精品解析： 广西南宁市横州市百合镇第三初级中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试题

2024年秋季学期期中教学质量检测试题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形图 C. 希尔伯特曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在圆的面积公式中，与的关系是（ ） A. 一次函数关系 B. 正比例函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 4. 方程的解是（　　） A. 0 B. 2 C. D. 0或2 5. 如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 11. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值0，有最大值2 B. 有最小值0，有最大值3 C. 有最小值，有最大值2 D. 有最小值，有最大值3 12. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ③⑤ C. ①④ D. ④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 拋物线的对称轴是____________轴． 14. 小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 15. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为______． 16. 如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则__________． 17. 某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请____________个球队参赛． 18. 如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 解方程：． 20. 解方程： 21. 如图是二次函数的图象，根据图象回答以下问题 （1）抛物线的对称轴是直线____________； （2）当____________时，二次函数有最____________值（填大或小），是____________； （3）当____________时，随的增大而增大． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）画出将绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出的坐标． （2）写出点关于原点O对称的点的坐标． 23. 如图，某男生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求出这条抛物线所表示的函数解析式． 24. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 25. 阅读材料：若，求与的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求与的值． （2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长． 26. 学习“旋转”这章书后，老师让大家用两个全等三角形纸片动手操作探究问题；已知，，． （1）“兴趣小组”如图1所示放置和，使得平分，请判断四边形是哪种特殊的四边形，并证明你的结论． （2）“智慧小组”利用“兴趣小组”的图形继续探究：在（1）的基础上将（1）中的绕点C逆时针旋转（旋转角小于），使得与的延长线相交于点F．请证明此时． （3）“创新小组”则是将（1）中的绕点C顺时针旋转（旋转角小于），若，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期中教学质量检测试题 九年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形图 C. 希尔伯特曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；根据一元二次方程的定义逐项判定即可． 【详解】解：A．不含有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 在圆的面积公式中，与的关系是（ ） A. 一次函数关系 B. 正比例函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如（是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：圆的面积公式中，与的关系是二次函数关系， 故选：． 4. 方程的解是（　　） A. 0 B. 2 C. D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法将方程看成两个一元一次方程的乘积为0，分别求解即可． 【详解】解：或， ∴． 故选：D． 5. 如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是把旋转的图形分为上下两个部分，根据面动成体分别求出上下两部分旋转后的图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的几何体是一个圆台， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．根据顶点式可得答案． 【详解】解：二次函数是顶点式， ∴二次函数的顶点坐标是：． 故选：C． 7. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为 1 ，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转性质，是解决此题的关键，根据旋转变换的性质得出,根据，求出，进而计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ， 故选：A． 9. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图形平移的问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后， 抛物线的解析式为， 故选：A． 10. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，正确理解二次函数与一元二次方程的关系． 根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴有两个交点， ∴当时，此时使得成立的的值有两个， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：． 11. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值0，有最大值2 B. 有最小值0，有最大值3 C. 有最小值，有最大值2 D. 有最小值，有最大值3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 12. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ③⑤ C. ①④ D. ④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点． 根据抛物线的对称轴方程得到，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到，则利用可判断，利用抛物线与轴的交点位置得到，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， 即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ， ， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ， ∴，所以②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，所以③错误； ∵抛物线与轴的一个交点为， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标，所以④正确； 当时，，所以⑤错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 拋物线的对称轴是____________轴． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 14. 小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为3，F为边上一点，． 将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，掌握正方形和旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得、，由勾股定理得，即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转可得：，， ∵正方形的边长为3， ∴、， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请____________个球队参赛． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球队要和除自己以外的个球队进行次比赛，所以个球队进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排 21场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得：， 解方程可得：（舍去）， 答：应邀请7个球队参加比赛． 故答案为：7． 18. 如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边通过提公因式，平方差公式因式分解，右边等于0，因式分解法解方程更简便． 【详解】解：方程左边因式分解得：， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．也可以用其它方法解． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：， ， 或， ． 21. 如图是二次函数的图象，根据图象回答以下问题 （1）抛物线的对称轴是直线____________； （2）当____________时，二次函数有最____________值（填大或小），是____________； （3）当____________时，随的增大而增大． 【答案】（1） （2），大，3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （2）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （3）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据二次函数的图象知，二次函数的顶点坐标为． 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，二次函数有最大值，是 3 ， 故答案为：，大， 3 ； 【小问3详解】 解：当时，随的增大而增大， 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）画出将绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出的坐标． （2）写出点关于原点O对称的点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求，的坐标； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是正确旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）作出点关于原点的对称点，写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点关于原点对称的点的坐标． 23. 如图，某男生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求出这条抛物线所表示的函数解析式． 【答案】这条抛物线所表示的函数解析式为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 由题意得，点，顶点坐标为，设这条抛物线所表示的函数解析式为，把点代入解析式求出的值即可． 【详解】解：由题意得，点，顶点坐标为， ∴设这条抛物线所表示的函数解析式为， 把点代入得， ， 解得：， ∴这条抛物线所表示的函数解析式为． 24. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个． （1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ （3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【解析】 【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论； （2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解； （3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题． 【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220； （2）由题意可得， （-2x+220）（x-40）=2400， 解得，，， ∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元． 答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元． （3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得 w=（-2x+220）（x-40）=， 当时，w有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题． 25. 阅读材料：若，求与的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求与的值． （2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1），； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值；； （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，从而得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为． 26. 学习“旋转”这章书后，老师让大家用两个全等三角形纸片动手操作探究问题；已知，，． （1）“兴趣小组”如图1所示放置和，使得平分，请判断四边形是哪种特殊的四边形，并证明你的结论． （2）“智慧小组”利用“兴趣小组”的图形继续探究：在（1）的基础上将（1）中的绕点C逆时针旋转（旋转角小于），使得与的延长线相交于点F．请证明此时． （3）“创新小组”则是将（1）中的绕点C顺时针旋转（旋转角小于），若，请直接写出的度数． 【答案】（1）四边形是菱形，证明过程见解答 （2）证明过程见解答 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，根据等边对等角，根据角平分线的定义，证明四边形是平行四边形，进而可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得出，再根据等边对等角，得出，进而得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，即可得到结论； （3）在上取一点，使得，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，进而得出，设，则，再根据等边对等角，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，得到的关系即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 证明：∵， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，在上取一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边对等角，平行线的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用知识，利用数形结合思想，作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $