期末解答题压轴分类汇编（十七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（苏科版2024）

期末解答题压轴分类汇编（十七大类型） 题型一：幂的乘方与积的乘方 题型二：同底数幂的除法 题型三：多项式乘多项式 题型四：完全平方公式 题型五：完全平方公式的几何背景 题型六：平方差公式 题型七：平方差公式的几何背景 题型八：二元一次方程组的解 题型九：解二元一次方程组 题型十：二元一次方程组的应用 题型十一：解一元一次不等式 题型十二：解一元一次不等式组 题型十三：．由实际问题抽象出一元一次不等式组 题型十四：一元一次不等式组的应用题型十五：线段垂直平分线的性质 题型十六：旋转的性质 题型十七：作图-旋转变换 题型一．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　 ，D（16）＝　 　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 2．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 3．在比较216和312的大小时，我们可以这样来处理： ∵216＝（24）4＝164，312＝（33）4＝274， 又∵16＜27，∴164＜274，即216＜312． 你能类似地比较下列各组数的大小吗？ （1）2100与375； （2）3555，4444与5333． 4．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2． （1）根据上述规定，填空：2※16＝　 　 ，　 　 ※36＝﹣2； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明； 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：5※7+5※9＝5※63； ②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝　 　 ※　 　 （结果化成最简形式）． 5．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较344、433、522的大小 （2）比较8131、2741、961的大小 （3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小 （4）比较312×510与310×512的大小 题型二．同底数幂的除法（共2小题） 6．已知，3m＝2，3n＝5，求 （1）33m+2n； （2）34m﹣3n． 7．已知：3a＝4，3b＝10，3c＝25． （1）求32a的值； （2）求3c+b﹣a的值； （3）试说明：2b＝a+c． 题型三．多项式乘多项式（共2小题） 8．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　 　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 9．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　 　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 题型四．完全平方公式（共4小题） 10．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　 　 ，DF＝　 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 11．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式共有 　 　 项，系数和为 　 　 ． （2）求（2a﹣1）5的展开式； （3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）； （4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为 　 　 ． 12．阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80 解决问题： （1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　 　 ； （2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　 　 平方单位． 13．原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值． 方法介绍： ①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0． 经验运用： （1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值． （2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值． 题型五．完全平方公式的几何背景（共6小题） 14．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是　 　 ． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝　 　 ； 【方法2】S阴影＝　 　 ； （3）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值． 15．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　 　 ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 16．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求： ①a+b的值； ②a4﹣b4的值． 17．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 18．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 　 ； 图2表示：　 　 ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值； ②请直接写出下列问题答案： 若2m+3n＝5，mn＝1，则6n﹣4m 　 　 ； 若（7﹣m）（5﹣m）＝9，则（7﹣m）2+（5﹣m）2＝ 　 　 ． （3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值） 19．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n． （1）用含m、n的代数式表示切痕的总长为　 　 厘米； （2）若每块小矩形的面积为48厘米2，四个正方形的面积和为200厘米2，试求（m+n）2的值． 题型六．平方差公式（共1小题） 20．阅读下面的材料并填空： ，反过来，得； ②，反过来，得　 　 ×　 　 ； ③，反过来，得　 　 ． 利用上面材料中的方法和结论计算下题： ． 题型七．平方差公式的几何背景（共3小题） 21．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　 　 （写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　 　 （写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　 　 ． （4）利用所得公式计算：2（1）（1）（1）（1）． 22．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝　 　 ，S2＝　 　 （只需表示，不必化简）； （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式　 　 ； （3）运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014． 23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　 ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）． 题型八．二元一次方程组的解（共2小题） 24．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为．乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么； （2）求出原方程组的正确解． 25．【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求x的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解． 题型九．解二元一次方程组（共1小题） 26．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的， 即PQ∥MN，且∠BAN＝45． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 题型十．二元一次方程组的应用（共14小题） 27．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分 b 超过350千瓦时的部分 a+0.3 （1）若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值； （2）实行“阶梯电价”收费以后，该户居民用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？ 28．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高 　 　 cm，放入一个大球水面升高 　 　 cm； （2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？ 29．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为40cm×10cm． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 　 　 块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板 　 　 块和座板 　 　 块． 方案二：裁切靠背板 　 　 块和座板 　 　 块． 方案三：裁切靠背板 　 　 块和座板 　 　 块． 【任务二】确定搭配数量 （3） 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 30．【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量． 【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程x＝ 　 　 ”． 小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y少1，可以表示为 　 　 辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为 　 　 ，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”． 【问题解决】 （1）请按顺序写出小聪和小明分析的结论：　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解； （3）若45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．若租用同一种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量即可． 31．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　 张，正方形铁片 　 　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 32．某公园的门票价格如下表： 购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 33．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 34．《广州市公共交通票价优惠调整方案》于2023年9月1日正式实施，现有基础票价不变，普通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过80元没有优惠，超过80元不超过200元部分享受8折优惠，超出200元部分享受5折优惠． 以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价4元．若他在本月此前已经累计支出了120元，那么他此次需要支付3.2元，若他在本月此前已经累计支出了210元，那么他此次只需要支付2元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通． （1）甲每次的基础票价都是2元，已知甲在今年2月乘坐地铁共36次，上半月比下半月少花28元，设甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次，列方程组解应用题，求甲在2月上半月乘坐地铁的次数； （2）乙每次的基础票价都是10元，已知乙在今年2月和3月乘坐地铁共47次，2月比3月少花70元，设乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次，回答下列问题： ①在不求出m、n的具体数值的情况下，分析乙在2月和3月分别享受了哪些优惠？ ②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在3月乘坐地铁总共花费了多少钱？ 35．在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B，C三种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． （1）求A产品和B产品的单价； （2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件A产品，赠送2件C产品．某客户欲购买A，B，C三种产品共50件，并要求B产品的件数是A产品的1.5倍，A产品至少10件．企业赠送的C产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分C产品，若C产品单价为100元，求客户支付的总金额． 36．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克． 37．如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 38．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 39．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 1﹣50 51﹣100 100以上 每人门票价/元 12 10 8 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于50人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付588元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元． （1）两个班各有多少人？ （2）小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于100元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过300元，其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费377.3元，其中小明的付款费小于100元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款366.8元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买A、B、C三种商品，他们若购买A商品3件、B商品7件、C商品1件共需24元；若购买A商品4件、B商品10件、C商品1件共需33元，则他们购买A、B、C各一件共需要多少元？ 40．宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． （1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值； （2）当销售总收入为16760元时， ①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮； ②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值． 题型十一．解一元一次不等式（共2小题） 41．【情境呈现】： 在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：令m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为． 【灵活运用】： （1）若方程组的解为，则方程组的解为 　 　 ； （2）若方程组的解为，其中k为常数． ①求方程组的解： ②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x＞y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 42．数学乐园：解二元一次方程组，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x＝c1b2﹣c2b1， 当a1b2﹣a2b1≠0时，x，同理：y； 符号称之为二阶行列式，规定：ad﹣bc， 设D，Dx，Dy，那么方程组的解就是 （1）求二阶行列式的值； （2）解不等式：2； （3）用二阶行列式解方程组； （4）若关于x、y的二元一次方程组无解，求m的值． 题型十二．解一元一次不等式组（共4小题） 43．【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 　 　 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 　 　 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　 　 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 　 　 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 　 　 ． 44．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组的关联方程是　 　 （填序号）． （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　 （写出一个即可） （3）若方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 45．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}，min{﹣1，2，a}． （1）请填空：max{c﹣1，c，c+1}＝　 　 ；若m＜0，n＞0，min{3m，（n+3）m，﹣mn}＝　 　 ； （2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围； （3）若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值． 46． 已知关于x，y的方程组满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值范围． 题型十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 47．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料均不超过2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题： 原料名称 饮料名称 甲 乙 A（瓶） 20克 40克 B（瓶） 30克 20克 （1）有几种符合题意的生产方法？写出解答过程； （2）如果A种饮料每瓶的成本为2元，B种饮料每瓶的成本为2.50元，试说明选择哪种方法成本最低，最低成本是多少？ 题型十四．一元一次不等式组的应用（共7小题） 48．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 49．“阅美湖湘，点亮成长”青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能 够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择，并计算出最省钱的购买方案． 50．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 51．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的服装，若购进A品牌服装5套，B品牌服装6套，需要950元：若购进A品牌服装3套，B品牌服装2套，需要450元． （1）求A，B两种品牌服装每套进价分别为多少元； （2）若销售1套A品牌服装可获利30元，销售1套B品牌的服装可获利20元，根据市场需求，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装数量的2倍还多4套，且B品牌服装最多可购进40套，这样服装全部售出后，可使总获利不少于1200元，问有几种进货方案？如何进货？ 52． 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？ 53．随着科技的飞跃，社会的进步，我们望谟县各个乡镇中学都安装了班班通，班班通是由一台电脑和电子白板构成，经过调查得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元； （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用低于40万元，但不低于38万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 54．湖南广益实验中学星沙校区将在今年8月份按时开学迎新，据报道该校区投资达6亿元人民币，现在进行紧张有序的施工阶段，届时将成为全国硬件设施最先进的中学校园之一，在之前的建设过程中，某渣土运输公司承担了星沙校区的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方36吨，5辆大型渣土运输车与7辆小型渣土运输车一次共运输土方87吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于156吨，且小型渣土运输车至少派出6辆，则有哪几种派车方案？ 题型十五．线段垂直平分线的性质（共1小题） 55．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 题型十六．旋转的性质（共4小题） 56．如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合 （1）旋转中心是点 　 　 ； （2）若∠ACB＝70°，旋转角是 　 　 度； （3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由． 57．已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点． （1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝　 　 ； （2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数． （3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值． 58．如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°． （1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数． （2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值． （3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值． 59．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　 ； （2）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； （3）如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 题型十七．作图-旋转变换（共1小题） 60．为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了A，B两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，AB⊥MN．连接AB，灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP后立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为t秒． 【初步应用】 ①当t＝40时，两条光线夹角（锐角）的度数为 　 　 ； ②当t＝70时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当0＜t＜30时，射线BD与射线AC所在直线交于点E，请画出图形并说明∠AEB＝2∠QAC． 【拓展探究】 当射线AC首次从AQ转至AP的过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD垂直，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末解答题压轴分类汇编（十七大类型） 题型一：幂的乘方与积的乘方 题型二：同底数幂的除法 题型三：多项式乘多项式 题型四：完全平方公式 题型五：完全平方公式的几何背景 题型六：平方差公式 题型七：平方差公式的几何背景 题型八：二元一次方程组的解 题型九：解二元一次方程组 题型十：二元一次方程组的应用 题型十一：解一元一次不等式 题型十二：解一元一次不等式组 题型十三：．由实际问题抽象出一元一次不等式组 题型十四：一元一次不等式组的应用题型十五：线段垂直平分线的性质 题型十六：旋转的性质 题型十七：作图-旋转变换 题型一．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 1．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）． （1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　1　 ，D（16）＝　4　 ． （2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p． 根据运算性质，计算： ①若D（a）＝1，求D（a3）； ②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）． 【答案】（1）D（2）＝1， D（16）＝4， （2）①D（a3）＝3， ②D（15）＝3a﹣b+c， ， D（108）＝6a﹣3b+2， 5a﹣3b﹣c﹣2， 【解答】解：（1）∵21＝2， ∴D（2）＝1， ∵24＝16， ∴D（16）＝4， 故答案为：1；4． （2）①∵21＝a， ∴a＝2． ∴23＝23． ∴D（a3）＝3． ②D（15）＝D（3×5）， ＝D（3）+D（5） ＝（2a﹣b）+（a+c） ＝3a﹣b+c， ＝（a+c）﹣（2a﹣b） ＝﹣a+b+c． D（108）＝D（3×3×3×2×2）， ＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2） ＝3×D（3）+2×D（2） ＝3×（2a﹣b）+2×1 ＝6a﹣3b+2． ， ＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2） ＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）] ＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）] ＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1] ＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2 ＝5a﹣3b﹣c﹣2， 2．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x． ∵36x＝312， ∴6x＝12， ∴x＝2． （2）∵x＝5m﹣3， ∴5m＝x+3， ∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣5． 3．在比较216和312的大小时，我们可以这样来处理： ∵216＝（24）4＝164，312＝（33）4＝274， 又∵16＜27，∴164＜274，即216＜312． 你能类似地比较下列各组数的大小吗？ （1）2100与375； （2）3555，4444与5333． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725， 又∵16＜27，∴1625＜2725，即2100＜375； （2）∵3555＝（35）111＝243111，4444＝（44）111＝256111， 5333＝（53）111＝125111， 又∵125＜243＜256， ∴125111＜243111＜256111， 即5333＜3555＜4444． 4．规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为32＝9，所以3※9＝2． （1）根据上述规定，填空：2※16＝　4　 ，　±　 ※36＝﹣2； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n※4n＝3※4，小明给出了如下的证明； 设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n， 所以3x＝4，即3※4＝x， 所以3n※4n＝3※4． 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：5※7+5※9＝5※63； ②猜想：（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n＝　（x﹣2）　 ※　[（y+1）（y﹣3）]　 （结果化成最简形式）． 【答案】（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]． 【解答】解：（1）∵2c＝16＝24， ∴2※16＝4， ∵a※36＝﹣2， ∴a﹣2＝36， ∴a﹣2＝（±6）2， ∴a＝±． （2）①∵设5※7＝x，5※9＝y， ∴5x＝7，5y＝9， ∴5x×5y＝7×9＝63， ∴5x+y＝63， ∴5※63＝x+y， 即5※7+5※9＝5※63； ②∵3n※4n＝3※4， ∴（x﹣2）n※（y+1）n+（x﹣2）n※（y﹣3）n ＝（x﹣2）※（y+1）+（x﹣2）※（y﹣3） ＝（x﹣2）※[（y+1）（y﹣3）]． 故答案为：（1）4，±；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]．；（2）①证明见解析；②（x﹣2），[（y+1）（y﹣3）]． 5．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较344、433、522的大小 （2）比较8131、2741、961的大小 （3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小 （4）比较312×510与310×512的大小 【答案】见试题解答内容 【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111， 433＝（43）11＝6411， 522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， 即344＞433＞522； （2）∵8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123， 961＝（32）61＝3122， ∵124＞123＞122， ∴3124＞3123＞3122， 即8131＞2741＞961； （3）∵a2＝2，b3＝3， ∴a6＝8，b6＝9， ∵8＜9， ∴a6＜b6， ∴a＜b； （4）∵312×510＝（3×5）10×32， 310×512＝（3×5）10×52， 又∵32＜52， ∴312×510＜310×512． 题型二．同底数幂的除法（共2小题） 6．已知，3m＝2，3n＝5，求 （1）33m+2n； （2）34m﹣3n． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵3m＝2，3n＝5， ∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200； （2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125． 7．已知：3a＝4，3b＝10，3c＝25． （1）求32a的值； （2）求3c+b﹣a的值； （3）试说明：2b＝a+c． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16； （2）3c+b﹣a＝3c•3b÷3a＝25×10÷4＝62.5； （3）∵32b＝（3b）2＝102＝100， 3a+c＝3a×3c＝4×25＝100， ∴32b＝3a+c， ∴2b＝a+c． 题型三．多项式乘多项式（共2小题） 8．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　 ． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　7　 个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b）， 由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 得ab＝6，a2+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+3b） ＝2a2+6ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：7； （3）∵ab＝6，a2+b2＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝5， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5+24 ＝29． 9．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　 ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）如图所示： 故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． 题型四．完全平方公式（共4小题） 10．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝　x﹣1　 ，DF＝　x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 11．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）5展开式共有 　6　 项，系数和为 　32　 ． （2）求（2a﹣1）5的展开式； （3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）； （4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为 　217﹣1　 ． 【答案】（1）6，32； （2）32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1； （3）1； （4）217﹣1． 【解答】解：（1）根据图表中的规律， 可得：（a+b）5展开式共有 6项，系数和为 1+5+10+10+5+1＝32， 故答案为：6，32； （2）（2a﹣1）5 ＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5 ＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1； （3）根据图表中数据的规律可以发现： 25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5， ∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1； （4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0， ∴当x＝1时， （1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17， 当x＝0时， （0+1）17＝a0＝1， ∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17， ∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1． 故答案为：217﹣1． 12．阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80 解决问题： （1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　12　 ； （2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　384　 平方单位． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4， 所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12； 故答案为：12； （2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3， 所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]（32﹣2020）； 答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为； （3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x）， ∵长方形CEPF的面积为160， ∴（20﹣x）（12﹣x）＝160， ∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160， ∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2， 设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8， 所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384； 故答案为：384． 13．原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值． 方法介绍： ①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0． 经验运用： （1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值． （2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4a2+b2﹣20a+6b+34＝0， （4a2﹣20a+25）+（b2+6b+9）＝0， （2a﹣5）2+（b+3）2＝0， 2a﹣5＝0且b+3＝0， 即：a＝2.5，b＝﹣3 ∴a+b＝﹣0.5； （2）a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0， （a2﹣2ab+b2）+（4b2﹣4b+1）+（c2+6c+9）＝0， （a﹣b）2+（2b﹣1）2+（c+3）2＝0， ∴a＝b，c＝﹣3， ∴a+b+c3＝﹣2． 题型五．完全平方公式的几何背景（共6小题） 14．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是　a﹣b　 ． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝　（a﹣b）2　 ； 【方法2】S阴影＝　（a+b）2﹣4ab　 ； （3）观察图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若m+n＝10，m﹣n＝6，求mn的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图2的阴影部分的正方形的边长是a﹣b． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝（a﹣b）2； 【方法2】S阴影＝（a+b）2﹣4ab； （3）（a+b）2，（a﹣b）2，ab 这三个代数式之间的等量关系为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）根据（3）的结论得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， 因为m+n＝10，m﹣n＝6， 所以36＝100﹣4mn， 所以mn＝16． 故答案为a﹣b；（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab． 15．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　 ； （4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， （2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣414． （3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3． （4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）， 把a+b＝3，ab＝1代入得： a3+b3＝33﹣3×1×3＝18． ∴9． 16．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求： ①a+b的值； ②a4﹣b4的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为： a2+b2或 （a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14， ∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab ＝53+2×14＝81 ∴a+b＝±9， 又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9． ②∵a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）， 且∴a﹣b＝±5 又∵a＞b＞0， ∴a﹣b＝5， ∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）＝53×9×5＝2385． 17．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝23， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31； （3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29， ∴S329． 18．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　 ； 图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　 ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值； ②请直接写出下列问题答案： 若2m+3n＝5，mn＝1，则6n﹣4m 　＝±2　 ； 若（7﹣m）（5﹣m）＝9，则（7﹣m）2+（5﹣m）2＝ 　22　 ． （3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2， S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab， 由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和， 即（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab． 图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． （2）①∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴xy[（x+y）2﹣（x2+y2）]， ∵x+y＝4，x2+y2＝10， ∴xy（16﹣10） ＝3； ②由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn， ∵2m+3n＝5，mn＝1， ∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1， ∴2m﹣3n＝±1， ∴6n﹣4m＝±2， 故答案为：＝±2； 由图1可得[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m）， ∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m）， ∵（7﹣m）（5﹣m）＝9， ∴原式＝4+2×9＝22， 故答案为：22； （3）∵ED＝AD﹣AE，DG＝DC﹣CG， ∴ED＝2x﹣44，DG＝x﹣30， ∴MT＝MO＝（2x﹣44）+2（x﹣30）， ∵长方形EFGD的面积是200， ∴（2x﹣44）（x﹣30）＝200， ∴2（x﹣30）（2x﹣44）＝400， 令a＝2x﹣44，b＝2（x﹣30）， ∴ab＝400，a﹣b＝16， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝256， ∴a2+b2＝256+2ab＝1056， ∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝1056+800＝1856． 19．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n． （1）用含m、n的代数式表示切痕的总长为　6m+6n　 厘米； （2）若每块小矩形的面积为48厘米2，四个正方形的面积和为200厘米2，试求（m+n）2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）切痕总长＝2[（m+2n）+（2m+n）]， ＝6m+6n； 故答案为：6m+6n； （2）由题意得：mn＝48，m2+n2＝100， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝196． 六．平方差公式（共1小题） 20．阅读下面的材料并填空： ，反过来，得； ②，反过来，得　　 ×　　 ； ③，反过来，得　　 ． 利用上面材料中的方法和结论计算下题： ． 【答案】②，；③．． 【解答】解：②∵1，， 故答案为：，． ③根据题意得， 故答案为：． 根据上面材料中的方法和结论，得 原式 ． 题型七．平方差公式的几何背景（共3小题） 21．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是　a2﹣b2　 （写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　（a+b）（a﹣b）　 （写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 ． （4）利用所得公式计算：2（1）（1）（1）（1）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2； （2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）； （3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）原式＝4（1）（1）（1）（1）（1） ＝4（1））（1）（1）（1） ＝4（1）（1）（1） ＝4（1）（1） ＝4（1） ＝4 ＝4． 故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 22．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝　a2﹣b2　 ，S2＝　（a+b）（a﹣b）　 （只需表示，不必化简）； （2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 ； （3）运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2， 故图1阴影部分的面积值为a2﹣b2； 长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b）， 故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等， 即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）20152﹣2016×2014 ＝20152﹣（2015+1）（2015﹣1） ＝20152﹣（20152﹣1） ＝20152﹣20152+1 ＝1． 23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　B　 ；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． ②计算：（1）（1）（1）…（1）（1）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案是B； （2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， ∴12＝4（x﹣2y） 得：x﹣2y＝3； ②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）（1）（1） ． 题型八．二元一次方程组的解（共2小题） 24．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为．乙看错了方程组中的b，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么； （2）求出原方程组的正确解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将代入原方程组得解得． 将代入原方程组得，解得， ∴甲把a看成，乙把b看成了． （2）由（1）可知原方程组中a＝﹣1，b＝10．故原方程组为，解得． 25．【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求x的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解． 【答案】（1）﹣3；（2）． 【解答】解：（1）由题意得： x×1﹣2×（x+1）＝1， 解得：x＝﹣3； （2）， ， ． 所以方程组的解为． 题型九．解二元一次方程组（共1小题） 26．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． （1）求a、b的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； （3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】（1）a＝3，b＝1； （2）30°； （3）t＝15秒或82.5秒． 【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0． 又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0． ∴a＝3，b＝1； （2）设A灯转动时间为t秒， 又∵PQ//MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°＝20°， ∴t＝55°， ∵∠CAN＝180°﹣3t， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°＝165°﹣135°＝30°； （3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． 依题意得0＜t＜150 ①当0＜t＜60时，3t＝（30+t）×1， 解得t＝15； ②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（30+t）×1＝180， 解得t＝82.5； ③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30， 解得t＝195＞150（不合题意） 综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 题型十．二元一次方程组的应用（共14小题） 27．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分 b 超过350千瓦时的部分 a+0.3 （1）若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值； （2）实行“阶梯电价”收费以后，该户居民用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得：． 答：a＝0.6，b＝0.65． （2）设该户居民用电x千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元，由题意，得 ∵第一部分时，0.6＜0.62，符合要求，第三部分平均电价＞0.62，不符合要求， ∴只有第二部分符合题意， ∴180×0.6+0.65（x﹣180）≤0.62x， 解得：x≤300． 答：该户居民用电量不超过300千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元． 28．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高 　2　 cm，放入一个大球水面升高 　3　 cm； （2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝32﹣26，解得x＝2； 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝32﹣26，解得：y＝3． 所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm； （2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得 解得：， 答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个． 29．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为40cm×10cm． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 　30　 块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板 　23　 块和座板 　2　 块． 方案二：裁切靠背板 　16　 块和座板 　4　 块． 方案三：裁切靠背板 　9　 块和座板 　6　 块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30； （2）23，2；16，4；9，6； （3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【解答】解：任务一：（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板（50÷10）×（240÷40）＝30块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板m块，座板n块， 根据题意得：10m+35n＝240， ∴， ∵m，n为正整数， ∴.或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块； 方案二：裁切靠背板16块和座板4块； 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； （3）设用x张板材裁切靠背16块和座板4块，用y张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， ∵34+94＝128张， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用x张板材裁切靠背23块和座板2块．用y张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， ∵17+111＝128张， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用x张板材裁切靠背23块和座板2块，用y张板材裁切靠背16块和座板4块，根 据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 30．【综合与实践】某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量． 【合作探究】 小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程x＝ 　45y+15　 ”． 小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y少1，可以表示为 　（y﹣1）　 辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为 　60（y﹣1）　 ，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”． 【问题解决】 （1）请按顺序写出小聪和小明分析的结论：　45y+15　 ，　（y﹣1）　 ，　60（y﹣1）　 ； （2）根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解； （3）若45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．若租用同一种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量即可． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意可得：x＝45y+15，（y﹣1），乘客的总数量为60（y﹣1）； （2）依题意可列方程组为， 解得， 所以，参加此次活动的总人数为240人，原计划租用45座客车5辆； （3）若租用45座客车，则需租6辆才能保证人人有座位，费用为6×220＝1320元每天， 若租用60座客车则需租4辆即可，刚好每辆车都坐满，费用为4×300＝1200元每天，故租用60座客车4辆更合算． 故应租用60座客车4辆更合算． 31．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 解法二：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，则（35﹣m﹣n）按1个长方形铁片和2个正方形铁片截． 由题意2[3m+（35﹣m﹣n）]＝4[4n+2（35﹣m﹣n）]， 整理得6m﹣5n＝105，其中1m+n≤35且m，n是正整数， 解得或， 可以加工成铁盒的数量为， 当m＝20，n＝3时，18（个）， 当m＝25，n＝9时，19（个）． 答：25张铁板按3个长方形截，9张铁板按4个正方形截，1张铁板按1个长方形2个正方形截，最多可以加工成19个铁盒． 32．某公园的门票价格如下表： 购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设二（1）班有x人，二（2）班有y人 则： 解得： 节省钱数为1240﹣104×9＝304元． 答：两个班各有48人和56人，学生联合起来购票能省304元． 33．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值． 【答案】（1）加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个． （2）155，160，165，170． 【解答】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个， 根据题意得：， ∴n＝64． ∵n、a为正整数， ∴a为5的倍数， 又∵150＜a＜171， ∴满足条件的a为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170． 34．《广州市公共交通票价优惠调整方案》于2023年9月1日正式实施，现有基础票价不变，普通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过80元没有优惠，超过80元不超过200元部分享受8折优惠，超出200元部分享受5折优惠． 以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价4元．若他在本月此前已经累计支出了120元，那么他此次需要支付3.2元，若他在本月此前已经累计支出了210元，那么他此次只需要支付2元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通． （1）甲每次的基础票价都是2元，已知甲在今年2月乘坐地铁共36次，上半月比下半月少花28元，设甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次，列方程组解应用题，求甲在2月上半月乘坐地铁的次数； （2）乙每次的基础票价都是10元，已知乙在今年2月和3月乘坐地铁共47次，2月比3月少花70元，设乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次，回答下列问题： ①在不求出m、n的具体数值的情况下，分析乙在2月和3月分别享受了哪些优惠？ ②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在3月乘坐地铁总共花费了多少钱？ 【答案】（1）甲在2月上半月乘坐地铁的次数为11次； （2）①见解析； ②乙在3月乘坐地铁总共花费了230 元． 【解答】解：（1）因为甲上半月乘坐地铁x次，下半月乘坐地铁y次， 由题意可得，， 解得， 答：甲在2月上半月乘坐地铁的次数为11次； （2）①乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n 次， 当m＝23时，n＝24， 则乙2月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8＝200元， 乙3月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8+（24﹣8﹣15）×0.5×10＝205 元， 与2月比3月少花70元矛盾， 当m＝24时，n＝23， 则乙2月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8+1×10×0.5＝205元， 乙3月份的乘坐地铁共花了8×10+15×10×0.8＝200元， 与2月比3月少花70元矛盾， 可见乙在2月份只享受了超过80元不超过200元部分享受8折优惠，即m＜23， 则乙在3月享受了超过80 元不超过200元部分享受8折优惠，超出200元部分享受5折优惠； ②因为乙在2月乘坐地铁m次，3月乘坐地铁n次， ， 解得， ∴200+（29﹣8﹣15）×10×0.5＝230， 答：乙在3月乘坐地铁总共花费了230元． 35．在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B，C三种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． （1）求A产品和B产品的单价； （2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件A产品，赠送2件C产品．某客户欲购买A，B，C三种产品共50件，并要求B产品的件数是A产品的1.5倍，A产品至少10件．企业赠送的C产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分C产品，若C产品单价为100元，求客户支付的总金额． 【答案】（1）A产品的单价300元，B产品的单价200元； （2）出售A产品2件，B产品6件或出售A产品4件，B产品3件； （3）客户支付的总金额为6500元． 【解答】解：（1）设A产品的单价x元，B产品的单价y元， 由题意得，， 解得 答：A产品的单价300元，B产品的单价200元； （2）设出售A产品a件，则出售B产品b件， 由题意得300a+200b＝1800， 化简得3a+2b＝18， ∵a，b为正整数， ∴或， 答：出售A产品2件，B产品6件或出售A产品4件，B产品3件； （3）设该客户支付的总金额为w元，购买A产品c件，则B产品1.5c件，C产品（50﹣c﹣1.5c）件， 由题意得：w＝300c+200×1.5c+100×（50﹣c﹣1.5c﹣2c） ＝5000+150c， ∵c≥10，50﹣c﹣1.5c﹣2c＞0， ∴10≤c， ∵c为正整数，1.5c也是正整数， ∴c＝10 当c＝10时，w＝5000+150×10＝6500（元）． 答：客户支付的总金额为6500元． 36．杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克． 【答案】这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 【解答】解：设A处未挂物体时重a克，秤砣种b克， 由图1、图2可得， 解得， 设这把杆秤的秤星E对应的刻度是x克． 则2.5（x+4）＝26×10， 解得x＝100， 答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 37．如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨． （2）8000×20﹣2000×50﹣960﹣1900＝57140（元）． 答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元． 38．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求a，b的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意可得， ， 解得，， 即a的值是2.2，b的值是4.2； （2）设小王家6月份用水x吨， 根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116， ∵184＞116， ∴小王家6月份计划用水超过了30吨 ∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184， 解得，x＝40 即小王家6月份用水量40吨． 39．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 1﹣50 51﹣100 100以上 每人门票价/元 12 10 8 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于50人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付588元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元． （1）两个班各有多少人？ （2）小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于100元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过300元，其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费377.3元，其中小明的付款费小于100元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款366.8元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买A、B、C三种商品，他们若购买A商品3件、B商品7件、C商品1件共需24元；若购买A商品4件、B商品10件、C商品1件共需33元，则他们购买A、B、C各一件共需要多少元？ 【答案】（1）甲班有49人，乙班有53人； （2）①分开付款时小明支付了52.5元或94.5元； ②他们购买A、B、C各一件共需要6元． 【解答】解：（1）甲班人数为：588÷12＝49（人）． ∵816不是10的倍数， ∴两个班的人数超过了100人． ∴乙班人数为816÷8﹣49＝102﹣49＝53（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人； （2）① Ⅰ．设分开付款时小明支付了x元（没有任何优惠），则小红支付了（377.3﹣x）元． ∵0＜x＜100， ∴277.3＜377.3﹣x＜377.3， ∵300×0.9＝270＜277.3， ∴小红购物原价超过300元． ∴x﹣0.8x＝377.3﹣366.8． 解得：x＝52.5． Ⅱ．设分开付款时小明支付了x元（享受了九折优惠），小红支付了（377.3﹣x）元． ∴300×0.9+（x÷0.9+300300）×0.8＝366.8． 解得：x＝94.5． ∴分开付款时小明支付了52.5元或94.5元． ②设商品A的单价为x元/件，商品B的单价为y元/件，商品C的单价为z元/件，则 ． ②﹣①得：x+3y＝9． 由①，得：z＝24﹣3x﹣7y． ∴x+y+z＝x+y+24﹣3x﹣7y＝24﹣2x﹣6y＝24﹣2（x+3y）＝24﹣2×9＝6． 答：他们购买A、B、C各一件共需要6元． 40．宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． （1）若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值； （2）当销售总收入为16760元时， ①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮； ②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值． 【答案】（1）a的值为20； （2）①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮； ②b的值为9或18． 【解答】解：（1）由题意，得 160a+270a＝8600， 解得：a＝20， 答：a的值为20． （2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮， 由题意，得， 解得：， 答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮． ②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅， 则， 解这个关于m和n的方程组，可得： ， ∵n为正整数， ∴0，且b应为9的倍数， 解得：， 又∵b＞0， ∴b的值为9或18． 答：b的值为9或18． 题型十一．解一元一次不等式（共2小题） 41．【情境呈现】： 在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：令m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为． 【灵活运用】： （1）若方程组的解为，则方程组的解为 　　 ； （2）若方程组的解为，其中k为常数． ①求方程组的解： ②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x＞y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①； ②不存在负整数k使得①中方程组的解满足x＞y． 理由见解答． 【解答】解：（1）根据题意得 ， 解得； 故答案为：； （2）①由题意可得： 解得， ②由①得：， ∵x＞y， ∴3k﹣1＞2k﹣2， ∴k＞﹣1， 又∵k为负整数， ∴不存在负整数k使得①中方程组的解满足x＞y． 42．数学乐园：解二元一次方程组，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x＝c1b2﹣c2b1， 当a1b2﹣a2b1≠0时，x，同理：y； 符号称之为二阶行列式，规定：ad﹣bc， 设D，Dx，Dy，那么方程组的解就是 （1）求二阶行列式的值； （2）解不等式：2； （3）用二阶行列式解方程组； （4）若关于x、y的二元一次方程组无解，求m的值． 【答案】（1）﹣2． （2）x≤1． （3）． （4）﹣4.5． 【解答】解：（1）由题意可得， 3×6﹣5×4＝18﹣20＝﹣2， 即的值是﹣2； （2）由2得， ﹣4x﹣2（x﹣2）≥﹣2， 解得：x≤1， ∴不等式的解集为x≤1； （3）由题意可得， D13， Dx52， Dy39， ∴x4， y3， ∴方程组的解是． （4）若关于x、y的二元一次方程组无解，则D＝0， ∴9+2m＝0， ∴m＝﹣4.5． 题型十二．解一元一次不等式组（共4小题） 43．【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式x＜2的一个子集 　x＜1（答案不唯一）　 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 　A　 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　a≥2　 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，a＜b，c＜d，下列三个不等式组D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为 　120　 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 　　 ． 【答案】（1）x＜1．（答案不唯一）． （2）A． （3）a≥2． （4）120． （5）． 【解答】解：（1）∵x＜1的任意一个解都是不等式x＜2的一个解， ∴不等式x＜2的一个子集为：x＜1．（答案不唯一）． 故答案为：x＜1．（答案不唯一）． （2）解不等式组A得：3＜x＜6； 解不等式组B得：x＞1； 解不等式组M得：x＞2． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）∵不等式组的解集为：x＞2，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为x＞a． ∴． ∴a≥2． 故答案为：a≥2． （4）∵E：c≤x≤d，F：4＜x＜9，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴5≤x≤8． ∴c＝5，d＝8． ∵D是E的“子集”，D：a≤x≤b， ∴6≤x≤7． ∴a＝6，b＝7． ∴a（b+c+d）＝6（7+8+5）＝120． 故答案为：120． （5）∵不等式组G：有解， ∴解集为：x． ∵不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值． 故答案为：． 44．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式组的关联方程是　①　 （填序号）． （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　x﹣2＝0　 （写出一个即可） （3）若方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由不等式组得，， 由x﹣（3x+1）＝﹣5，解得，x＝2，故方程①x﹣（3x+1）＝﹣5是不等式组的关联方程， 由1＝0得，x，故方程②1＝0不是不等式组的关联方程， 由3x﹣1＝0，得x，故方程③3x﹣1＝0不是不等式组的关联方程， 故答案为：①； （2）由不等式组，解得，0.5＜x＜3，则它的关联方程的根是整数是一个方程是x﹣2＝0， 故答案为：x﹣2＝0； （3）由xx，得x＝0.5，由3+x＝2（x）得x＝2， 由不等式组，解得，m＜x≤2+m， ∵方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程， ∴，得0≤m＜0.5， 即m的取值范围是0≤m＜0.5． 45．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}，min{﹣1，2，a}． （1）请填空：max{c﹣1，c，c+1}＝　c+1　 ；若m＜0，n＞0，min{3m，（n+3）m，﹣mn}＝　（n+3）m　 ； （2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围； （3）若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）max{c﹣1，c，c+1}＝c+1． ∵m＜0，n＞0， ∴3m＜0，（n+3）m＝mn+3m＜0，﹣mn＞0， ∴﹣mn＞3n＞（n+3）m， ∴min{3m，（n+3）m，﹣mn}＝（n+3）m． 故答案为：c+1，（n+3）m； （2）根据题意得； 解得 0≤x≤1． （3）∵1+x， 则． 解得 x＝1． 46．已知关于x，y的方程组满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， ②﹣①，得：x﹣y＝﹣2m﹣1， ∵﹣2＜x﹣y＜1， ∴， 解不等式③，得：m， 解不等式④，得：m＞﹣1， 则． 题型十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 47．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料均不超过2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题： 原料名称 饮料名称 甲 乙 A（瓶） 20克 40克 B（瓶） 30克 20克 （1）有几种符合题意的生产方法？写出解答过程； （2）如果A种饮料每瓶的成本为2元，B种饮料每瓶的成本为2.50元，试说明选择哪种方法成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）生产方案有21种． （2）生产A种饮料40瓶，B种饮料60瓶，成本最低是230元． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解这个不等式组，得20≤x≤40． 因为其中正整数解共有21个， 所以符合题意的生产方案有21种． （2）根据题意，得y＝2x+2.5（100﹣x）， 整理，得y＝﹣0.5x+250． ∵k＝﹣0.5＜0， ∴y随x的增大而减小． ∴当x＝40时成本最低． 当x＝40时，y＝﹣0.5×40+250＝230， 生产A种饮料40瓶，B种饮料60瓶，成本最低是230元． 题型十四．一元一次不等式组的应用（共7小题） 48．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件． 根据题意得：． 解得：． 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件． （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件． 根据题意得． 解不等式组，得60＜a＜64． ∵a为非负整数，∴a取61，62，63 ∴180﹣a相应取119，118，117 方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件． 方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件． 方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件． 答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一． 49．“阅美湖湘，点亮成长”青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能 够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择，并计算出最省钱的购买方案． 【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元； （2）学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个， 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个 【解答】解：（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得： ， 解之得：， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个； 由题意得：， 解之得：8≤m≤10， 因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10， 即：学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个， 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 50．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台， 根据题意得：， 解得：， ∴20×（250﹣200）+10×（200﹣160）＝1400（元）． 答：橱具店在该买卖中赚了1400元． （2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台， 根据题意得：， 解得：23≤a≤25． 又∵a为正整数， ∴a可取23，24，25． 故有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台． （3）设橱具店赚钱数额为w元， 当a＝23时，w＝23×50+27×40＝2230； 当a＝24时，w＝24×50+26×40＝2240； 当a＝25时，w＝25×50+25×40＝2250； 综上所述，当a＝25时，w最大， 即购进电饭煲、电压锅各25台时，橱具店赚钱最多． 51．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的服装，若购进A品牌服装5套，B品牌服装6套，需要950元：若购进A品牌服装3套，B品牌服装2套，需要450元． （1）求A，B两种品牌服装每套进价分别为多少元； （2）若销售1套A品牌服装可获利30元，销售1套B品牌的服装可获利20元，根据市场需求，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装数量的2倍还多4套，且B品牌服装最多可购进40套，这样服装全部售出后，可使总获利不少于1200元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】见试题解答内容 【解答】（解：（1）设A种品牌的服装每套进价为x元，B种品牌的服装每套进价为y元． 根据题意，得 ， 解得 ． 答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元，75元． （2）设A种品牌服装购进m套，则B种品牌服装购进（2m+4）套． 根据题意，得 ， 解得 16≤m≤18， ∵m为正整数， ∴m＝16，17，18． ∴2m+4＝36，38，40． 故有三种进货方案： （1）A种品牌服装购进16套，B种品牌服装购机36套． （2）A种品牌服装购进17套，B种品牌服装购机38套． （3）A种品牌服装购进18套，B种品牌服装购机40套． 52．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设有x个学生，那么共有（3x+8）本书，则： ， 解得5＜x≤6.5，所以x＝6，共有6×3+8＝26本． 答：有26本书，6个学生． 53．随着科技的飞跃，社会的进步，我们望谟县各个乡镇中学都安装了班班通，班班通是由一台电脑和电子白板构成，经过调查得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元； （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用低于40万元，但不低于38万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）设每台电脑为x万元，每台电子白板为y万元， 依题意得：， 解得：． 答：每台电脑为0.5万元，每台电子白板为1.5万元． （2）设需购进电脑为a台，则需购进电子白板为（30﹣a）台， 依题意得：， 解得：5＜a≤7， ∵a只能取整数， ∴a＝6，7， ∴有两种购买方案， 方案1：需购进电脑6台，则购进电子白板24台， 方案2：需购进电脑7台，则购进电子白板23台， 方案1：6×0.5+1.5×24＝39（万元）， 方案2：7×0.5+1.5×23＝38（万元）， ∵38＜39， ∴选择方案2最省钱，即购买电脑7台，电子白板23台最省钱． 54．湖南广益实验中学星沙校区将在今年8月份按时开学迎新，据报道该校区投资达6亿元人民币，现在进行紧张有序的施工阶段，届时将成为全国硬件设施最先进的中学校园之一，在之前的建设过程中，某渣土运输公司承担了星沙校区的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方36吨，5辆大型渣土运输车与7辆小型渣土运输车一次共运输土方87吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于156吨，且小型渣土运输车至少派出6辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：一辆大型渣土运输车一次运输土方9吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方6吨． （2）设小型渣土运输车排出m辆，则大型渣土运输车派出（20﹣m）辆， 根据题意得：， 解得：6≤m≤8， ∴共有三种派车方案，方案一：派出大型渣土运输车14辆，小型渣土运输车6辆；方案二：派出大型渣土运输车13辆，小型渣土运输车7辆；方案三：派出大型渣土运输车12辆、小型渣土运输车8辆． 题型十五．线段垂直平分线的性质（共1小题） 55．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 题型十六．旋转的性质（共4小题） 56．如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合 （1）旋转中心是点 　B　 ； （2）若∠ACB＝70°，旋转角是 　40　 度； （3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）旋转中心是点B， 故答案为：B； （2）∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°， ∵将△ABO旋转后能与△BCD重合， ∴∠ABO＝∠CBD， ∴∠OBC+∠ABO＝∠OBC+∠CBD＝∠ABC＝40°， ∵旋转角是40度， 故答案为：40； （3）△BOD是等边三角形， ∵AB＝BC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵将△ABO旋转后能与△BCD重合， ∴BD＝BO， ∵∠OBD＝∠ABC＝60°， ∴△BOD是等边三角形． 57．已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点． （1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝　40°　 ； （2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数． （3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）40°；（2）70°；（3）55s或10s或42.5s或65s． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE＝70°， ∴∠EPB＝∠CDE＝70°， ∵∠ABE是△BEP的外角，∠ABE＝110°， ∴∠E＝∠ABE﹣∠EPB＝110°﹣70°＝40°， 故答案为：40°． （2）∵GF∥BE， ∴∠GFB＝∠FBE，∠HDF＝∠PFD， ∵FH平分∠BFM， ∴∠GFH＝∠HFP， ∴∠GFB＝2∠HFB＝2∠HFD+2∠DFP， ∵DF平分∠CDE， ∴∠FDH＝∠FDE＝∠PFD， ∴∠EPB＝∠PDH＝2∠PDF＝2∠PFD， ∵∠EBF为△EBP的外角， ∴∠EBF＝∠E+∠EPB＝∠E+2∠PFD， ∴2∠HFD+2∠DFP＝∠E+2∠PFD， ∴∠E＝2∠DFH， ∵2∠E＝3∠DFH+20°， ∴4∠DFH＝3∠DFH+20°， ∴∠DFH＝20°， ∵HG⊥FH， ∴∠FHG＝90°， ∴∠G+∠GFH＝90°， ∴∠G+∠PFH＝∠G+∠HFD+∠PFD＝90°， ∴∠G+∠PFD＝90°﹣∠HFD＝90°﹣20°＝70°， ∴∠EDF+∠G＝70°． （3）∵∠FDE旋转一周时，整个运动停止， ∴0＜t≤72． ①F'D⊥FH'，此时55s； ②F'D⊥G'H'，此时10s； ③F'D⊥FG′，此时77.5s（舍去）； ④DE'⊥FH'，此时42.5s； ⑤DE'⊥G'H'，87.5s（舍）； ⑥DE'⊥FG'，65s． 综上，t的值为55s或10s或42.5s或65s． 58．如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°． （1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数． （2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值． （3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值． 【答案】（1）∠ABF＝75°； （2）所有满足条件的t的值为15或60或105或150； （3）所有满足条件的t的值为30或120． 【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°， ∵EF∥CD， ∴∠CDE＝∠E＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°； （2）如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， 当DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°， ∴t＝15； 当DE在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°， ∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC， ∴AP∥DF′， ∴∠F′DP＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°， ∴t＝105； ②当BC∥DF时， 当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T， 根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC， ∴∠FDN＝∠BTN， ∵GH∥MN， ∴∠BTN＝∠ABC＝60°， ∴∠FDN＝60°， 即180°﹣2t°＝60°， ∴t＝60； 当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T， 根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°， ∵DF∥BC， ∴∠FDN＝∠BTM， ∵GH∥MN， ∴∠BTN＝∠ABC＝60°， ∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝120°， ∴∠NDF＝120°， 即2t°﹣180°＝120°， ∴t＝150， 综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150； （3）由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°， ①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， 当DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°， ∴t＝30， 当DE′在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°， ∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC， ∴AP∥DF′， ∴∠F′DP＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°， ∴t＝210（不符合题意，舍去）， ②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I， 当DF在MN上方时，BC∥DF，如图， 根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴CI⊥DF， ∴∠FDN+∠MIC＝90°， 即180°﹣2t°+t°+30°＝90°， ∴t＝120， ∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去； 当DF在MN下方时，如图， 根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°， ∵DF∥BC， ∴∠MIC＝∠NDF， ∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°， 即2t°﹣180°＝t°﹣60°， ∴t＝120， 综上所述：所有满足条件的t的值为30或120． 59．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　75°　 ； （2）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； （3）如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 【答案】（1）75°； （2）当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立； （3）当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是25秒． 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）如图1，此时，BD∥PC成立， ∵PC∥BD，∠DBP＝90°， ∴∠CPN＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APN＝30°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为3秒； 如图2，PC∥BD， ∵PC∥BD，∠PBD＝90°， ∴∠CPB＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APM＝30°， ∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为21秒， 综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立； （3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， ∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°， ∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°， 当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°， 解得：t＝25， ∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是25秒． 题型十七．作图-旋转变换（共1小题） 60．为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了A，B两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，AB⊥MN．连接AB，灯A发出的射线AC自AQ顺时针旋转至AP后立即回转，灯B发出的射线BD自BM顺时针旋转至BN后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为t秒． 【初步应用】 ①当t＝40时，两条光线夹角（锐角）的度数为 　80°　 ； ②当t＝70时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当0＜t＜30时，射线BD与射线AC所在直线交于点E，请画出图形并说明∠AEB＝2∠QAC． 【拓展探究】 当射线AC首次从AQ转至AP的过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD垂直，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】初步应用：①80°； ②两条光线夹角的度数为80°； 推理验证：画图证明见解析； 拓展探究：存在，当t为45，67.5，112.5，135时，射线AC与射线BD互相垂直． 【解答】解：【初步应用】①当t＝40时，∠QAC＝40°，∠MBD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣[120°﹣90°﹣（90°﹣40°）]＝100°， ∴两条光线夹角（锐角）的度数180°﹣100°＝80°； 故答案为：80°； ②当t＝70时，∠QAC＝70°， ∠NBD＝3°×70﹣180°＝210°﹣180°＝30°， 设AC与BD交于点O， 过点O作OS∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴OS∥MN， ∴∠SOB＝∠DBN＝30°， 同理：∠SOA＝∠QAC＝70°， ∴∠AOB＝∠AOS+∠BOS＝70°+30°＝100°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣100°＝80°， ∴两条光线夹角的度数为80°． 【推理验证】画出图形，如图2， 证明：过点E作EF∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴EF∥MN， ∴∠FEA＝∠QAC＝t°， 同理：∠FEB＝∠MBE＝3t°， ∴∠AEB＝∠FEB﹣∠FEA＝3t°﹣t°＝2t°， ∴∠AEB＝2∠QAC； 【拓展探究】当0≤t＜60时，如图3.1 t+180﹣3t＝90， t＝45； 当60≤t＜90时，如图3.2， t+3t﹣180＝90， t＝67.5， 当90≤t＜120时， 180﹣t+360﹣3t＝90， t＝112.5， 当120≤t≤180时， 180﹣t+3t﹣360＝90， t＝135， 综上所述：当t为45，67.5，112.5，135时，射线AC与射线BD互相垂直． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/17 9:43:41；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$