精品解析： 2025年吉林省长春市德惠市中考一模数学试题

2025年德惠市九年级质量监测（一） 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中美欧形成全球数字经济发展的三级格局，从规模看，2021年中国数字经济规模达7.1万亿美元，相当于51.5万亿元人民币，这一数据用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 3. 图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数c的值可能为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6. 下面计算中，正确的是（　　） A. （a+b）2=a2+b2 B. 3a+4a=7a2 C. （ab）3=ab3 D. a2•a5=a7 7. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点 与点的水平距离 米，水平赛道 米，赛道的坡角均为，则点的高为( A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 不等式组的解集为______． 11. 如图，有四张背面完全相同的卡片，正面书写不同类型的变化，现把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是______． 糖块融化 盐酸除锈 石块粉碎 火柴燃烧 12. 如图，已知菱形ABCD的边长为3，B、C两点在扇形AEF的上，，则图中阴影部分图形的面积之和为______． 13. 如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点，若，则 ______ ． 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，则下列结论：① ；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时．其中正确的是______．（只需填写序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，求A花束的单价 18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，找一格点C，连接，使； （2）在图②中，在线段 上找一点C，连接AC，使； （3）在图③中，找一点C，连接，使． 19. 如图，的两条中线相交于点，过点作 ，交的延长线于点 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若的面积为，直接写出的面积为______． 20. 某学校举办的“放飞梦想”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）、学校对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 88 90 91 91 91 91 92 92 98 86 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分的平均数为，求； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的A、B、C三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 A 93 90 92 93 92 B 91 92 92 92 92 C 90 94 90 94 k 若C在A、B、C三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______． 21. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 22. 【感知】在矩形中，．将 绕着点B顺时针旋转，旋转角为得到 ，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在 上，如图①，则 ______． 【探究】当点E落在线段上时，与交于点G．其它条件不变，如图②． （1）求证：； （2）的长为______． 【拓展】连接，在的旋转过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围． 23. 如图①，在中，，，动点P从点B出发，沿折线BC-CA向终点A运动，点P不与点A重合，以BP为边，在BC的上方作等边． （1）当点P在BC上运动时，①______度； ②线段______． （2）如图②，当点P在BC上运动时，连接CM，当的周长最小时，求线段CP的长，并写出此时的面积； （3）当点M与的顶点所连线段垂直于的某一边时，直接写出BP的长． 24. 如图，抛物线，与x轴交于点，抛物线的顶点为点，点Q为的中点，以点Q为圆心、以1为半径作 ，交x轴于B、C两点，若点M为 上一点．射线交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）若． ①______，是______三角形； ②求点P的坐标； （3）连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，直接写出的最值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年德惠市九年级质量监测（一） 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 2. 中美欧形成全球数字经济发展的三级格局，从规模看，2021年中国数字经济规模达7.1万亿美元，相当于51.5万亿元人民币，这一数据用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：51.5万亿元用科学记数法表示为亿元； 故选：C． 3. 图中几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意存在看得见用实线，存在看不见用虚线． 【详解】解：由图可知，左视图为： 故选：B． 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，从而利用 即可证明，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，，， ∴， ∴判定的依据是 ， 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数c的值可能为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根，据此求出实数c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 6. 下面计算中，正确的是（　　） A. （a+b）2=a2+b2 B. 3a+4a=7a2 C. （ab）3=ab3 D. a2•a5=a7 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】A. (a+b)2=a2+b2+2ab，故此选项错误； B. 3a+4a=7a，故此选项错误； C. (ab)3=a3b3，故此选项错误； D. a2a5=a7，正确． 故选D. 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握它们的概念进行求解. 7. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离 米，水平赛道 米，赛道的坡角均为 ，则点的高为( A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】延长AB交ED于F，得到平行四边形BCDF和直角△AEF，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：延长AB交ED于F， ∵BC∥DE， ∴∠AFE= ， ∴∠CDF=∠BFE= ， ∴BF∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴DF=BC=b， ∴EF=DE-DF=a-b， 在直角△AEF中， ∵tan∠AFE=， ∴AE=， 故选择A． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是把实际问题转化为数学问题，即构造直角三角形． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解． 【详解】解：设D点坐标为， ∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为， ∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为， ∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，， ∴E点坐标为， 同理可得C点坐标为， ∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为， ∵点E为AC的中点，的面积为1， ∴，即，可得，， 解得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为 ， 故答案为： ． 11. 如图，有四张背面完全相同的卡片，正面书写不同类型的变化，现把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是______． 糖块融化 盐酸除锈 石块粉碎 火柴燃烧 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：糖块融化和石块粉碎是物理变化，盐酸除锈和火柴燃烧是化学变化， 设用A、B、C、D分别表示糖块融化，石块粉碎，盐酸除锈，火柴燃烧， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果数有2种， ∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率为， 故答案为：． 12. 如图，已知菱形ABCD的边长为3，B、C两点在扇形AEF的上，，则图中阴影部分图形的面积之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，根据题意可知是等边三角形，进而可得 ，根据扇形面积公式即可得到阴影部分的面积，可得答案； 【详解】解：由题意可知：是等边三角形，, ∴ ， ∵， ∴， 故答案为： 13. 如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点，若，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线是解题的关键； 由直角三角形斜边上的中线求得斜边的长度，然后根据三角形中位线定理求得即可求解． 【详解】解：在中，，是中线， ， 又、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ； 故答案为： 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，则下列结论：① ；②；③若是等腰三角形，的值有2个；④当是直角三角形时．其中正确的是______．（只需填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由图象可得对称轴为直线 ，可得 ，可判断①；将点A坐标代入解析式可得 ，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求 或，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点， ∴对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①正确， 当 时，， ∴， ∴ ， ∴， 故②正确； ∵二次函数， ∴点， ∴，， 当 时，， ∴（正数值已舍去）， 当时，， ∴（正数值已舍去）， ∴当是等腰三角形时，a的值有2个， 故③正确； ∵二次函数， ∴顶点， ∴，，， 若，可得， ∴， ∴， 若 ，可得， ∴， ∴ ， ∴当是直角三角形时， 或， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则． 先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，求A花束的单价 【答案】A花束的单价为26元 【解析】 【分析】设A花束的单价为x元，则B花束的单价为元，根据用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设A花束的单价为x元，则B花束的单价为元， 由题意得：， 解得： ， 经检验， 是原方程的解， 答：A花束的单价为26元． 18. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，找一格点C，连接，使； （2）在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使； （3）在图③中，找一点C，连接，使． 【答案】（1） 如图所示即为所求： （2） 如图所示即为所求： （3） 如图所示即为所求： 【解析】 【分析】（1）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，根据三角形全等找到另一个腰的中点，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和作法，全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意作出符合的等腰直角三角形是解题的关键． 19. 如图，的两条中线相交于点，过点作 ，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若的面积为，直接写出的面积为______． 【答案】（1） 证明：∵为中线， ∴是中位线， ， ∵点在的延长线上， ， 又，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得是中位线，即得，进而根据平行四边形的判定即可求证； （）由三角形中位线的性质得，进而由得，，即得，，即可得，最后根据即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是中位线， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 某学校举办的“放飞梦想”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）、学校对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 88 90 91 91 91 91 92 92 98 86 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分的平均数为，求； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的A、B、C三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 A 93 90 92 93 92 B 91 92 92 92 92 C 90 94 90 94 k 若C在A、B、C三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______． 【答案】（1）①91，4；② （2）A，92 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：① 从教师评委打分的情况看，91分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为91， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：91，4； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为： 88，90，91，91，91，91，92， 92， 平均数为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， C在三位选手中的排序居中， ， ， 解得， 当时，， 此时， ， ， B在三位选手中的排序居中，不合题意； 当时，， 此时，， ， C在三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是A， 故答案为：A，92． 21. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【答案】（1）6，3 （2） （3）17秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度路程 时间计算即可； （2）根据时间路程 速度求出乙无人机飞行 段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段 对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． 【小问2详解】 解：甲无人机飞行 段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段 对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段 对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 22. 【感知】在矩形中，．将 绕着点B顺时针旋转，旋转角为得到 ，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在上，如图①，则 ______． 【探究】当点E落在线段上时，与交于点G．其它条件不变，如图②． （1）求证：； （2）的长为______． 【拓展】连接，在的旋转过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】感知：2； 探究：（1）证明：由旋转的性质可得， ∵点E落在线段上， ∴， 又∵， ∴； （2）； 拓展： 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的意义，熟知相关知识是解题的关键． 感知：先由矩形的性质和勾股定理求出的长，再由旋转的性质得到的长，据此根据线段的和差关系可得答案； 探究：（1）由旋转的性质可得，则 ，再利用证明即可； （2）证明，得到，设 ，则，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）根据三角形三边的关系可得，设点C到的距离为h，则，据此可确定h的最大值和最小值，进而求出S的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解；感知：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴； 探究：（1）略 （2）∵， ∴ ， ∵在矩形中，， ∴ ，， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 拓展：∵， ∴， 设点C到的距离为h，则， ∴当取得最小值时，且当时，h有最小值2，即此时有最小值，最小值为； 当取得最大值时，且当时，h有最大值14，即此时有最大值，最大值为； ∴ 23. 如图①，在中，，，动点P从点B出发，沿折线BC-CA向终点A运动，点P不与点A重合，以BP为边，在BC的上方作等边． （1）当点P在BC上运动时，①______度； ②线段______． （2）如图②，当点P在BC上运动时，连接CM，当的周长最小时，求线段CP的长，并写出此时的面积； （3）当点M与的顶点所连线段垂直于的某一边时，直接写出BP的长． 【答案】（1）①15，②4； （2）线段CP的长为2；的面积为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）①根据题意得，由旋转得 为等边三角形，则，利用角度和差关系即可求得；②由等边三角形的性质得 ，结合即可； （2）同理得 ，， ，由于，当时，最小，的周长最小，利用等边三角形的性质求得、和，即可得点QM到的距离为，利用面积公式求解即可； （3）分三种情况：当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ，分别利用矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵在BC的上方作等边 ∴， 则，故答案为： ； ②∵在BC的上方作等边 ∴ 为等边三角形， ∴ ， 当P在上， 则线段， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：同理得 ， ， ∵ ∴当时，最小，的周长最小， ∵ 为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， 则 ，即 ， ∵点M到的距离为 ∴； 【小问3详解】 解：①当点P在上运动时，满足 交于点F，过点P作 于点D，如图，    ∵ 为等边三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即，解得（负值舍去）； 则； ②当点P在上运动时，满足 ，过点M作于点D，如图，   则四边形为矩形， ∴ ，, 同理可得，，，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 则 为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，，即，解得（负值舍去）； 则； ③当点P在上运动时，满足，如图，   则， ∴， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即，解得（负值舍去）； 则， 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是掌握等边三角形的性质，同时构造全等三角形． 24. 如图，抛物线，与x轴交于点，抛物线的顶点为点，点Q为的中点，以点Q为圆心、以1为半径作 ，交x轴于B、C两点，若点M为 上一点．射线交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）若． ①______，是______三角形； ②求点P的坐标； （3）连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，直接写出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，等腰直角；②或 （3）存在，线段的长度最小值和最大值分别为和 【解析】 【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：，将点的坐标代入上式，即可求解； （2）①连接 ，根据题意易得，，，得到，结合，利用勾股定理得，即可判断为等腰直角三角形，从而求出；②分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解即可； （3）证明 是的中位线，故，而，而，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入 得：， 解得： 即：抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①如图1，连接 ， ∵点是的中点，则点，圆的半径为1，则点，， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形，， ∴； ②为等腰直角三角形， ，且， 当点P在x轴上方时，此时点M的坐标为， 故设直线的表达式为：将点，的坐标代入得：， 解得：即：故直线BP的表达式为： ， 联立并解得：或（不合题意，舍去）， 当时，，即：此时，点P的坐标为：； 同理，如图2：当点P在x轴下方时，此时点M的坐标为， 直线的表达式为：， 联立并解得：或（不合题意，舍去）， 当时，，即：此时，点P的坐标为：， 综上，点P的坐标为或， 【小问3详解】 解：线段的长度存在最大值或最小值，理由如下： 连接 、、 ，如图3， ∵，， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴ 是的中位线， ∴， 由勾股定理可知，， 由三角形三边关系可知，， 即， 线段的长度最小值和最大值分别为和． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、正切值，中位线的性质等，解答本题的关键是熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $