第1章 第4讲一元二次方程-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接点二 初升高知识衔接 2.(七年级课时练习)我们已经学过将一个多项式 (2)已知a、b、c为△ABC的三条边,且满足a{+ 分解因式的方法有提公因式法和公式法,其实分 $*+c2-4a-46-6c+17=0,求△ABC的周长;$ 解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等, (3)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac ①分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公 士c三0,判断入ABC的形状并说明理由 因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法: 例如:x2-2xy+y-4-(x2-2xy+y2)-4- (x-y)②-22-(x-y-2)(x-y+2). ②拆项法;将一个多项式的某一项拆成两项后,可 提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法 例如:x+2x-3=2+2x+1-4=(x+1)} 2-(r+1-2)(x十1+2)-(x-1)(x+3). (1)仿照以上方法,按照要求分解因式: ①(分组分解法)4r2+4x-y2十1; ②(拆项法)x2-6x十8; 第4讲 一元二次方程 知识巩固与延伸 -b6-4ac,则 1.一元二次方程根的判别式 -b+、62-4ac 二 ,r一二 一元二次方程ax2十bx十c=0(a去0)(a、b、c均 2a 2a 为常数)的判别式△一b2-4ac. -b+62-4a-6-62-4a# (1)△>0时,ax2十bx十c-0(a去0)有两个不相 x1十x2- 2a 2a 等的实数根. -b+6-4ac-b-62-4a-26 __ b (2)△-0时,ax2+bx十c=0(a关0)有两个相等 2 2a ? 的实数根. -b+V/62-4ac -b-V62-4ac r1·r2= (3)A0时,ar?+bx十c-0(a去0)没有实数根. , 2a 2a 注意:①在使用根的判别式之前,应将一元二次 b2-(b2-4ac)4acC 4a2 方程化成一般式. 4^{②} ②在确定一元二次方程待定系数的取值范围时, 所以,一元二次方程的根与系数之间存在如下 必须检验二次项系数关0 关系 ③证明△一一4ac恒为正数的常用方法:把A 如果ax^2}十bx十c=0(a去0)的两个根分别为x1 的表达式通过配方化成“完全平方式士正数”品 x,则: 形式. 十x2-一 2.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) ,这一关系式也被称为韦达定理 一元二次方程axr2十bx十c-0(a关0)有两个根 x·2 分别是x1,x,则: 重点题型剖析 题型一 利用根的判别式判断一元二次方程 解为x=-3,则关于x的方程2nx2十nx十2-0 根的个数 ( (n关0)根的情况是 ) A.不存在实数根 [经典例题] B.有两个实数根 【典例】 (河北承德·九年级统考阶段练习)已知 C.有两个不相等的实数根 关于x的方程2mx2-nx+2-0(m:0)的一个 D.不确定 19 衔接必刷题 【答案】B 【答案】 C 【解析】.关于x的方程2mx②-nx+2-0(m 【解析】 .一元二次方程x2十4x十1-0有两 -0)的一个解为x一一3, 个实数根, *.2n·(-3)*+3n+2-0 * -4-4$$ 1>0,0\$$$ .18m+3n+2-0. 解得4,:0. .2-3n 故选:C. 18 在关于x的方程2mr②+nx+2-0(m0)中,A [题型归类练] -n2-4×2.2m 1.(河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考 .△-n2-16n 试)若关于x的一元二次方程(a-2)x^②十2x-1 -n2+16. 3n+2 一0有两个不相等的实数根,则&的取值范用是 18 ( 92+24n+16 ) A.a-2 B.a>1且a去2 9 C.a1且a去2 D.a>1 (3n十4)2 二0. 9 2.(北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)若 '.关于x的方程2mx2十nx十2-0(m:0)有两 关于x的方程2+2x+2-4-0有两个不相等 个实数根,故选B. 的实数根,则的取值范围是 题型三 解一元二次方程 [题型归类练] 角度1直接开平方法 1.(河南商丘·校考一模)已知关于x的一元二次 [经典例题] 方程x2-bx-b-2-0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 【典例】(江苏苏州·一模)已知关于x的一元二 B.有两个不相等的实数根 次方程n(x-h)?-k-0(n,h,k均为常数且 C.没有实数根 n关0)的解是x=2,x2三5,则关于x的一元二 次方程n(x-h+1)一k的解是 D.无法确定 ( ) 2.(河北·九年级校联考期末)已知关于x的一元 A.x1--2,x2--5 二次方程(x-3)(x-2)-n2-0. B.r1--4.x2--1 求证;无论n为何实数,方程总有两个不相等的 C.x1-1,x-4 实数根. D.x1--3,x2--6 【答案】C 【解析】 ·方程n(x-h)?- 一o(n、h,k均为 常数且m0)的解是x1-2,x2-5. ·对于关于(x十1)的一元二次方程n(x一h十 1)-b的解,即x十1-2或x十1-5, 即x-1,x-4. 关于x的一元二次方程m(x一h十1)?一k的 解是x,-1,x2-4. 故选:C. 题型二 根据根的个数求参数 [题型归类练] [经典例题] 1.(湖北恩施·九年级期末)用直接开平方的方法 【典例】 (辽宁本溪·九年级统考开学考试)关干 解方程(3x十1)一(2x-5)2,做法正确的是( ) x的一元二次方程x2十4x十1一0有两个实数 A.3x+1-2x-5 根,则的值可以是 ( ) B.3x+1--(2x-5) A.6 B.5 C.3x+1-士(2x-5) C.4 D.0 D.3x+1-士2x-5 20 衔接点二 初升高知识衔接 2.(安徽滁州·八年级校考阶段练习)解方程:(x一 角度3 因式分解法 2)2-18. [经典例题] 【典例】(云南昆明·九年级统考期末)解方程: x(x-3)-x-3. 【解】x(x-3)-x-3 x(x-3)-(-3)-0 (x-3)(x-1)-0 x-3-0或x-1-0 x1-3,x-1. [题型归类练] 角度2 配方法 1.(江苏扬州·九年级校考期末)用适当的方法解 [经典例题] 一元二次方程3x(x-2)-2(2-x). 【典例】 (湖南益阳·九年级校联考期末)一元二 次方程x2-4x-1-0配方后可化为 ( A.(x十2)2-3 B.(x+2)2-5 C.(x-2)2-3 D.(r-2)2-5 【答案】D 【解析】 移项得x2-4x-1, 配方得x2-4x+4-1+4. ..(x-2)2-5. 故选:D. 2.(江苏无锡·九年级统考期末)解方程: [题型归类练 (1)(x十4)?-2(x十4); 1.(江苏宿迁·九年级统考期末)解方程:x十10 (2)x(r十5)-6 -11-0. 2.(安微·八年级淮北一中校联考阶段练习)解方 角度4 利用求根公式求解 [经典例题] 【典例】 (辽宁沈阳·九年级统考期末)解方程: 3r2-3x-1-0. 【解】3x2-3x-1-0. .a-3,b--3,c--1, *-2-4ac=(-3)*-4 3(-1)-9+12 -21>0. -+21 衔接必刷题 -b+-4ac--3)+213+ 21 设 y=x-1,可得ay②+by+c=0. .= 2a 2×3 6 .方程ar^{}十bx十c=0的解是x1= 2=3. -b-6-4ac--3)-v213-21 # ? 2×3 2a 6 .方程ay②}十by十c=0的解是y1 2,32-3. 3+V21 3-21 即:x1 ##。 .x2= 6 [题型归类练] 故选:B. 1.(四川眉山·九年级统考期末)解方程:(x十1) (x-2)-3x. [题型归类练] 1.(广西河池·九年级统考期末)若实数x.v满足 (3+3-1)(x3十3+3)-0,则x3十y3的值为 ( ) A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3 2.(湖南常德·九年级统考期末)若(-2十2)2-3 (2十y②)-4-0,则x2+2= 题型四 利用根与系数的关系(韦达定理)求 参数 [经典例题] 2.(四川凉山·九年级统考专题练习)解方程-2+ 【典例】 (浙江·八年级专题练习)设a,③是一元 2x-3-0. 二次方程x2+3x-7-0的两个根,则a2十5a+ 2- 【答案】 【解析】 .a,8是一元二次方程x2十3x-7-0 的两个根, .a+--3,a2+3a-7-0, .2十3a-7. '+5a+23=a2}+3a+2(a+③)-7+2x(-3 -1,故答案为:1. [题型归类练] 角度5 换元法求解 1.(贵州黔东南·九年级统考期末)关于工的一元 [经典例题] 二次方程5x2-4x十 -0的一个根为1,则它的 另一个根是 【典例】 (浙江金华·八年级校考阶段练习)已知 2.(江苏泰州·九年级校联考阶段练习)若x1,x 方程ax2十bx十c-0的解是x1= 是方程x2+2x-1-0的两根,则2x1x2+x1+ 223,则方 2- 程a(x-1)2十bx-b-c的解是 ( 题型五 利用根与系数的关系(韦达定理)求 # B.x-2=4 ,2 对称式的值 [经典例题] C.- D.- 22-6 2,2-7 【典例】(全国·九年级专题练习)已知xy关1,且 【答案】B 有3x2+2018x+9-0及9y2+2018y+3-0. 【解析】 由方程a(x-1)2十bx=b一c可得 则的值为 ( a(r-1)②十b(x-1)+c-0, 22 衔接点二 初升高知识衔接 A2018 '无论n为何值,x2-2mx+m^2}-16-0有两个 B.2018 不相等的实数根, D C.3 '.无论n为何值,抛物线与工轴总有两个不同 的交点A、B; 【答案】 D (2)令y-0,x2-2mx+m2-16-0. 【解析】 .92+2018y+3-0. .1十9-0. 解得:xA-m-4,xp=m+4. .3×(1)2十2018 ·(xA-1)(xB-1)-9,即(m-5)(m+3)-9. 解得:m-6或m--4. [题型归类练] .y) 1.(广东山头·九年级统考期末)已知,抛物线y 110 2+(n-1)x+(n-2)(m为常数). xy 33 rx (1)求证;无论为何值,抛物线与:轴总有公 3 共点; .y 2-10 (2)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为 故选:D. 4,求n的值. [题型归类练] 1.(湖北鄂州·九年级统考阶段练习)若实数a、 2.(湖北襄阳·九年级统考期末)已知关于x的一 元二次方程x2-4m.x十3m2-0. (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若该方程有两个正实数根x,x,且x&^②}十x 一10,求n. 2.(江苏南京·九年级统考期末)已知二次函数 y-x2-2mx+2m-1(m为常数). (1)求证;不论n为何值该函数图像与x轴必有 公共点; (2)求证:不论n为何值,该函数图像的顶点都 在函数y一一(x-1)2的图像上; (3)已知点A(-3,v),B(1,y)在二次函数图像 上,若y>y,则的取值范围是 题型六 根据判别式确定函数图象交点 [经典例题] 【典例】(云南文山·九年级统考期末)已知抛物 线:y-x2-2mx+m2-16. (1)求证:无论n为何值,抛物线与x轴总有两 个不同的交点A、B; (2)若(xA-1)(x-1)=9,求m的值 【解】(1)对于y-x2-2mx+m2-16来说, 当y-0时,r2-2mx+m-16-0. 由题意得;△-(-2m)2-4(m②-16)-64>0. -23 衔接必刷题 题型七 根的判别式和韦达定理综合应用 ·.解方程2+16 [经典例题] 故④正确,综上,正确的有4个,故选:D 【典例】 (湖北随州·九年级统考期末)如图,抛物 [题型归类练 线y=ax2+bx十c(a≠0)与x --2 轴交于A,B两点,与y轴交于 1.(河南南阳·九年级统考期末)已知关于工的一 点C(0,1),点A在(-3,0)和 元二次方程x2+2(m+2)x+m②-1-0. A0 (一4,0)之间(不包含这两D (1)若方程有实数根,求实数n的取值范围 点),对称轴为直线x三一2.有 (2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足x+ x一58,求实数n的值 程ar2十hx十c-0的根(较小的根用x表示)为x 7 ( _ A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D 【解析】 ·抛物线的开口向上,..a0 ·抛物线与y轴交于点C(0,1)...c-1 .抛物线的对称轴为直线x一一2, 2.(内蒙古包头·九年级统考期末)(1)用适当的方 法解方程: 'abc0,故①正确; ①2-x+56; .点A在(一3,0)和(-4,0)之间. ②2x(x-2)-2-x; *当t--3时,-9a-3b+1-9a-12a+1 (2)已知关于x的一元二次方程x十3x十^-2 -3a+1<0. 一0有实数根. ①求实数处的取值范围; ②设方程的两个实数根分别为x1,x,若(x+ .抛物线的对称轴为直线x一一2, 1)(x+1)--3,求的值. .yy,故③正确; .'.AB-3, 设l、x2(x<x)是方程ar2十bx十c-0的两 个根,则x1+x2=-4,x1x2= 1 则AB--1-(x1+t2)-4x1-3, 16 24衔接必刷题 =(x-y)(a+1)(a-1): ②x2-y2-4r+4 第4讲一元二次方程 =x2-4x+4-y =(.x-2)2-y 重点题型剖析 =(x+y-2)(x-y-2): 题型一 (2)①2x2-2xy+y2-8x+16=0, 题型归类练 x2-2.xy十y+x-8x+16=0, L.【答案】B .(x-y)2+(x-4)2=0, 【解析】在方程x2一kx一k一2=0中， .(x-y)2=0,(x-4)2=0, 4=6-4ae=(-k)'-4×1×(-k-2)=(k+2)2+4>0, ∴.x=4,y=4: .该方程有两个不相等的实数根 ②，5.x2-12.xy+9y+8.x+6 故远：B =4.x2-12.xy+9y2+x2+8.x+16-10 2.【证明】整理原方程得，x2-5.x十6-m2=0, =(2x-3y)+(x+4)-10, .△=25一4(6-m)=1+4m, ,(2x-3y)2≥0，(x+4)2≥0， :无论m为何实数，总有4m≥0， .1十4m2>0即△>0， .(2x-3y)=0,(x+4)=0时，5x2-12.xy+9y2+8.x+6 ∴·无论川为何实数，方程总有两个不相等的实数根。 有最小值，最小值是一10， 题型二 .2x=3y,t=-4, 题型归类练 y=- 3, 1.【答案】C 【解析】：关于x的一元二次方程(a-2)x2+2x一1=0有 即当工=-4w=-g时，代载式5x-12y+9y+8r+6 两个不相等的实数根， 'a-2≠0，△=2-4×(a-2)×(-1)=4a-4>0, 有最小值，最小值是一10. 解得：d>1且a≠2. 2.【解】(1)a2-6ab+96-25, 故选：C. =(a-6ab+96)-25, =(a-3b)2-52, 2.【答案】k<号或k<2.5 =(a-3b-5)(a-3b+5): 【解析】：x+2x十2k一4=0有两个不相的实数根， (2).x-4y-2x+4y, .△=b2-4ac>0, =(x-4y)-(2x-4y). ∴.22-4×1×(2k-4)>0, =(x-2y)(x+2y)-2(x-2y). =(x-2y)(x+2y-2). 长号 题型九 题型归类练 的取值范国为< 1.【解】(1)m2-n-3m+3n 题型三 =(m2-n)一(3n-3n)） 角度1 题型归类练 =(m十n)(m一n)一3(m一n) 1.【答案】C =(m一n)(m十n一3)： (2)b+ab-bc-ac 【解析】(3x+1)2=(2.x-5) 开方得3x+1=士(2.x-5), =(b+ab)-(bc+ac) 故选：C =b(b+a)-c(a+b) 2.【解】(x-2)”=18 =(a十b)(h-c) =0. x-2=±3w2 又：a+b≠0， x=2±3v2 .b=c. x1=2+3√/反，x1=2-32. .△ABC的形状是等腰三角形」 角度2 2.【解】(1)①4.x2+4x-y+1 题型归类练 =(4x十4x十1)-y 1.【解】x2+10.r-11=0 =(2x+1)2-y x+10x=11, =(2x+y十1)(2.x-y+1). x2+10.x+25=11+25, ②.x-6x+8 (x+5)2=36. =x°-6x+9-1 x+5=士6， =(x-3)2-1 5=1,x2=-11. =(x-3-1)(x-3+1) 2.【解】22+3x+1=10, =(x-4)(x-2). x2+6.x+2=20, (2)a2+6+c2-4a-4h-6c+17=0, x2+6x+9=27. .(a2-4a+4)+(b-4h+4)+(c2-6c+9)=0, (x+3)2=27, ∴.(a-2)3+(b2)2+(e-3)2=0, x+3=士33， ∴a=2,b=2,e=3, x1=-3+3w3,x1=-3-3w3. ∴.a+b+e=2+2+3=7. 角度3 ∴.△ABC的周长为7. 题型归类练 (3)a-ab-ac+bc=0, 1.【解】3x(x-2)=2(2-x), ∴.a(a-b)-c(a-b)=0, .3x(x-2)十2(x-2)=0, .(a-b)(a-c)=0, .(3x+2)(.x-2)=0, a-b=0或a-c=0或a-b=0且a-c=0, .3x+2=0或x-2=0, ,.a=b或a=c或a=b=c, 2 △ABC是等腰三角形或等边三角形， 解得工=一3=2 86H 参考答案 2.【解】(1)，(x+4)2=2(x+4). 2.【解】(1)证明：由题意可得： .(x+4)2-2(x+4)=0, △=(-4m)2-4×1×3m .(x十4-2)(x十4)=0， =16m2-12m x+4=0或x+4-2=0, =4m2≥0： 解得x1=一4，x=一2： .该方程总有两个实数根： (2),x(x+5)=6, (2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1十x2=4m,x1x .x2+5r-6=0, =3m. .(x十6)(x-1)=0, x12+x2=(x1十x1)2-2x1x2=10, .x+6=0或x-1=0, .(4m)2-2×3m2=10. 解得1=1，x4=一6. 解得m=土1. 角度4 题型归类练 x1>0e>0, .x1十x:=4m>0,即m>0, 1.【解】(x+1)(x-2)=3x, .m=1. 整理方程，得：x2一4x-2=0, 题型六 .△=16-4×1×(-2)=24. 题型归类练 x=4士26 1【解】(1)证明：令r+(m-1)x十(m-2)=0, 2 则△=(m-1)2-4(m-2)=m2-2m+1-4m十8=m2-6m .x1=2+6或x2=2-W6. 十9=(m-3)2, 2.【解】(1)x2+2x-3=0, 4=(m-3)2≥0， 4=22-4×(-3)=16, 无论m为何值，抛物线与x轴总有公共点 -2±16。-2±4 (2)由y=x2十(m-1)x十(m-2). x=2X1 2 令x2+(m-1).x+(m-2)=0, x1=1,x=-3 解得：1=2-m,x=一1 角度5 .抛物线与x轴交点坐标为(2一m,0),(一1,0)， 题型归类练 若抛物线与x轴的两个交点之河的距离为4，则2一m一（一1） 1.【答案】C =4或-1一(2-m)=4, 【解析】设x+y=m, 解得m=一1或m=7. (x十y3-1)(x3十y+3)=0, 2.【解】(1)证明：：△=4m2-4(2m-1) ∴.(m一1)(m十3)=0， =4m2一8m十4 ,.m一1=0或m十3=0， =4(m-1)>≥0， 解得m=1或m=一3， 所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点： x3+y=1或x3+y3=-3, (2)证明：y=x°一2m.x十2m一1=(x一m)2一(m一1)2， 故选C. 二次函数y=x一2n.x十2一1的顶点坐标 2.【答案】4 为[m,-(m-1)] 【解析】设t=x+y,则t>0, 当x=m时，y=-(x-1)2=-(m一1)2， ·原方程可以化为2一31一4=0， 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y一 解得：l=4或t=一1（含去） 一(x一1)的图象上： 即x2+y=4 b 故答案为：4. (3)画数的对称轴为x=一2a =m,a=1>0, 题型四 抛物线开口向上， 题型归类练 点A(一3，y),B1,y)在二次函数图像上，y1>y· 1.【答案】-或0.2 .m(-3)>1一m, 【解析】设方程的另一个根是a, 解得：m>一1， 故答案为：m>一1. 则根据根与系数的关系得：1十口=专， 题型七 题型归类练 解得0=-台 1.【解】(1)：关于x的一元二次方程x2+2(m+2)x十m2 1=0有实数根， 即方程的另一个根是一吉，故答案为：一吉 .△=6-4ac=[2(m十2)]-4(m-1) 2.【答案】-4 =16m十20≥0， 【解析】：x1x2是方程x十2x-1=0的两根， 解得：m≥-5 4” x1十xg=一2、x1x2=-1, .2x1x十1+x2=2×(-1)+(-2)=-4. 即m的取值范调是m≥一子： 故答案为：一4. 题型五 (2),由根与系数的美系可得：x1十T:=一2(m十2)，1x:= 题型归类练 m2-1, 9 1.【答案】一子 .x+x=(x1+x)-2x1x2 =[-2(m+2)]2-2(m2-1) 【解析】，a2十a=b+b=4, =2n2+16m十18， .a2十a=4.b+b=4,a≠b, x+xi=58, a,b分别是方程t2十1一4=0的两个实数根 ,2m2+16m+18=58.即m+8m-20=0. ∴.a十b=一1，ab=-4, .(m一2)(m十10)=0， 六2+号-=a+2w_2-2x(-0 解得m1=一10或m2=2, ab ab -4 9 m≥一4 4· .m=2. 故答案为：一了 9 2.【解】(1)①x=x+56 x2-x-56=0, 87 衔接必刷题 :a=1,b=-1,c=-56,b-4ac=(-1)2+4×56=225 根据集合元素的互并性可知，x=5,6,7,8.即M >0, {5,6,7,8},共有4个元素， x=1±22_1±15 故答案为：4. 2 2 题型四 x1=8,x2=-7: 变式1【答案】{6,3,2,1 ②2x(x-2)=2-x 2x(x-2)十x-2=0, 【解析】{女=8a∈Nr∈N=63,2.1. (x-2)(2.x+1)=0 故答案为：{6,3,2,1}. x-2=0或2x十1=0. 变式2【解】由题意A={1,2,3,4,5,B={2,3,5,7},C= 1=8=- {1,2,3,4,6,12} (1)M={1,2,3,4} (2)①：关于x的一元二次方程x2十3x+k一2=0有实 (2)M={x|x∈B且x任C 数根， .N=15,7). .b2-4ac=32-4×1×(k-2)≥0 变式3【解】(1)11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以 构成的集合为{0,2,4,6,8,10}： 解得：≤子，即长的取值花周是k<子： (2)(x+1)(x1-4)=0的根为x1=-1,2=2,x3=-2.所 ②：方程x+3r十k一2=0的两个实数根分别为x112· 以所有实数根组成的集合为{一2，一1,2}： x1十x:=-3,x1x2=k一2， 3)联立y=x十1和y=2·解得{二2，所以两个函斑图 (x1+1)(x:+1)=-3, .x1x:十(x1+x:)十1=-3， 的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)} ∴.k-2+(-3)+1=-3, 题型五 解得：k=1,即k的值是1. 变式1【解】由题意可得-1≤x≤3.0≤y≤3， 所以图中阴影部分（含边界）的，点组成的集合为{(x,y)|一1 第二章 高中知识预习 ≤x3,0y3}, 变式2【解】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述 法可表示为：{xx=3k,k∈Z. 专题1集合的概念 (2)不等式2x一3>5的解集，用描述法可表示为：{rr>4, x∈R. 【经典例题】 (3)方程x”+x十1=0的所有实数解组成的集合， 题型一 用描述法可表示为：{xx十x十1=0，x∈R}. 变式【答案】B (4)抛物线y=一x十3.x一6上所有点组成的集合， 【解析】根据集合中元素的三要素判断，上课迟到的学生属 用描述法可表示为：(x,y)y=-x+3r一6). 于确定的互异的对豪，所以能构成集合：2020年高考数学难 (5)集合{1,3,5,7,9)，用描述法可表示为：{x|x=2n一1,1 题界定不明确，所以不能构成集合：任意给一个数都能判断 ≤n≤5且nEN”}. 是否为有理数，所以能构成集合：小于算的正整数分别为1， 题型六 2,3,所以能够组成集合.故选：B. 变式1【解】(1)因为1∈A,所以a+2+1=0,得a=-3, 题型二 变式1【答案】D 所以A=r∈R-3x+2+1=0={号1： 【解析】，R表示实数集，2∈R,则①正确 (2)当A中只有一个元素时，a.r2+2.x十1=0只有一个解， Q表示有理数集，4∈Q,则②正确 N表示自然数集，∴0∈N,剩③正确. 所以a=0或a≠0 1△=4-4a=0 :0是集合{0,1}的一个元素，0∈{0,1}，别④正确.本题 所以a=0或a=1, 正确选项：D. 当A中没有元素时，ax十2x十1=0无解，所以 变式2【答案】D /a≠0 【解析】由集合中元素的确定性知a一a十2=4或1一a 4=4-4u<0解得a>L, =4. 综上所述：a=0或a≥l. 当a-a十2=4时，a=一1或a=2:当1-a=4时，a=一3. 变式2【解】 当a=一1时，A=(2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故 8EM各-2eM告二=-号 a=一1舍去： +() 1+立=3eM: 1 当a=2时，A={2,4,一1}满足集合中元素的互异性，故a 1 ∈M, ∈M,. =2满足要求： 当a=一3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a 3 1一 =一3满足要求. 11 第上，a=2或a=-3 “在M中还有元素-2，一32 故选：D. 11 题型三 故集合M一定含有的元素有3，-2，一3,2 变式1【答案】2 【解析】当a=0时，a=一a=|a=√a=0,此时元素个数 专题2集合间的基本关系 为1： 当a≠0时，1a-a=0a>0 【经典例题】 a,a0' 题型 所以一定与a或一a中的一个一致，此时元素个数为2. 变式1【解】(1)因为-3∈A,且A=(a-3,2a2+5a,01, 所以由a,一a,|a,a构成的集合中，元素个数最多是 所以a-3=-3或2a十5a=一3，解得a=0或a=-1或d 2个. 故答案为：2. 变式2【答案】4 当a=0时，2a2+5a=0,集合中出现两个0，故含去： 【解析】因为集合M中的元素x=a十b,a∈A,b∈B,所以 当a=一1时，A={-4,-3,0),符合题意； 当b=4时，a=1,2,3,此时x=5,6,7.当b=5时，a=1,2,3 此时x=6,7,8. 当a=一是时A={一号，-3,0，特合道意： 88H