精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第二十七中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年第一学期第二次月考试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程是一元二次方程，则值是（ ） A. B. C. 或 D. 为任意实数 3. 已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ） A. （﹣3，0） B. （3，0） C. （﹣5，0） D. （5，0） 4. 已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 凉州区某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 7. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 58° D. 50° 10. 如图1，在中，，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C．设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 12. 在实数范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为_____． 13. 如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 15. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③阴影部分面积为4；④若，则． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ． 三、解答题（一）（本大题共6小题，共33分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小． 19. 已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6=0， （1）求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 20. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，直接写出点A的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后的，并求点B旋转到所经过的路线的长度． 21. 如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形羊圈． （1）若设米，矩形的面积为平方米，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若矩形的面积为400平方米，求羊圈的边长的长． 22. 小慧爷爷家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、．为了响应“建设美丽乡村，共建美好家园”的号召，小慧爷爷想要修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小慧爷爷把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若中米，米，，试求这个圆形花坛面积． 四、解答题（一）（本大题共5小题，共39分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 23. 某商品进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题： （1）为了让利给顾客，并同时获得840元利润，应涨价多少元？ （2）当售价定为多少时，获得利润最大，最大利润是多少？ 24. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 25. 如图，是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果，的半径是． （1）求证：是的切线． （2）求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 26. 【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 27. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线函数解析式； （2）如图1，若点是抛物线上一动点（不与点重合），且，求点的坐标； （3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期第二次月考试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 关于的方程是一元二次方程，则值是（ ） A. B. C. 或 D. 为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，本题根据一元二次方程的定义求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得． 故选：C． 3. 已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ） A. （﹣3，0） B. （3，0） C. （﹣5，0） D. （5，0） 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论． 【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0）， ∴1-6+c=0． ∴c=5， ∴二次函数y=x2+6x+5． 令y=0，则x2+6x+5=0， 解得：x1=-1，x2=-5． ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y=0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 4. 已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形与圆，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，过点作于点，证出是等边三角形，再根据解直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 5. 凉州区某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，根据一月份的营业额得到二月及三月的营业额，根据第一季度的营业额共1000万元列方程即可． 【详解】解：一月份的营业额为200万元， 二月份的营业额为万元， 三月份的营业额为万元， ∴． 故选：D． 6. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案． 【详解】∵为⊙直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形内接于⊙， ∴， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意； C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意； D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 8. 已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：y＝2x2－4x＋c＝2（x－1）2＋c－2，则抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向上，而点B（2，y2）离对称轴比较近，点A（－3，y1）到对称轴的距离比C（3，y3）远， ∴y1＞y3＞y2，故答案选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图像上点的坐标满足其解析式． 9. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 58° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OE，OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB=∠OFB=90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°， ∴∠EPF=∠EOF=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 如图1，在中，，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C．设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象中两个特殊点的位置的取值得到及，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点E为BC的中点， ∴， 由图象可得， 当时，，此时点与点重合， ∴，即①， 又由图象可得，当的最大值是， 此时点与点重合，即， ∵， ∴中，， 即②， 解①②得， 故选：D 【点睛】本题考查了三角形中的动点问题及函数图象，读懂函数的图象，从中获取有用的信息是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 【答案】15π 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案. 【详解】解：设圆锥母线长为l， ∵r=3cm，h=4cm， ∴母线l=cm， ∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15πcm2， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键. 12. 在实数范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24解为_____． 【答案】x1=5，x2=﹣5 【解析】 【详解】试题解析：∵a⊕b=a2-b2， ∴（4⊕3）⊕x=24可化为：（42-32）⊕x=24， 则72-x2=24， 故x2=25， 解得：x1=5，x2=-5． 故答案为x1=5，x2=-5． 13. 如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径. 【详解】解：由题可知， 为半径， 尺寸， 设半径， ， 在中，根据勾股定理可得： 解得：, 木材直径为26寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 15. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系； ①首先根据抛物线与轴交于、两点，可得方程有两个不相等的实数根，进而得； ②根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断即可； ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可； ④根据函数的最小值是，判断出时，a、b的关系即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴结论①正确； ∵时，， ∴， ∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， ∴结论③正确； ∵，， ∴， ∴结论④正确． 综上，结论正确的是：①③④． 故答案为：①③④． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， ， 如此下去，得到线段，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的正半轴上， 点的坐标是 故答案为： 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 三、解答题（一）（本大题共6小题，共33分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键． （1）利用配方法解该一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解该一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 18. 通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小． 【答案】；顶点坐标为；当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将二次函数化成顶点式，根据顶点式可得出顶点坐标，再根据二次函数的增减性质即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， ∵， ∴当时，随的增大而减小． 19. 已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6=0， （1）求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）详见解析；（2），另一个根为−3 【解析】 【分析】（1）令根的判别式的为非负数，列不等式，解不等式即可得出答案； （2）将x=2代入方程求出k的值，然后根据解方程的方法得出另一个根. 【详解】解：（1） ＞0 ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）当x=2时， 整理得： ∴ ∴ 解得：x1=2， x2=−3 ∴x2=−3 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根. 20. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． （1）以O为原点建立直角坐标系，点B坐标为，直接写出点A的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后的，并求点B旋转到所经过的路线的长度． 【答案】（1）点A的坐标为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，直角坐标系，弧长公式等知识点， （1）根据以O为原点建立直角坐标系，利用点B的坐标为，即可得出点A的坐标； （2）利用绕点O顺时针旋转，得出对应点坐标，，进而得出图形即可，再利用弧长公式求出所经过的路线的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点A的坐标为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 点B旋转到所经过的路线的长度为：． 21. 如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形羊圈． （1）若设米，矩形的面积为平方米，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若矩形的面积为400平方米，求羊圈的边长的长． 【答案】（1），； （2）羊圈的边长的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）设米，则（米），根据矩形面积公式即可求解； （2）根据题意得到，求解即可． 【小问1详解】 解：设米，则（米）， ∴， ∵墙长为25米 ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积为400平方米， ∴， 解得：（舍去），， 当时，， ∴羊圈的边长的长为米． 22. 小慧爷爷家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、．为了响应“建设美丽乡村，共建美好家园”的号召，小慧爷爷想要修建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）请你帮小慧爷爷把花坛的位置画出来；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若中米，米，，试求这个圆形花坛的面积． 【答案】（1）见解析 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，及90度的圆周角所对的弦是直径，然后利用勾股定理求半径，从而求圆的面积． （1）想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．即分别作三边的垂直平分线的交点就是圆心的位置； （2）解直角三角形求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的花坛的位置； 【小问2详解】 解：∵， ∴是直径， ∵米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为10米， ∴小明家圆形花坛的面积为（平方米）． 四、解答题（一）（本大题共5小题，共39分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 23. 某商品进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题： （1）为了让利给顾客，并同时获得840元利润，应涨价多少元？ （2）当售价定为多少时，获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）应涨价元； （2）当售价定为元时，获得利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设售价应定为元，然后根据总利润单个利润总数量，进行计算即可解答； （2）设售价应定为元，总利润为w元，然后根据总利润单个利润总数量，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：设售价应定为元，由题意得： ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴（元）， 答：应涨价元； 【小问2详解】 解：设售价应定为元，总利润为元，由题意得： ， ∴当时，元， 答：当售价定为元时，获得利润最大，最大利润是元． 24. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）22米；（3）不会 【解析】 【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上． 当时， ． （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． 25. 如图，是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果，的半径是． （1）求证：是的切线． （2）求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【答案】（1）证明见解析； （2）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，即可得出结论； （2）分别求出，，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图： ∵的半径是， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， ∴． 26. 【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们一起玩旋转，如图1，四边形是正方形，绕点顺时针旋转后与重合． 【解决问题】 （1）连接，若，，求的长； 【类比迁移】 （2）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，，，根据旋转性质得到，，再根据勾股定理即可求解； （2）运用旋转变换，将绕点逆时针旋转，得到，再判定，进而得到，再根据，得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后与重合，， ∴，， ∴， 中，； （2）证明：如图，将绕A点逆时针旋转，得到， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，若点是抛物线上一动点（不与点重合），且，求点的坐标； （3）如图2，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或或； （3）长度的最大值是，此时点的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形的面积公式求出的纵坐标是或，把和代入求出，即可求出答案； （3）求出直线的解析式，设，则，求出，根据二次函数的性质求出即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， 把代入得：， 解得：， ∵点不与点重合， ∴点， 把代入得：， 解得：， 的坐标为或， 综上，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为，设，则， ， ∴当时，有最大值，最大值是，此时点的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$