精品解析：2025年河南省南阳市方城县多校中招联考模拟一模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试试卷 命题信息卷（一）数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在古代的“算筹”计数系统里，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若将用红色算筹排列表示的数字60记为“”，那么用黑色算筹排列表示的数字40应记为（ ） A. B. C. D. 2. 数据显示，2025年中国人工智能核心产业规模预计突破7000亿元，占全球市场比重超过20%．将数据“7000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣”这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“荷”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 红 B. 日 C. 落 D. 酣 4. 如图，直线，的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知点A，B，C在上，C为的中点，若，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 2025年河南春晚舞蹈节目评选中，《蛇来运转》在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则《蛇来运转》节目最终得分为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 8. 如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 9. 对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点，P为边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆，过点P作的切线，交线段于点F，将沿翻折得到．当点恰好落在上时，点P的横坐标为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 洛阳市特产孟津梨是全国农产品地理标志产品．某超市孟津梨的标价是10元/千克．小华按七折购买了m千克，需付款__________元． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则b的值可以是__________． 13. 郑州作为河南省的省会城市，拥有悠久的历史和丰富多样的特色美食，如郑州合记烩面、蔡记蒸饺、葛记焖饼、方中山胡辣汤．现有四张卡片，正面分别印有以上四种美食图案，它们除正面外其他完全相同．小鼎同学把这四卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案恰好是郑州合记烩面和方中山胡辣汤的概率为__________． 14. 如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为__________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为__________；②__________°． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 中国人有在元宵节这一天吃汤圆的传统，某食品加工厂家为迎接元宵节的到来，组织员工举行包汤圆比赛，规定所包汤圆质量为时符合标准，其中质量为优秀．现从甲、乙两位员工所包汤圆中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：，，，，，，，，， 乙：，，，，，，，，， 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）在此次比赛中，甲员工共包了个汤圆，乙员工共包了个汤圆，请你估计两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数． （3）若要给所包汤圆质量较好的员工颁发奖品，你认为哪位员工应该获得奖品？请说明理由． 18. 如图，在中，D，E分别是边的中点． （1）尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 19. 【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，以点为圆心，长为半径作圆，与轴交于点，与轴交于点，连接． （1）求证：为线段的中点． （2）若，求点的坐标， 21. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 22. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． （1）b的值为 ． （2）已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 23. 综合与实践 在学习了特殊平行四边形——菱形后，启星学习小组的同学们进行了如下活动． 【提出问题】 小东提出了一个问题：在菱形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，的平分线所在直线交直线于点，连接，探究的度数． 【探究发现】 小东根据从特殊到一般的思路进行探究： （1）如图，当时，的度数为 ． （2）小东猜想当线段在如图所示的位置时，（1）中的结论仍然成立，请你结合图，判断小东同学的猜想是否正确，并说明理由． 【得出结论】 （3）请阅读下面小东和小惠的讨论片段，并补充完整． 小东：的度数始终等于． 小惠：不对，的度数不是始终等于．当点在菱形外时，；当点在菱形内时（如图）， ． 【拓展应用】 （4）当时，在绕点旋转的过程中，延长交于点．若是直角三角形，请直接写的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试试卷 命题信息卷（一）数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在古代的“算筹”计数系统里，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若将用红色算筹排列表示的数字60记为“”，那么用黑色算筹排列表示的数字40应记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 【详解】解：将用红色算筹排列表示的数字60记为“”，那么用黑色算筹排列表示的数字40应记为：． 故选：B． 2. 数据显示，2025年中国人工智能核心产业规模预计突破7000亿元，占全球市场比重超过20%．将数据“7000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：7000亿 故选：C． 3. “柳叶鸣蜩绿暗，荷花落日红酣”描绘了一幅夏日傍晚绚丽多彩且富有生机的情景．将“荷花落日红酣”这六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“荷”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 红 B. 日 C. 落 D. 酣 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：与“荷”字所在面相对面上的汉字是“红”， 故选：A． 4. 如图，直线，的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据，得出，根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：如图所示： ∵直线， ∴， ∴． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，运用相关知识计算各选项，然后再判断即可． 【详解】解：A.，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D． 6. 如图，已知点A，B，C在上，C为的中点，若，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，弧长公式，圆的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，根据圆的性质证明，从而证明是等边三角形，求出半径为，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】如解图，连接． C为的中点， ． ． ， ，． 又， 是等边三角形． ，即的半径为6． 的长为， 故选B． 7. 2025年河南春晚舞蹈节目评选中，《蛇来运转》在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则《蛇来运转》节目最终得分为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题关键．利用各项的得分乘以其所占的百分比，然后相加即可得． 【详解】解：由题意得： （分）， 故选：D． 8. 如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，结合勾股定理可得的长，再根据平行四边形的性质和判定，可得四边形为平行四边形，进而可得四边形的周长． 【详解】解：在中，，， ∴，． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴四边形的周长为． 故选：B． 9. 对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 根据新定义得到，再求不等式组的解集即可． 【详解】由题意，可得， 解不等式组，得， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点，P为边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆，过点P作的切线，交线段于点F，将沿翻折得到．当点恰好落在上时，点P的横坐标为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作于点M，则，证明，求出，，即点P的横坐标为4，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， 是的切线， ． 连接，如解图，则． 过点A作于点M，则． ∵，， 又， ． ． ． ． 又， ． ，， 即点P的横坐标为4， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 洛阳市特产孟津梨是全国农产品地理标志产品．某超市孟津梨的标价是10元/千克．小华按七折购买了m千克，需付款__________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，用百分数乘法进行列代数式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则b的值可以是__________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故b的值可以是0． 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 郑州作为河南省的省会城市，拥有悠久的历史和丰富多样的特色美食，如郑州合记烩面、蔡记蒸饺、葛记焖饼、方中山胡辣汤．现有四张卡片，正面分别印有以上四种美食图案，它们除正面外其他完全相同．小鼎同学把这四卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案恰好是郑州合记烩面和方中山胡辣汤的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，读懂题意，然后将郑州合记烩面、蔡记蒸饺、葛记焖饼、方中山胡辣汤分别记为1，2，3，4．再列表得出共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案恰好是郑州合记烩面和方中山胡辣汤的结果有2种，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，将郑州合记烩面、蔡记蒸饺、葛记焖饼、方中山胡辣汤分别记为1，2，3，4．列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表，可知共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案恰好是郑州合记烩面和方中山胡辣汤的结果有2种， 故其概率． 故答案为：． 14. 如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键．过点作于点，连接，由图象可知；当点N与点B重合时，；，先求得，推出，在利用勾股定理求得． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 由图象可知；当点N与点B重合时，；． 在中，由勾股定理，可得． ， ． 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为__________；②__________°． 【答案】 ①. ②. 45 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①根据题意以及正方形的性质证明为等腰直角三角形，求出，由勾股定理即可得到答案； ②由题意证明，根据全等三角形的性质和平移的性质得到为等腰直角三角形，即可求出答案． 【详解】解：①连接，如解图所示．由平移，可知，，则四边形为平行四边形． ，． 由正方形的性质，可知，． ． 为等腰直角三角形． ． 在中，由勾股定理， 可得． ②标记角，如解图． 由，，， ， ，． 由平移，得． ． ，， ．由平移，得． ． ． 为等腰直角三角形． ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要查了实数的混合运算，分式的混合运算： （1）先根据零指数幂，有理数的乘方，二次根式的乘法化简，再计算，即可求解； （2）先计算除法，然后计算减法，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 中国人有在元宵节这一天吃汤圆的传统，某食品加工厂家为迎接元宵节的到来，组织员工举行包汤圆比赛，规定所包汤圆质量为时符合标准，其中质量为优秀．现从甲、乙两位员工所包汤圆中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：，，，，，，，，， 乙：，，，，，，，，， 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）在此次比赛中，甲员工共包了个汤圆，乙员工共包了个汤圆，请你估计两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数． （3）若要给所包汤圆质量较好的员工颁发奖品，你认为哪位员工应该获得奖品？请说明理由． 【答案】（1）， （2）甲、乙两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数分别为， （3） 甲员工应该获得奖品， 理由如下：甲员工所包汤圆的优秀率比乙员工高，所以甲员工应该获奖； （或乙员工应该获得奖品，理由如下：甲、乙两位员工的平均数相同，但乙员工的方差比甲员工小，所以乙员工所包汤圆的质量更加稳定，所以乙员工应该获奖．）（理由合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的定义，利用样本估计总体以及用统计量作决策，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义解答即可； （2）利用样本估计总体解答即可； （3）根据优秀率或者平均数、方差作决策解答即可． 【小问1详解】 解：甲员工所包汤圆的中位数为， 乙员工所包汤圆的众数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲：（个）， 乙：（个）， 甲、乙两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数分别为，； 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，D，E分别是边的中点． （1）尺规作图：在边上找一点F，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） 如图，点F，线段即为所求． （2） 证明：如图，连接． ∵D，E分别是边的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴，即, ∴F为的中点． ∴是的中位线． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图，平行线分线段成比例以及三角形中位线的性质定理，正确作图是解答本题的关键． （1）作即可； （2）连接，证明是的中位线即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ． ． ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，以点为圆心，长为半径作圆，与轴交于点，与轴交于点，连接． （1）求证：为线段的中点． （2）若，求点的坐标， 【答案】（1） 证法一：由题意，知点，，在上，且， 为的直径， 为线段的中点； 证法二：由题意得， ，， ， ， 点，，三点共线， 为线段的中点； （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）证法一：利用直径所对的圆周角等于得出为的直径即可得证； 证法二：由题意得，证明点，，三点共线，即可得证； （2）过点分别作轴交轴于点，作轴交轴于点，由得为的中点，为的中点，由得，设，则，由作辅助线得四边形是矩形，所以点的坐标为，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式中解出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图，过点分别作轴交轴于点，作轴交轴于点， 由（1），知为线段的中点， ， 为的中点，为的中点， ， ， 设，则， ，， 由作辅助线得四边形是矩形， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得（负值已舍去）， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角等于，等边对等角，三角形内角和定理，正切的定义，反比例函数的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 21. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元 （2）购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需190元；购进6本类图书和2本类图书共需230元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为W元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每本A类图书的进价为a元，每本B类图书的进价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元． 【小问2详解】 解：设购进A类图书x本，购进B类图书y本，全部售出后所获利润为W元． 根据题意，得，解得． ∴，其中． ∵，∴W随x的增大而减小． ∴当时，W最大，，此时． 答：购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元． 22. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． （1）b的值为 ． （2）已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 【答案】（1）8 （2）①或；②当时，t有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像和性质是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点横坐标，再根据题意求出抛物线的顶点横坐标，即可得到答案； （2）①根据题意求出，根据题意得到，即可得到答案； ②由题意得，，得到，解得，当时，t有最小值，最小值为． 【小问1详解】 解：的顶点横坐标为， 抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍， 抛物线的顶点横坐标为， ， ； 故答案为：． 【小问2详解】 解：①点在抛物线上，， ． 点在抛物线上，， ， 整理，得， 解得或． ②由题意得，． ． ． ， ． ， ，解得． 易得对称轴为直线． ，且． 当时，t有最小值，最小值为． 23. 综合与实践 在学习了特殊平行四边形——菱形后，启星学习小组的同学们进行了如下活动． 【提出问题】 小东提出了一个问题：在菱形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，的平分线所在直线交直线于点，连接，探究的度数． 【探究发现】 小东根据从特殊到一般的思路进行探究： （1）如图，当时，的度数为 ． （2）小东猜想当线段在如图所示的位置时，（1）中的结论仍然成立，请你结合图，判断小东同学的猜想是否正确，并说明理由． 【得出结论】 （3）请阅读下面小东和小惠的讨论片段，并补充完整． 小东：的度数始终等于． 小惠：不对，的度数不是始终等于．当点在菱形外时，；当点在菱形内时（如图）， ． 【拓展应用】 （4）当时，在绕点旋转的过程中，延长交于点．若是直角三角形，请直接写的值． 【答案】（1）； （2）正确，理由如下：标记角如解图所示： 由旋转的性质，可知， 平分， ， 又， ， ， 在菱形中，，， ， ， ， 又， ； （3）； （4）或 【解析】 【分析】（1）设与交于点，证明得，由菱形的性质得，，所以，由等边对等角得，所以，再结合，所以； （2）标记角如解图所示，证明得，再根据菱形的性质得，，所以，由等边对等角得，所以，又，所以； （3）标记角如截图所示，解法一：证明得，即，由得，因为，所以，在中，，化简得，即，即可求解； 解法二：由得，由得，所以，，，所以； （4）分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】解：（1）设与交于点， 平分， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ， 又， ， ， 在菱形中，，， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）略 （3），如解图，标记角， 解法一：，，， ， ，即， ， ， ， ， 在中，， ，即； 解法二：， ， ， ， ， ， ， ， （4）或， 由题意，可分以下两种情况进行讨论：当时，如解图所示： 由（2），得， ， ； 当时，如解图所示： ， ， 过点作，交于点， 由（2），得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $