专题17 二次根式（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题17 二次根式专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知x，y为实数，且，则y的最小值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列化简中错误的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 4．已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ） A．10 B．7 C．6 D．4 5．若是关于的一元二次方程的两根，则的值为（     ） A． B．8 C．2 D． 6．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若a，b，c是三角形的三边，，则 ． 8．已知实数x满足，则 ． 9．若，则 10．计算： ． 11．计算 ． 12．若不等式对任意实数都成立，则的最大值为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）已知，求： (1)； (2)． 14．（本题12分）若m满足关系式，求m的值． 15．（本题12分）设等腰三角形的腰为，底边为，底边上的高为． (1)如果，求； (2)如果，求． 16．（本题12分）求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 17．（本题12分）数学老师在讲完重要不等式：后，随手出了这样一道题目：解方程，你能求的值吗？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题17 二次根式专题测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知x，y为实数，且，则y的最小值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的意义，根据二次根式的性质得，结合绝对值的意义可得表示数轴上某个点x与0，，2三个点的距离之和，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴表示数轴上某个点x与0，，2三个点的距离之和， 由绝对值的意义可知：当时，y取得最小值3． 故选：C． 2．下列化简中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质；根据二次根式的性质及乘法运算进行判断即可． 【详解】解：前三个选项的计算均正确； 而，故计算错误； 故选：D． 3．已知，则的值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，设，进而得出，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设，则， ， ， ， 即的值为12， 故选：D． 4．已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ） A．10 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m，n的值，再代入进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：A． 5．若是关于的一元二次方程的两根，则的值为（     ） A． B．8 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得和的值，再代入求解即可． 【详解】解：方程整理得， ∵是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求的值，再求和的值，最后代入，根据根式运算法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．若a，b，c是三角形的三边，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形三边的关系，二次根式性质的化简，整式的加减，先根据三角形三边的关系去绝对值，化简二次根式，然后利用整体代入计算即可． 【详解】原式， 故答案为：4． 8．已知实数x满足，则 ． 【答案】2013 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故． 故答案为：2013． 9．若，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据完全平方公式以及二次根式的性质可得，从而得到，进而得到，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 所以． 故答案为：5 10．计算： ． 【答案】2010 【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键． 【详解】解：记， 则原式 ， 故答案为：2010． 11．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则． 【详解】解：原式 ． 12．若不等式对任意实数都成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得有最小值为6，又由得出当时，的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解． 【详解】解：， ∴ 当时，有最小值为6， ∵， ∴当时，的最小值为6， ∴， ∴解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题12分）已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算： （1）先根据完全平方公式变形得出，求出，再估算出，即，最后求出答案即可； （2）将式子变形，再将代入，进而可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ． （2）解：∵ ， ． 14．（本题12分）若m满足关系式，求m的值． 【答案】4024 【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值． 【详解】解：由可得， ∴ ∴ 15．（本题12分）设等腰三角形的腰为，底边为，底边上的高为． (1)如果，求； (2)如果，求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解． （1）知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解值； （2）知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求值． 【详解】（1）解：在等腰中，由勾股定理知， ， ， ， ， ， ． （2）解：同理在等腰中，由勾股定理知, ， ， ． 16．（本题12分）求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【答案】 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x=+， 两边平方得：x2=（）2+（）2+2， 即x2=4++4﹣+6， x2=14 ∴x=±． ∵+＞0，∴x=． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型． 17．（本题12分）数学老师在讲完重要不等式：后，随手出了这样一道题目：解方程，你能求的值吗？ 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，多项式除以单项式，二次根式的混合计算，先把原方程化为，再证明，进而得到，则，进一步推出，，即，又，则． 【详解】解：方程两边同除以得， ∴， 即， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，……， ∴， 又∵， ∴，，即， 又∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$