第1章 第2讲根式、分式的化简-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接必刷题 2.已知方程x2十4x十1=0的两根是a、B. (3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别 (1)求|a-的值； 等于a8的倒数的立方.（参考公式：x3+y3=(x (2)求，√√是的值： +y)(x2+y2-xy). 第2讲 根式、分式的化简 知识巩固与延伸 1.知识巩固 2.知识延伸 (1)二次根式的定义 (1)无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽 一般地，形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式. 方的根式叫做无理式.例如√x2一2√x3一1是 (2)二次根式性质 无理式，而x2不是无理式 (2)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母 ①(wa)2=a(a≥0) 有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因 ②va=la= a (a≥0) 式.例如： 1 x+I十√E (a<0) x+1-GW+1-√E)Wx+1+ ③ab=√a·√b(a≥0，b≥0) √x+I+√E. 国g-2a>00》 (3)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如 果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互 (3)分式 为有理化因式.常用的有理化因式有： ①√x+I+√元与x+1-√元 形如：合（其中B中含有字母)的式子叫作分式。 ②W:-√与E+√ (4)分式的基本性质 (4)繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不 1 y 为0的整式，分式的值不变，用式子表示为：合= 分式时该分式就称为紫分式如予或士立一 AXN_A÷N 等，繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进 BXNB÷N(N≠0). 行运算 6 衔接点二初升高知识衔接 重点题型剖析 题型一二次根式有意义的条件 题型二求二次根式中的参数 [经典例题] [经典例题] 【典例】（河北石家庄·八年级统考期末）使代数 【典例】（全国·九年级专题练习）若最简二次根 一√3-2x有意义的整数x有( ) 式“V4a+36和/2a-b+6能合并，则a,b的值分 别是 ( A.5个 B.4个 A.2和1 B.1和2 C.3个 D.2个 C.2和2 D.1和1 【答案】C 【答案】D 由题意，得3-2x≥0 x+2>0 【解析】 【解析】：最简二次根式“√4a十36和 解不等式组得一2<<， √2a一b+6能合并， 3a-b=2 符合条件的整数有：一1、0、1共三个.故选：C. 4a+3b=2a-b+6' [题型归类练] [3a-b=2 a+2b=3 1.(湖南株洲·八年级统考期末)若√x-1有意义， ∫a=1 则x的取值范围是 解得6=1 2.(海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习) 故选D 下列各式中字母取何值时，式子在实数范围内有 [题型归类练] 意义？ (1)W2x-5;(2λ 5 1.(浙江·八年级专题练习)若√80n是整数，则正整 Vx-3 数n的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(八年级单元测试)如果二次根式√5m十8与√7是 同类二次根式，那么满足条件的m中最小正整 数是 题型三 二次根式的乘法与除法及其混合运算 [经典例题] 【典例】（全国·八年级专题练习）计算：(2√2十 3)÷(V2+1)X2 √2+1 【解】(2V2+3)÷(W2+1)×2 √2+1 22+3×2 (w2+1)2 22+3×2 2√2+3 =2. 7 衔接必刷题 [题型归类练] 40_W4×10_2√/10 5 1(全国·八年级专题练习)化简：4母X号产 此的最商二次根式为 2w10 5 (3N2-9x3-5 3 3 故受的最商二次根或方同 (4)② 2 √2 _5 3V403v4×5X26√5×230 故② 的最简二次根或为：识。 3√40 (5)a,b,c均大于0 ∴.2N4a3b2c=4ab√ac. [题型归类练] 1.（八年级课时练习)下列二次根式中，属于最简二 次根式的是 () 2.(全国·八年级专题练习)号瓜·（子巧） A.√0.2 C.√15 D.√20 2.(八年级课时练习)最简二次根式√b十2与 5-26是同类最简二次根式，则a-b= 题型五二次根式的加法与减法及其混合运算 [经典例题] 【典例】（广东深圳·八年级校联考期末）计算： (1)√28-√7： (2)12+|W3-21-(π-3.14)0； (3)(3+√2)(3-√2)-(5-1)2. 题型四 最简二次根式 【解】(1)√28-√7 [经典例题] =27-√7 【典例】（全国·八年级专题练习）把下列二次根 =7. 式化为最简二次根式： (2W12+1V3-21-(x-3.14)0 aw25,a/,eY,0 =25+2-√5-1 34o =√5+1. (5)2√4a3bc(a,b,c均大于0) (3)(5+√2)(5-√2)-（√5-1）2 【解】( =3-2-(5-2W5+1) 故y25的最商二次根为：四， =1-5+2√5-1 =2√5-5. 8 衔接点二初升高知识衔接 [题型归类练] [题型归类妹] 1.(广东东莞·八年级校考阶段练习)计算：(3 1.(陕西西安·校考一模)阅读下列材料，并解决相 √2)2+(3+√2)(3-√2). 2(√5+√3) 应间题：5-55-3(5+ 2 后=5+3， 用上述类似的方法化简下列各式。 (1) 1 6+√ (2)若a是2的小数部分，求三的值. 2.(山东枣庄·八年级统考期末)计算： 6-2mx√F: 26w5-22-1厘+6月 2.(河北保定·八年级校考期未)请你仿照材料中 的方法探索并解决下列问题： 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相 题型六分母有理化 乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代 数式互为有理化因式。 [经典例题] 例如：W3×√3=3，(6-√2)（√6+√2）=6-2=4， 【典例】 (湖南邵阳·八年级统考期末)计算： 我们称√3的一个有理化因式是√3，√6一√2的一个 1一+2-5= 有理化因式是√6十√2. 2-√3 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根 【答案】4 式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式， 【解析】 2后+？g 使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化 例如：1=1必3=V58 8(W6+√2) 2+√3 +2-5 3√3x33'6-2(W6-2)W6+2) (2-√3)(2+√3) -8(W6+2=26+22. =2+√3+2-√3 =4 (1)√13的有理化因式为 ,√7+√5的有 故答案为：4. 理化因式为 ;(均写出一个即可) 衔接必刷题 (2)将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程） [题型归类练] ①3：②1 √15'2√5-3 2一十 2 2 1.(湖南邵阳·八年级统考期末)求代数式（工二 x-1 (3)化简：3+1+5+37+5 -x一)÷22的值其中=区+1 2 √2023+√/2021 题型七二次根式化简求值 [经典例题] 【典例】（八年级课时练习）已知非零实数a,b满 足2√a(√a+2√b)=√b(√a+5√b),求代数式 2.(全国·八年级专题练习)已知x=尽-1，y 2a+ab+3b的值. 3a+√ab-2b 3+1,求x2+3xy十y的值. √3-1 【解】，非零实数a,b满足2√a(√a+2√6)=√B (a+5/B), 由题意可知a>0,b>0, ∴2(Wa2+3√a6-5(b2=0, ∴.(2a+5b)(√a-√b)=0 a>0,b>0, ∴.2√a+5Wb>0, √a=b, .a=b, :2a+a6+3b 3a+√ab-2b 2a+a+3a 3a+a-2a =3. 10H 衔接点二初升高知识衔接 题型八 分式的意义 题型九分式的化简求值 [经典例题] [经典例题] 【典例】（河北石家庄·八年级统考期末）已知分 【典例】 (重庆永川·八年级统考期末)若分式 式2士”(m,n为常数)满足表格中的信息，则下 11 "x一m =2,则分式4m十5m一n的值等于( m-3mn-n 列结论中错误的是 ( R x的取值 -4 4 分式的值 无意义 0 c. 0. 【答案】D A.n=4 B.m=-4 C.a=12 D.n=-8 【解析】 因为-1=”二m=2, m n mn 【答案】A 所以n一m=2mn,则m一n=一2mn 【解析】x=一4时，原分式无意义， 4m+5mm-4n_4(m-)+5mm_4(-2m)+5 .一4一m=0,解得：m=一4，B选项正确， m-3mn-n (m-n)-3mn -2mn-3mn 此分式为2x十n -3mn_3 x+4 一5mm5,故选D. ,当x=4时，原分式值为0， [题型归类练] 上2X4牛”0，解得：n=一8，D选项正确，A选 项错误，由上分析，原分式为2二8， 1.八年级单元测试)已知合一吕=2，则地胎 4ab-3a+66 x十4 的值为 :当x=a时，原分式值为1， :2a-8=1, 2.(全国·九年级专题练习)已知受学=≠0， a十4 解得：a=12, 求+2的值。 xy+yz十xz 经检验，a=12是原分式方程的解，C选项正确， 故选：A. [题型归美妹] 1。(重庆渝北·八年级校考阶段练习》若在实 数范围内有意义，则x的取值范围是 2.(广东广州·八年级统考期末)已知A= x1x, 日告兰间：当为何值时A=B 11 衔接必刷题 题型十 分式的基本性质 [题型归类练] [经典例题] 1.(山东威海·八年级统考期末)若x,y的值均扩护 【典例】（福建福州·八年级统考期末）若将分式 大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是 +y中的x与y都扩大为原来的3倍，则这个 ( ) 3xy 代数式的值 ( A.2+x x一y B A.扩大为原来的3倍B.不变 D.2-y2 C.缩小为原来的号 D.缩小为原来的g c黄 x2+y2 【答案】C 2,广东汕头·八年级统考期末)与分式二日名相 【解折】分式中的工与y备扩大为原来的 等的是 3.x+3y 3×x+y=1×+y, A.+6 B.a6 3倍，得3×3X33X3X3y33y a-b atb 这个代数式的值缩小为原来的了，故选C C.-a+6 a-b D.--a-6 a+b 第3讲 因式分解 知识巩固与延伸 一、知识巩固 ②平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平 1.因式分解定义 方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运 两个数（整式）的差的积. 算叫做因式分解. ③套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、 2.提公因式法 b可以是字母，也可以是单项式或多项式。 (1)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就 (2)公式法—完全平方公式 可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2 个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提 倍，等于这两个数的和（差）的平方 公因式法.如：ab十ac=a(b十c). 即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. (2)概念内涵 形如a2十2ab+b2,a2-2ab+b2的式子叫做完全 ①因式分解的最后结果应当是“积” ②公因式可能是单项式，也可能是多项式。 平方式 ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配 特别说明： 律，即：ma十mb-mc=m(a十b-c). ①逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式， 3.公式法 ②完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是 (1)公式法一平方差公式 这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数 边是两数的和（或差）的平方. 的差的积，即： ③完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注 a2-b2=(a+b)(a-b) 意二者的使用条件。 特别说明： ④套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、 ①逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式， b可以是字母，也可以是单项式或多项式 12参考答案 参考答案 衔接点二 初升高知识衔接 (3)由题意可得新一元二次方程的两个根为(。) 和（信）】 第一章 初中知识回顾 别（日）广+（日） 第1讲乘法公式 -(是+[（日）+（合）-] 重点题型剖析 题型 =a+[a+8)°-2a317 题型归类练 1.【解】(n+7)-(n-5) =(n+7+n-5)(n十7-n+5) =(2n+2)×12 =-52 =24(n+1), :n为正整数， (）广（日）=(3)- ∴.n十1为正整数， 所以新的一元二次方程x2+52x+1=0. .24(n+1)能被24整除， .(n十7)一(n一5)能被24整除. 第2讲根式、分式的化简 2.【解】(2.x十y)-(x+2y) =[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(.x+2y)] 重点题型剖析 =(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) 题型一 =(3x+3y)(r-y) 题型归类练 =3(r+y)(x-y) 1.【答案】x>1 题型二 【解析】由题意知，x一1≥0， 题型归类练 解得：x≥1， 1.【答案】(1-3.x-3y) 故答案为：x≥1. 【解析】1一6(x十y)+9(x+y)2 2.【解】(1)：√②x-5有意义， =1-2×1×3(x+y)+[3(x+y)] ,.2x-5≥0， =[1-3(x+y)] =(1-3.x-3y) 故答案为：(1-3x-3y) 2.【答案】(x+2y)(x-2y) (2②V高是二次根式， 【解析】x-8x2y2+16y=(x2-4y)2=[(x+2y)(x .x-3≥0，且x-3≠0， 2y)]=(x+2y)2(x-2y)2. x-3>0, 故答案为：(x十2y)(x一2y) .x>3. 题型三 题型二 题型归类练 题型归类练 1.【答案】B L.【答案】D 【解析】A.(x十2y)(x2一2xy十4y)=x十8y,原变形错 【解析】：80n=42×5n,v80m是整数， 误，故此选项不符合题意：B.x1十27=(r十3)(x一3r十9)， ,正整数n的最小值是5， 原变形正确，故此选项符合题意：C.(x十2y)(x2一2xy十 故选：D 4y)=x2+8y2,原变形错误，故此选项不符合题意：D.a2+1 2.【答案】4 =(a十1)(a一4十1)，原变形错误，故此选项不符合题意，故 【解析】当5m十8=7时，m=一方，不合题意， 选：B. 2.【解】(1)：方程x十4x+1=0的两根是、3 当√/5m+8=2√7，即5m十8=28时，m=4. ,∴.a十3=-4，a3=1 .5m+8与、7是同类二次根式，那么m的最小正整数 .(a-3)2=(a十3)2-4a明=12 是4， ∴.|a-Bl=23: 故答案为：4. 题型三 (2)由(1)可知a<0,3<0, 题型归类练 :V2) 1.【解】4可×V÷10V =骨+2+2 -8+E+2 a3 -(atBD2-2@2+2 a3 =16, 侣√厚=4（负位会加 2 5y1 83 衔接必刷题 2.【解】原式=号va而·(-)÷历 题型七 题型归类练 1【解】原=号品 (x-1) (v而× 2x-x2(x-1)9 \ab x一2 =-xx-2.x-1) x-I x-2 题型四 =-x(x-1) 题型归类练 =-x2+x, 1.【答案】C 当x=互+1时，原式=-(，反+1)+(2+1)=-2一2. 【解折】A@√后=停被开方数合分，不是最两 2【1-5D2-y-出 5+1(w3+1)(3-1) 5-1 二次标式，本选溪不特合题意：以√后-停我开方北合分 (3+1)2 =2+5, (3-1)(,3+1) 母，不是最简二次根式，本选项不符合题意：C,5是最简 r2+3ry+y 二次根式，本选项符合题意：D.20=√4X5=2√5，被开方 数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合 =(2-/3)2+3(2-√3)(2+3)+(2+w3)2 题意：故选：C. =7-4/5+3+7+4/5 =17 2.【答案】2 题型八 【解析】根据题意得：a一1=2 题型归类练 ∴.4=3 1.【答案】x≥-2且x≠2 :最蔺二次根式√十2与“5-2b是同类最简二次根式 .b+2=5-20 【解折】：受在实数花周内有意又 ,.b=1 ∴.a-b=3-1=2 +0 故答案为：2. 解得：x≥-2且x≠2， 题型五 故答案为：x≥一2且x≠2. 题型归类练 1.【解】原式=9-62十2十9-2 2【锅】根据题专可得：名-一当 x2-11 =18-62 :.G+D_x(r-D_tr 2.【解】1)6-2)×3写 x2-1x-1x-1 ∴x2(x+1)-x(x-1)=x2+x, =8反-6vi-号 x-x=0, .0=0, :当x=1时，分式无意义， x为除了1之外的所有实数， 2w-2-z+4司 故当x≠1时，A=B. 题型九 题型归类练 =3-45+4-2+2/5 1.【答案】 7 =7-4√3. 一2 题型六 题型归类练 【解折“片吕=2 1.【解】(1)1 w6-7 ,+万W6+6-76. 42%=2 即a-2b=2ah, (2):a是2的小数部分， 治总++兰 7 a=2-1, Aab-3(a-26)Aab-6ab 2 33 3(/2+1) 7 =32+3. 故答案为：一2· a￥2-1(w2-1)(2+1) 2.(1)【答案】137-写 2.【解】设号--=k≠0，则x=2ky=3= 【解析】由题意可得， C=y+2-(2k)2-(3k)+2(4h) √13的有理化因式为13T+√5的有理化因式为√7-√5， xy+y+i.2k·3k+30·4k千2k·4 故答案为：/137-5： 27k (2)【解】①3=3×压=35正】 26k √1515×√/15 15 51 7 一26 ②11 11×(25+3) 11×(2w5+3) 题型十 2w5-3(2√5-3)×(2w5+3) 20-9 题型归类练 11×(25+32=25+3: 1.【答案】D 11 (3) 2一十 2 2 2 【解析】八告的y均扩大为原长的5倍的结果为 B+15+7+5+…+ 2023+√2021 —老号-8-告◆式的 =5-1+w5-5+/万-5+…+、2023-√/202I =√/2023-1. 值发生改变：B.士》的，y均扩大为原来的5倍的结采 r2+y 84 参考答案 为 5x+5y 5r+5y x十y 60)+6=25+25y+5y·分式的值发生 题型五 题型归类练 效变：C的x,y均扩大为原来的5倍的结果为 1.【解】(1)x2+9xy+14y 2y (5.r)2+(5y)25x2+5y2 5(x2+y) 2×5.x-3X5y ,分式的值发生改 2x-3y 2x-3y 变D.y +y 的T,y均扩大为原来的5倍的结果为 (5)-(5y)=25-25y--y .x2+9xy+14y2=(x+2y)(x+7y): (5r)+(5y) 25+25了一2+，分式的值保持不变： (2)x2-xy-12y 故选D, 2.【答案】B 【解析】 二a+b -(a-b)_a-b -a-b -(a+b)a+b' 31 故选：B .x2-xy-12y2=(x-4y)(r+3y): (3)2x+9ry-5y 第3讲 因式分解 重点题型剖析 题型一 题型归类练 1.【答案】3xy(2ry十5) .2x2+9xy-5y2=(x+5y)(2x-y): 【解析】原式=3.xy(2xy+5z). (4)3x-7xy-6y 故答案为：3.xy(2xy十5z). 2.【解】原式=(2x-a)2(2.x-a+3a) =(2.x-a)(2.x+2a) =2(2x-a)2(.x+a). 3 2y 题型二 .3x2-7xy-6y2=(x-3y)(3x+2y): 题型归类练 (5)3.x-2xy-8y 1.【答案】(x+y)(r-y) 2y 【解析】x一2xy2+y=(x2-y)2=(x+y)(.x-y)2, 故答案为：(x十y)(x一y). 2.【解】(1)m一16 3x =(m十4)(m一4) .3x2-2xry-8y2=(x-2y)(3x+4y): =(m2+4)(m+2)(m-2). (6)-5.x2+3xy+14y=-(5.x2-3xy-14y) (2)a2(x-y)+2ab(y-x)-b(y-x) -2y =a(x-y)-2ab(x-y)+b(-y) =(x-y)(a2-2ah+b) =(x-y)(a-b)2. 5 7y 题型三 题型归类练 .-5x2+3xy+14y2=-(x-2y)(5.r+7y). 1.【解】7.52×1.6-2.52×1.6 2.【解】原式=2x(x2-3.x十2) =2x(x-1)(x-2). =1.6×(7.52-2.5) 题型六 =1.6×(7.5+2.5)(7.5-2.5) =1.6×10×5 题型归类练 =80. 1.【答案】x-3y=0:x十y=0 2.【解】(1)(2m+n)(2m-n)-(m-n月 【解析】，x-2xy-3y2-0, =4m2-n2-(m2-2mn十n2) .(x-3y)(x+y)=0. x-3y=0或x+y=0. =4m2-n2-m2十2mm-n2 故答案为：x-3y=0:x十y=0. =3m2十2mn-2n: 2.【解】-2x2+8xy-8y (2)123-122×124 =-2(x2-4xy+4y2) =1232-(123-1)(123+1) =-2(x-2y)'. =123-123+1 题型七 =1. 题型归类练 题型四 1.【答案】A 题型归类练 【解析】分解因式的结果为(x十y一4)(x十y一5)的多项式 L.【答案】D 是(x+y)2-9(x+y)+20, 【解析】 故选A. x2-5x+6 -2 -2x 2.【解】(x-y)2+5(x-y)-50 =(x-y+10)(x-y-5). x、-3-3x 题型八 -2x+(-3x)=-5x 题型归类练 ∴.x2-5x+6因式分解的结果是(T-2)(x-3), 1.【解】(1)①a'(r-y)-x+y 故选：D, =a(.x-y)-(x-y) 2.【解】x2-2x-8=(x-4)(x+2). =(x-y)(a”-1) 85