精品解析：广东省梅州市学艺中学2024-2025学年下学期八年级开学学情调查数学试卷

梅州市学艺中学2024-2025学年度第二学期八年级开学学情调查 数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在，0，，1.7中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.7 2. 若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2 7. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同位角相等 9. 若点在第四象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 14. 如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是___． 15. 在中，，的角平分线交于点E，点D为中点，连接，，，则____________________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 为丰富校园文化生活，激发学生对家乡的了解与热爱，某校举办了以“爱我成都”为主题的绘画比赛，学生们用画笔描绘出了自己眼中的成都，展现了这座城市的独特魅力．现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的作品数量为 份，并补全条形统计图； （2）此次被抽取的参赛作品成绩的众数是 ；此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是 ； （3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？ 19. 2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． （1）请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ （2）该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 20. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）在轴上找一点，使得的值最小，求点P的坐标？ （3）在轴上找一点，使的面积与的面积相等，求点Q的坐标？ 22. （1）如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，． ①求证：； ②若，求CD的长． （2）如图2，已知线段AB，CD相交于点O，OE平分，交AC于点E，． ①求证：； ②若，，求的度数． 23. 已知点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； （3）点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市学艺中学2024-2025学年度第二学期八年级开学学情调查 数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在，0，，1.7中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故不符合题意； C、是无理数，故符合题意； D、1.7是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点到坐标轴的距离，根据到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离则是点的横坐标的绝对值解题． 【详解】解：∵点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6， ∴，， 又∵点M在第三象限， ∴点M坐标是， 故选：A． 3. 已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 【答案】D 【解析】 【详解】①若40°是顶角，则底角==70°；②若40°是底角，那么顶角 =180°﹣2×40°=100°．故选D． 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 5. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的性质，由，则，然后根据角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2， 则中位数是1.5， 1.5出现次数最多，故众数是1.5． 故选：A． 7. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式解集的表示方法是解题的关键．根据不等式解集的表示方法，即可解答． 【详解】解：若不等式的解集为，在数轴上表示如图所示： 故选：D． 8. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 全等三角形的对应角相等 D. 同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角、线段公理、全等三角形的性质、平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9. 若点在第四象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．根据点为第四象限内的点，可得 ，进而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：∵点为第四象限内的点， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 比较大小：_____．（填“>” “<”或 “=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及实数的大小比较，先整理，再比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴的点的坐标规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接写出答案即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为： 13. 如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是___． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 在中，，的角平分线交于点E，点D为中点，连接，，，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先导角证得，再根据D是中点构造倍长中线全等，延长到点F，使，易证，再构造等腰直角三角形，过B作于点G，，求出和，进而得到和，最后利用勾股定理在中和中分别表示出，建立方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 延长到点F，使， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过B作于点G，则， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式＝﹣57+|﹣8| ＝﹣51． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 18. 为丰富校园文化生活，激发学生对家乡的了解与热爱，某校举办了以“爱我成都”为主题的绘画比赛，学生们用画笔描绘出了自己眼中的成都，展现了这座城市的独特魅力．现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的作品数量为 份，并补全条形统计图； （2）此次被抽取的参赛作品成绩的众数是 ；此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是 ； （3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？ 【答案】（1）100， 补全条形统计图如图所示： （2）8，8 （3）估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有240份 【解析】 【分析】（1）根据9分的作品数量和所占百分比可求出抽取的作品数量，求出8分作品的数量即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的定义及计算方法进行计算即可； （3）求出样本中成绩不低于9分所占的百分比，进而估计总体中不低于9分所占的百分比，再根据频率频数总数进行计算即可． 【小问1详解】 解：（1）从两个统计图可知，成绩为9分的作品数量是25件，占抽取作品数量的， 所以抽取作品的数量为：（件）， 成绩为8分的作品数量为：（件）， 【小问2详解】 解：由图知，成绩为8分的数量为40且最多，故众数为8； 将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，中位数是第50，51份的平均数，处在中间位置的两个数都是8分，因此成绩的中位数是8分． 故答案为：8，8； 【小问3详解】 解：（份）， 答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有240份． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数、中位数以及样本估计总体，从统计图中正确获取信息是正确解答的前提． 19. 2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． （1）请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ （2）该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】（1）香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 （2）总利润的最大值是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； 【小问2详解】 设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 20. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）在轴上找一点，使得的值最小，求点P的坐标？ （3）在轴上找一点，使的面积与的面积相等，求点Q的坐标？ 【答案】（1） 如图，即为所求， 5 （2）如图， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标系描点、一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据点的坐标画出图形，再利用分割法求出三角形ABC的面积； （2）先找到点关于轴的对称点，连接交轴一点，可得的值最小，进而可得点的坐标； （3）设，根据的面积与的面积相等构建方程求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：作关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， 设的表达式为， 将，代入得：， 解得： ， 当时，， ． 【小问3详解】 解：设， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 22. （1）如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，． ①求证：； ②若，求CD的长． （2）如图2，已知线段AB，CD相交于点O，OE平分，交AC于点E，． ①求证：； ②若，，求的度数． 【答案】 （1）①证明：， ， ，， ， 在和中，， ， ； ②； （2）①证明∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②． 【解析】 【分析】（1）①可直接利用证明； ②根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间作差可得； （2）①根据角平分线的定义得到，再根据补角的性质得到，即可证明； ②根据已知得到，再根据三角形外角的性质计算可得结果． 【详解】（1）①略 ②解：由①知， ， ， ； （2）解：①略 ②∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定，三角形外角的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 已知点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； （3）点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 【答案】（1） （2）P的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出，分点在下方和上方，两种情况进行求解即可； （3）分T在O上方和T在O下方，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 联立，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在直线下方时：， ∴， 当时，， ∴； 当点在直线上方时：， ∴， 当时，， ∴； 综上：或． 【小问3详解】 当T在O上方时，过T作轴于M，过Q作于N，如图： ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 此时， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴T； 当T在O下方时，同理可得T， ∴T的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $