信息必刷卷01（江苏泰州专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江苏泰州专用） 考情速递 中考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合，例如在2023年的中考真题的第21题，通过3种方法求不等式的解集将初中所学的三种函数的图像进行融合，非常有新意；例如在2022年的中考真题的第26题，对新定义函数的图像进行综合考察，也是创新的体现。 中考·新情境：可涉及情境题目的实时性、开放性以及跨学科的融合性，例如2024年中考真题第22题、2023年的第18题、2022年的18题等均是由当地报告所出的题目，具有实时性，2022年的第22题将三角函数与平面镜成像结合考察，实现跨学科的融合性， 命题·大预测：1.基础内容占60%左右，所以打牢基础是重中之重；2.中档题型占比25%，多涉及几何最值问题、翻折和旋转、圆、相似与三角函数、一次函数、反比例函数和二次函数等内容；3.压轴部分占比15%，多涉及圆与四边形综合题、函数创新题型。 本卷第18题结合双减实事，且最后一问具有开放性、第24题是二次函数的新定义题型、第25题将翻折、平移、一次函数、反比例函数、圆等知识进行融合，综合考察。祝同学们中考顺利，加油！！ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．3 B．5 C．a D．5 2．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A．a0＝1 B．x2+x2＝x4 C．2﹣2 D．﹣a6÷a3＝﹣a3 3．（3分）下列事件中，是必然事件的为（　　） A．明天会下雨 B．抛掷一板硬币，正面朝上 C．抛出的篮球会下落 D．打开电视机，它正在播动画片 4．（3分）如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列四个函数中，图象经过原点的是（　　） A． B． C．y＝x2+2x D．y＝（x+1）2 6．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，且∠ABC＝∠ABE＝60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B．3 C．1 D．2 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分）函数y中，自变量x的取值范围为 　 　 ． 8．（3分）已知一粒米的质量约为0.000037克，这个数据用科学记数法表示为 　 　 克． 9．（3分）下列各组图形中一定相似的是 　 　 （填序号）． ①各有一个角是45°的两个等腰三角形 ②各有一个角是60°的两个等腰三角形 ③各有一个角是105°的两个等腰三角形 ④两个等腰直角三角形 10．（3分）当a＝1，b＝2时，多项式3ab2﹣2a2b﹣4ab2+5a2b的值为 　 　 ． 11．（3分）如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影部分的周长 　 　 ． 12．（3分）某校为了解九年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），则这50名学生课外阅读时间的中位数范围在 　 　 . 13．（3分）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　 ． 14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，其与x轴有 　 　 个交点． 15．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，与半径OA交于点D．若OD＝2AD，则sin∠COD＝ 　 　 ． 16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　 　 cm． 三．解答题（共10小题，满分102分） 17．（8分）（1）计算：9（x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）； （2）解方程：． 18．（10分）为进一步落实“双减”精神，今年4月，教育部对义务教育阶段的作业量做出了初中生课后作业不超过90分钟的明确限定．最近，市教育局对各校八年级“双减”工作做了专项检查，随机调查了500名学生每天完成课外作业的平均时间，把调查结果划分成A，B，C，D，E五个评价等级，制作成如下的频数分布表和扇形统计图． 学生每天完成课外作业的平均时间频数分布表 等级 学生平均每天完成课外作业的时间（小时） 频数 A 2.5≤t＜3 20 B 2≤t＜2.5 a C 1.5≤t＜2 b D 1≤t＜1.5 c E 0.5≤t＜1 30 （1）填空a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）根据频数分布表估计全市学生每天完成课外作业的平均时间（提示：各等级平均时间取组中值）； （3）小明同学事后对本班同学做了全面调查，发现本班平均每天2小时完成课外作业，他认为本班每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由，并对全市提出“双减”的合理化建议． 19．（8分）2025年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市分别为长春、上海和珠海，为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市长春、上海和珠海名字分别写在卡片A、B、C上，卡片除正面书写的城市名字不同外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽一张卡片后放回，然后妈妈又从中抽取一张卡片．用列表或树状图的方法，求小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的概率． 20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若E，F分别是边BC，AD的中点，则当∠BAC＝ 　 　 °时，四边形AECF是菱形． 21．（10分）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度i＝5：12的山坡BA走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得E点的仰角为60°，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为430±5米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中DE）是否属实？（参考数据：1.414，1.732） 22．（10分）友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求出w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 23．（9分）在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD边上确定点E，使BE＝BC．再在CD边上确定点F，作出以F为圆心的圆，且使⊙F经过点E和点C； （2）在（1）的条件下，若点E在直线AD上，点F在直线CD上，AB＝6，且ED＝3，则⊙F的半径为 　 　 ．（使用备用图分析） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA×OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的左侧），与y轴交于点C，且OA＝4OB．连接AC，若P为AC上方抛物线上的动点，横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AC于点M，交x轴于点N，过点P作PD⊥AC，垂足为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线AC沿y轴向上平移t个单位后，与抛物线只有一个公共点，求t的值； （3）设△PMD的周长为C1，△AMN的周长为C2，若，求m的值． 25．（13分）【概念发现】 对于平面上的图形S，先将其向上平移a个单位，再将平移后的图形沿着直线x＝b翻折得到图象S′，记此变换过程为图形S的（a，b）滑动对称变换，若在另一图形T上存在一动点C，图形S′上存在一动点D，记CD长度的最大值为H（S′，T），CD长度的最小值为h（S'，T）． 【理解应用】 （1）如图1，平面直角坐标系中，M（3，2），N（5，1），记线段MN为图形S，先将线段MN向上平移1个单位，再沿着直线x＝2翻折得到线段，记线段M′N’，记线段M'N'为图形S′，则图形S的（ 　 　 ，　 　 ）滑动对称变换得到图形S′．记原点O为图形T，则H（S'，T）＝　 　 ，h（S'，T）＝　 　 ． 【思维提升】 （2）如图2，⊙P在坐标平面内，半径为2，圆心P（6，0），A（﹣1，0），B（2，0），记⊙P为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（3，2）滑动对称变换得到图形S′，求H（S'，T）与h（S'，T）的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，记直线的图象为图形S，反比例的图象为图形T，图形S的（2，0）滑动对称变换得到图形S′，则h（S'，T）＝　 　 ． 26．（13分）如图1，非直径的弦AB，CD在⊙O上运动，连接OA，OB，OC，OD． （1）如图2，当点B，D重合时，若∠AOB＝100°，∠COD＝40°，则∠ABC＝　 　 ． （2）如图3，当弦CD在弦AB所对的优弧上时，延长AD，BC交于点P，AB＝4，，∠P＝30°． ①∠AOB﹣∠COD是否为定值？若是，求出该值，否则说明理由； ②求⊙O半径． （3）如图4，在（2）条件下，连接AC，直接写出S△ACP的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江苏泰州专用）答案 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D C C D A 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分） 【答案】x≤2且x≠﹣1 【解析】解：根据题意，可知2﹣x≥0，且x+1≠0， 解得x≤2且x≠﹣1． 8．（3分） 【答案】3.7×10﹣5． 9．（3分） 【答案】②③④ 【解析】解：①各有一个角是45°的两个等腰三角形不一定相似； ②各有一个角是60°的两个等腰三角形，这两个三角形都是等边三角形，所以它们相似； ③各有一个角是105°的两个等腰三角形，它们的底角也相等，所以它们相似； ④两个等腰直角三角形，它们的底角也相等，所以它们相似； 所以一定相似的是②③④． 10．（3分） 【答案】2 【解析】解：原式＝3ab2﹣4ab2﹣2a2b+5a2b ＝﹣ab2+3a2b， 当a＝1，b＝2时， 原式＝﹣1×4+3×1×2 ＝﹣4+6 ＝2． 11．（3分） 【答案】25π 【解析】解：由正六边形的边长为5可知，正六边形的外接圆的半径为5，每个小半圆弧的直径是5， 所以阴影部分的周长为：半径为5的圆周长+6个直径为5半圆弧长， 即2π×5+6×（π×5）＝25π， 12．（3分） 【答案】4.7～5.0 【解析】解：50个数据的中位数是数据由小到大排列第25个数据，第26个数据的平均数， ∵6+16＝22＜25，6+16+20＝42＞26， ∴数据由小到大排列第25个数据，第26个数据都在4.7～5.0范围中， 13．（3分） 【答案】16 【解析】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0， ∴m2+3m＝1，n2+3n＝1， （m2+3m+3）（n2+3n+3） ＝（1+3）（1+3） ＝4×4 ＝16， 14．（3分）两 【答案】先令y＝0，然后计算Δ的值，即可判断该函数与x轴的交点个数． 【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣5， ∴当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣5， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0， ∴该函数与x轴有两个交点， 15．（3分） 【答案】 【解析】解：设AD＝x， ∴OD＝2AD＝2x，OC＝OA＝3x， ∵CD⊥AB， ∴∠ODC＝90°， ∴CDx， ∴sin∠COD＝ ． 16．（3分） 【答案】 【解析】解：如图，取AB的中点E，连接CE，而AC⊥BC， ∴AE＝BE＝CE＝3cm， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC＝60°， ∵∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝27， ∵∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC，∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴， 三．解析题（共10小题，满分102分） 17．（8分） 【答案】（1）18x+13； （2）x． 18．（10分） 【解析】解：（1）a＝500100%＝100（人），b＝500×40%＝200（人），c＝500﹣（20+100+200+30）＝150（人）， 故答案为：100，200，150． （2）全市学生每天完成课外作业的平均时间（小时）， 答：全市学生每天完成课外作业的平均时间约为1.68小时． （3）符合实际． 理由如下：设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2， ∵小明所在的班每天完成课外作业的平均时间大于中位数， ∴每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多． 建议提高作业设计质量；课外作业要少而精，分层（科学合理）布置作业；各学科根据需要布置，作业量总量要控制；教育局加强作业监管．（答案不唯一，合理即可） 19． 【解析】解：根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中小明和妈妈所抽到的卡片恰好有“长春”的结果有5种， ∴小明和妈妈所抽到的卡片恰好有“长春”的概率为． 20．（9分） 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AECF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF， 即CE＝DF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ABC＝90°，E是边BC的中点， ∴AEBC＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形， 故答案为：90． 21．（10分） 【解析】解：属实， 过A作AG⊥BD于G，AF⊥DE于F， 则四边形AGDF是矩形， ∴∠AGD＝∠AGB＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝DG，AG＝DF， 在Rt△ABG中，AB＝260米，， 设AG＝5k，BG＝12k， ∴AB13k＝260， ∴k＝20， ∴AG＝100米． ∵BG＝12k＝240米，CG＝80米，DF＝100米， ∴AF＝DG＝（80+CD）米， ∵∠EAF＝45°， ∴∠AEF＝∠EAF＝45°， ∴EF＝AF＝80+CD（米）， 在Rt△CDE中，∠DCE＝60°，DE＝80+CD+100＝180+CD，tan∠DCE， ∴180+CDCD， ∴CD＝90+90， ∴DE＝270+90425.7（米）． 答：烟花燃放高度约为425.7米，属实． 22．（10分）友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求出w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【解析】（1）已知这种双肩包的成本价为30元/个，设这种双肩包每天的销售利润为w元．依题意得： w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， ∴w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， ∴当x＝45时，w有最大值，最大值是225， 答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是225元； （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞45， ∴x2＝50（不符合题意，舍）， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 23．（9分） 【解析】解：（1）如图①中，点E，点F，⊙F即为所求； （2）∵四边形ABC都是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝6， 设FE＝FC＝x，则x2＝32+（6﹣x）2， 解得x， ∴⊙F的半径为． 故答案为：． 24．（12分） 【解析】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝2，设点A（4m，0），则点B（﹣m，0）， 则22＝4m×m，则m＝1（负值已舍去）， 则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（﹣1，0）， 则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 则﹣4a＝2，则a， 则抛物线的表达式为：yx2x+2； （2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2，tan∠BAC， 则平移后的表达式为：yx+2+t， 联立上式和抛物线的表达式得：x+2+tx2x+2， 则Δ＝4﹣4t＝0，则t＝2； （3）∵PD⊥AC，PN⊥OA， 则∠DPM＝∠BAC＝α， 则sinα，cosα， 设点P（m，m2mx+2），则点M（m，m+2）， 则PMm2+2m，MNm+2， 则C1＝PM+PD+DM＝PM（1+sinα+cosα）PM， 同理可得：C2＝MN（3）， 若，则PM＝MN， 即m2+2mm+2， 解得：m＝1或4． 25． 【解析】解：（1）根据滑动对称变换的概念，记线段MN为图形S，先将线段MN向上平移1个单位，再沿着直线x＝2翻折，此变换过程为图形S的（1，2）滑动对称变换，且M′（1，3），N’（﹣1，2），H（S'，T）＝OM'，h（S'，T）＝ON'． 故答案为：1；2；；． （2）图形S的（3，2）滑动对称变换得到的图形S′为：圆心为P'（﹣2，3），半径为2的圆，如图所示： ∵A（﹣1，0），B（2，0）， ∴H（S'，T）＝BM＝BP'+P'M2＝7， h（S'，T）＝AN＝AP'﹣P'N22． （3）图形S的（2，0）滑动对称变换得到的图形S′为直线AB：yx+4，如图所示： 设图中与AB平行的直线为：yx+m，与反比例联立得 ， ∴4x2﹣3mx+36＝0， ∴Δ＝9m2﹣576＝0， ∴m＝8或m＝﹣8（舍掉）， ∴4x2﹣24x+36＝0， ∴x1＝x2＝3， ∴C（3，4）， 在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，则AB＝5，AB边上的高CD； ∴h（S'，T）． 故答案为：． 26．（13分） 【解析】解：（1）∵∠AOB＝100°，∠COD＝40°， ∴∠AOC＝100°﹣40°＝60°， ∴． 故答案为：30°； （2）①∠AOB﹣∠COD是定值， 如图1，连接AC． ∵∠AOB＝2∠ACB，∠COD＝2∠CAD， ∴∠AOB﹣∠COD＝2（∠ACB﹣∠CAD）＝2∠P又∠P＝30°， ∴∠AOB﹣∠COD＝60°； ②如图2，取⊙O上一点E，使得∠DOE＝∠AOB，连接OE，CE，DE． ∵∠DOE＝∠AOB，∠AOB﹣∠COD＝60°， ∴∠DOE﹣∠COD＝60°， ∴∠COE＝60°， 又∵OC＝OE， ∴△OCE为等边三角形， 作CF⊥DE于点F． ∵∠COE＝60°， ∴∠CDE＝30°， ∵，DE＝AB＝4， ∴，， ∴， ∴； （3）∵为定值， ∴∠COD是定值， ∴是定值， ∵∠P＝30°， ∴△ACP在运动过程中形状不变，当AC为直径时，S△ACP最大． ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AP＝2AB＝8， ∴， 即S△ACP最大值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（江苏泰州专用） 考情速递 中考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合，例如在2023年的中考真题的第21题，通过3种方法求不等式的解集将初中所学的三种函数的图像进行融合，非常有新意；例如在2022年的中考真题的第26题，对新定义函数的图像进行综合考察，也是创新的体现。 中考·新情境：可涉及情境题目的实时性、开放性以及跨学科的融合性，例如2024年中考真题第22题、2023年的第18题、2022年的18题等均是由当地报告所出的题目，具有实时性，2022年的第22题将三角函数与平面镜成像结合考察，实现跨学科的融合性， 命题·大预测：1.基础内容占60%左右，所以打牢基础是重中之重；2.中档题型占比25%，多涉及几何最值问题、翻折和旋转、圆、相似与三角函数、一次函数、反比例函数和二次函数等内容；3.压轴部分占比15%，多涉及圆与四边形综合题、函数创新题型。 本卷第18题结合双减实事，且最后一问具有开放性、第24题是二次函数的新定义题型、第25题将翻折、平移、一次函数、反比例函数、圆等知识进行融合，综合考察。祝同学们中考顺利，加油！！ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．3 B．5 C．a D．5 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A、3，故此选项错误； B、5，故此选项错误； C、|a|，故此选项错误； D、5，正确． 故选：D． 2．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A．a0＝1 B．x2+x2＝x4 C．2﹣2 D．﹣a6÷a3＝﹣a3 【分析】利用零指数幂的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数幂的运算法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a0＝1（a≠0），故A不符合题意； B、x2+x2＝2x2，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、﹣a6÷a3＝﹣a3，故D符合题意； 故选：D． 3．（3分）下列事件中，是必然事件的为（　　） A．明天会下雨 B．抛掷一板硬币，正面朝上 C．抛出的篮球会下落 D．打开电视机，它正在播动画片 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义结合具体的问题情境进行判断即可． 【解答】解：A．明天会下雨，是随机事件，因此选项A不符合题意； B．抛掷一板硬币，正面可能朝上，反面也可能向上，是随机事件，因此选项B不符合题意； C．抛出的篮球会下落，是必然事件，因此选项C符合题意； D．打开电视机，它正在播动画片，是随机事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 4．（3分）如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 5．（3分）下列四个函数中，图象经过原点的是（　　） A． B． C．y＝x2+2x D．y＝（x+1）2 【分析】令x＝0，函数值也等于0，则图象经过原点． 【解答】解：A、令x＝0，则y，故不符合题意； B、x＝0无意义，故不符合题意； C、x＝0，则y＝0，故符合题意； D、x＝0，则y＝1，故不符合题意． 故选：C． 6．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，且∠ABC＝∠ABE＝60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B．3 C．1 D．2 【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【解答】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF， ∴BE＝AB＝BC，BF＝BG，EF＝AG， ∴△BFG是等边三角形． ∴BF＝BG＝FG， ∴AG+BG+CG＝EF+FG+CG． 根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EH⊥BC交CB的延长线于H， ∴∠EBH＝60°， ∵BE＝AB＝2， ∴BH，EH＝3， ∴EC＝2EH＝6． ∵∠CBE＝120°， ∴∠BEF＝30°， ∵∠EBF＝∠ABG＝30°， ∴EF＝BF＝FG， ∴EFCE＝2， 故选：D． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分）函数y中，自变量x的取值范围为 　x≤2且x≠﹣1　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：根据题意，可知2﹣x≥0，且x+1≠0， 解得x≤2且x≠﹣1． 故答案为：x≤2且x≠﹣1． 8．（3分）已知一粒米的质量约为0.000037克，这个数据用科学记数法表示为 　3.7×10﹣5　 克． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：0.000037＝3.7×10﹣5． 故答案为：3.7×10﹣5． 9．（3分）下列各组图形中一定相似的是 　②③④　 （填序号）． ①各有一个角是45°的两个等腰三角形 ②各有一个角是60°的两个等腰三角形 ③各有一个角是105°的两个等腰三角形 ④两个等腰直角三角形 【分析】根据相似三角形的判定定理：有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定②③④正确；①中没有确定45°的角是底角还是顶角，所以不能确定两个三角形相似． 【解答】解：①各有一个角是45°的两个等腰三角形不一定相似； ②各有一个角是60°的两个等腰三角形，这两个三角形都是等边三角形，所以它们相似； ③各有一个角是105°的两个等腰三角形，它们的底角也相等，所以它们相似； ④两个等腰直角三角形，它们的底角也相等，所以它们相似； 所以一定相似的是②③④． 故答案为：②③④． 10．（3分）当a＝1，b＝2时，多项式3ab2﹣2a2b﹣4ab2+5a2b的值为 　2　 ． 【分析】根据合并同类项法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案． 【解答】解：原式＝3ab2﹣4ab2﹣2a2b+5a2b ＝﹣ab2+3a2b， 当a＝1，b＝2时， 原式＝﹣1×4+3×1×2 ＝﹣4+6 ＝2． 故答案为：2． 11．（3分）如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影部分的周长 　25π　 ． 【分析】根据正六边形的性质，得出正六边形的外接圆的半径为5，每个小半圆弧的直径是5，由阴影部分的周长＝半径为5的圆周长+6个直径为5半圆弧长进行计算即可． 【解答】解：由正六边形的边长为5可知，正六边形的外接圆的半径为5，每个小半圆弧的直径是5， 所以阴影部分的周长为：半径为5的圆周长+6个直径为5半圆弧长， 即2π×5+6×（π×5）＝25π， 故答案为：25π． 12．（3分）某校为了解九年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），则这50名学生课外阅读时间的中位数范围在 　4.7～5.0　 . 【分析】根据中位数的确定方法即可作出选择． 【解答】解：50个数据的中位数是数据由小到大排列第25个数据，第26个数据的平均数， ∵6+16＝22＜25，6+16+20＝42＞26， ∴数据由小到大排列第25个数据，第26个数据都在4.7～5.0范围中， 故答案为：4.7～5.0． 13．（3分）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　16　 ． 【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，变形后代入，即可求出答案． 【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0， ∴m2+3m＝1，n2+3n＝1， （m2+3m+3）（n2+3n+3） ＝（1+3）（1+3） ＝4×4 ＝16， 故答案为：16． 14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，其与x轴有 　两　 个交点． 【分析】先令y＝0，然后计算Δ的值，即可判断该函数与x轴的交点个数． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣5， ∴当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣5， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0， ∴该函数与x轴有两个交点， 故答案为：两． 15．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，与半径OA交于点D．若OD＝2AD，则sin∠COD＝ 　　 ． 【分析】设AD＝x，由勾股定理求出CDx，于是sin∠COD＝ ． 【解答】解：设AD＝x， ∴OD＝2AD＝2x，OC＝OA＝3x， ∵CD⊥AB， ∴∠ODC＝90°， ∴CDx， ∴sin∠COD＝ ． 故答案为：． 16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　　 cm． 【分析】取AB的中点E，连接CE，证明△BCE是等边三角形，得到∠BEC＝60°，CE＝BE＝AE，进而利用三角形外角的性质得到∠EAC＝∠ECA＝30°，由勾股定理得到AC2＝AB2﹣BC2＝27；再证明△ADC是等边三角形，得到AD＝AC，∠CAD＝60°，则∠BAD＝90°，即可得到答案． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，而AC⊥BC， ∴AE＝BE＝CE＝3cm， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC＝60°， ∵∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝27， ∵∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC，∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分102分） 17．（8分）（1）计算：9（x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2）； （2）解方程：． 【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （2）方程两边都乘1﹣x得出2+x＝1﹣x，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1）9（x+1）2﹣（3x+2）（3x﹣2） ＝9（x2+2x+1）﹣（9x2﹣4） ＝9x2+18x+9﹣9x2+4 ＝18x+13； （2）1， 方程两边都乘1﹣x，得2+x＝1﹣x， 解得：x， 检验：当x时，1﹣x≠0， 所以x是分式方程的解， 即分式方程的解是x． 18．（10分）为进一步落实“双减”精神，今年4月，教育部对义务教育阶段的作业量做出了初中生课后作业不超过90分钟的明确限定．最近，市教育局对各校八年级“双减”工作做了专项检查，随机调查了500名学生每天完成课外作业的平均时间，把调查结果划分成A，B，C，D，E五个评价等级，制作成如下的频数分布表和扇形统计图． 学生每天完成课外作业的平均时间频数分布表 等级 学生平均每天完成课外作业的时间（小时） 频数 A 2.5≤t＜3 20 B 2≤t＜2.5 a C 1.5≤t＜2 b D 1≤t＜1.5 c E 0.5≤t＜1 30 （1）填空a＝　100　 ，b＝　200　 ，c＝　150　 ； （2）根据频数分布表估计全市学生每天完成课外作业的平均时间（提示：各等级平均时间取组中值）； （3）小明同学事后对本班同学做了全面调查，发现本班平均每天2小时完成课外作业，他认为本班每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由，并对全市提出“双减”的合理化建议． 【分析】（1）先计算出a＝500100%＝100（人），b＝500×40%＝200（人），可知c＝500﹣（20+100+200+30），计算即可； （2）运用平均数的定义和计算公式进行计算即可； （3）先求得全市一半以上的学生平均每天完成课外作业的时间中位数在1.5≤t＜2，而小明班平均每天2小时完成课外作业，因而可以得出本班每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多，由此提出相关对策与建议即可． 【解答】解：（1）a＝500100%＝100（人），b＝500×40%＝200（人），c＝500﹣（20+100+200+30）＝150（人）， 故答案为：100，200，150． （2）全市学生每天完成课外作业的平均时间（小时）， 答：全市学生每天完成课外作业的平均时间约为1.68小时． （3）符合实际． 理由如下：设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2， ∵小明所在的班每天完成课外作业的平均时间大于中位数， ∴每天完成课外作业的平均时间比全市一半以上的同学多． 建议提高作业设计质量；课外作业要少而精，分层（科学合理）布置作业；各学科根据需要布置，作业量总量要控制；教育局加强作业监管．（答案不唯一，合理即可） 19．（8分）2025年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市分别为长春、上海和珠海，为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市长春、上海和珠海名字分别写在卡片A、B、C上，卡片除正面书写的城市名字不同外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽一张卡片后放回，然后妈妈又从中抽取一张卡片．用列表或树状图的方法，求小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的概率． 【分析】根据题意画出树状图或者列出表格，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中小明和妈妈所抽到的卡片恰好有“长春”的结果有5种， ∴小明和妈妈所抽到的卡片恰好有“长春”的概率为． 20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若E，F分别是边BC，AD的中点，则当∠BAC＝ 　90　 °时，四边形AECF是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，∠B＝∠D，再由BE＝DF证明△ABE≌△CDF（SAS）即可； （2）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证明四边形AECF是平行四边形，进而由直角三角形斜边上的中线性质得AEBC＝CE，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AECF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF， 即CE＝DF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ABC＝90°，E是边BC的中点， ∴AEBC＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形， 故答案为：90． 21．（10分）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度i＝5：12的山坡BA走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得E点的仰角为60°，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为430±5米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中DE）是否属实？（参考数据：1.414，1.732） 【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，根据矩形的性质得到∠AGD＝∠AGB＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝DG，AG＝DF，设AG＝5k，BG＝12k，根据勾股定理得到AB13k＝260，于是得到结论； （2）由（1）知BG＝12k＝240米，由（1）知CG＝80米，DE＝100米，求得AF＝DG＝（80+CD）米，得到EF＝AF＝80+CD，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：属实， 过A作AG⊥BD于G，AF⊥DE于F， 则四边形AGDF是矩形， ∴∠AGD＝∠AGB＝∠AFE＝∠D＝90°，AF＝DG，AG＝DF， 在Rt△ABG中，AB＝260米，， 设AG＝5k，BG＝12k， ∴AB13k＝260， ∴k＝20， ∴AG＝100米． ∵BG＝12k＝240米，CG＝80米，DF＝100米， ∴AF＝DG＝（80+CD）米， ∵∠EAF＝45°， ∴∠AEF＝∠EAF＝45°， ∴EF＝AF＝80+CD（米）， 在Rt△CDE中，∠DCE＝60°，DE＝80+CD+100＝180+CD，tan∠DCE， ∴180+CDCD， ∴CD＝90+90， ∴DE＝270+90425.7（米）． 答：烟花燃放高度约为425.7米，属实． 22．（10分）友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求出w与x之间的函数解析式； （2）这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【分析】（1）由每天的销售利润＝每天的销售量×每件产品的利润列式，即可得解； （2）根据配方法和二次函数的性质，即可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，列方程，解方程，即可得解； 正确得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键． 【解答】（1）已知这种双肩包的成本价为30元/个，设这种双肩包每天的销售利润为w元．依题意得： w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， ∴w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， ∴当x＝45时，w有最大值，最大值是225， 答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是225元； （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞45， ∴x2＝50（不符合题意，舍）， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 23．（9分）在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD边上确定点E，使BE＝BC．再在CD边上确定点F，作出以F为圆心的圆，且使⊙F经过点E和点C； （2）在（1）的条件下，若点E在直线AD上，点F在直线CD上，AB＝6，且ED＝3，则⊙F的半径为 　　 ．（使用备用图分析） 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点E，连接CE，作线段CE的垂直平分线交CD于点F，以F为圆心，CF为半径作⊙F即可； （2）连接EF，设EF＝CF，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）如图①中，点E，点F，⊙F即为所求； （2）∵四边形ABC都是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝6， 设FE＝FC＝x，则x2＝32+（6﹣x）2， 解得x， ∴⊙F的半径为． 故答案为：． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA×OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的左侧），与y轴交于点C，且OA＝4OB．连接AC，若P为AC上方抛物线上的动点，横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AC于点M，交x轴于点N，过点P作PD⊥AC，垂足为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线AC沿y轴向上平移t个单位后，与抛物线只有一个公共点，求t的值； （3）设△PMD的周长为C1，△AMN的周长为C2，若，求m的值． 【分析】（1）由抛物线的表达式知，OC＝2，设点A（4m，0），则点B（﹣m，0），则22＝4m×m，则m＝1，进而求解； （2）平移后的表达式为：yx+2+t，联立上式和抛物线的表达式得：x+2+tx2x+2，则Δ＝4﹣4t＝0，即可求解； （3）求出C1＝PM+PD+DM＝PM（1+sinα+cosα）PM，同理可得：C2＝MN（3），即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝2，设点A（4m，0），则点B（﹣m，0）， 则22＝4m×m，则m＝1（负值已舍去）， 则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（﹣1，0）， 则y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 则﹣4a＝2，则a， 则抛物线的表达式为：yx2x+2； （2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2，tan∠BAC， 则平移后的表达式为：yx+2+t， 联立上式和抛物线的表达式得：x+2+tx2x+2， 则Δ＝4﹣4t＝0，则t＝2； （3）∵PD⊥AC，PN⊥OA， 则∠DPM＝∠BAC＝α， 则sinα，cosα， 设点P（m，m2mx+2），则点M（m，m+2）， 则PMm2+2m，MNm+2， 则C1＝PM+PD+DM＝PM（1+sinα+cosα）PM， 同理可得：C2＝MN（3）， 若，则PM＝MN， 即m2+2mm+2， 解得：m＝1或4． 25．（13分）【概念发现】 对于平面上的图形S，先将其向上平移a个单位，再将平移后的图形沿着直线x＝b翻折得到图象S′，记此变换过程为图形S的（a，b）滑动对称变换，若在另一图形T上存在一动点C，图形S′上存在一动点D，记CD长度的最大值为H（S′，T），CD长度的最小值为h（S'，T）． 【理解应用】 （1）如图1，平面直角坐标系中，M（3，2），N（5，1），记线段MN为图形S，先将线段MN向上平移1个单位，再沿着直线x＝2翻折得到线段，记线段M′N’，记线段M'N'为图形S′，则图形S的（ 　1　 ，　2　 ）滑动对称变换得到图形S′．记原点O为图形T，则H（S'，T）＝　　 ，h（S'，T）＝　　 ． 【思维提升】 （2）如图2，⊙P在坐标平面内，半径为2，圆心P（6，0），A（﹣1，0），B（2，0），记⊙P为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（3，2）滑动对称变换得到图形S′，求H（S'，T）与h（S'，T）的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，记直线的图象为图形S，反比例的图象为图形T，图形S的（2，0）滑动对称变换得到图形S′，则h（S'，T）＝　　 ． 【分析】（1）根据滑动对称变换的概念，此变换过程为图形S的（1，2）滑动对称变换，则H（S'，T）＝OM'，h（S'，T）＝ON'； （2）图形S的（3，2）滑动对称变换得到的图形S′为：圆心为P'（﹣2，3），半径为2的圆，则H（S'，T）＝BM，h（S'，T）＝AN； （3）图形S的（2，0）滑动对称变换得到的图形S′为直线AB：yx+4，求出与直线AB平行且与双曲线相切的直线，则h（S'，T）为两平行线之间的距离． 【解答】解：（1）根据滑动对称变换的概念，记线段MN为图形S，先将线段MN向上平移1个单位，再沿着直线x＝2翻折，此变换过程为图形S的（1，2）滑动对称变换，且M′（1，3），N’（﹣1，2），H（S'，T）＝OM'，h（S'，T）＝ON'． 故答案为：1；2；；． （2）图形S的（3，2）滑动对称变换得到的图形S′为：圆心为P'（﹣2，3），半径为2的圆，如图所示： ∵A（﹣1，0），B（2，0）， ∴H（S'，T）＝BM＝BP'+P'M2＝7， h（S'，T）＝AN＝AP'﹣P'N22． （3）图形S的（2，0）滑动对称变换得到的图形S′为直线AB：yx+4，如图所示： 设图中与AB平行的直线为：yx+m，与反比例联立得 ， ∴4x2﹣3mx+36＝0， ∴Δ＝9m2﹣576＝0， ∴m＝8或m＝﹣8（舍掉）， ∴4x2﹣24x+36＝0， ∴x1＝x2＝3， ∴C（3，4）， 在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，则AB＝5，AB边上的高CD； ∴h（S'，T）． 故答案为：． 26．（13分）如图1，非直径的弦AB，CD在⊙O上运动，连接OA，OB，OC，OD． （1）如图2，当点B，D重合时，若∠AOB＝100°，∠COD＝40°，则∠ABC＝　30°　 ． （2）如图3，当弦CD在弦AB所对的优弧上时，延长AD，BC交于点P，AB＝4，，∠P＝30°． ①∠AOB﹣∠COD是否为定值？若是，求出该值，否则说明理由； ②求⊙O半径． （3）如图4，在（2）条件下，连接AC，直接写出S△ACP的最大值． 【分析】（1）先求出∠AOC的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）①连接AC，由圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB，∠COD＝2∠CAD，然后利用三角形外角的性质求解即可； ②取⊙O上一点E，使得∠DOE＝∠AOB，连接OE，CE，DE．证明△OCE为等边三角形，作CF⊥DE于点F．在Rt△CDF求出CF和DF，进而可求出EF，然后可求⊙O半径； （3）先判断△ACP在运动过程中形状不变，当AC为直径时，S△ACP最大，然后求出AB的长即可求出S△ACP的最大值． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝100°，∠COD＝40°， ∴∠AOC＝100°﹣40°＝60°， ∴． 故答案为：30°； （2）①∠AOB﹣∠COD是定值， 如图1，连接AC． ∵∠AOB＝2∠ACB，∠COD＝2∠CAD， ∴∠AOB﹣∠COD＝2（∠ACB﹣∠CAD）＝2∠P又∠P＝30°， ∴∠AOB﹣∠COD＝60°； ②如图2，取⊙O上一点E，使得∠DOE＝∠AOB，连接OE，CE，DE． ∵∠DOE＝∠AOB，∠AOB﹣∠COD＝60°， ∴∠DOE﹣∠COD＝60°， ∴∠COE＝60°， 又∵OC＝OE， ∴△OCE为等边三角形， 作CF⊥DE于点F． ∵∠COE＝60°， ∴∠CDE＝30°， ∵，DE＝AB＝4， ∴，， ∴， ∴； （3）∵为定值， ∴∠COD是定值， ∴是定值， ∵∠P＝30°， ∴△ACP在运动过程中形状不变，当AC为直径时，S△ACP最大． ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AP＝2AB＝8， ∴， 即S△ACP最大值为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$