专题07 旋转综合压轴训练-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题07 旋转综合压轴训练 一、解答题 1．综合与探究：在中， ，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边、分别与边、交于点M、N． (1)如图1，在三角板旋转的过程中，当点A与点M重合时， ①判断的形状，并说明理由； ②求线段的长． (2)如图2，在三角板旋转的过程中，线段、、之间存在着一定的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系． 2．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程； 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用 如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升 如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 3．综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 4．当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 5．在中，． (1)特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：； (2)探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度． 6．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； 7．如图，在等边中，点分别为边上的点，且． (1)连接．求证：； (2)将线段绕点顺时针旋转至，连接交于点，求证：． 8．如图1，在中，，，点D在边（端点除外）上，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到对应线段，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，，交于点G． ①求证：； ②连接，若，，直接写出的长． 9．问题背景：如图1，设P是等边内一点，，，，求的度数．小君研究这个问题的思路是：将绕点A逆时针旋转得到，易证：是等边三角形，是直角三角形，所以． 简单应用： (1)如图2，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，则_______°． (2)如图3，在等边中，P为内一点，且，，，求长． (3)拓展延伸：若图4中的等腰直角，与，，在的同侧，若，，求的长度． 10．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点. (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系. 11．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 12．【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 13．（1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 14．如图，等腰和等腰，，，． (1)如图1，，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点、在线段上，，，求证：； (3)如图3，，连接和，若，，，直接写出的长为 ． 15．（1）如图1，等边内有一点P，若，求的大小；（提示：将绕顶点A旋转到处）． （2）如图2，已知在中，，，F为BC上的点，且；求证：． （3）如图3，点分别为三处村庄，在点O处有一个加油站：已知，经测量，，求加油站到三个村庄距离之和最小值（即的最小值）． 16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，并取的中点，连接，，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：，，三点在同一直线上． 17．如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 ；线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 18．（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 19．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 20．探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，． (1)①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______； ②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长． 21．【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 22．如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 23．探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【初识问题】 （1）如图1，在中，，，P是边上的一动点（点P不与点B，C重合），，，连接，则与的数量关系是__________，的度数是__________． 【探究问题】 （2）在中，，，M是的中点，P是边上的一动点（点P不与点B，C，M重合）．若将线段绕点P顺时针旋转，点A的对应点为E，连接． ①如图2，若点P在线段上，过点P作，交的延长线于点F，求的度数． ②如图3，若点P在线段上，请直接写出线段之间的数量关系． 24．如图，中，，，点、分别在、上，且． (1)直接写出和的数量关系； (2)将△绕点逆时针旋转，连接、，如图，第（）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，连接，若，，，求的度数及点到的距离． 25．等腰中，，．      (1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长； (2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，将线段以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到等腰，当，时，求的长． 26．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 27．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      28．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______； (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由． 29．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． (1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点B与点E重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，连接，如图2．根据以上操作，则_____． (2)迁移探究 将图2中的绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边于点I，J，连接， 如图3．探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 连接正方形对角线，若图3中的的边分别交对角线于点K，R，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，请直接写出的长． 30．（1）问题背景 如图1：在四边形中，，，．E，F 分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结．先证明；再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 请你帮他完成证明过程． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以50海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离_______． 31．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1：连，求证：； (2)如图1：求证：； (3)若将绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段与交点为H，若，求出线段的长． 32．如图1，是边长为的等边三角形，边在直线上，点是直线上一动点，当点不与点重合时，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当点在直线上运动时，若，求的长 (3)如图2，当点在射线上运动时，点是的中点，问是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 33．【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接．求证：线段之间的数量关系并证明． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，中，，，点D，E均在边上，且，若，，求的长． （4）如图4，在四边形中，（），，，E是边上一点，当，时，求的长度为多少？ 34．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 35．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接，若，求的长． （1）该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∴　　， ∴， ∴　， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴　　． 【尝试应用】 （2）如图4，在中，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】 （3）如图5，在中，，以为边向外作等腰，连接，则的最大值为 ． 36．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； (2)基本运用： 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知，如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升： 如图③，在中，，，，点为内一点，连接、、，且，直接写出的值． 37．通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． (3)联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 38．在中，，D为上一点，连接，将绕C点逆时针旋转至，连接，过C作交于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 39．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 40．如图1，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点D放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），点C在上点B在上． (1)求重叠部分的面积； (2)如图2，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转30度，交于点M，交于点N， ①请说明； ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由； (3)如图3，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转α度（），交于点M，交于点N，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 旋转综合压轴训练 一、解答题 1．综合与探究：在中， ，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边、分别与边、交于点M、N． (1)如图1，在三角板旋转的过程中，当点A与点M重合时， ①判断的形状，并说明理由； ②求线段的长． (2)如图2，在三角板旋转的过程中，线段、、之间存在着一定的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)①为等边三角形，见解析；② (2) 【分析】（1）①，则，而点D是的中点，则，即可求解； ②由①知，，，则，即可求解； （2）证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：①为等边三角形，理由： ∵，则， ∵点D是的中点，则， 故为等边三角形； ②作于点H， 由①知，，， ∴， ∴， 设，则，则， ∴， ∴； （2），理由： 延长至T使，连接、， ∵，， ∴， ∴，，， ∵中，， ∴，即， ∴ ， 即． 【点睛】本题为几何变换综合题，涉及到图形的旋转、三角形全等、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程； 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用 如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升 如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 【答案】（1），见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G，先求出，，由旋转得，，则，均为等边三角形，可得，，，则，故，当点共线时，取得最小值，即为，可求，，则，在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）解：将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G， 在中，， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴，均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，即为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形进行边之间的转化． 3．综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转的性质及勾股定理证明，再证明，求得，最后利用勾股定理求出结论； （2）类似于（1），证明，，，即可得到结论； （3）过点作交延长线于点，分别求出，的长，即可利用三角形的面积公式求得答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 由题意，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 如图②，把绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即， ， ，， ， ， 在中，， 即； （3）是等边三角形， ，， 由旋转可知，， ， ，， ，， ，， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 4．当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要利用旋转和全等三角形的性质来解决线段之间的数量关系，通过旋转将分散的角和线段转换为可以利用全等三角形性质的图形，从而找到线段之间的关系． （1）根据旋转的性质，绕点D逆时针旋转得到，因此．由于，旋转后也等于，根据全等条件，，从而得出． （2）在上取一点G，使得，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，设，根据勾股定理再中解方程得出 （3）在上截图，通过条件证明，得出，再通过条件证明，得出，根据线段关系得出的周长为． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）如图 在上取一点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上截取， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的周长． 5．在中，． (1)特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：； (2)探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（）根据等边对等角和平行的性质得，即得，即可求证； （）证明即可求证； （）把线段绕点逆时针旋转至，连接，由等腰直角三角形的性质得，再证明，得到，，，进而可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，证明如下： 由旋转可知，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，把线段绕点逆时针旋转至，连接， 则，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； 【答案】(1)，见详解 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由如下． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． 7．如图，在等边中，点分别为边上的点，且． (1)连接．求证：； (2)将线段绕点顺时针旋转至，连接交于点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由等边三角形得到，，然后证明出，得到； （2）首先求出，由旋转的性质可得，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在等边中， ∴， 又∵ ∴ ∴； （2）证明：设交于T 由（1）可知， ∴， ∵ ∴ ∴ 由旋转的性质可得， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 8．如图1，在中，，，点D在边（端点除外）上，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到对应线段，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，，交于点G． ①求证：； ②连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明即可得证； （2）①由(1)中，可得，推出，求出，在上截取，连接，则为等边三角形，得出，，证明，得出，即可得证；②先证明垂直平分，得出，设，求出，，再结合，列方程计算即可得解． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由(1)中，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ ； 在上截取，连接， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于，连接， ， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．问题背景：如图1，设P是等边内一点，，，，求的度数．小君研究这个问题的思路是：将绕点A逆时针旋转得到，易证：是等边三角形，是直角三角形，所以． 简单应用： (1)如图2，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，则_______°． (2)如图3，在等边中，P为内一点，且，，，求长． (3)拓展延伸：若图4中的等腰直角，与，，在的同侧，若，，求的长度． 【答案】(1)135 (2)13 (3) 【分析】（1）先利用旋转得出，， ，再根据勾股定理得出，最后用勾股定理的逆定理得出是以为斜边的直角三角形，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论； （3）先利用旋转得出，，，，再判断出点在的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图2，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 根据旋转可知：，， ， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：135； （2）解：如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 根据旋转可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ， ∴； （3）解：如图4，连接，将绕点B顺时针旋转得到，与的交点记作G， 根据旋转可知：，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键． 10．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点. (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系. 【答案】(1)见解析 (2)当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，，证明见解析 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点，使，连接并延长到点使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点使，同理证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）证明：如图，在边上截取，连接， 在中，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （2）解：图②：当点在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点，使，连接并延长到点使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点在线段的延长线上时，，证明如下： 如图③所示，在上取点使， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质等，添加辅助线构建全等三角形和等边三角形是解题的关键． 11．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 12．【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）10或26． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．    ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ．   （3）如解图2，延长到点，使，连接． ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ， ．    如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 13．（1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为km 【分析】（1）①根据旋转的性质，三角形全等的判定解答即可； ②根据前面的证明，证明，利用勾股定理解答即可． （2）仿照（1）的思路，利用旋转思想，直角三角形的判定和性质，勾股定理，解方程解答即可． 【详解】解：（1）①证明：由旋转的性质，得 ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 在和中， ∴. ②由（1）可知，， ∴. ∵，， ∴. 由旋转的性质，得， ∴. 在中，由勾股定理，得， ∴. （2）如图3，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，. ∵，， ∴， 过点A作于点M， 则， ∴ ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 设. 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为km. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键. 14．如图，等腰和等腰，，，． (1)如图1，，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点、在线段上，，，求证：； (3)如图3，，连接和，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理求出，证明，得出； （2）根据等腰三角形的性质求出，将绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，求出，证明，得出，证明为等边三角形，得出，即可求出结果； （3）根据勾股定理得出，，连接，交于点，根据，得出，证明，根据勾股定理得出，，，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ，， ， ， 根据勾股定理得：， ， ， 即， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 则，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； （3）解：，，， ，，， ，， ， 连接，交于点，如图所示： 则与解析（1）同理可证， ， ， ， ，， ，， ， ， （负值舍去）． 15．（1）如图1，等边内有一点P，若，求的大小；（提示：将绕顶点A旋转到处）． （2）如图2，已知在中，，，F为BC上的点，且；求证：． （3）如图3，点分别为三处村庄，在点O处有一个加油站：已知，经测量，，求加油站到三个村庄距离之和最小值（即的最小值）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据将绕着点A逆时针旋转得到，据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到结论； （2）把绕着点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是证明，然后求出C、O、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到． 【详解】解：（1）如图，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴， ∴、、， 由题意知旋转角， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，把绕着点A逆时针旋转得到， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针方向旋转得如图所示； ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴C、O、、四点共线， 在中，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，利用旋转构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键． 16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，并取的中点，连接，，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：，，三点在同一直线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，于是得到； （2）由题意知，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到结论； （3）设，交于，根据三角形的内角和定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质知， ； （2）证明：由题意知， ，F是的中点， ， ， ， ； （3）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， 设，交于M， ， ， ， ， ， F，C，E三点在同一直线上． 17．如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 ；线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）先判定三角形，都是等边三角形，再证明，得到，，根据等边三角形的性质，结合，等量代换即可得证． （2）类比（1）的证明方法解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形； ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴是等边三角形； ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴; （2）解：关系是：，理由如下： ∵，， ∴是等腰三角形； ∴，； ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴是等腰直角三角形； ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的应用，等量代换的思想，等式的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 18．（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形， ，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形， ， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 19．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，，，， 为等边三角形， ， 即， ， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：在中，，，， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 20．探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，． (1)①如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______； ②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (2)拓展：如图3，在中，，，点、均在边边上，且，若，求的长． 【答案】(1)①；②成立，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案；②结合①中证明过程即可求解； （2）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】（1）解：①，理由如下， 如图1， 把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ， ； ②成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与①同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 21．【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转性质得，，，，，则可求得，是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，，，， 为等边三角形 ， 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， ， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）如图３，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，，， ，是等边三角形， ，， ∵， 、、、四点共线， 过作交延长线于H，则， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 22．如图1，绕点逆时针旋转得到，，直线与，分别相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，求得，而，由旋转得，则，所以，则； （2）由旋转得，，，，则，所以，即可根据证明； （3）由旋转得，，，则，，，所以，而，所以，则，因为，所以，所以，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）证明：由旋转得，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由旋转得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 23．探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【初识问题】 （1）如图1，在中，，，P是边上的一动点（点P不与点B，C重合），，，连接，则与的数量关系是__________，的度数是__________． 【探究问题】 （2）在中，，，M是的中点，P是边上的一动点（点P不与点B，C，M重合）．若将线段绕点P顺时针旋转，点A的对应点为E，连接． ①如图2，若点P在线段上，过点P作，交的延长线于点F，求的度数． ②如图3，若点P在线段上，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）等角对等边，得到，进而推出为等腰直角三角形，证明，即可得出结果； （2）①旋转得到，证明为等腰直角三角形，得到，证明，得到，根据角的和差关系进行求解即可；②过点作，交于点，证明为等腰直角三角形，得到，证明，推出，根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵线段绕点P顺时针旋转， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 24．如图，中，，，点、分别在、上，且． (1)直接写出和的数量关系； (2)将△绕点逆时针旋转，连接、，如图，第（）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，连接，若，，，求的度数及点到的距离． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)的度数为，点到的距离为 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得，由平行线的性质得，则，最后由线段和差即可求解； （）由旋转性质可知，证明即可； （）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，则，，由旋转性质可知，又，，即把绕点逆时针旋转可得到，则，由勾股定理逆定理证明为直角三角形，，则，由勾股定理求出，通过得出，又，则，设点到的距离为，求出的值即可； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由， 由（）得：， ∵将△绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵绕点逆时针旋转， ∴， 又∵，， ∴把绕点逆时针旋转可得到， ∴， 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作于，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点到的距离为， 则， 解得， ∴的度数为，点到的距离为． 25．等腰中，，．      (1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长； (2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，将线段以点A为旋转中心，顺时针旋转后得到等腰，当，时，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，旋转的性质等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． （1）①利用全等三角形的判定定理即可求证； ②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，可证是直角三角形，，进而求解． 【详解】（1）证明：如图1中，   由旋转可知，， ，， ，， ， ， 在和中， ， ． 解：如图1中，设，则． ，， ， ， ， ， ， 在中，∵，， ∴，解得， ∴． （2）解：当点在线段上时，如图2中所示，连接，    ∵， ∴， ， ， ， ， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接，    ∵，， ∴， 同法可证是直角三角形，， ， ， ． 综上所述，的长为或． 26．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）的度数不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）以为边在的外部作等边三角形，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，过E作交的延长线于F，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：的度数不变， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边在的外部作等边三角形， ∴，， 由（2）知，， ∴， 过E作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．明确题意，添加合适的辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 27．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 28．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______； (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) ，理由见解析 (3)存在，的最小值为，的最大值为． 【分析】本题主要考查了等边三角形性质、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质，旋转的性质等知识点，握全等三角形判定定理是解题的关键掌． （1）①由和均为等边三角形，可得，故，即得，有，故；②由即得； （2）证明可得，故，而，即得； （3）证明得，可证点D在以点A为圆心，4为半径的圆上，当D在线段上时，有最小值，求出，即可得的最小值为；当A在线段上时，的最大值为． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①知， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点P到点B的距离是4， ∴， ∴点D在以点A为圆心，4为半径的圆上， 如图：当D在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴此时，即的最小值为； 如图：当A在线段上时，最大， 此时，即的最大值为． 29．综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． (1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点B与点E重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，连接，如图2．根据以上操作，则_____． (2)迁移探究 将图2中的绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边于点I，J，连接， 如图3．探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 连接正方形对角线，若图3中的的边分别交对角线于点K，R，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，请直接写出的长． 【答案】(1)45 (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用旋转的知识作全等三角形是解题关键． （1）根据折叠的性质得到  ， ，即可推算出，结合，即可求得答案； （2）将顺时针旋转得到，证明，从而证明，得到，结合旋转的性质即可得到答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，证明，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得  ， ， ∴ ， 答案为：45． （2）解：． 理由：如图，将顺时针旋转得到， 由旋转的性质可得． ∵四边形为正方形， ∴． 由（1）中结论可得， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 根据旋转的性质可得，． 由（2）中的结论得到：， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 30．（1）问题背景 如图1：在四边形中，，，．E，F 分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结．先证明；再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 请你帮他完成证明过程． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以50海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离_______． 【答案】（1），证明见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）180海里 【分析】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． （1）问题背景：延长到点，使，连接，证明，得到，证明，得到答案； （2）探索延伸：连接，延长，相交于点，利用全等三角形的性质证明． （3）实际应用：如图3，连接，延长，相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【详解】解：（1）问题背景：由题意：，， ，， ． 故答案为：； （2）探索延伸：仍然成立． 理由：如图2，延长到点，使，连接 ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又， ； （3）实际应用：如图3，连接，延长，相交于点， 在四边形中， ，， 又，，符合探索延伸中的条件， 结论成立． 即，（海里） 此时两舰艇之间的距离为180海里． 故答案为：180海里． 31．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1：连，求证：； (2)如图1：求证：； (3)若将绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段与交点为H，若，求出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，，，得到，即得； （2）设直线与直线交于点C，根据，得到，根据三角形外角性质得到，即得； （3）根据等腰直角三角形性质得到，根据，，点A，M，N恰好在同一条直线上，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【详解】（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 即， ∴； （2）设直线与直线交于点C， 由（1）知，， ∴， ∴ ， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）知，， ∵，点A，M，N恰好在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，旋转性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 32．如图1，是边长为的等边三角形，边在直线上，点是直线上一动点，当点不与点重合时，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当点在直线上运动时，若，求的长 (3)如图2，当点在射线上运动时，点是的中点，问是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5或9 (3)有最小值，最小值为 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，结合“有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形”，即可证明是等边三角形； （2）过点作于点，根据等边三角形的性质以及勾股定理，求得， ．分两种情况讨论：当点位于点左侧时和当点位于点右侧时，在中，利用勾股定理解得 ，即可获得答案； （3）在上取点，使得，首先证明点的运动轨迹在的平分线上，再证明，易得，可知当点三点共线时，取最小值，即取最小值，此时在中，求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：过点作于点， ∵为等边三角形，且边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∴在中， ， ①当点位于点左侧时，如下图， ∵ ， ∴在中， ， ∴ ， 由（1）可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②当点位于点右侧时，如下图， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为5或9； （3）如下图，在上取点，使得， ∵点是的中点， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， 即点的运动轨迹在的平分线上， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时，在中，，， ∴， ∴有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 33．【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接．求证：线段之间的数量关系并证明． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，中，，，点D，E均在边上，且，若，，求的长． （4）如图4，在四边形中，（），，，E是边上一点，当，时，求的长度为多少？ 【答案】（1）（2）成立，理由见解析（3）（4）5 【分析】（1）证明，得到，再证明，可得，即可得出结论； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）将绕点旋转得到，证明，为直角三角形，得到，勾股定理求出的长，即可； （4）过点C作交的延长线于点G，利用勾股定理求得的长． 【详解】解：（1）证明：将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴G，D，F，三点共线； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由如下： 如图2，延长到点G．使．连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕点旋转得到，连接，则：， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）如图3，过点C作，交的延长线于点G， 由（2）可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，综合性强属于压轴题，熟练掌握半角模型，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 34．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 【答案】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：5； 理解应用：解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 35．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边是外一点，连接，若，求的长． （1）该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∴　　， ∴， ∴　， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴　　． 【尝试应用】 （2）如图4，在中，，以为直角边，A为直角顶点作等腰直角，求的长． 【拓展创新】 （3）如图5，在中，，以为边向外作等腰，连接，则的最大值为 ． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】（1）根据所给思路，结合图形进行求证即可得； （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接，根据各角之间的数量关系可得，在与中，利用两次勾股定理求解即可得 （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接，由旋转的性质可得，，，利用等边对等角得出，，结合图形当A、B、F三点共线时，最大，此时 ，过点D作，得出， ，利用勾股定理可得，当取得最大值时，取得最大值，代入求解即可得． 【详解】解：（1）如图3所示，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得，连接BE，    ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； （3）以点D为旋转中心，将绕点D顺时针旋转，得，连接AF，    ∴，，， ∴， 当A、B、F三点共线时，最大， ∵，， ∴， 如图中，过点D作，且，    ∴， ， ∵ 化简得：，当取得最大值时，取得最大值， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 36．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； (2)基本运用： 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知，如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升： 如图③，在中，，，，点为内一点，连接、、，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据得到、、，进而证明为等边三角形，得到，，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可求出； （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，进而证明，得到，再证明，根据勾股定理得到，即可证明； （3）将绕点顺时针旋转至处，连接．先根据求出，，根据旋转性质得到 ，，，，， 进而证明是等边三角形，，，根据，从而证明、、、四点共线，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）解：， 、、， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，，，，， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，将绕点顺时针旋转至处，连接， 在中，，，， ， ， 绕点顺时针方向旋转，得到△， ，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在中，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等知识，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 37．通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． (3)联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)； (2) (3)，推理过程见详解； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与AD重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点、、共线， 则，，，， 即， 在和中， ， ． ； 故答案为：；； （2）类比引申 时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， 如图所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）联想拓展 猜想：． 理由如下：把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图所示： 则，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 38．在中，，D为上一点，连接，将绕C点逆时针旋转至，连接，过C作交于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）将绕C点逆时针旋转至可得是等腰直角三角形，再判定，即可证明结论； （2）如图：连接，根据是的垂直平分线可得，再根据中，，即可证明结论； （3）根据可得，设,则，再根据中，即可解得，进而得到的长即可． 【详解】（1）证明：绕C点逆时针旋转至可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）解：∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设,则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴． 39．在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论． 【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，    由旋转性质可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，    由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 40．如图1，已知中，，，把一块含角的三角板的直角顶点D放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），点C在上点B在上． (1)求重叠部分的面积； (2)如图2，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转30度，交于点M，交于点N， ①请说明； ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，若不发生变化，请说明理由； (3)如图3，将直角三角板绕D点按顺时针方向旋转α度（），交于点M，交于点N，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） 【答案】(1)的面积是 (2)①说明见解析；②在此条件下重叠部分的面积不发生变化，理由见解析 (3)的结论仍成立，重叠部分的面积不会变 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转性质，作出辅助线，是解决本题的关键． （1）判断重叠部分是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解； （2）①连接，先证得，，进而求出，即可得到；②利用①中的结论即可得出答案； （3）证明过程类似（2），根据（2）中的结论，可以直接写出． 【详解】（1）∵中，，， D是的中点，， ∴，， 则； （2）①连接， ∵中，，， ∴， ∵D是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②面积不变．理由： ∵， ∴， ∴; （3）的结论仍成立，，重叠部分的面积不变．理由： 连接， ∵中，，， ∴， ∵D是的中点，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$