精品解析：广西壮族自治区柳州市第十五中学2024-2025学年 九年级上学期数学12月考试卷

2024-2025学年度上学期九年级第二次阶段性水平检测卷 （数学学科） 学校______班级______姓名______学号______ 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3. 已知抛物线的解析式是，则该抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在函数的图象上有、两点，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了证明光是沿直线传播这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 7. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接，对角线与相交于点，若面积等于，则的面积为（ ） A. 27 B. 12 C. 9 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 11. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 反比例函数经过第______象限． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为___．（结果保留根号） 15. 如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______ 秒． 16. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是______． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 三、解答题（7大题，共72分） 17 （1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②值． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，请按要求作图并解决问题： （1）作关于原点对称的； （2）写出三个顶点的坐标； 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 20. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是切线； （2）若，当，时，求的长． 21. 清溪中学八年级学生，以“运用函数知识探究自动加热饮水机中的水温随时间的变化规律”为主题，开展综合实践活动．自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．已知某天的水温和室温均为，接通电源后，每隔 8分钟，记录一次水温，记录的数据如下表所示，然后小安根据学习函数的经验，建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： （i）收集数据： 通电时间x（单位：） 0 8 16 24 32 40 … 水温y（单位：） 20 100 50 33.3 25 20 … （ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点．发现这些点大致位于两个不同函数的图象上，其中通电时间为0至8分钟，函数的类型最有可能是 ，通电8分钟至40分钟，函数的类型最有可能是 ；（填序号） ①一次函数； ②反比例函数． （iii）求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在函数的图象上，根据过程（ii）所选函数类型，求出函数的表达式； （iv）应用模型：如果水温随通电时间的规律不变，那么就可以求得通电后某个时刻的水温． 阅读以上材料，解答下列问题： （1）完成小安的研究过程（ii）；（描点，并选择函数类型） （2）完成小安的研究过程（iii）； （3）林老师这天早上将饮水机的电源打开，若他想在上课前喝到的温开水，则他应在什么时间段内接水? 22. 【发现问题】 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化． 【提出问题】 叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数 杯子的总数 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式． 【解决问题】 （1）直接写出与的关系式； （2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； （3）杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等） 23. 综合实践：如图1，在中，，，点、分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 ①当时，______； ②当时，求的值； （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 当，旋转至，，三点共线时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级第二次阶段性水平检测卷 （数学学科） 学校______班级______姓名______学号______ 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程一般形式找出一次项系数即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 3. 已知抛物线的解析式是，则该抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C 4. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 5. 在函数的图象上有、两点，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴点、位于第一象限，且． 故选：A 6. 为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知与相似， ， ． 故选：C． 7. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设宽为x步，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得，， 故选：D． 8. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接，对角线与相交于点，若的面积等于，则的面积为（ ） A. 27 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质；根据平行四边形判断,根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵的面积等于， ∴的面积为 故选：A 10. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 11. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案． 【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米， ∴点C的横坐标为-5， 当x=-5时，y=-001（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25， ∴C（-5，-2.25）， ∴桥面离水面的高度AC为2.25米． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件． 12. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．先求得旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同，如图，旋转第二次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，据此求解，即可得到的坐标． 【详解】解：∵， ∴旋转周期为6个， ， ∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同， 如图，旋转第二次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 点的坐标是． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 反比例函数经过第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．由题意可知，然后问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知， ， 所以该函数图象经过第一、三象限； 故答案为：一、三． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为___．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，先根据平行线的性质得出的长，再结合黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 15. 如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______ 秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系以及勾股定理，过点作，根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出的长，再与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．掌握点与圆的位置关系及直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当火车到点时对处产生噪音影响，此时， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∵火车在铁路上沿方向以即的速度行驶， ∴影响时间应是：（秒）． 故答案为：． 16. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是______． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意可知，，，，，利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线与轴的交点为，证明是等腰直角三角形，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，可判断②结论；联立直线和抛物线，求出，可判断③④结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， 设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为， ，解得：， 玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为，①结论正确； 令直线与轴的交点为， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为，②结论正确； 联立，解得：或（舍）， ， 点P到杯口的距离为，③结论错误； 点P到点D的距离为，③结论正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 三、解答题（7大题，共72分） 17. （1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 【答案】（1），；（2）①1；② 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）运用因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，请按要求作图并解决问题： （1）作关于原点对称的； （2）写出三个顶点的坐标； 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，关于原点对称的点的坐标变换，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键． （1）作出各顶点关于原点对称的对称点，依次连接即可解答； （2）根据关于原点对称的点的坐标变化规律即可解答． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：三个顶点的坐标为，，． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． （1）求进馆人次的日平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设进馆人次的日平均增长率为，根据题意列出方程，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的日平均增长率，计算出第四天的进馆人次，再与比较大小即可． 【小问1详解】 解：设进馆人次的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 进馆人次的日平均增长率为； 【小问2详解】 第四天的进馆人次为：（人）， ， 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次． 20. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． （1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 21. 清溪中学八年级学生，以“运用函数知识探究自动加热饮水机中的水温随时间的变化规律”为主题，开展综合实践活动．自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．已知某天的水温和室温均为，接通电源后，每隔 8分钟，记录一次水温，记录的数据如下表所示，然后小安根据学习函数的经验，建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： （i）收集数据： 通电时间x（单位：） 0 8 16 24 32 40 … 水温y（单位：） 20 100 50 33.3 25 20 … （ii）建立模型：在如图平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点．发现这些点大致位于两个不同函数的图象上，其中通电时间为0至8分钟，函数的类型最有可能是 ，通电8分钟至40分钟，函数的类型最有可能是 ；（填序号） ①一次函数； ②反比例函数． （iii）求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在函数的图象上，根据过程（ii）所选函数类型，求出函数的表达式； （iv）应用模型：如果水温随通电时间的规律不变，那么就可以求得通电后某个时刻的水温． 阅读以上材料，解答下列问题： （1）完成小安的研究过程（ii）；（描点，并选择函数类型） （2）完成小安的研究过程（iii）； （3）林老师这天早上将饮水机的电源打开，若他想在上课前喝到的温开水，则他应在什么时间段内接水? 【答案】（1）图象见解析，①，②；（2）当时，；当时，；（3）李老师要在到之间接水 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数，反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． （1）根据描点法画出图象，结合点的走势，函数特点解答即可． （2）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案； （3）当，时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案． 【详解】解：（1）结合表格中数据，画出函数图象如下： 通电时间为0至8分钟，函数的类型最有可能是一次函数，通电8分钟至40分钟，函数的类型最有可能是反比例函数； 故答案为：①，②； （2）当时，设， 将，的坐标分别代入得，，解得：． ∴当时，． 当时，设， 将的坐标代入，得 ∴当时，． 综上，当时，；当时，； （3）当时，，当时，， ∴要想喝到的开水，需满足， 即李老师要在到之间接水． 22. 【发现问题】 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化． 【提出问题】 叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数 杯子的总数 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式． 【解决问题】 （1）直接写出与的关系式； （2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； （3）杯子侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等） 【答案】（1）（2）第一层杯子的个数为个；（3）杯子叠放达到的最大高度为和此时杯子的总数为个 【解析】 【分析】（1）根据题意，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式； （2）将代入（1）中的解析，即可求解； （3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解． 【详解】解：（1）依题意，； （2）当时，， 解得：（舍去）， 答：第一层杯子的个数为个； （3）∵，， 解得：； ∵第一层摆放杯子的总长度不超过， 设第一层杯子的个数为个，则， 解得：，取最大值为， 即第一层摆放杯子个，杯子的层数也是， ∴杯子的总数为（个）， 在图4中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 综合实践：如图1，在中，，，点、分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 ①当时，______； ②当时，求的值； （2）拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决 当，旋转至，，三点共线时，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）当时，的大小无变化，见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键． （1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化； （3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， ， ， ， ，即， ； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线， ， ， ， ，， 即， ； 【小问2详解】 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即：，而， ， ， 故：当时，的大小无变化； 【小问3详解】 当旋转到如图位置，，三点共线时右侧）， 由题意得：， 由，得：， 由勾股定理得：， ， 当旋转到如图位置，，三点共线时左侧）， 此时，，是的中位线， ， 由勾股定理得：， ， 故线段的长为10或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $