精品解析：2025年江苏省徐州市九年级中考一模数学试题

2024—2025学年度第二学期一模检测 九年级数学试题 （本卷共6页，全卷共140分，考试时间120分钟；答案全部涂、写在答题卡上） 一、选择题（本大题有8小题，每题3分，共24分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有理数a，b在数轴上位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解我国总人口变化情况，小祺查阅资料，收集了2016年年连续8年我国总人口变化的数据，并绘制了如图所示的条形统计图．根据统计图，下列推断合理的是（ ） A. 2016年年全国总人口数逐渐增长 B 2016年年全国总人口数逐渐下降 C. 2016年年全国总人口增长数逐渐下降 D. 2016年年全国总人口增长数先增长后下降 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有10个小题，每题3分，共30分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 11. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 12. 春节期间，《哪吒之魔童闹海》燃爆大银幕，大幅度刷新中国影史春节档最高票房记录．据国家电影局统计，截至2月5日9时，2025年春节档（1月28日至2月4日）电影票房9510000000元，将9510000000用科学记数法表示为_______． 13. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______． 14. 关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为_______． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，过点D作的切线，切点为C，若，则________． 16. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 17. 《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是________ 18. 如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为________． 三、解答题（本大题有10个小题，共86分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 2024年12月4日，我国春节申遗成功，并被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为了解学生对于春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，现从该校七，八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀）． 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 89.5 a 10.3 八年级 88 b 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_______，_______，_______． （2）若该校七年级有700名，八年级有800名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七，八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 22. 中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为_______； （2）小明和小红分别从中随机抽出1张卡片（放回），用列表或画树状图的方法，求两人抽到相同卡片的概率． 23. 如图，在中，E、F分别是边、上的点，且，连接，，. （1）求证：； （2）若E、F分别是边、的中点，则当________°时，四边形是菱形. 24. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题． 25. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 26. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 27. 已知四边形，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，连接，在边上作出一个点，使得； （2）如图②，边上作出一个点，使得． 28. 如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． （1）若正方形的边长为，则的周长为________； （2）求证：； （3）与存在怎样的位置关系？请说明理由； （4）求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期一模检测 九年级数学试题 （本卷共6页，全卷共140分，考试时间120分钟；答案全部涂、写在答题卡上） 一、选择题（本大题有8小题，每题3分，共24分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值．从数轴上获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，，，则，，，，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，，， ∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键． 5. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算以及无理数的估算． 利用二次根式的性质先化简，计算，利用平方法估算即可解答． 【详解】解；， ∵ ∴， ，即， 故选 B． 6. 为了解我国总人口变化情况，小祺查阅资料，收集了2016年年连续8年我国总人口变化的数据，并绘制了如图所示的条形统计图．根据统计图，下列推断合理的是（ ） A. 2016年年全国总人口数逐渐增长 B. 2016年年全国总人口数逐渐下降 C. 2016年年全国总人口增长数逐渐下降 D. 2016年年全国总人口增长数先增长后下降 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，读懂统计图并从统计图中得到必要的信息是解题的关键．根据统计图即可得出结论． 【详解】解：根据统计图，2016年年全国总人口增长数逐渐下降． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案． 【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0） ∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1）， ∴所得抛物线对应的函数表达式为， 故选B 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所给圆锥侧面展开图的圆心角是，根据圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长，构建方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角是， 根据题意，得：， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角是． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长． 二、填空题（本大题有10个小题，每题3分，共30分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 11. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 12. 春节期间，《哪吒之魔童闹海》燃爆大银幕，大幅度刷新中国影史春节档最高票房记录．据国家电影局统计，截至2月5日9时，2025年春节档（1月28日至2月4日）电影票房9510000000元，将9510000000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______． 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析：因为正多边形的外角和是360度，若这个正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是360÷20=18.是正十八边形. 考点：正多边形的边角计算. 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：9． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，过点D作的切线，切点为C，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据切线的性质的得到，根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 17. 《九章算术》代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（尺寸）”．问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径是________ 【答案】26寸 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，利用垂径定理，勾股定理解决问题即可． 【详解】解：∵是半径， ∴， ∵寸，寸， ∴寸， 在中，， ∴， ∴寸， ∴寸． 故答案为：26寸． 18. 如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接．则长的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先求得正方形的边长，取的中点G，连接，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则有最小值，此时即可求得这个值． 【详解】解：如图，连接，取的中点G，连接， ∵是圆内接正方形，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 当点C、F、G在同一直线上时，有最小值，如下图： 最小值是：， 故答案为：． 三、解答题（本大题有10个小题，共86分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2018 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算． （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的意义，以及算术平方根定义计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自求解方法和解题步骤是解题的关键； （1）通过去分母转化为整式方程，即可求解； （2）分别解两个不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）方程两边同乘，得 解得 检验：当时，， ∴原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 21. 2024年12月4日，我国春节申遗成功，并被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为了解学生对于春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，现从该校七，八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀）． 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 89.5 a 10.3 八年级 88 b 94 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_______，_______，_______． （2）若该校七年级有700名，八年级有800名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七，八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）93，88.5，35 （2）670人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数和众数，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数和众数确定方法，求出的值，用类学生的人数除以总人数求出的值； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的数据中出现次数最多的是93， ∴； ∵八年级类学生的人数为：；类学生人数为：7， ∴第10个和第11个数据分别为：，， ∴，； 【小问2详解】 （人） 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有670人． 22. 中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为_______； （2）小明和小红分别从中随机抽出1张卡片（放回），用列表或画树状图的方法，求两人抽到相同卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人抽到相同卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种， ∴从中随机选取一张卡片，抽到是的卡片主题是勾股定理的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带卡片分别记为A，B，C，D，用表格列出所有可能的结果： 小红 结果 小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中4种符合题意． （两人抽到相同卡片）． 23. 如图，在中，E、F分别是边、上的点，且，连接，，. （1）求证：； （2）若E、F分别是边、的中点，则当________°时，四边形是菱形. 【答案】（1）见解析;（2）90. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质利用SAS即可证明； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，. 在和中， ∴; （2）当时，为直角三角形， ∵点E为边的中点， ∴. 同理可得， 又∵， ∴. ∴. ∴四边形菱形. 故答案为：90. 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的证明，解题的关键是熟知平行四边形的性质及菱形的判定定理. 24. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题． 【答案】人数为人，物品的价格为钱 【解析】 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．设人数为人，物品的价格为钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱， 由题知，， 解得：， 答：人数为人，物品的价格为钱． 25. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出C点坐标，进而求出直线的解析式，设，则，根据得，列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，过点， ∴ 解得， ； 【小问2详解】 当时，， ， 设直线的解析式为，把代入，得：， ， 设，则：， ， ，即：， 解得：或（舍去）， ，， ， ． 27. 已知四边形，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，连接，在边上作出一个点，使得； （2）如图②，在边上作出一个点，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）作△ABD的外接圆，与BC交点就是所求点； （2）在延长线上截取，在（1）的基础上，可知作外接圆即可，该圆与交点即为所求点． 【详解】解：（1）如图①，点即为所求． 作AD、AB的垂直平分线，以交点为圆心，这一点到A的距离为半径作圆，该圆与交点即为所求点． （2）如图②，点即为所求． 在延长线上截取，在（1）的基础上，可知作外接圆即可，该圆与交点即为所求点． 【点睛】本题考查了尺规作图，根据所求，依据同弧所对的圆周角相等，构造三角形的外接圆是解题关键． 28. 如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． （1）若正方形的边长为，则的周长为________； （2）求证：； （3）与存在怎样的位置关系？请说明理由； （4）求证：为定值． 【答案】（1）8 （2）见解析 （3），理由见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转及正方形的性质可证明，得，进而可得答案； （2）结合题意，由正方形的性质可知，，得，进而可证明结论； （3）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，可证得，从而得，即可得结论； （4）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，即，证得，得，由（2）可知，得．同理可得，得，由即可证明结论． 【小问1详解】 解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则的周长， 故答案为：8； 【小问2详解】 证明：四边形为正方形，，． ，， ， ． 【小问3详解】 ，理由如下： 四边形为正方形， ． 由（2）可知，， ， ． ，即． 【小问4详解】 证明：四边形ABCD为正方形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ． 由（2）可知， ，即． 同理可得， ，即． ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，证明，利用相似三角形的性质转化边之间的关系是解决的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $