精品解析： 广东省佛山市南海实验中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024-2025学年度第一学期初三期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图．在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路阴影，余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求小路宽的值所列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在用配方法解一元二次方程的过程中配方正确的是（ ） A. (x+3)2=8 B. (x-3)2=8 C. (x+3)2=1 D. (x-3)2=10 4. 如图，小明同学用自制直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是矩形中边的中点，交于点，的面积为2，则四边的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 若关于的方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 7. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如表所示： 体积 压强 则可以反映与之间的关系的式子是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 13. 一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000 摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601 根据以上数据，估计摸到白球的概率约为_______（精确到0.01） 14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴，反比例函数在第一象限的图象经过顶点C，．若的面积为10，则k的值为______． 15. 如图，正方形ABCD边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为_____． 三、解答题一（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 曹老师家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角，为节省家里空间小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高，垃圾桶，桶盖直径．（参考数据：，，），问： （1）若，求垃圾桶盖打开张角的度数？ （2）垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？ 18. 如图是小明收集的第19届亚洲运动会的四枚纪念徽章，其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示． （1）小明从这四枚徽章中随机抽取一枚，抽到会徽徽章的概率是______． （2）小明从这四枚徽章中随机抽取两枚送给小红，求小明抽到两枚吉祥物徽章的概率． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求长． 20. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 五、解答题二（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，，点C为射线上一点且纵坐标为8，连接，过点C作轴，过点A作交于点B． （1）请直接写出直线的函数表达式； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）点F在，上运动，现从点C出发，沿路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），连接EF，EB ①当时，请直接写出的面积S与运动时间的函数关系式； ②请直接写出的面积为9时t的值； 23. 如图1，在矩形中，，点为中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2．连接分别交，于点，，若， ①求证：． ②求的长． （3）设直线交于点，连接．记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期初三期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：如图所示， 几何体主视图是： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 如图．在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路阴影，余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求小路宽的值所列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：剩余部分可合成长为，宽为矩形， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 3. 在用配方法解一元二次方程的过程中配方正确的是（ ） A. (x+3)2=8 B. (x-3)2=8 C. (x+3)2=1 D. (x-3)2=10 【答案】B 【解析】 【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【详解】解：对于x2-6x=-1， 则x2-6x+9=-1+9， 即（x-3）2=8， 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 4. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：在和中， 即 解得：， 即树高． 故选：B． 5. 如图，是矩形中边的中点，交于点，的面积为2，则四边的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接EC，证明，可得，再根据等高的三角形面积之比等于底之比可求得，再根据三角形中线平分三角形的面积求得，由此可求对应四边形面积． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴AD∥BC， AD=BC， ∴， ∵是矩形中边的中点， ∴, ∴， 连接EC， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，三角形中线的有关面积计算．正确构造辅助线，并理解等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键． 6. 若关于的方程无实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的情况之间的关系是解题的关键． 根据关于的方程无实数根可得，解该一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：关于的方程无实数根， ， 解得：， 故选：． 7. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将代入即可求出k的值，再根据解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵，，，， ∴这个函数的图象一定经过，故C正确． 故选：C． 8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如表所示： 体积 压强 则可以反映与之间的关系的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是根据表格的信息，得该函数是反比例函数，设解析式为，把，代入，得到，即可． 【详解】解：由表格可得，得该函数是反比例函数， ∴设解析式为， ∴， 把，代入， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设扶梯的长度为x米，利用正弦的定义得到，然后求出x即可，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【详解】解：设扶梯的长度为x米， 由题意得，， 解得, 故选D． 10. 如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，由点，的坐标知道，，由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解，关键是由菱形的性质，勾股定理求出的长． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13. 一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000 摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601 根据以上数据，估计摸到白球的概率约为_______（精确到0.01） 【答案】0.60 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，摸到白球的频率在0.600左右摆动， 所以根据以上数据估计，摸到白球的概率约为0.60． 故答案：0.60． 14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴，反比例函数在第一象限的图象经过顶点C，．若的面积为10，则k的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】过点作轴于点，利用证明，可得，利用等腰的面积为10，可得，进而利用勾股定理可得，可知点的横坐标为2，纵坐标为6，由此可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵的坐标为， ∴， ∵是等腰直角三角形且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为2， ∵在中，， ∴点的纵坐标为6， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查坐标与图形，反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，解题的关键是通过构造全等三角形求出点C的坐标． 15. 如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点G作GP⊥AD，垂足为P，可以得到△BGF∽△PGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，进而求出每个小正方形的边长． 【详解】解：如图所示： ∵正方形ABCD边长为25， ∴∠A=∠B=90°，AB=25， 过点G作GP⊥AD，垂足为P，则∠4=∠5=90°， ∴四边形APGB是矩形， ∴∠2+∠3=90°，PG=AB=25， ∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠FGB， ∴△BGF∽△PGE， ∴= ， ∴= ， ∴GB=5． ∴AP=5． 同理DE=5． ∴PE=AD﹣AP﹣DE=15， ∴EG==5， ∴小正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和相似三角形的性质和勾股定理，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题一（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用求根公式法解一元二次方程，掌握并熟练应用求根公式是解题的关键． 根据一元二次方程的求根公式代入即可求解． 【详解】解：因为， 所以， ， 所以方程的解为． 17. 曹老师家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角，为节省家里空间小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高，垃圾桶，桶盖直径．（参考数据：，，），问： （1）若，求垃圾桶盖打开张角的度数？ （2）垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？ 【答案】（1） （2）桶盖完全打开没有碰到桌子下沿 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图所示，连接，根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得答案； （2）如图所示，过点C作分别交于F、H，则四边形是矩形，可得，解得到， 则，由此即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴垃圾桶盖打开张角的度数为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作分别交于F、H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴桶盖完全打开没有碰到桌子下沿． 18. 如图是小明收集的第19届亚洲运动会的四枚纪念徽章，其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示． （1）小明从这四枚徽章中随机抽取一枚，抽到会徽徽章的概率是______． （2）小明从这四枚徽章中随机抽取两枚送给小红，求小明抽到两枚吉祥物徽章的概率． 【答案】（1） （2）小明抽到两枚吉祥物徽章的概率 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法或列表法求概率．掌握树状图的画法是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明抽取的结果有种等可能结果，抽到会徽徽章的结果只有种，故概率是； 【小问2详解】 依题意得，画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两枚吉祥物徽章的结果数为6种， 所以小明抽到两枚吉祥物徽章的概率． 四、解答题二（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 小问1详解】 证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 20. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 五、解答题二（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，，点C为射线上一点且纵坐标为8，连接，过点C作轴，过点A作交于点B． （1）请直接写出直线的函数表达式； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）点F在，上运动，现从点C出发，沿路线向点A以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t（秒），连接EF，EB ①当时，请直接写出的面积S与运动时间的函数关系式； ②请直接写出的面积为9时t的值； 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）根据点A，E的坐标，利用待定系数法即可求出的函数表达式； （2）两组对边平行的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，再证，可知四边形是菱形； （3）①时，点F在线段上，求出，边上的高即可求出的面积S；分点F在线段上和在线段上两种情况，分别求解． 【小问1详解】 解：直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点E，，， ，， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， 直线的函数表达式为， 点C为射线上一点， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 轴， ， 又， 四边形是平行四边形； 如图，设与y轴交于点D， 点C为射线上一点且纵坐标为8， ， 将代入，得， 解得， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：①由（2）知四边形是菱形， ， 点A以每秒2个单位的速度匀速运动， 时，点F在线段上，， ， ，， 中边上的高， 的面积； ②的面积为9，点F在线段上时， 由①中结论得， 解得，符合要求； 的面积为9，点F在线段上时， 由题意知， 如图，作于点， 则， 又， ， 解得， 的面积， 解得， 综上可知，的面积为9时t的值为2或． 【点睛】本题考查特殊平行四边形上动点问题，涉及待定系数法求一次函数解析式，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等，第3问有一定难度，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 23. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2．连接分别交，于点，，若， ①求证：． ②求的长． （3）设直线交于点，连接．记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值． 【答案】（1），理由见解析 （2）①详见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）先说明，再证明，由，得，即可解决问题， （2）①证明，得，，得四边形是平行四边形，再由，得是菱形，由相似三角形各边成比例，得，，得，求出，得，得，从而；②利用勾股定理计算即可； （3）先证，分两种情况：第一种情况，如图3，的正切值为，即，第二种情况，如图4，的正切值为，即，利用相似基本图形相关线段长度，分别求，，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折至， ， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：①连接 ，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ∴， ， ，得， ， ②在中，, 在中，. 【小问3详解】 解：，，， ， ， ， 第一种情况，如图3， 图3 ∵的正切值为，即 ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ，即, ，， ， ∵， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ∴ 第二种情况：如图4， 图4 ∵的正切值为，即， 同理可得，，，， ，， ， ∴ 综上所述或 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质，菱形判定，全等三角形的综合问题，正切的定义，解决此题关键在于利用相似三角形的性质求出相关线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$