精品解析：2025年江苏省扬州市高邮市九年级中考数学一模试卷

2024-2025学年度网上阅卷第一次适应性练习试题 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A． 0.1313是有理数，不符合题意； B．有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误； 故选：B． 4. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意； B. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意； C. 截面不可能是矩形，故该选项符合题意； D. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数． 故选：C． 6. 如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格的特点和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，取格点，连接，则，那么，由平行线的性质得到，而，即可求解． 【详解】解：连接，取格点，连接， 由网格可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出． 由圆周角定理得到，由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 8. 通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案． 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 截止4月2日《哪吒2》电影全球总票房约为15500000000元，该片距离全球影史票房第4名的《泰坦尼克号》仅差不到10亿元．数字15500000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数字15500000000用科学记数法表示为． 故答案：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再利用完全平方公式进行分解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握根的判别式的计算是关键． 根据，方程有两个相等的实数根即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 12. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故答案为：． 13. 如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 当该机器狗载重后总质量时，最快速度， ， ， ， ， 时，随的增大而减小， 当时，， 当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于． 故答案为：4． 14. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”可理解为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，问：大船有______条． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握总人数与每条船坐的人数和船条数的关系，列一元一次方程，是解本题的关键．设有条大船，则小船条，根据“共8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满”列方程，解方程求出值即可． 【详解】解：设有条大船，则小船条． 则， 解得：， 故答案为：3． 15. 图中工艺花窗的外轮廓可看作是一个扇形（如图）的一部分．若图中扇形的圆心角为，，点分别为、的中点，则该花窗的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 由点分别为、的中点，求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵点分别为、的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于，设交于，根据三角形内角和定理以及等腰三角形三线合一，可知，以及，然后利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求得，从而得到和，利用，，求得，，接着利用勾股定理，求得，最后计算出印象部分周长即可． 【详解】解：设交于，交于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理可得到， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17. 已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解． 【详解】解：当， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求， ... ∴以此类推， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，是等腰直角三角形，，点是边上的一动点，连接，以为一边作矩形，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，，过点作于，先证明，得到，，推出，证明出，得到，点在定直线上运动，由，推导出点与点重合时，最小，且等于，接着证明，，从而算得答案． 【详解】解：取的中点，连接，，，过点作于，如图所示： 是等腰直角三角形，， ， 点是的中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 点在定直线上运动， ， 点与点重合时，最小，且等于， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并数形结合作出合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查负指数幂、绝对值，特殊三角函数值的运算，平方差公式，解题的关键是掌握相关运算法则并准确计算． （1）分别计算各项，再进行求和，需要用到负指数幂公式，绝对值的化简规则，以及特殊三角函数； （2）先利用平方差公式计算，再利用多项式乘法法则计算，最后去括号，合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20. 解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】；整数解的和是9 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集以及其整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集，然后求得其整数解，然后得到整数解的和即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ， 其整数解为：，0，1，2，3，4， 整数解的和：． 21. 某校举办科技周活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是______ A． 科普讲座 B． 科幻电影 C． AI应用 D． 科学魔术 如果问题1选择C，请继续回答问题2． 问题2：你更关注的AI应用是______ E． 辅助学习 H． 虚拟体验 G． 智能生活 H． 其他 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查样本容量为______；最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为________； （2）某校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数． 【答案】（1）200；144； （2）180 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用两个统计图相结合的思想解答． （1）根据条形统计图可得出总人数，再用乘所占百分比即可“辅助学习”的扇形圆心角； （2）用1200乘以该校最喜爱“科幻电影”的人数比例即可得出答案． 【小问1详解】 解：200，144，理由如下： 总人数为：（人）， 最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为：． 故答案为：200，144； 【小问2详解】 解：该校最喜爱“科幻电影”的学生人数为：（人） 答：估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数为180人． 22. 为了落实“2·15”专项行动，某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目． （1）甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为______； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，那么选中“羽毛球”项目的概率为； （2）分别用、、、表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【小问1详解】 解：甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分别用、、、表示篮球、足球、排球、羽毛球，列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的情况有12种，即甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的概率是． 答：甲、乙两名学生在一个大课间参加不同种球类运动项目的概率是． 23. 辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？ 【答案】12天 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为公顷，则实际每天收割的面积为公顷． 解得， 经检验，是原方程的解． 那么原计划需要（天） 答：原计划需要12天完成． 24. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知，那么，，那么，根据平角的定义，可知，，最后由得到结论； （2）根据题意，可知，那么，从而得到，最后得出答案． 【小问1详解】 证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意可知，，， ， ，垂足为，， ， ． 25. 如图，已知中，，以为直径的分别交边、于点、．过点作交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）直线是的切线，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可知，那么，根据等腰三角形三线合一，，结合，得到，从而得到，从而判定直线是的切线； （2）连接，，由（1）可知，，结合，根据三角形中位线，可知，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，那么，结合，得到，推出，从而算出，最后通过算得答案． 【小问1详解】 解：直线是的切线，理由如下： 连接，如图所示： 是直径 ， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： 由（1）可知，， ， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 的半径为3， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的证明，中位线，直径所对的圆周角是90度，等腰三角形三线合一，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26. 南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． （1）求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ （2）A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； （2）A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、二次函数的应用． （1）设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元，根据“购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A品牌咸鸭蛋的售价为a元，每盒B品牌咸鸭蛋的售价为b元． 根据题意得， 解得， 答：A品牌咸鸭蛋的售价为62元/盒，B品牌咸鸭蛋的售价为75元/盒； 【小问2详解】 解：设每盒A品牌咸鸭蛋降价x元，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w元， 由题意得 ． ， ∴当时，w有最大值2460． 答：A品牌咸鸭蛋每盒售价降价3元时，每天销售利润最大，最大利润为2460元． 27. 定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． （1）一次函数的图像上的“亮点”是______； （2）若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； （3）若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】（1）； （2）或； （3）理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【小问1详解】 解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案：； 小问2详解】 解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； 小问3详解】 解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 28. “综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． （1）连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）①；②见解析 （2）定值4，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠，尺规作图，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）①设，则，，在中，根据勾股定理求解即可； ②以A、B为圆心，为半径画弧，相交于点，过A作交于E即可； （2）证明，得出，证明，得出，则，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵正方形，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：； ②如图，点E即为所求， 理由：由作图知， ∵ ∴， 又， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴B、关于对称， 又， ∴点E符合题意； 【小问2详解】 解：的值为定值4， 理由如下； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为定值4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度网上阅卷第一次适应性练习试题 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列四种化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A B. C. D. 4. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（　　） A. B. C. D. 5. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法比较 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 8. 通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 截止4月2日《哪吒2》电影全球总票房约为15500000000元，该片距离全球影史票房第4名的《泰坦尼克号》仅差不到10亿元．数字15500000000用科学记数法表示为______． 10. 因式分解：______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 12. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是_______． 13. 如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于______． 14. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”可理解为：清明出去游园，所有人共乘坐了8条船，大船每条坐6人，小船每条坐4人，38人刚好坐满，问：大船有______条． 15. 图中工艺花窗的外轮廓可看作是一个扇形（如图）的一部分．若图中扇形的圆心角为，，点分别为、的中点，则该花窗的面积为______．（结果保留） 16. 如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为______． 17. 已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为______． 18. 如图，是等腰直角三角形，，点是边上的一动点，连接，以为一边作矩形，连接，若，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组，并求出整数解的和． 21. 某校举办科技周活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱是______ A． 科普讲座 B． 科幻电影 C． AI应用 D． 科学魔术 如果问题1选择C，请继续回答问题2． 问题2：你更关注的AI应用是______ E． 辅助学习 H． 虚拟体验 G． 智能生活 H． 其他 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查样本容量为______；最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”扇形圆心角为________； （2）某校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科幻电影”的学生人数． 22. 为了落实“2·15”专项行动，某校决定在下午大课间活动中，开展“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目． （1）甲同学从中任意选择一项球类运动，则选中“羽毛球”项目的概率为______； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率． 23. 辛弃疾的词中有“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．“周巷大米”清淡略甜，绵软且粘，芳香爽口，是主食佳品．某收割队承接了72公顷“周巷大米”的收割任务，为了让“周巷大米”早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务，问原计划需要多少天完成？ 24. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，若，，求的面积． 25. 如图，已知中，，以为直径的分别交边、于点、．过点作交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若半径为3，，求的长． 26. 南门大街某特产店销售A、B两种品牌的咸鸭蛋，已知A品牌咸鸭蛋的进价为50元/盒，B品牌咸鸭蛋的进价60元/盒．若客户购买1盒A品牌咸鸭蛋和1盒B品牌咸鸭蛋，则需要137元；若客户购买2盒A品牌咸鸭蛋和3盒B品牌咸鸭蛋，则需要349元． （1）求该特产品A、B两品牌咸鸭蛋每盒的售价各是多少元？ （2）A品牌咸鸭蛋供货充足，按原价销售每天可售出60盒，经过市场调查发现：若每盒降价1元，则每天可多售出10盒（每盒售价不低于进价）；B品牌咸鸭蛋供货紧张，每天只能购进110盒且能按原价售完．求A品牌咸鸭蛋每盒降价多少元时，该特产店每天销售这两品牌咸鸭蛋的总利润w最大，最大利润是多少元？ 27. 定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． （1）一次函数的图像上的“亮点”是______； （2）若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； （3）若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 28. “综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形，，点E是边上的一个动点． （1）连接，将沿折叠得到． ①如图1，若折叠后点恰好落在对角线上，则的长为______； ②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）如图3，点F是边上的一个动点，过点E、F分别作于点为M、于点为N，若，判断的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $