第10章 分式（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第10章 《分式》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D．x+y 2．（3分）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．±5 D．0 3．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 5．（3分）下列关于x的方程①5，②，③x﹣1，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．3＝﹣2x﹣5 B．3＝2x﹣5（1﹣2x） C．3（2x﹣1）＝2x（1﹣2x）﹣5 D．3＝﹣2x﹣5（1﹣2x） 7．（3分）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（　　） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 9．（3分）关于x的方程的解为正数，则a的取值范围为（　　） A．a＜10 B．a＜10且a≠7 C．a＜0 D．a＜0且a≠﹣3 10．（3分）2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）把a kg的盐溶在b kg的水中，那么在m kg这种盐水中的含盐量为　　kg． 12．（3分）分式与的最简公分母是　　． 13．（3分）若3，求的值　　． 14．（3分）化简　　． 15．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　　． 16．（3分）a2﹣3a+1＝0，则的值为　　． 17．（3分）已知关于x的方程无解，则m的值为　　． 18．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　　． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（8分）（1）约分：①；②； （2）通分：． 20．（6分）先化简：，然后从﹣2，﹣1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值． 21．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 22．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．（8分）已知关于x的分式方程． （1）若该方程的增根为x＝2，求m的值； （2）若该方程有增根，求m的值． （3）若该方程无解，求m的值． 24．（8分）定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“　　阶差分式”． （2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 25．（10分）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 26．（10分）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 《分式》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D．x+y 【详解】解：A、是整式，不合题意； B、是整式，不合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不合题意． 故选：C． 2．（3分）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．±5 D．0 【详解】解：由题意可知：，解得：x＝﹣5． 故选：A． 3．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不合题意； B、，原分式不是最简分式，不合题意； C、，原分式不是最简分式，不合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：D． 4．（3分）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【详解】解：由题意可知：， ∴分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍． 故选：D． 5．（3分）下列关于x的方程①5，②，③x﹣1，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①5，③x﹣1，④属于整式方程； ②的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程． 故选：A． 6．（3分）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．3＝﹣2x﹣5 B．3＝2x﹣5（1﹣2x） C．3（2x﹣1）＝2x（1﹣2x）﹣5 D．3＝﹣2x﹣5（1﹣2x） 【详解】解：原方程两边同乘（1﹣2x）得：3＝﹣2x﹣5（1﹣2x）． 故选：D． 7．（3分）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：原式 ， ∴A+B+C＝1，3A+2B+C＝0，2A＝2，解得：A＝1，B＝﹣3，C＝3， ∴A+B+2C＝1﹣3+6＝4． 故选：D． 8．（3分）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（　　） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【详解】解：， 由分式有意义的条件可知：（a+1）（a﹣1）≠0，解得：a≠1且a≠﹣1， ∴a的最小值为2， ∵分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 9．（3分）关于x的方程的解为正数，则a的取值范围为（　　） A．a＜10 B．a＜10且a≠7 C．a＜0 D．a＜0且a≠﹣3 【详解】解：， 2﹣a+5＝x﹣3， x＝10﹣a， ∵当x＝10﹣a＝3，即a＝7时，方程无意义， ∴a≠7， ∵关于x的方程的解为正数， ∴x＝10﹣a＞0，即a＜10， 综上，a的取值范围为a＜10且a≠7． 故选：B． 10．（3分）2025年我国黄海休渔时间表：5月1日中午12点到9月16日中午12点．受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大．小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同．现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定．若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（　　） A．小明妈妈方案实惠 B．小明方案实惠 C．两种方案一样实惠 D．哪种方案实惠需由两次单价决定 【详解】解：设这两次单价分别为a，b（a≠b）， 小明妈妈购买方案：每次所购买的数量固定，假设每次购买的数量为Q， 则总花费为Q（a+b），总数量为Q+Q＝2Q， ∴平均单价为：， ∴小明妈妈方案的平均单价为， 小明的购买方案：每次购买的总金额固定， 假设每次购买总金额为A，则第一次购买数量为：，第二次购买的数量为，总花费为：A+A＝2A， ∴总数量为：， ∴平均单价为： ∴小明方案的平均单价为， ， ∴， ∴小明方案的单价低于小明妈妈的单价， ∴小明的方案优惠． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）把a kg的盐溶在b kg的水中，那么在m kg这种盐水中的含盐量为　　kg． 【详解】解：在m kg这种盐水中的含盐量为：m（kg）． 故答案为：． 12．（3分）分式与的最简公分母是　　． 【详解】解：由据题意可知：，， ∴分式与的最简公分母是（x+3）（x﹣3）2． 故答案为：（x+3）（x﹣3）2． 13．（3分）若3，求的值　　． 【详解】解：∵3， ∴a2+b2＝3ab， ∴原式． 故答案为：． 14．（3分）化简　　． 【详解】解：原式 •（） •（） ． 故答案为：． 15．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　　． 【详解】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%， ∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米， 由题意可得：30． 故答案为：30． 16．（3分）a2﹣3a+1＝0，则的值为　　． 【详解】解：∵a2﹣3a+1＝0， ∴a﹣30，即a3， ∴原式＝（a）2﹣2＝9﹣2＝7． 故答案为：7． 17．（3分）已知关于x的方程无解，则m的值为　　． 【详解】解：， 去分母得：mx﹣1＝2（x+1）， 去括号得：mx﹣1＝2x+2， 移项得：mx﹣2x＝2+1， 合并同类项得：（m﹣2）x＝3， ∵关于x的方程无解， ∴当整式方程无解时，m﹣2＝0，解得：m＝2； 当整式方程的解为分式方程的增根时，x＝﹣1，即，解得：m＝﹣1； 综上，m的值为2或﹣1． 故答案为：2或﹣1． 18．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　　． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥5， 解不等式②得：x＞a+2， ∵解集为x≥5， ∴a+2＜5， ∴a＜3； 分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2）， 解得：y， ∵分式方程有非负整数解， ∴0，为整数， ∴a≥﹣2，a为偶数， ∵2， ∴a≠2； 综上，﹣2≤a＜3且a≠2且a为偶数， ∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，0，和为﹣2+0＝﹣2． 故答案为：﹣2． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（8分）（1）约分：①；②； （2）通分：． 【详解】解：（1）①； ②； （2）由题意可得：， ． 20．（6分）先化简：，然后从﹣2，﹣1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值． 【详解】解：原式（） • ＝x+1， ∵x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0， ∴x≠±1且x≠0， ∴x可以取﹣2， 当x＝﹣2时，原式＝﹣2+1＝﹣1． 21．（8分）解分式方程： （1）； （2）． 【详解】解：（1）， 方程两边乘以x﹣1，得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）， 去括号、移项，得：﹣x﹣3x＝﹣3﹣2+2， 合并同类项，得：﹣4x＝﹣3， 系数化为1，得：， 经检验，是原分式方程的解； （2）， ， 方程两边乘以（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 去括号、移项，得：x2﹣x2+2x＝8﹣4， 合并同类项，得：2x＝4， 系数化为1，得：x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 22．（8分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1）原式• ； （2）原式 ； （3）原式 • ； （4）原式• • • ． 23．（8分）已知关于x的分式方程． （1）若该方程的增根为x＝2，求m的值； （2）若该方程有增根，求m的值． （3）若该方程无解，求m的值． 【详解】解：（1）， 去分母得：2（x+3）+mx＝x﹣2，即（m+1）x＝﹣8， ∵该方程的增根为x＝2， ∴2（m+1）＝﹣8，解得：m＝﹣5； （2）若分式方程有增根，则增根为x＝2或x＝﹣3， 由（1）可知：原分式方程去分母后得到（m+1）x＝﹣8， 当x＝2时，2（m+1）＝﹣8，解得：m＝﹣5， 当x＝﹣3时，﹣3（m+1）＝﹣8，解得：， 综上，m＝﹣5或； （3）由（2）可知：当m＝﹣5或，方程有增根，则分式方程无解； 由（1）可知：原分式方程去分母后得到（m+1）x＝﹣8， 当m+1＝0，即m＝﹣1时，方程（m+1）x＝﹣8无解， 综上，m＝﹣5或或m＝﹣1． 24．（8分）定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“　　阶差分式”． （2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 【详解】解：（1）∵， ∴分式是分式的“1阶差分式“， 故答案为：1； （2）∵A是分式的“2阶差分式”， ∴， ∵A的值为正整数， ∴3﹣x＝1或2或3或6，解得：x＝2或1或0或﹣3， ∵x取正整数， ∴x＝2或1， ∴当x＝2时，， 当x＝1时，， ∴A的值为6或3． 25．（10分）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【详解】解：（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元， 由题意可得：，解得：x＝18， 经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣8＝10， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”， 由题意可得：18a+10（60﹣a）≤1000，解得：a≤50， 设总利润为w元， 由题意可得：w＝（30﹣18）a+（18﹣10）（60﹣a）＝4a+480， ∵4＞0， ∴w最a的增大而增大， ∴当a＝50时，w有最大值，w最大＝4×50+480＝680， 此时，60﹣a＝10， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 26．（10分）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【详解】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； （2）将代入方程，则原方程可化为； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解， 当y＝1时，，该方程无解， 当y＝﹣1时，，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$