第二讲 式与方程（6个重难点考点集训 共31题）小升初复习讲义-2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用）

2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第二讲 式与方程 （升学考向预测+知识梳理+6个考点分类真题训练 共31题） 目录 资料简介 2 重点知识点2025年升学考向预测 2 主要知识点 2 重点难点 2 考察方向 2 预测难度 2 重点难点考点知识梳理 3 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 3 知识点梳理02：等式与方程 3 知识点梳理03：列方程解应用题 4 考点分类真题汇编特训 4 重点难点考点01：用字母表示数 4 重点难点考点02：含字母式子的求值 5 重点难点考点03：解方程 6 重点难点考点04：列方程解应用题（两步需要逆思考） 7 重点难点考点05：列方程解三步应用题(相遇问题) 9 重点难点考点06：列方程解含有两个未知数的应用题 10 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点 1. 用字母表示数与含字母式子的求值（如三位数表达、数量关系建模）； 2. 方程意义与解法（等式性质、移项简算、含分数/百分数的方程）； 3. 列方程解应用题（两步逆推、行程问题、比例分配、隐含数量关系分析）。 重点难点 • 复杂数量关系建模（如混合比例、多未知数问题）； • 新定义符号运算（结合逻辑推理的规则转化）； • 跨知识点融合（方程与几何、统计结合，如面积计算中的变量关系）。 考察方向 • 生活化情境（水电阶梯计价、购物优惠方案对比）； • 逻辑推理题型（数字谜、等式性质逆向应用）； • 多步骤综合题（方程解行程问题、比例应用题）。 预测难度 • 基础题50%（单一方程解法、直接列式）； • 中档题30%（两步应用题、简算变形）； • 难题20%（多未知数问题、新定义运算），整体难度稳中有升，侧重逻辑分析与建模能力。 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 重点提示： 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点梳理02：等式与方程 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点梳理03：列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 重点难点考点01：用字母表示数 1．（2024•墨竹工卡县模拟）是以12为分母的最简真分数，则自然数a的取值有（　　）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024•福州）小明的年龄与身高的关系如图所示。如果用h表示小明的身高，用x表示他10～15岁阶段平均每年长高的厘米数，那么他12岁时的身高是（　　）cm。 A．h＝51+2x B．h＝112+2x C．h＝135+2x D．h＝168+2x 3．（2024•建始县）画图表示对式子2x+7的理解，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•渝中区）某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 （1）小明第一次购买15千克苹果，需要付费 　 　 元； （2）小明第二次购买苹果x千克（x超过20千克但不超过40千克）需要付费 　 　 元（用含x的式子表示）； （3）小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含a的式子表示） 5．（2024•西城区）预测孩子成年后身高的方法有很多，其中“父母身高预测法”是以父母身高与子女身高的关系创造出的一组预测公式，用F表示父亲身高，M表示母亲身高，具体公式如下。 男孩身高＝（F+M）×1.08÷2 女孩身高＝（F×0.923+M）÷2 王强是一个男孩，他父亲的身高是170cm，母亲的身高是160cm，按照上面的公式预测，王强成年后的身高是 　 　 cm。 重点难点考点02：含字母式子的求值 6．（2024•郸城县）若a﹣b＝8，b﹣c＝3，则a﹣c＝（　　） A．5 B．8 C．11 D．无法确定 7．（2024•米东区）蟋蟀的鸣叫是大自然的音乐，并且蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系。人们发现某地某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数和气温之间有以下的关系：用蟋蟀1分钟鸣叫的次数除以7，再加上3，结果等于该地当时的气温（单位℃）。 （1）如果用T表示该地当时的气温，m表示蟋蟀每分钟鸣叫的次数，请用含有字母的式子表示T和m的关系。 （2）当m＝203时，该地当时的气温是多少摄氏度？ 8．（2024•锦江区）昆虫爱好者发现，某地的蟋蟀每分叫的次数与气温之间的近似关系为：t＝n÷7+3（t表示摄氏温度，n表示蟋蟀叫的次数）。照这样计算，当气温为25摄氏度时，蟋蟀每分叫 　 　 次。 9．（2024•青白江区）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系是：b＝2a﹣10（b表示码数，a表示厘米数）。那么40码的鞋应该是 　 　 厘米。 10．（2024•九龙坡区）一个三位数的中间一位数字是x，它比首位数字大3，是末位数字的一半。用含有x的式子表示出这个三位数的值。当x＝4时，这个三位数是多少？ 重点难点考点03：解方程 11．（2024•荔城区）六年级的妹妹看到姐姐作业本里有一道这样的方程：x2+x＝240，她想尝试计算。你能试着用所学的知识来求出x的值吗？请写出过程：　 　 。 12．（2024•天宁区）下面图（　　）不能用方程“xx＝120”来表示。 A． B． C． D． 13．（2024•广州模拟）解方程． 2x+3×0.9＝24.7 0.3：x＝17：51 0.5 14．（2024•黄埔区）解方程。 （1） （2） 15．（2024•渝北区）解方程。 （1）2021（x﹣2）﹣（1﹣3x）＝2019x+2 （2） 重点难点考点04：列方程解应用题（两步需要逆思考） 16．（2024•重庆模拟）A、B、C三件衬衫的价格打折前合计1040元，打折后合计948元，已知A衬衫的打折幅度是9.5折，B衬衫的打折幅度是9折，C衬衫的打折幅度是8.75折，打折前A、B两件衬衫的价格比为5：4，问打折前A、B、C三件衬衫的价格各是多少元（　　） A．500元，400元，140元 B．300元，240元，500元 C．400元，320元，320元 D．200元，160元，680元 17．（2024•大渡口区）果园里梨树有480棵，______，苹果树有x棵。如果用方程可以求出苹果树的棵数，那么需要补充的信息是（　　） A．梨树比苹果树多 B．苹果树比梨树少 C．苹果树比梨树多 D．梨树比苹果树少 18．（2024•郫都区校级模拟）某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果用气量超过60立方米，则超过的部分每立方米按1.2元收费。若某用户8月份交的天然气费平均每立方米0.88元，该用户8月份的天然气用气量是多少？设该用户8月份的用气量为x立方米，列方程为（　　） A．60×0.8+1.2（x﹣60）＝0.88x B．60×0.8+1.2（x﹣60）＝0.88 C．60×0.8x+1.2（x﹣60）＝0.88x D．60x+1.2（x﹣60）＝0.88x 19． （2024•播州区模拟）一个人从县城骑车去乡村．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，需要再骑2千米才能赶到乡村，求县城到乡村的总路程． 20．（2024•株洲）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米。古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内 　 　 。 （2） 请列方程解决这个问题。 21．（2024•庆云县模拟）实验小学举行“放歌新时代，欢乐庆六一”合唱活动，其中三、四、五年级组织了合唱表演，其中四年级有40人，请根据表中的信息完成以下问题。 三年级 比四年级人数的70%多4人 四年级 比五年级的人数少 五年级参加合唱表演的有多少人？（先选择相关的信息，再画线段图，列方程解答） 重点难点考点05：列方程解三步应用题(相遇问题) 22．（2024•渝北区）甲乙两车同时从东、西两城出发，甲车在超过中点20千米的地方与乙车相遇，已知甲车所走的路程与乙车所行路程的比是7：6，东西两城相距多少千米？ 23．（2024•肥乡区）一条健身跑道全长1200米。假期爸爸和小明分别从该步道的两端同时出发，相向而行。爸爸每分跑85米，小明每分跑75米，两人多长时间能相遇？（列方程解答） 24．（2024•祁县）淘气家和奇思家相距1240米，一天两人约定在两家之间的路上会合。淘气每分钟走75米，奇思每分钟走80米。两人同时从家出发，多长时间后能相遇？（列方程解答） 25．（2024•正定县）甲乙两车从相距450千米的AB两地同时相对而行，已知甲车每小时行100千米，乙车每小时比甲车慢20%。这样几小时能相遇？可列方程解答。 26． （2024•西市区）甲、乙两地相距400千米，一辆客车每时行70千米，一辆小汽车每时行90千米，两辆车同时从两地出发，多长时间后能相遇？（列方程解答） 重点难点考点06：列方程解含有两个未知数的应用题 27．（2024•重庆）面值5元和面值10元的人民币若干张，共计175元，10元的张数是5元张数的3倍，则10元的人民币有 　 　 张。 28．（2024•渝北区）今年三月第一周，某苗圃批发商家售出梧桐树苗和杉树苗共100棵，其中梧桐树苗每棵售价40元，杉树苗每棵售价35元，当周销售两种树苗共获销售额3800元。 （1）第一周售出梧桐树苗多少棵？ （2）第二周因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价金额相同，但降价金额不得高于10元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低1元，梧桐树苗的销售量会增加2棵，杉树苗的销售量会增加3棵。若该商家第二周销售两种树苗一共获得的销售额比第一周多出300元，则两种树苗的价格都降了多少元？ 29．（2024•铅山县）在2个同样的大纸箱和4个同样的小纸箱里装满了书，正好是480本。若每个大纸箱比每个小纸箱多装15本，则每个大纸箱和每个小纸箱各装多少本？ 30．（2024•惠山区）端午节是我国的传统节日之一，吃粽子和咸鸭蛋是端午节的一项重要习俗。小红妈妈去超市买了同一品牌的30个粽子和60个咸鸭蛋，一共花了300元。咸鸭蛋的单价比粽子单价少4元，粽子的单价是多少元/个？ 31．（2024•闵行区）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年小升初数学二轮复习●重点难点●常考类型题培优满分特训（全国通用） 第二讲 式与方程 （升学考向预测+知识梳理+6个考点分类真题训练 共31题） 目录 资料简介 2 重点知识点2025年升学考向预测 2 主要知识点 2 重点难点 2 考察方向 2 预测难度 2 重点难点考点知识梳理 3 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 3 知识点梳理02：等式与方程 3 知识点梳理03：列方程解应用题 4 考点分类真题汇编特训 4 重点难点考点01：用字母表示数 4 重点难点考点02：含字母式子的求值 7 重点难点考点03：解方程 12 重点难点考点04：列方程解应用题（两步需要逆思考） 14 重点难点考点05：列方程解三步应用题(相遇问题) 18 重点难点考点06：列方程解含有两个未知数的应用题 20 同学你好，小升初复习阶段非常注重基础知识点的理解、掌握和运用。在一轮复习中我们已经对细致的知识点有了很好的把握，重点题型有了更深的认识和领会，在二轮复习阶段。主要强化有一定难度，常见常考易错类专题！数的运算、式与方程、比和比例、典型应用题等类型题是考察重中之重！为了能够方便同学们快速获取重点难点压轴题型，精选2024年全国各地名校真题，模拟题等进行强化巩固！相信能够很好的帮助你冲刺提分！ 祝：2025考试顺利，再创佳绩！ 主要知识点 1. 用字母表示数与含字母式子的求值（如三位数表达、数量关系建模）； 2. 方程意义与解法（等式性质、移项简算、含分数/百分数的方程）； 3. 列方程解应用题（两步逆推、行程问题、比例分配、隐含数量关系分析）。 重点难点 • 复杂数量关系建模（如混合比例、多未知数问题）； • 新定义符号运算（结合逻辑推理的规则转化）； • 跨知识点融合（方程与几何、统计结合，如面积计算中的变量关系）。 考察方向 • 生活化情境（水电阶梯计价、购物优惠方案对比）； • 逻辑推理题型（数字谜、等式性质逆向应用）； • 多步骤综合题（方程解行程问题、比例应用题）。 预测难度 • 基础题50%（单一方程解法、直接列式）； • 中档题30%（两步应用题、简算变形）； • 难题20%（多未知数问题、新定义运算），整体难度稳中有升，侧重逻辑分析与建模能力。 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 重点提示： 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点梳理02：等式与方程 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点梳理03：列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 重点难点考点01：用字母表示数 1．（2024•墨竹工卡县模拟）是以12为分母的最简真分数，则自然数a的取值有（　　）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】分子和分母只有公约数1的分数是最简分数，分子小于分母的分数是真分数，据此可找出与12只有公约数1且小于12的数，进而求出a的值，从而确定a有几个。 【完整解答】解：1和12的公约数只有1，a+1＝1，a＝0； 5和12的公约数只有1，a+1＝5，a＝4； 7和12的公约数只有1，a+1＝7，a＝6； 11和12的公约数只有1，a+1＝11，a＝10； 答：自然数a的取值有0，4，6，10四个。 故选：B。 【考点点拨】本题重点考查了学生根据最简分数和真分数的意义解决问题的能力。 2．（2024•福州）小明的年龄与身高的关系如图所示。如果用h表示小明的身高，用x表示他10～15岁阶段平均每年长高的厘米数，那么他12岁时的身高是（　　）cm。 A．h＝51+2x B．h＝112+2x C．h＝135+2x D．h＝168+2x 【思路点拨】根据图示可知，小明10岁时，身高是135厘米，用12岁减去10岁，经过2年，平均每年长高x厘米，2年长高2x厘米，则12岁时身高是135+2x，据此解答即可。 【完整解答】解：h＝135+（12﹣10）×x ＝135+2×x ＝（135+2x）厘米 故选：C。 【考点点拨】此题考查用字母表示数及运用统计图表解决问题。 3．（2024•建始县）画图表示对式子2x+7的理解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】2x+7表示2个x的和与7相加，即x+x+7，根据此进行判断即可。 【完整解答】解：A选项表示7﹣2x； B选项表示（x+7）×2＝2x+14； C选项表示x+x+7＝2x+7； D选项表示2x+7x＝9x。 故选：C。 【考点点拨】此题考查的是用字母表示数，关键要弄清图中的数量关系。 4．（2024•渝中区）某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 （1）小明第一次购买15千克苹果，需要付费 　90　 元； （2）小明第二次购买苹果x千克（x超过20千克但不超过40千克）需要付费 　（5x+20）　 元（用含x的式子表示）； （3）小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含a的式子表示） 【思路点拨】（1）图中可以知道：15千克在“不超过20千克的部分”按6元/千克收费，再计算即可解答； （2）按x超过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的（x﹣20）千克按5元/千克来收费，最后再把2个费用相加； （3）根据题意可知，第一次购买的数量小于50千克：分0＜a≤20、20＜a≤40、40＜a≤50三种情况讨论计算即可解答。 【完整解答】解：（1）15×6＝90（元） 答：需要付费90元。 （2）20×6+5（x﹣20） ＝120+5x﹣100 ＝5x+20 答：小明第二次购买苹果x千克（x超过20千克但不超过40千克）需要付费（5x+20）元。 （3）因为两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，所以a＜50，第二次购买（100﹣a）千克； 当0＜a≤20时，则80≤100﹣a＜100 需要付费为： 6a+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40） ＝6a+120+100+400﹣4a﹣160 ＝（2a+460）元 当20＜a≤40时，则60≤100﹣a＜80 需要付费为： 6×20+5×（a﹣20）+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40） ＝120+5a﹣100+120+100+400﹣4a﹣160 ＝（a+480）元 当40＜a≤50时，则50＜100﹣a＜60 需要付费为： 6×20+5×20+4×（a﹣40）+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40） ＝120+100+4a﹣160+120+100+400﹣4a﹣160 ＝520（元） 答：两次购买水果共需要付费（2a+460）元、（a+480）元或520元。 故答案为：90；（5x+20）。 【考点点拨】此题考查了用字母表示数的知识，要求学生掌握。 5．（2024•西城区）预测孩子成年后身高的方法有很多，其中“父母身高预测法”是以父母身高与子女身高的关系创造出的一组预测公式，用F表示父亲身高，M表示母亲身高，具体公式如下。 男孩身高＝（F+M）×1.08÷2 女孩身高＝（F×0.923+M）÷2 王强是一个男孩，他父亲的身高是170cm，母亲的身高是160cm，按照上面的公式预测，王强成年后的身高是 　178.2　 cm。 【思路点拨】把父亲的身高是170cm，母亲的身高是160cm代入公式（F+M）×1.08÷2，解答即可。 【完整解答】解：（170+160）×1.08÷2 ＝330×1.08÷2 ＝178.2（厘米） 答：王强成年后的身高是178.2cm。 故答案为：178.2。 【考点点拨】能求含字母式子的值，是解答此题的关键。 重点难点考点02：含字母式子的求值 6．（2024•郸城县）若a﹣b＝8，b﹣c＝3，则a﹣c＝（　　） A．5 B．8 C．11 D．无法确定 【思路点拨】根据被减数﹣减数＝差的关系，由a﹣b＝8，得：a＝b+8，由b﹣c＝3，得：c＝b﹣3，然后把a＝b+8，c＝b﹣3代入a﹣c，计算即可。 【完整解答】解：由a﹣b＝8，得：a＝b+8，由b﹣c＝3，得：c＝b﹣3 所以a﹣c ＝b+8﹣（b﹣3） ＝b+8﹣b+3 ＝11 故选：C。 【考点点拨】熟练掌握被减数、减数、差的关系以及代入求值法是解题的关键。 7．（2024•米东区）蟋蟀的鸣叫是大自然的音乐，并且蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系。人们发现某地某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数和气温之间有以下的关系：用蟋蟀1分钟鸣叫的次数除以7，再加上3，结果等于该地当时的气温（单位℃）。 （1）如果用T表示该地当时的气温，m表示蟋蟀每分钟鸣叫的次数，请用含有字母的式子表示T和m的关系。 （2）当m＝203时，该地当时的气温是多少摄氏度？ 【思路点拨】（1）该地当时的气温＝蟋蟀每分钟鸣叫的次数÷7+3，代入字母，可写出含有字母的式子表示T和m的关系； （2）把m＝203代入含有T和m的关系的式子中，求出该地当时的气温。 【完整解答】解：（1）T＝m÷7+3 （2）把m＝203代入T＝m÷7+3中， T＝m÷7+3 ＝203÷7+3 ＝29+3 ＝32（摄氏度） 答：该地当时的气温是32摄氏度。 【考点点拨】找出等量关系式是解答本题的关键。 8．（2024•锦江区）昆虫爱好者发现，某地的蟋蟀每分叫的次数与气温之间的近似关系为：t＝n÷7+3（t表示摄氏温度，n表示蟋蟀叫的次数）。照这样计算，当气温为25摄氏度时，蟋蟀每分叫 　154　 次。 【思路点拨】将t＝25代入t＝n÷7+3，然后解关于n的方程即可。 【完整解答】解：将t＝25代入t＝n÷7+3。 n÷7+3＝25 n÷7+3﹣3＝25﹣3 n÷7＝22 n÷7×7＝22×7 n＝154 答：当气温为25摄氏度时，蟋蟀每分叫154次。 故答案为：154。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握用字母表示数的方法，灵活利用代入法及方程的解法解决问题。 9．（2024•青白江区）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系是：b＝2a﹣10（b表示码数，a表示厘米数）。那么40码的鞋应该是 　25　 厘米。 【思路点拨】将b＝40代入b＝2a﹣10，解关于a的方程即可。 【完整解答】解：b＝40代入b＝2a﹣10。 2a﹣10＝40 2a﹣10+10＝40+10 2a＝50 2a÷2＝50÷2 a＝25 答：40码的鞋应该是25厘米。 故答案为：25。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握用字母表示数的方法，灵活利用代入法及方程的解法解决问题。 10．（2024•九龙坡区）一个三位数的中间一位数字是x，它比首位数字大3，是末位数字的一半。用含有x的式子表示出这个三位数的值。当x＝4时，这个三位数是多少？ 【思路点拨】先用x减去3，确定出这个三位数百位上的数字；再用x乘2，确定出这个三位数个位上的数字；然后根据数位上的数表示的意义，用含x的算式表示出这个三位数，最后求出当x＝4时，这个三位数是多少即可。 【完整解答】解：100×（x﹣3）+10x+2x ＝100x﹣300+10x+2x ＝112x﹣300 当x＝4时，112x﹣300＝112×4﹣300＝148。 答：含有x的式子表示出这个三位数是112x﹣300，当x＝4时，这个三位数是148。 【考点点拨】解答本题需熟练掌握用字母表示数的方法，准确理解数位上的数表示的意义，灵活利用代入法求含有字母的算式的值。 11．（2024•荔城区）六年级的妹妹看到姐姐作业本里有一道这样的方程：x2+x＝240，她想尝试计算。你能试着用所学的知识来求出x的值吗？请写出过程：　x2+x＝x（x+1），240＝15×16，x＝15　 。 【思路点拨】x2+x＝240的x2+x可写乘x（x+1），两个相邻整数的乘积是240，可知这两个数为15×16。据此即可求出x的值，据此解答即可。 【完整解答】解：x2+x＝x（x+1） 240＝15×16 所以x＝15。 故答案为：x2+x＝x（x+1），240＝15×16，x＝15。 【考点点拨】本题考查两位数乘两位数的计算。注意计算的准确性。 12．（2024•天宁区）下面图（　　）不能用方程“xx＝120”来表示。 A． B． C． D． 【思路点拨】观察各个选项的图，根据图中的数学信息找出等量关系，列出方程，找出不能用方程“xx＝120”来表示的选项即可。 【完整解答】解：A： 把120平均分成了4份，其中的3份是x，剩下的1份是3份的，就是x，把这四份加起来就是120，所以可以用方程“xx＝120”来表示； B： 6÷18 左边和右边的三角形等高，右边三角形的底是左边三角形底的，所以右边三角形的面积是左边三角形面积的，左边三角形的面积是x平方厘米，那么右边三角形的面积就是x平方厘米，它们的和就是梯形的面积120平方厘米， 所以可以用方程“xx＝120”来表示； C： 圆锥与圆柱等底等高，那么圆锥的体积是圆柱体积的。圆柱的体积是x立方厘米，则圆锥的体积就是x立方厘米，它们的体积和是120立方厘米，所以可以用方程“xx＝120”来表示； D： 把总面积120平方米平均分成了3份，其中的2份种苹果，还剩下1份，剩下的1份是苹果总面积的，种苹果的面积是x平方米，那么剩下的面积是x平方米，它们的和是120平方米，用方程“xx＝120”来表示，而不是方程“xx＝120”来表示。 故选：D。 【考点点拨】本题综合考查了列方程解应用题，以及分数乘法的意义，三角形的面积公式、等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的关系，注意找清楚每个选项中的等量关系，列出方程，从而求解。 重点难点考点03：解方程 13．（2024•广州模拟）解方程． 2x+3×0.9＝24.7 0.3：x＝17：51 0.5 【思路点拨】（1）先计算3×0.9＝2.7，根据等式的性质，等式两边同时减去2.7，然后等式的两边同时除以2； （2）根据比例的基本性质，把原式化为17x＝0.3×51，然后等式的两边同时除以17； （3）根据等式的性质，等式两边同时乘上x，把原式化为0.5x＝3.2，然后等式的两边同时除以0.5． 【完整解答】解：（1）2x+3×0.9＝24.7 2x+2.7＝24.7 2x+2.7﹣2.7＝24.7﹣2.7 2x＝22 2x÷2＝22÷2 x＝11； （2）0.3：x＝17：51 17x＝0.3×51 17x÷17＝0.3×51÷17 x＝0.9； （3）0.5 x＝0.5×x 0.5x＝3.2 0.5x÷0.5＝3.2÷0.5 x＝6.4． 【考点点拨】解方程是利用等式的基本性质，即等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式的两边仍然相等；等式的两边同时加或减同一个数，等式的两边仍然相等；解比例是利用比例的基本性质，即比例的两个内项的积等于两个外项的积． 14．（2024•黄埔区）解方程。 （1） （2） 【思路点拨】（1）根据等式的性质等式两边同时减，再同时乘4，即可求解； （2）先根据比例的性质转化成方程，再根据等式的性质等式两边同时乘，即可求解。 【完整解答】解：（1） x＝1 （2） 【考点点拨】熟练掌握根据等式的性质求方程的解是解答本题的关键。 15．（2024•渝北区）解方程。 （1）2021（x﹣2）﹣（1﹣3x）＝2019x+2 （2） 【思路点拨】（1）根据乘法分配律计算2021（x﹣2）＝2021x﹣2×2021＝2021x﹣4042，得到2021x﹣4042﹣（1﹣3x）＝2019x+2，再根据去括号得到2021x﹣4042﹣1+3x＝2019x+2，再化简得到2024x﹣4043＝2019x+2，根据等式的基本性质，方程两边同时减去2019x，得到5x﹣4043＝2，根据等式的基本性质，方程两边同时加上4043，再同时除以5计算即可解答。 （3）根据等式的基本性质，方程两边的每个项分别乘6，得到3（2﹣x）﹣18＝2x﹣（2x+3），再根据乘法分配律、去括号和化简，得到﹣3x＝9，再根据等式的基本性质，方程两边同时除以﹣3计算即可解答。 【完整解答】解：（1）2021（x﹣2）﹣（1﹣3x）＝2019x+2 2021x﹣2021×2﹣（1﹣3x）＝2019x+2 2021x﹣4042﹣（1﹣3x）＝2019x+2 2021x﹣4042﹣1+3x＝2019x+2 2021x+3x﹣4042﹣1＝2019x+2 2024x﹣4043＝2019x+2 2024x﹣2019x﹣4043＝2019x﹣2019x+2 5x﹣4043＝2 5x﹣4043+4043＝2+4043 5x＝4045 5x÷5＝4045÷5 x＝809 （2） 63×6 3（2﹣x）﹣18＝2x﹣（2x+3） 6﹣3x﹣18＝2x﹣2x﹣3 6﹣3x﹣18＝﹣3 6﹣3x﹣18+18＝﹣3+18 6﹣3x＝15 ﹣3x＝15﹣6 ﹣3x＝9 ﹣3x÷（﹣3）＝9÷（﹣3） x＝﹣3 【考点点拨】本题考查了解方程的方法和计算能力。 重点难点考点04：列方程解应用题（两步需要逆思考） 16．（2024•重庆模拟）A、B、C三件衬衫的价格打折前合计1040元，打折后合计948元，已知A衬衫的打折幅度是9.5折，B衬衫的打折幅度是9折，C衬衫的打折幅度是8.75折，打折前A、B两件衬衫的价格比为5：4，问打折前A、B、C三件衬衫的价格各是多少元（　　） A．500元，400元，140元 B．300元，240元，500元 C．400元，320元，320元 D．200元，160元，680元 【思路点拨】根据打折前A、B的价格比为5：4，设A的原价为5x元，B的原价价为4x元，则C的原价为1040﹣5x﹣4x＝（1040﹣9x）元。打折后总金额为各商品打折后的价格之和。折扣转换为小数：A为9.5折即0.95，B为9折即0.9，C为8.75折即0.875。根据打折后总金额为948元，列出方程：0.95×5x+0.9×4x+0.875×（1040﹣9x）＝948，解出x的值。将x代入表达式，分别求出A、B、C的原价。 【完整解答】解：设A的原价为5x元，B的原价价为4x元，则C的原价为1040﹣5x﹣4x＝（1040﹣9x）元。 0.95×5x+0.9×4x+0.875×（1040﹣9x）＝948 4.75x+3.6x+910﹣7.875x＝948 0.475x+910＝948 0.475x+910﹣910＝948﹣910 0.475x＝38 x＝80 A：5×80＝400（元） B：4×80＝320（元） C：1040﹣9×80 ＝1040﹣720 ＝320（元） 答：问打折前A衬衫的价格是400元，B衬衫的价格是320元，C衬衫的价格是320元。 故选：C。 【考点点拨】解答本题的关键是找出题目中蕴含的等量关系，根据等量关系列出方程。 17．（2024•大渡口区）果园里梨树有480棵，______，苹果树有x棵。如果用方程可以求出苹果树的棵数，那么需要补充的信息是（　　） A．梨树比苹果树多 B．苹果树比梨树少 C．苹果树比梨树多 D．梨树比苹果树少 【思路点拨】根据方程可知，题中的等量关系是：苹果树的棵数×（1）＝梨树的棵数，把苹果树的棵数看作单位“1”，需要补充的条件是梨树比苹果树少，据此作答。 【完整解答】解：可以求出苹果树的棵数，表示数量关系为： 苹果树的棵数×（1）＝梨树的棵数 需要补充的条件：梨树比苹果树少。 故选：D。 【考点点拨】本题解题的关键是把苹果树的棵数看作单位“1”，根据算式分析等量关系，然后匹配相应的条件。 18．（2024•郫都区校级模拟）某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果用气量超过60立方米，则超过的部分每立方米按1.2元收费。若某用户8月份交的天然气费平均每立方米0.88元，该用户8月份的天然气用气量是多少？设该用户8月份的用气量为x立方米，列方程为（　　） A．60×0.8+1.2（x﹣60）＝0.88x B．60×0.8+1.2（x﹣60）＝0.88 C．60×0.8x+1.2（x﹣60）＝0.88x D．60x+1.2（x﹣60）＝0.88x 【思路点拨】8月份的天然气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：60×0.8+超过60米的立方数×1.2＝0.88×所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用天然气的立方米数，乘以0.88即为天然气费。 【完整解答】解：设该用户8月份的用气量为x立方米。 60×0.8+（x﹣60）×1.2＝0.88×x 48+1.2x﹣72＝0.88x 0.32x＝24 x＝75 75×0.88＝66（元） 答：该用户8月份的用气量为66立方米。 故选：A。 【考点点拨】判断出天然气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到天然气费的等量关系是解决本题的关键。 19．（2024•播州区模拟）一个人从县城骑车去乡村．他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米．又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，需要再骑2千米才能赶到乡村，求县城到乡村的总路程． 【思路点拨】我们设原来的速度为x米/分．30x是全程的一半，（x+50）×20+2000，表示路程的一半，列方程求出原来的速度，再乘以30分钟就是路程的一半，乘以2就是全程的路程． 【完整解答】解：设原来的速度是每分钟行x米，根据题意列方程得： 30x＝（x+50）×20+2000 30x＝20x+1000+2000 10x＝3000 x＝300， 300×30×2＝18000（米）＝18（千米）． 答：县城到乡村的总路程是18千米． 【考点点拨】本题运用方程求出原来的速度，再运用“速度×时间＝路程”求出全程的路程． 20．（2024•株洲）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米。古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内 　①　 。 （2）请列方程解决这个问题。 【思路点拨】（1）先找到巨蜂鸟与古巴的吸蜜蜂鸟的体长之间的关系，即巨蜂鸟体长＝古巴的吸蜜蜂鸟体长×4+30毫米，据此选择即可。 （2）设古巴的吸蜜蜂鸟体长约为x毫米，根据找到的等量关系列方程，解方程即可。 【完整解答】解：（1）①正确表达了题目的意思。 （2）设古巴的吸蜜蜂鸟体长约为x毫米。 4x+30＝230 4x＝200 x＝50 答：古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是50毫米。 故答案为：①。 【考点点拨】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 21．（2024•庆云县模拟）实验小学举行“放歌新时代，欢乐庆六一”合唱活动，其中三、四、五年级组织了合唱表演，其中四年级有40人，请根据表中的信息完成以下问题。 三年级 比四年级人数的70%多4人 四年级 比五年级的人数少 五年级参加合唱表演的有多少人？（先选择相关的信息，再画线段图，列方程解答） 【思路点拨】根据题意，四年级有40人，比五年级的人数少，据此画出线段图，设五年级参加合唱表演的有x人，根据等量关系：五年级人数﹣四年级比五年级少的人数＝四年级人数，列方程解答即可。 【完整解答】解：四年级有40人，比五年级的人数少； 线段图如下： 设五年级参加合唱表演的有x人，根据题意可得： xx＝40 x＝40 x40 x＝50 答：五年级参加合唱表演的有50人。 【考点点拨】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 重点难点考点05：列方程解三步应用题(相遇问题) 22．（2024•渝北区）甲乙两车同时从东、西两城出发，甲车在超过中点20千米的地方与乙车相遇，已知甲车所走的路程与乙车所行路程的比是7：6，东西两城相距多少千米？ 【思路点拨】设出东西两城相距的距离为x千米，甲车在超过中点20千米的地方，用x表示出来；又因甲车所走的路程与乙车所行路程的比是7：6，可知道甲车所走的路程占东西两城距离几分之几，继而用x表示出来，两个联立方程问题得解． 【完整解答】解：设东西两城相距为x千米，由题意得， x+20x， xx＝20， x＝20， x＝520； 答：东西两城相距为520千米． 【考点点拨】解答此题的关键是找出用两种不同的式子表示出甲车所走的路程（或乙车所行路程），用同一个两连理方程解决问题． 23．（2024•肥乡区）一条健身跑道全长1200米。假期爸爸和小明分别从该步道的两端同时出发，相向而行。爸爸每分跑85米，小明每分跑75米，两人多长时间能相遇？（列方程解答） 【思路点拨】依据题意，设两人x分钟能相遇，利用两人速度和×相遇时间＝跑道长度，列方程计算即可。 【完整解答】解：设两人x分钟能相遇，由题意得： （85+75）x＝1200 160x＝1200 x＝7.5 答：两人7.5分钟能相遇。 【考点点拨】解决本题的关键是找出题中数量关系。 24．（2024•祁县）淘气家和奇思家相距1240米，一天两人约定在两家之间的路上会合。淘气每分钟走75米，奇思每分钟走80米。两人同时从家出发，多长时间后能相遇？（列方程解答） 【思路点拨】此题属于相遇问题，淘气走的路程加上奇思走的路程就是两家的距离，即淘气的速度×相遇的时间+奇思的速度×相遇的时间＝两家的距离，设出相遇的时间，列方程解答。 【完整解答】解：经过x分钟相遇. 75x+80x＝1240 155x＝1240 155x÷155＝1240÷155 x＝8 答：8分钟后能相遇。 【考点点拨】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：淘气走的路程+奇思走的路程＝总路程，再由关系式列方程解决问题。 25．（2024•正定县）甲乙两车从相距450千米的AB两地同时相对而行，已知甲车每小时行100千米，乙车每小时比甲车慢20%。这样几小时能相遇？可列方程解答。 【思路点拨】设两车x小时相遇，利用相遇问题公式：路程和＝速度和×时间，列方程求解即可。 【完整解答】解：设两车x小时相遇。 [100+100×（1﹣20%）]×x＝450 [100+80]×x＝450 180x＝450 x＝2.5 答：这样2.5小时能相遇。 【考点点拨】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程或甲车所行的路程+乙车所行的路程＝两地之间的距离；再由关系式列方程解决问题。 26．（2024•西市区）甲、乙两地相距400千米，一辆客车每时行70千米，一辆小汽车每时行90千米，两辆车同时从两地出发，多长时间后能相遇？（列方程解答） 【思路点拨】设x小时后能相遇，根据等量关系：（客车的速度+小汽车的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的距离，列方程解答即可。 【完整解答】解：设x小时后能相遇。 （70+90）×x＝400 160x＝400 x＝2.5 答：2.5小时后能相遇。 【考点点拨】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程。 重点难点考点06：列方程解含有两个未知数的应用题 27．（2024•重庆）面值5元和面值10元的人民币若干张，共计175元，10元的张数是5元张数的3倍，则10元的人民币有 　15　 张。 【思路点拨】根据题意知本题的数量关系：10元的张数×10+5元的张数×5＝175，据此数量关系，设出未知数列方程解答。 【完整解答】解：设5元人民币有x张，则10元人民币有3x张，根据题意得： 3x×10+5x＝175 30x+5x＝175 35x＝175 x＝5 3×5＝15（张） 答：10元的人民币有15张。 故答案为：15。 【考点点拨】本题的关键是找出题目中的数量关系，再列方程解答。 28．（2024•渝北区）今年三月第一周，某苗圃批发商家售出梧桐树苗和杉树苗共100棵，其中梧桐树苗每棵售价40元，杉树苗每棵售价35元，当周销售两种树苗共获销售额3800元。 （1）第一周售出梧桐树苗多少棵？ （2）第二周因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价金额相同，但降价金额不得高于10元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低1元，梧桐树苗的销售量会增加2棵，杉树苗的销售量会增加3棵。若该商家第二周销售两种树苗一共获得的销售额比第一周多出300元，则两种树苗的价格都降了多少元？ 【思路点拨】（1）依据题意设第一周售出梧桐树苗x棵，则售出杉树苗（100﹣x）棵，利用“当周销售两种树苗共获销售额3800元”列方程计算； （2）依据题意设两种树苗的价格都降了y元，利用“第二周销售两种树苗一共获得的销售额比第一周多出300元”列方程计算即可。 【完整解答】解：（1）设第一周售出梧桐树苗x棵，则售出杉树苗（100﹣x）棵，由题意得： 40x+35×（100﹣x）＝3800 40x+3500﹣35x＝3800 5x＝300 x＝60 答：第一周售出梧桐树苗60棵。 （2）设两种树苗的价格都降了y元，由题意得： （40﹣y）×（60+2y）+（35﹣y）×（40+3y）＝3800+300，化简得：y×y﹣17y+60＝0，则y＝5或y＝12（不符合要求，舍去） 答：两种树苗的价格都降了5元。 【考点点拨】解决本题的关键是找出题中数量关系。 29．（2024•铅山县）在2个同样的大纸箱和4个同样的小纸箱里装满了书，正好是480本。若每个大纸箱比每个小纸箱多装15本，则每个大纸箱和每个小纸箱各装多少本？ 【思路点拨】设每个小纸箱装x本，则每个大纸箱装（x+15）本，根据等量关系：每个大纸箱装的本数×大纸箱的个数+每个小纸箱装的本数×小纸箱的个数＝480本，列方程解答即可。 【完整解答】解：设每个小纸箱装x本，则每个大纸箱装（x+15）本。 2×（x+15）+4x＝480 2x+30+4x＝480 6x＝450 x＝75 75+15＝90（本） 答：每个大纸箱装90本，每个小纸箱装75本。 【考点点拨】解答此题的关键是，根据题意设出未知数，并根据数量关系列方程。 30．（2024•惠山区）端午节是我国的传统节日之一，吃粽子和咸鸭蛋是端午节的一项重要习俗。小红妈妈去超市买了同一品牌的30个粽子和60个咸鸭蛋，一共花了300元。咸鸭蛋的单价比粽子单价少4元，粽子的单价是多少元/个？ 【思路点拨】设粽子的单价为x元/个，则咸鸭蛋的单价是（x﹣4）元/个，根据购买粽子的钱数+购买咸鸭蛋的钱数＝300元，列方程解答。 【完整解答】解：设粽子的单价为x元，则咸鸭蛋的单价是（x﹣4）元/个。 30x+60（x﹣4）＝300 30x+60x﹣240＝300 90x﹣240＝300 90x﹣240＝300 90x＝540 x＝6 答：粽子的单价是6元/个。 【考点点拨】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系列方程解答。 31．（2024•闵行区）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 【思路点拨】设（1）班参加的人数为x人，则没参加的人数为（48﹣x）人，（2）班没参加的人数为（2x﹣5）人，参加的人数[48﹣（2x﹣5）]人；（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人，则（2）班参加的人数还可以表示为[（48﹣x）﹣1]人，根据两种方法表示的（2）班参加的人数相等列出方程求出（1）班参加的人数，进而求出（2）班参加的人数。 【完整解答】解：设（1）班参加的人数为x人。 48﹣（2x﹣5）（48﹣x）﹣1 48﹣2x+5＝24x﹣1 53﹣2x＝23x 1x＝30 x＝20 48﹣（2x﹣5） ＝48﹣（2×20﹣5） ＝48﹣（40﹣5） ＝48﹣35 ＝13（人） 答：六年级（1）班有20人参加模型比赛，六年级（2）班有13人参加模型比赛。 【考点点拨】本题比较复杂，要注意找清楚题目中的数量关系和等量关系，列出方程求解 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$