精品解析：安徽省 六安市清水河学校2023-2024学年上学期期末质量检测九年级-数学试题　

2023—2024学年度九年级秋学期期末质量检测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 3. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，那么的长等于 ( ) A. 1 B. 9 C. D. 6. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数和的图象于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 8. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线过两点，点到抛物线对称轴的距离记为，满足，则实数的取值范围是（　　） A. 2 B. 或 C. 3 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若一个圆的内接多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______． 12. 将放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则的值为 ____________________． 13. 若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为_______． 14. 如图，是的直径，点，在上，且在两侧，于点交线段于点，，． （1）______； （2）若，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD． 求证：OD＝CD． 18. 在二次函数中． （1）若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； （2）若点在该函数图象上，令，求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一座古塔坐落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，） 20. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． （2）通过计算判断此球能否过网． （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 八、（本题满分14分） 23. 如图，是的直径，在上，且，过点C作，交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度九年级秋学期期末质量检测 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 2. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 3. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 与的周长之比是， ， ， ， ． ∴的值为． 故选：C． 4. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知该函数在第二、第四象限，则在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴ 故选D． 5. 在中，已知，，，那么的长等于 ( ) A. 1 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，表示出的正切即可解决问题． 【详解】解：在中， ， 又因为，， 所以， 解得． 故选：A． 6. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程方程的关系、判断点所在象限等知识点，根据二次函数的图象判断出的符号是解题的关键． 先根据二次函数的图象及性质判断a、b、c的符号，进而确定的正负；再根据抛物线与x轴有两个交点，则，进而确定点所在的象限． 【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴，即； ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴点在第一象限． 故选A． 7. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数和的图象于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，，故； 将代入得出，，故； ∴， ∴的面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知条件得出的值解此题的关键． 8. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，由圆周角定理得到为圆O的直径，勾股定理得到米，则圆的半径米，由中位线定理得到米，即可得到改造后门洞的最大高度米． 【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D， ∴点O为线段的中点，， ∴为圆O的直径， ∵宽为米，高为2米， ∴（米）， ∴圆的半径（米）， ∵， ∴点D为的中点， 又∵点O为线段的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， 则改造后门洞的最大高度（米）； 故选：A． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、中位线定理、矩形的性质等知识，求出圆的半径是解题的关键． 9. 如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 10. 抛物线过两点，点到抛物线对称轴的距离记为，满足，则实数的取值范围是（　　） A. 2 B. 或 C. 3 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式， 将代入抛物线中得，根据，且点到抛物线对称轴的距离记为，满足可得进而得出或，然后将代入中，得可得，接下来得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：将代入抛物线中， 得， 即． 对称轴，且点到抛物线对称轴的距离记为，满足 或． 将代入中，得 ， 即， 或 或． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若一个圆的内接多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______． 【答案】八##8 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据圆内接正多边形的中心角为求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵圆内接正多边形的中心角是， ∴这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形是正八边形， 故答案为：八． 12. 将放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则的值为 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，再根据45度角的正弦值为即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点可知， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为， ∴顶点到x轴的距离为2， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，是的直径，点，在上，且在两侧，于点交线段于点，，． （1）______； （2）若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查直径所对圆周角为直角、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质， （1）根据题意得和，设，则可用x表示出，和，进一步证得，得到，求得即可； （2）连接，可证得，则有，可求得x，即可求得． 【详解】解：（1）是直径， ， 在中，，． 设，则， ， ， ， ， ， 又∵， ， ，即， ， ； （2）如图，连接， 是直径， ， 又∵， ， ， ， ， ，解得，（舍去）， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】 ， ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称及旋转的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于原点对称的对称点，进而可作图； （2）根据旋转的性质得出点A、B、C的对应点，进而问题可求解 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：所作如图所示； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD． 求证：OD＝CD． 【答案】 证明：如图，连接OC， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB， ∠DCO=∠BCD+∠OCB， ∴∠COD=∠DCO， ∴△DCO是等腰三角形， ∴OD=CD． 【解析】 【分析】连接OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，然后证明∠COD=∠DCO，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆周角定理得到∠COD=∠DCO． 18. 在二次函数中． （1）若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； （2）若点在该函数图象上，令，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一座古塔坐落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】小李到古塔的水平距离即的长约为21米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，由题意得四边形是矩形，故，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 由题意得：（米），（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 答：小李到古塔的水平距离即的长约为21米． 20. 如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得 ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为： 【小问2详解】 由（1）得，一次函数的解析式为， 令，则； 令，则，， ， ，， ， ， 设点 ，解得， 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． （2）通过计算判断此球能否过网． （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 【答案】（1）y= （2）能 （3）2米 【解析】 【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为，用待定系数法即可求得； （2）将代入所求解析式中，求出的值与比较大小即可判断出结果； （3）把代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案． 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为， 设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ； ∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 【小问2详解】 解：在中， 令得 ， ∴此球能过网； 【小问3详解】 解：在中， 令得： 解得（舍去）或， （米）， ∴乙与球网的水平距离为2米． 八、（本题满分14分） 23. 如图，是的直径，在上，且，过点C作，交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是半径， 是的切线； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）证明得，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）证明得，可得，进而可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ，即， 解得． 在中，； 【小问3详解】 是的切线， ， 是直径， ， ， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，院内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $