第1章 第1讲乘法公式-【赢在高中起跑线】数学初高中教材衔接 知识回顾预习 专题特训（2026年）

衔接点二 初升高知识衔接 000000000000 第一章初中知识回顾 第1讲 乘法公式 知识巩固与延伸 1.知识巩固 (2)立方差公式：x3-y3=(x-y)(x2+xy十y2) (1)平方差公式：(a十b)(a-b)=a2-b2;注意公 (3)两数和立方公式：(x十y)3=x3+3x2y十 式的正逆应用。 3xy2+y3 (2)完全平方公式：(a士b)2=a2士2ab+b 过程：(x十y)3=(x十y)(x十y)2=(x十y)(x2+ (3)高频应用方式 2xy+y2)=x3+3x2y+3xy2+y3 ①x2+y2=(x+y)2-2xy (4)两数差立方公式：(x-y)3=x3-3x2y+ ②x2+y2=(x-y)2+2xy 3xy2-y3 ③(x十y)2=(x-y)2+4xy 过程：(x-y)3=(x-y)(x-y)2=(x-y)(x2- ④(x-y)2=(x十y)2-4xy 2xy+y2)=x3-3x2y+3xy2-y3 ⑤(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2) (⑤)三数和平方公式：(x+y+z)2=x2+y2+2 ⑥(x+y)2-(x-y)2=4xy +2(xy十yz+xz) 2.知识延伸 过程：(x十y十z)2=[(x十y)+x]=(x十y)2+ (1)立方和公式：x3+y3=(x+y)(x2-xy十y2) 2(x十y)x十x2=x2+y2+x2+2(xy十yz十x2) 重点题型剖析 题型一 平方差公式的应用 [题型归类练] [经典例题] 1.试说明：(n+7)2-(n一5)2(n为正整数)能被24 【典例】因式分解：-16x2+81y2= 整除. 【答案】(9y十4x)(9y-4.x) 【解析】一16x2+81y2 =81y2-16.x2 =(9y)2-(4x)2 =(9y+4x)(9y-4x) 故答案为：(9y十4x)(9y-4x) 4 衔接点二初升高知识衔接 2.(湖北襄阳·八年级统考期末)分解因式：(2x十 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3,他发现，运用立方 y)2-(x+2y)2. 和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利 用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、 字母或式子： ①化简：(a-b)(a2+ab+b2)= ②计算：(20233+1)÷(20232-2023+1) (2)公式运用】已知：2十x=3,求号十x的值， 【答案】(1)①a3-b3②2024(2)18 【解析】(1)①(a-b)(a2+ab+b2) =[a+(-b)][a2-a(-b)+(-b)2] 题型二完全平方公式的应用 =a3+(-b)3 [经典例题] =a3-b3, ②(20233+1)÷(20232-2023+1) 【典例】下列多项式，不能用完全平方公式分解的 =[(2023+1)(20232-2023+1)]÷(20232 是 ( 2023+1) A2-x+} B.4a2b2-4ab+1 =2023+1 C.y2+10y-25 D.ga2+36+8 =2024. 故答案为：a3-b3,2024. 【答案】C 【解析】A2-x十}-(-），故选项不特 (2)1+x=3, 合题意；B.4a2b2-4ab+1=(2ab-1)2,故选项 (2+)=9, 不符合题意；C.y2十10y-25不能用完全平方公 式分解，故选项符合题意：D.d2+日ab叶 =(仔a+b),故选项不特合题意.故选：C ∴3+2=（任+（侵-x+x2=3×7 -1)=18. [题型归类练] [题型归类练] 1.分解因式：1-6(x+y)+9(x+y)2= 1.由多项式乘法可得：(a+b)(a2-ab+b2)=a3 2.分解因式：x4-8x2y2+16y4= a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,即得等式： 题型三乘法公式延伸：立方和、立方差公式 ①(a十b)(a2-ab+b2)=a3+b3,我们把等式① 的应用 叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立 方和公式进行的变形正确的是 ( [经典例题] A.(x+2y)(x2+4y2)=x3+8y 【典例】学习了平方差、完全平方公式后，小明同 B.x3+27=(x+3)(x2-3x+9) 学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上 C.(x+2y)(x2-2xy+4y2)=x3+2y3 网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式： D.a3+1=(a+1)(a2+a+1) 5 衔接必刷题 2.已知方程x2十4x十1=0的两根是a、B. (3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别 (1)求|a-的值； 等于a8的倒数的立方.（参考公式：x3+y3=(x (2)求，√√是的值： +y)(x2+y2-xy). 第2讲 根式、分式的化简 知识巩固与延伸 1.知识巩固 2.知识延伸 (1)二次根式的定义 (1)无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽 一般地，形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式. 方的根式叫做无理式.例如√x2一2√x3一1是 (2)二次根式性质 无理式，而x2不是无理式 (2)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母 ①(wa)2=a(a≥0) 有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因 ②va=la= a (a≥0) 式.例如： 1 x+I十√E (a<0) x+1-GW+1-√E)Wx+1+ ③ab=√a·√b(a≥0，b≥0) √x+I+√E. 国g-2a>00》 (3)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如 果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互 (3)分式 为有理化因式.常用的有理化因式有： ①√x+I+√元与x+1-√元 形如：合（其中B中含有字母)的式子叫作分式。 ②W:-√与E+√ (4)分式的基本性质 (4)繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不 1 y 为0的整式，分式的值不变，用式子表示为：合= 分式时该分式就称为紫分式如予或士立一 AXN_A÷N 等，繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进 BXNB÷N(N≠0). 行运算 6参考答案 参考答案 衔接点二 初升高知识衔接 (3)由题意可得新一元二次方程的两个根为(。) 和（信）】 第一章 初中知识回顾 别（日）广+（日） 第1讲乘法公式 -(是+[（日）+（合）-] 重点题型剖析 题型 =a+[a+8)°-2a317 题型归类练 1.【解】(n+7)-(n-5) =(n+7+n-5)(n十7-n+5) =(2n+2)×12 =-52 =24(n+1), :n为正整数， (）广（日）=(3)- ∴.n十1为正整数， 所以新的一元二次方程x2+52x+1=0. .24(n+1)能被24整除， .(n十7)一(n一5)能被24整除. 第2讲根式、分式的化简 2.【解】(2.x十y)-(x+2y) =[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(.x+2y)] 重点题型剖析 =(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) 题型一 =(3x+3y)(r-y) 题型归类练 =3(r+y)(x-y) 1.【答案】x>1 题型二 【解析】由题意知，x一1≥0， 题型归类练 解得：x≥1， 1.【答案】(1-3.x-3y) 故答案为：x≥1. 【解析】1一6(x十y)+9(x+y)2 2.【解】(1)：√②x-5有意义， =1-2×1×3(x+y)+[3(x+y)] ,.2x-5≥0， =[1-3(x+y)] =(1-3.x-3y) 故答案为：(1-3x-3y) 2.【答案】(x+2y)(x-2y) (2②V高是二次根式， 【解析】x-8x2y2+16y=(x2-4y)2=[(x+2y)(x .x-3≥0，且x-3≠0， 2y)]=(x+2y)2(x-2y)2. x-3>0, 故答案为：(x十2y)(x一2y) .x>3. 题型三 题型二 题型归类练 题型归类练 1.【答案】B L.【答案】D 【解析】A.(x十2y)(x2一2xy十4y)=x十8y,原变形错 【解析】：80n=42×5n,v80m是整数， 误，故此选项不符合题意：B.x1十27=(r十3)(x一3r十9)， ,正整数n的最小值是5， 原变形正确，故此选项符合题意：C.(x十2y)(x2一2xy十 故选：D 4y)=x2+8y2,原变形错误，故此选项不符合题意：D.a2+1 2.【答案】4 =(a十1)(a一4十1)，原变形错误，故此选项不符合题意，故 【解析】当5m十8=7时，m=一方，不合题意， 选：B. 2.【解】(1)：方程x十4x+1=0的两根是、3 当√/5m+8=2√7，即5m十8=28时，m=4. ,∴.a十3=-4，a3=1 .5m+8与、7是同类二次根式，那么m的最小正整数 .(a-3)2=(a十3)2-4a明=12 是4， ∴.|a-Bl=23: 故答案为：4. 题型三 (2)由(1)可知a<0,3<0, 题型归类练 :V2) 1.【解)4/厅×V÷10 =骨+2+2 -8+E+2 a3 -(atBD2-2@2+2 a3 =16, 侣√厚=4（负位会加 5y 83