精品解析：黑龙江省大庆市2024-2025学年高三下学期第三次教学质量检测数学试题

大庆市2025届高三年级第三次教学质量检测 数学 2025.04 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合，再求交集即可. 【详解】集合，，则 故选：B. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 270 B. 225 C. 180 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式计算即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 则. 故选：C. 3. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解. 【详解】点对应的复数， 则， 所以. 故选：D 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式以及余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】 . 故选：A. 6. 如图所示，在 中，， ，点是的中点，点在上，且.若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，由点是的中点，， 得，， 则 ，解得. 故选：B. 7. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余 个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余 个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换、对称轴、单调性以及周期的相关知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则. 右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误. 对于B选项，若函数图象关于 对称，则 取最值.，， 是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确. 对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误. 对于D选项，正弦函数 周期，中， . ，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确. 故选：BD. 10. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值 C. 棱锥的外接球的体积为 D. 若点为长方形内一点（包含边界），且 平面 ，则 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A：假设垂直平面 ，会推出，进而垂直.又因垂直能证垂直平面，得到垂直，但实际不垂直，矛盾，所以不垂直平面 . 对于选项B：平行平面 ，上点到平面 距离相等，三棱锥体积不变，且，所以三棱锥体积为定值. 对于选项C：以 ，，构造长方体，其外接球和三棱锥外接球一样，根据长方体体对角线求半径，再用公式求球体积. 对于选项D：取中点连线段得平面平行平面 ，点轨迹是线段，在中作垂线求最小值，用余弦定理求角的余弦，再求正弦，进而得长度. 【详解】对于选项A，若平面 ，根据线面垂直的性质，可得. 因为，根据平行线的传递性，所以. 又因为，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可证 平面，所以. 但在正方体中不垂直于，这相互矛盾，所以不垂直于平面 ，故A错误. 对于选项B，易知平面 ，根据线面平行的性质，可知上的点到平面 的距离相等. 三棱锥的体积（为点到平面 的距离），由于上点到平面 距离相等，所以不变. 又因为，所以三棱锥的体积为定值，故B正确. 对于选项C，分别以 ，，为长、宽、高构造长方体，由于长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，且该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同. 设外接球半径为，已知 ，，的值，根据长方体体对角线公式（为体对角线，分别为长方体的长、宽、高），可得，则. 根据球的体积公式，可得，故C正确. 对于选项D，取的中点，取的中点，连接， ，，易知平面平面 . 因为点为长方形内一点，所以点的运动轨迹为线段. 在中，过点作，此时取得最小值. 由题意可知，，，. 根据余弦定理. 再根据，可得. 所以，故D错误. 故选：BC. 11. 过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意设出直线方程，与曲线方程联立，由求出，可直接判断B；利用裂项相消法求和可判断A；利用放缩法证明不等式可判断C；利用导数分析函数单调性证明不等式，可判断D. 【详解】由题意，设直线， 联立方程可得， 则，解得（负值舍去）， 所以，故B错误； 所以，故A正确； 因为， 又因为，则，即，所以， 则，故C正确； 因为，所以，且， 设函数，则，所以函数在上单调递增， 则，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 【答案】40 【解析】 【分析】先根据二项式定理求出展开式的通项公式，再通过令通项公式中的幂次等于，求出的值，最后将的值代入通项公式中关于系数的部分，从而得到的系数. 【详解】根据二项式定理，对于，其展开式的通项公式为. 进行化简， 所以. 令.解得. 将代入到中，所以，即的系数为40. 故答案为：40. 13. 已知定义域为的函数满足，且 ，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由迭代法可得函数的周期性，利用赋值法，可得答案. 【详解】由，令 代替，可得， 则，可得， 由，令，则， 所以. 故答案为： . 14. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再求出垂直于轴的平面截旋转体所得截面面积，利用祖暅原理求出体积. 【详解】双曲线的渐近线方程为，令直线交渐近线分别为及， 由，得，由，， 线段 绕轴旋转一周得到旋转体的一个截面，它是一个圆环， 圆环的内径，外径，此圆环面积为， 因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为 ，又旋转体的高为， 由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理把已知等式里角的正弦转化为边，得到边的关系．再用余弦定理，把边的关系代入求的值，最后结合角的范围确定的大小． （2）先根据二倍角公式将展开，结合正弦定理把边转化为角的正弦形式，进而确定的大小．再由三角形内角和求出．最后根据的值和已知的的值，用三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 已知，根据正弦定理化简可得，则，即． 再根据余弦定理，可得． 因为，所以． 【小问2详解】 已知，根据二倍角公式，则． 由正弦定理，已知，，则，即，所以． 将代入中，得到． 因为 ，所以，可得，解得． 又因为 ，所以． 因为三角形内角和为，所以． 已知，，可得 的面积为． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时， ，求实数的值. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增. （2）１ 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，然后根据导数的正负来判断函数的单调性；（2）结合函数的单调性求出函数的最小值，再根据最小值满足的条件来求解参数的值. 【小问1详解】 首先，确定函数 的定义域为. 然后，对求导，可得. 接下来，分情况讨论的正负： 当时，对于 ， ， ，所以 . 这表明在上单调递减. 当 时，令，即 ，则，解得. 当 时， ， ，所以，单调递减. 当 时， ， ，所以，单调递增. 综上所得，当时，在上单调递减； 当 时，在 上单调递减，在 上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知，当 时，在 上单调递减，在 上单调递增，所以在处取得最小值 . . 因为 ，所以 ，即 . 对不等式进行化简： ，即 . 令 ， ，对 求导，可得. 令 ，即 ，因为 ，所以 ，则 ，解得. 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减. 所以 在处取得最大值 . 因为 ，且 ，所以 ，此时. 17. 如图，在直角梯形中，，，， .已知，在平面的同侧， ，平面平面，. （1）求证： ； （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1） 已知 ， 是等腰三角形.因为 是的中点，所以. 同理，可得 . 因为 ，，且，平面. 所以 平面. 而平面，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质得到线线垂直，再根据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，最后依据直线与平面垂直的性质得到要证明的线线垂直. （2）先根据面面垂直的性质确定线面垂直关系，进而建立空间直角坐标系得到各点坐标；然后求出相关向量；接着通过法向量的性质求出平面 的法向量；最后利用向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由面面垂直的性质定理，因为平面平面，平面平面 ，且，平面 ，所以 平面. 过作，则平面，又， 以为原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 在中，已知，因为 为中点，所以，又，根据勾股定理. 由此可得各点坐标： ， ，， ，， . 所以，，. 因为，且，，所以. 又因为， ，所以. 设为平面 的法向量， 则，. 由可得，代入中，得到， 即，，进一步化简，则. 取，则，，所以. 设直线与平面 所成角为，则. 因为. 又，. 则， 即直线与平面 所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点，且 . （1）求椭圆的方程； （2）已知，是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线，分别交轴于，两点. （ⅰ）证明： ； （ⅱ）若点的坐标为，点为平面上一动点（不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2）（ⅰ）证明：设 ，则 ， 由 三点共线，得，则， 同理由 三点共线，得，而， 于是 ， 所以 . （ⅱ）在，定直线方程为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程. （2）（ⅰ）设出点 的坐标，利用三点共线列式，结合点在椭圆上计算即可；（ⅱ）利用斜率坐标公式，结合已知列式计算得解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率，得，则， 椭圆的半焦距 ，由过作，交椭圆于点， ， 得 ，解得 ，则， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设 ，直线 ， 则，由， 得，即 ， 整理得 ， 因此 ， 整理得 ，而点不在直线 上， 即 ，则 ，即 ， 解得 ，由（ⅰ）知 ，又，于是 ，即 ， 所以动点在定直线上，该定直线方程为. 19. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. （1）若是15项数列，当且仅当时， ，求数列的所有项的和； （2）已知，是两个不同的数列，且，，记，其中且. （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量 的分布列，并证明：. 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列举出数列的所有项，对应求和，可得答案； （2）（i）由题意，利用二项式定理求得总情况数，再利用组合与排列求得符合题意得情况数，根据古典概型可得概率公式，建立不等式组，可得答案；（ii）由（i）写出概率公式，根据组合的计算公式，结合数学期望的计算公式，可得答案. 【小问1详解】 因为是15项数列，当且仅当时， ， 所以当和时， ． 设数列的所有项的和为S，则 ， 所以数列的所有项的和为0． 【小问2详解】 （i）因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列，所以 的可能取值为：． 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当 时，则数列中有 项取值不同，有项取值相同， 从项中选择 项，和在 项的某一项数字相同， 其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题， 故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 令，化简可得，解得， 则当时，取得最大值. （ii）证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列，所以 的可能取值为：． 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同， 其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题， 故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市2025届高三年级第三次教学质量检测 数学 2025.04 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 270 B. 225 C. 180 D. 135 3. 在复平面内，点对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，， ，点是的中点，点在上，且.若，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 10. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值 C. 棱锥的外接球的体积为 D. 若点为长方形内一点（包含边界），且 平面 ，则 的最小值为2 11. 过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______. 13. 已知定义域为的函数满足，且 ，则______. 14. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当 时， ，求实数的值. 17. 如图，在直角梯形中，，，， .已知，在平面的同侧， ，平面平面，. （1）求证： ； （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点，且 . （1）求椭圆的方程； （2）已知，是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线，分别交轴于，两点. （ⅰ）证明： ； （ⅱ）若点的坐标为，点为平面上一动点（不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 19. 若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. （1）若是15项数列，当且仅当时， ，求数列的所有项的和； （2）已知，是两个不同的数列，且，，记，其中且. （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）求随机变量 的分布列，并证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $