】因为A=1},B={xx+2x十a=0,A二B, 【经典例题】 所以x=1是方程x2+2x十a=0的解， 题型 即12十2×1十a=0,解得a=-3. 变式1【答案】D 经检验，a=一3特合题意，所以a=一3. 【解析】因为集合A一{x-1≤x≤1}，B-{x0<x≤2}， 故答案为：一3. 所以AUB={x-1≤x≤2}· 题型五 故选：D. 变式1【答案】B 变式2【答案】C 【解析】空集⑦表示无任何元素的集合，所以团二{0}，① 【解析】由题意可得：A={-10,一9，一8，…，一1，B={x 错误： -5x5,x∈Z}={-5,-4,-3,,3,4,5}, 由交集性质知：A几A=A,②正确： 据此可得：AUB={-10,一9，一8，一7，…，3,4.5}， 由并集性质知，AU②=A,③正确： 则AUB中的元素个数是16.故选：C. N是自然数集，R是实数集，所以N二R,①错误。 题型二 综上：只有②③正确.故选：B 变式1【答案】C 变式2【答案】A 【解析】因为集合A={x1<x<6,集合B={1.3,5,6,71, 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错： 所以A∩B={3,5. ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错： 故选：C, ③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以 变式2【答案】D ③错： ④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A 【g折】由超老可知仁一》解得3 y=-1 题型六 所以A∩B={(3,-1). 变式1【答案】C 故选：D 【解析】根据元素与集合，集合与集合关系： 题型三 ②是{②}的一个元素，故②∈{②)，①正确： 变式1【解】(1)由x2-4x-12=0,解得x=-2或x=6, ⑦是任何非空集合的真子集，故必柔{}、{0)买，②③ 所以A=〈一2.6}， 89