精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2025年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高一数学试卷 命题学校：鄂南高中 命题教师：汪勇谋 陈艳峰 吴成功 阮效辉 审题学校：英山一中 审题教师：倪琅 考试时间：2025年4月14日下午15：00—17：00 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A B. C. D. 3 若，则（ ） A. B. C. D. 4. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 6. 要得到图象，只需将的图象（ ） A. 所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B. 所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 7. 在平行四边形中，，直线与直线所成的夹角为，则平行四边形的面积为（ ） A B. C. 1 D. 3 8. 中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ） A. B. C. D. 对恒成立，则的取值范围为 11. 声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 关于点中心对称 C. 在区间上为增函数 D. 函数的值域为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为奇函数，则实数的值为__________． 13. 已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为______． 14. 已知在等腰中，在直线上，且，令，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 （1）求函数的解析式； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求的值． 16. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求的面积． 17. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值． 18. 已知函数且，满足 （1）求参数的值； （2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形； （3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围． 19. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． （1）试将写成三角形式（辐角取主值）； （2）复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； （3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高一数学试卷 命题学校：鄂南高中 命题教师：汪勇谋 陈艳峰 吴成功 阮效辉 审题学校：英山一中 审题教师：倪琅 考试时间：2025年4月14日下午15：00—17：00 试卷满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数，复数除法运算化简，得解. 【详解】， ，故的虚部为3. 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示建立方程，即可求得. 【详解】因， 所以，， 又， 所以，解得. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式和同角三角函数的关系化简可得结果. 【详解】. 故选：B. 4. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，对数函数单调性，结合中间值法可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 则， 又，所以，所以， 所以. 故选：B 5. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 6. 要得到的图象，只需将的图象（ ） A. 所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B. 所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接按照图象的伸缩平移变换可得正确选项. 【详解】因为， 所以先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再向左平移个单位，得到的图象. 故选：D． 7. 在平行四边形中，，直线与直线所成的夹角为，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，由三角形的面积公式结合向量数量积的运算律和定义式计算即可. 详解】设与相交于点，由题意可得 由平行四边形的面积等于， 因为， 所以， 又 所以， 由得，则， 所以四边形的面积为. 故选：A 8. 中，角所对的边分别为，若分别为的外心和重心，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为边中点，连接,作于，求得，，化解得，代数计算即可. 【详解】 设为边中点，连接,作于，即为中点， 因为, 同理, 则 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复数的乘法，除法，以及模长的运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，所以， 而，所以，故B正确； 对于C，，所以， 由AB可得，故C正确； 对于D，，，故D正确. 故选：BCD 10. 若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ） A. B. C. D. 对恒成立，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由奇偶函数的性质组成方程组求出和的表达式，然后由指数函数的运算性质可得A错误，BC正确；利用换元法结合二次函数的性质可得D正确. 【详解】因为，——① 所以， 又因为是奇函数，是偶函数，所以，——② 由①②，解得，. 对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，， 令， 则原式变为， 令， 由二次函数的性质可得要使在时恒成立，则，故D 正确. 故选：BCD 11. 声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 关于点中心对称 C. 在区间上为增函数 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据三角恒等变换结合换元法分析求解. 【详解】对于A， ， 所以是函数的一个周期，故A正确； 对于B， ， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由函数， 当时，， 当，，所以， 所以在区间上不是单增函数，故C错误； 对于D， ，定义域为， 令，，所以， 当时，取得最小值为，当时，， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为奇函数，则实数的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的性质和对数的运算性质得到关于的二次参数方程，再比较系数可得. 【详解】由题意可得，即， 即， 所以，即， 展开整理可得， 即， 比较系数可得，解得. 当时，，函数定义域为关于原点对称， ，为奇函数符合题意. 故答案为：1 13. 已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由得， 又，所以，所以， 所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为：． 14. 已知在等腰中，在直线上，且，令，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，用表示各角，在两个三角形中利用正弦定理分别求出，构建等式求值即可. 详解】 如图，在直线上，且，所以, 因为，，所以, 又因为是等腰三角形，所以，， 则, . 在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 所以，因为，解得， 所以，. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 （1）求函数的解析式； （2）已知，角的终边与单位圆交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二倍角的正余弦公式化简函数表达式，再结合正弦函数图象的性质求解出即可； （2）由特殊角的正弦值求出，再由三角函数的定义求出的正余弦，然后结合余弦展开式计算即可. 【小问1详解】 ， 由图象可得， 又最高点，最低点， 联立解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为，解得， 由角的终边与单位圆交于点，可得， 所以. 16. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式得出，再结合角的范围即可求得角； （2）由已知利用正弦定理和二倍角公式可求得，求出，再由正弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求得的面积． 【小问1详解】 因为， 则，即， 因为，所以， 则，所以. 【小问2详解】 因为， 则由正弦定理和二倍角公式得， 因为，所以， 因为，所以， 又由（1）知， 则， 又，由正弦定理，， 所以的面积. 17. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解； （2）利用向量数量积的运算律计算求解. 【小问1详解】 由题意，设， 是边的中点， ，则， 与交于点，即三点共线，则可设， ， 所以， 根据平面向量基本定理，则有，解得， 所以. 【小问2详解】 ， , ， 因为，所以， 化简整理可得，所以. 18. 已知函数且，满足 （1）求参数的值； （2）若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形； （3）若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，代入计算可求得参数的值； （2）由（1）知，可得，即可证得曲线是中心对称图形； （3）由（2）知，则题中不等式可化为，又函数为减函数，则，利用换元法求出不等式右边的最小值为1，则得，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 函数且，满足， 则，化简得， 因为，解得. 【小问2详解】 因为曲线关于点对称，则满足， 由（1）知，， 则， 所以，即， 所以曲线关于点对称，所以曲线是中心对称图形. 【小问3详解】 由（1）知，，， 因为为单调递增函数，则为单调递减函数， 由（2）知，， 则， 则不等式可化为： ， 所以，即， 令，， 则， 则当时， 所以，即，解得， 所以对于，不等式恒成立， 参数的取值范围为． 19. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． （1）试将写成三角形式（辐角取主值）； （2）复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； （3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【小问1详解】 由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$