精品解析：2025年福建省龙岩市长汀县质量检测九年级数学试卷

2025年长汀县初中毕业班质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 篆体是我国古代汉字书体之一，下列篆体字“美”、“丽”、“龙”、“岩”中，可看成是轴对称图形的是（ ） A.     B.     C. D. 3. 据文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天（1月28日至2月4日），全国国内出游亿人次，出游人次用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入36元 B. 支出26元 C. 收入10元 D. 支出10元 5. 如图，若，则的值所对应的点可能落在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 7. 某班50名同学参加科学趣味知识竞赛（共10道题，每道题为10分），他们的得分情况如下表所示： 人数 成绩（分） 则全班50名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 75，70 B. 80，80 C. 75，20 D. 80，20 8. 滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为，现需将重物拉升（取），则滑轮旋转的情况为（ ） A. 顺时针旋转 B. 逆时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 9. 如图，某数学实践小组要测量操场的旗杆的高度，操作如下： （1）在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为； （2）测得仰角； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离为． 则旗杆的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数，，，，满足，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 计算的结果为_______． 12. 比较大小：______（填：“”、“”或“”） 13. 今年是世界反法西斯战争胜利80周年，也是中国人民抗日战争胜利80周年，某校对学生进行抗战历史知识问卷调查，在该校某年级1000名学生中，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有190名学生熟知这段历史．由此，估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有______名． 14. 如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_____． 16. 如图，在中，，，，，点是的中点，、相交于，则四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是平行四边形，E，F分别是边，上的点，．证明． 20. 福建省拥有丰富的红色文化资源，某校组织七年级学生开展“红色文化”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择： A．古田会议（龙岩市上杭县）； B．闽西革命历史纪念馆（龙岩市）； C．东山战斗纪念馆（漳州市东山县）． 小悦和小钢两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路，且每人只能选择一条线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小悦先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小钢再从中随机抽取一张卡片． （1）求小悦从中随机抽到卡片A的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到同一张卡片的概率． 21. 如图，是半圆的圆心，直径． （1）分别在半圆上的取点和点，顺次连接各点，构成以，，，为顶点的菱形，请用直尺和圆规求作符合要求的菱形； （2）求（1）中菱形的面积． 22. 百合花是南平市花．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进黄色和粉色两种百合．其中粉色百合一盆的价格比黄色百合一盆的价格少20元，用1200元购进的黄色百合的盆数和用900元购进的粉色百合的盆数相等． （1）求黄色百合和粉色百合一盆的价格分别是多少； （2）该校计划用800元购买黄色百合和粉色百合，且两种百合都必须购买，请问恰好用完800元的购买方案有哪几种？ 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，点为二次函数在第四象限的动点．连接、相交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当存在最大值时，求点的坐标． 24. 【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 25. 如图（1），四边形为矩形，，，点在对角线上，点，分别在边和上，，． （1）求的值； （2）将四边形绕着点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点， ①求的值； ②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年长汀县初中毕业班质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 篆体是我国古代汉字书体之一，下列篆体字“美”、“丽”、“龙”、“岩”中，可看成是轴对称图形的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．掌握轴对称图形的概念准确寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌ ‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 据文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天（1月28日至2月4日），全国国内出游亿人次，出游人次用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：亿， 故选：B． 4. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入36元 B. 支出26元 C. 收入10元 D. 支出10元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的应用，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．线列出算式再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：（元）， 即小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 5. 如图，若，则的值所对应的点可能落在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 【答案】C 【解析】 【分析】先将a的值代入代数式计算出得数，再在数轴上找到对应的点即可 【详解】将a =2代入得：原式= ， ∵0< <1，且接近1 故选：C 【点睛】本题考查求代数式的值、数轴上的点与实数的对应，熟练掌握数轴与实数一一对应的关系是关键 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 7. 某班50名同学参加科学趣味知识竞赛（共10道题，每道题为10分），他们的得分情况如下表所示： 人数 成绩（分） 则全班50名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 75，70 B. 80，80 C. 75，20 D. 80，20 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数的定义，一组数据最中间的一个数或两个数的平均数是这组数据的中位数，出现次数最多的数是这组数据的众数，正确掌握定义是解题的关键.根据中位数和众数的定义即可解答. 【详解】解：由表格知：共个数据中第和第个数分别是、， ∴这组数据的中位数是， 这组数据中出现次数最多的是， 所以众数是. 故选：B. 8. 滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为，现需将重物拉升（取），则滑轮旋转的情况为（ ） A. 顺时针旋转 B. 逆时针旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 9. 如图，某数学实践小组要测量操场的旗杆的高度，操作如下： （1）在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为； （2）测得仰角； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离为． 则旗杆的高度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点F，则四边形为矩形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】过点作于点F， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握三角函数的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 10. 已知正实数，，，，满足，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．根据比例的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴①，正确； ②，正确； ③，正确； ④当时，，正确 故选：D． 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 计算的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 比较大小：______（填：“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，零次幂的含义，掌握“”是解本题的关键． 先分别计算负整数指数幂，零次幂，再比较大小即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 今年是世界反法西斯战争胜利80周年，也是中国人民抗日战争胜利80周年，某校对学生进行抗战历史知识问卷调查，在该校某年级1000名学生中，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有190名学生熟知这段历史．由此，估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，用该校全体学生人数乘以样本中熟知抗日战争的学生所占的比例求解即可． 【详解】解：估计该年级的学生中熟知抗日战争的学生有名 故答案为：． 14. 如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得出矩形的面积为，进而即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积为 故答案为：． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接DE，交AC于点P，连接BD，由正方形的性质及对称的性质可得DE即为所求，然后运用勾股定理在RT△CDE中求解即可. 【详解】解：连接DE，交AC于点P，连接BD． ∵点B与点D关于AC对称， ∴DE的长即为PE+PB的最小值， ∵AB＝8，E是BC的中点， ∴CE＝4， 在Rt△CDE中， DE＝． 故答案为． 【点睛】正方形的性质、对称的性质及勾股定理是本题的考点，根据题意作出辅助线并确定DE即为所求是解题的关键. 16. 如图，在中，，，，，点是的中点，、相交于，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，，作交于点，则，得出，证明得出，证明得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵中，，， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积为 故答案为：四边形的面积为． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，化简绝对值，乘方运算，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键．先计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，乘方运算，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19. 如图，四边形是平行四边形，E，F分别是边，上的点，．证明． 【答案】 方法一 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 方法二 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴．即． ∴． ∴． 【解析】 【分析】方法一：证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；方法二：证明，利用全等三角形的性质即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及其判定方法，熟练运用平行四边形的性质及判定方法是解决问题的关键． 20. 福建省拥有丰富的红色文化资源，某校组织七年级学生开展“红色文化”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择： A．古田会议（龙岩市上杭县）； B．闽西革命历史纪念馆（龙岩市）； C．东山战斗纪念馆（漳州市东山县）． 小悦和小钢两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路，且每人只能选择一条线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小悦先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小钢再从中随机抽取一张卡片． （1）求小悦从中随机抽到卡片A的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到同一张卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，正确带入公式计算是解题的关键． （1）本题考查了等可能时间的概率，代入公式即可求解； （2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再代入公式计算即可． 【小问1详解】 解：小悦从3张不透明的卡片中随机抽到卡片A的概率为 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有种等可能结果，其中两人都抽到同一张卡片的结果数有3种， 所以，两人都抽到同一张卡片的概率为． 21. 如图，是半圆的圆心，直径． （1）分别在半圆上的取点和点，顺次连接各点，构成以，，，为顶点的菱形，请用直尺和圆规求作符合要求的菱形； （2）求（1）中菱形的面积． 【答案】（1） 如图，菱形为所求： （2）菱形的面积的面积为 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定等相关知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心，长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． （2）连接，则，过点作于点，得出是等边三角形，进而求得的长，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点； ②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点； ③连接，，，从而得到菱形 【小问2详解】 连接，则，过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴；． 22. 百合花是南平市花．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进黄色和粉色两种百合．其中粉色百合一盆的价格比黄色百合一盆的价格少20元，用1200元购进的黄色百合的盆数和用900元购进的粉色百合的盆数相等． （1）求黄色百合和粉色百合一盆的价格分别是多少； （2）该校计划用800元购买黄色百合和粉色百合，且两种百合都必须购买，请问恰好用完800元的购买方案有哪几种？ 【答案】（1）黄色百合一盆的价格是80元，则粉色百合一盆的价格是元． （2）共有三种购买方案，分别是：①黄色百合购买1盆，粉色百合购买12盆；②黄色百合购买4盆，粉色百合购买8盆；③黄色百合购买7盆，粉色百合购买4盆． 【解析】 【分析】（1）黄色百合一盆的价格是元，则粉色百合一盆的价格是元，根据数量=总价÷单价结合1200元购进的黄色百合的盆数和用900元购进的粉色百合的盆数相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论； （2）设恰好用完800元可购买黄色百合买盆，粉色百合买盆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m、n的二元一次方程，根据m、n均为正整数，即可找出不同购买方案． 【小问1详解】 解：设黄色百合一盆的价格是元，则粉色百合一盆的价格是元， 依题意，得，解得，， 经检验，为原分式方程的解， 所以，． 答：黄色百合一盆的价格是80元，则粉色百合一盆的价格是元． 【小问2详解】 解：设黄色百合买盆，粉色百合买盆，依题意，得，即， 因为，为正整数，所以符合条件的解为 ，，． 答：共有三种购买方案，分别是： ①黄色百合购买1盆，粉色百合购买12盆； ②黄色百合购买4盆，粉色百合购买8盆； ③黄色百合购买7盆，粉色百合购买4盆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×数量，列出关于m、n的二元一次方程． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，点为二次函数在第四象限的动点．连接、相交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当存在最大值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）D的坐标为 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴，交于，则，得出直线的解析式为：，设，得出，进而得出关于的关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将，，代入，得： ， 解得，， ∴二次函数的解析式为 【小问2详解】 解：过点作轴，交于 ， . 由，， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为：， 设， 把代入， 得 ， 又， ， ∴当时，的最大值为， ∴D的坐标为 24. 【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【答案】（1）①；②； （2）解：，理由如下 依题意，得 ∴ ∴ （3）①两种不同的设计图如下 ② 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，几何体的展开与折叠； （1）①根据题意得底面是正方形，得到边长为，根据面积公式列出代数式即可；②先表示出底面长方形的宽，再根据周长的公式列出代数式即可； （2）依题意，得到，，再求出比值即可； （3）根据两种不同的设计图分别求出长方形纸板的面积，进行比较即可求出． 【详解】（1）①底面是正方形，边长为， ∴面积为：； ②底面长方形的宽为： 底面周长为：． （2）略； （3）①略； ②图3中长方形纸板的面积为： 图4中长方形纸板的面积为： ∵ ∴厂方采购的长方形纸板的最小面积． 25. 如图（1），四边形为矩形，，，点在对角线上，点，分别在边和上，，． （1）求的值； （2）将四边形绕着点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点， ①求的值； ②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据解析的性质以及,得出，，，根据得出，根据即可求解． （2）①由（1）得出，进而证明，，根据相似三角形的性质即可求解； ②令和的交点为，和的交点为，由（）①，可得：，得出四边形存在共圆，令共圆为，由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积，在中，在中，分别求得，，进而求得，即可得出的最大面积． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴ 又，则， ∴，，， ∴，即有 ∵， ∴ ∵，，， ∴ 【小问2详解】 ①由（1）得， ∴ 依题意可得：， ，， ，即有 ， ， ②如图，令和的交点为， 如图由（）①， ∴ 在四边形中， 四边形存在共圆，令共圆为 由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积， 在中，，， 在中，，， ， 的最大面积为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $