第2章 专题1 集合的概念-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接点二初升高知识衔接 第二章高中知识预习 专题1集合的概念 知识梳理 知识点一集合的概念 汇知识点拨]符号“∈”和“任”只能用于元素与集 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把 合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集 一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 合：具有方向性，左右两边不能互换。 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这 两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等. 知识点三集合的表示法 [知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须 方法.例如：小于3的实数组成的集合 是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于 2.字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如 或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的 A,B,C等，用小写拉丁字母表示元素，如a,b,c 元素，要么不是，二者必居其一· 等.常用数集的表示： (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对 于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. 非负整数集 有理 名称 正整数集 整数集 实数集 (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集 (自然数集) 数集 合{1,2,3}与{2,3,1}表示同-集合， 知识点二元素与集合的关系 符号 N'或N+ Z 关系 概念 记法 读法 3.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括 如果a是集合A 号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. a属于集 属于 中的元素，就说a a∈A 4.描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 合A 属于集合A 一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 如果a不是集合A 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特 a不属于 不属于 中的元素，就说a aA 集合A 征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的 不属于集合A 方法叫做描述法。 经典例题 题型一 集合与元素的含义 【解析】0是自然数，故0∈N,(1)正确：π是无 【典例】（高一课时练习）下列语句中，正确的个数 理数，故πQ,(2)错误；由3、4、5、5、6构成的集 是 ( 合为{3,4,5,6}有4个元素，故(3)错误；数轴上 由1到1.01间的线段的点集是无限集，(4)错 ①0∈N;②π∈Q:③由3、4、5、5、6构成的集合含 误；方程x2=0的解为x=0,可以构成集合{0}， 有5个元素；④数轴上由1到1.01间的线段的 (5)正确：故选：A. 点集是有限集；⑤方程x2=0的解能构成集合. 【变式】（高一课时练习）下列各组对象不能构成 A.2 B.3 集合的是 () C.4 D.5 A.上课迟到的学生 B.2020年高考数学难题 【答案】A C.所有有理数 D.小于π的正整数 25 衔接必刷题 题型二元素与集合的关系 【变式2】（高一课时练习）已知集合A={x|x为 【典例】（全国·高一专题练习）给出下列关系： 小于6的正整数}，B=(xx为小于10的素数}， ①2∈R:②2ER③1-31∈N,④1-31∈Q. 集合C={xx为24和36的正公因数}. (1)试用列举法表示集合M={xx∈A且x∈C: 其中正确的个数为 (2)试用列举法表示集合N={xx∈B且x任C. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 合是有理数V巨是无理数，均为实数， ①正确，②错误；|一3|=3，为自然数及有理数， ③④正确.故选：C 【变式1】（高一课时练习）设有下列关系： ①W2∈R;②4∈Q;③0∈N;④0∈{0,1}.其中正 确的个数为 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】（全国·高三专题练习）设集合A= {2,a2-a+2,1-a},若4∈A,则a的值为() A.-1,2 B.-3 C.-1,-3,2 D.-3,2 【变式3】（高一课时练习）用列举法表示下列 题型三 集合中元素特性的简单应用 集合： 【典例】（全国·高三专题练习）集合A={1,t}中 (1)11以内非负偶数的集合： 实数t的取值范围是 (2)方程(x十1)(x2-4)=0的所有实数根组成 【答案】{tt≠1) 的集合： 【解析】由集合A={1,t},根据集合元素的互 (3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点 异性，可得t≠1， 组成的集合 即实数t的取值范围是{tt≠1}. 故答案为：{tt≠1}. 【变式1】（高一课时练习）由a,一a,aWa构成 的集合中，元素个数最多是 【变式2】（河北·高三学业考试）设集合A= {1,2,3},B={4,5},M={xx=a+b,a∈A,b∈ B},则M中的元素个数为 题型四列举法表示集合 【典例】（全国·高三专题练习）用列举法写出集 合A={yly=x2-2,x∈Z,|x≤3}= 【答案】{-2，-1,2,7} 【解析】由x|≤3且x∈Z,得x=一3或x= -2或x=-1或x=0或x=1或x=2或x=3, 当x=一3时，y=7;当x=一2时，y=2;当x= -1时，y=-1; 当x=0时，y=一2；当x=1时，y=一1，当x=2 题型五描述法表示集合 时，y=2,当x=3时，y=7. 【典例】（上海崇明·高一统考期末）直角坐标平 故A={-2,-1,2,7}. 面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可 故答案为：{-2，-1,2,7}. 以表示为 【变式1】（上海徐汇·高一上海市西南位育中学 【答案】((x,y)x<0,y>0,y∈R} 校考期末)用列举法表示=8a∈N,x∈N 【解析】依题意，第二象限所有点组成的集合是 {(x,y)x<0,y>0,y∈R}. 故答案为：{(x,y)lx<0,y>0,y∈R}. 26 衔接点二初升高知识衔接 【变式1】（高一课时练习）试 【答案】6 用集合表示图中阴影部分 【解析】由题意可知，不含“孤立元”的3个元素的 (含边界)的点. 集合中，集合中的3个元素一定是连续的3个自然 -101234x 数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.由题意 可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤 立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数， 故这样的集合有：{1,2,3}、{2,3,4}、{3,4,5}、 {4,5,6}、{5,6,7}、{6,7,8,共6个. 故答案为：6 【变式1】（高一课时练习）已知集合A={x∈R a.x2+2x+1=0},其中a∈R. (1)1是A中的一个元素，用列举法表示A; (2)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围， 【变式2】（河南周口·高一周口恒大中学校考阶 段练习)用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式2x-3>5的解集； (3)方程x2+x十1=0的所有实数解组成的集合； (4)抛物线y=一x2十3x一6上所有点组成的集合； (5)集合{1,3,5,7,9}. 【变式2】（高一课时练习）集合M满足：若a∈M, 则H8∈Ma≠士1且a≠0)已知3∈M,试求集 合M中一定含有的元素. 题型六集合表示的综合问题 【典例】（全国·高三对口高考）设A是整数集的 一个非空子集，对于k∈A,如果k一1任A,k十1 任A,那么称是A的一个“孤立元”.给定S {1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有 集合中，不含“孤立元”的集合共有 个 27衔接必刷题 :a=1,b=-1,c=-56,b-4ac=(-1)2+4×56=225 根据集合元素的互并性可知，x=5,6,7,8.即M >0, {5,6,7,8},共有4个元素， x=1±22_1±15 故答案为：4. 2 2 题型四 x1=8,x2=-7: 变式1【答案】{6,3,2,1 ②2x(x-2)=2-x 2x(x-2)十x-2=0, 【解析】{女=8a∈Nr∈N=63,2.1. (x-2)(2.x+1)=0 故答案为：{6,3,2,1}. x-2=0或2x十1=0. 变式2【解】由题意A={1,2,3,4,5,B={2,3,5,7},C= 1=8=- {1,2,3,4,6,12} (1)M={1,2,3,4} (2)①：关于x的一元二次方程x2十3x+k一2=0有实 (2)M={x|x∈B且x任C 数根， .N=15,7). .b2-4ac=32-4×1×(k-2)≥0 变式3【解】(1)11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以 构成的集合为{0,2,4,6,8,10}： 解得：≤子，即长的取值花周是k<子： (2)(x+1)(x1-4)=0的根为x1=-1,2=2,x3=-2.所 ②：方程x+3r十k一2=0的两个实数根分别为x112· 以所有实数根组成的集合为{一2，一1,2}： x1十x:=-3,x1x2=k一2， 3)联立y=x十1和y=2·解得{二2，所以两个函斑图 (x1+1)(x:+1)=-3, .x1x:十(x1+x:)十1=-3， 的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)} ∴.k-2+(-3)+1=-3, 题型五 解得：k=1,即k的值是1. 变式1【解】由题意可得-1≤x≤3.0≤y≤3， 所以图中阴影部分（含边界）的，点组成的集合为{(x,y)|一1 第二章 高中知识预习 ≤x3,0y3}, 变式2【解】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述 法可表示为：{xx=3k,k∈Z. 专题1集合的概念 (2)不等式2x一3>5的解集，用描述法可表示为：{rr>4, x∈R. 【经典例题】 (3)方程x”+x十1=0的所有实数解组成的集合， 题型一 用描述法可表示为：{xx十x十1=0，x∈R}. 变式【答案】B (4)抛物线y=一x十3.x一6上所有点组成的集合， 【解析】根据集合中元素的三要素判断，上课迟到的学生属 用描述法可表示为：(x,y)y=-x+3r一6). 于确定的互异的对豪，所以能构成集合：2020年高考数学难 (5)集合{1,3,5,7,9)，用描述法可表示为：{x|x=2n一1,1 题界定不明确，所以不能构成集合：任意给一个数都能判断 ≤n≤5且nEN”}. 是否为有理数，所以能构成集合：小于算的正整数分别为1， 题型六 2,3,所以能够组成集合.故选：B. 变式1【解】(1)因为1∈A,所以a+2+1=0,得a=-3, 题型二 变式1【答案】D 所以A=r∈R-3x+2+1=0={号1： 【解析】，R表示实数集，2∈R,则①正确 (2)当A中只有一个元素时，a.r2+2.x十1=0只有一个解， Q表示有理数集，4∈Q,则②正确 N表示自然数集，∴0∈N,剩③正确. 所以a=0或a≠0 1△=4-4a=0 :0是集合{0,1}的一个元素，0∈{0,1}，别④正确.本题 所以a=0或a=1, 正确选项：D. 当A中没有元素时，ax十2x十1=0无解，所以 变式2【答案】D /a≠0 【解析】由集合中元素的确定性知a一a十2=4或1一a 4=4-4u<0解得a>L, =4. 综上所述：a=0或a≥l. 当a-a十2=4时，a=一1或a=2:当1-a=4时，a=一3. 变式2【解】 当a=一1时，A=(2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故 8EM各-2eM告二=-号 a=一1舍去： +() 1+立=3eM: 1 当a=2时，A={2,4,一1}满足集合中元素的互异性，故a 1 ∈M, ∈M,. =2满足要求： 1 当a=一3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a 3 12 =一3满足要求. “在M中还有元素-2，一32 11 第上，a=2或a=-3 故选：D. 故集合M一定含有的元素有3，-2，一3,2 11 题型三 变式1【答案】2 【解析】当a=0时，a=一a=|a=√a=0,此时元素个数 专题2集合间的基本关系 为1： 当a≠0时，1a-a=0a>0 【经典例题】 a,a0' 题型 所以一定与a或一a中的一个一致，此时元素个数为2. 变式1【解】(1)因为-3∈A,且A=(a-3,2a”+5a,01, 所以由a,一a,|a,a构成的集合中，元素个数最多是 所以a-3=-3或2a十5a=一3，解得a=0或a=-1或d 2个. 故答案为：2. 变式2【答案】4 当a=0时，2a2+5a=0,集合中出现两个0，故含去： 【解析】因为集合M中的元素x=a十b,a∈A,b∈B,所以 当a=一1时，A={一4，-3,0}，符合题意； 当b=4时，a=1,2,3,此时x=5,6,7.当b=5时，a=1,2,3 此时x=6,7,8. 当a=一是时A={一号，-3,0，特合道意： 88H