精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三下学期月考试卷（八）数学试题

长沙市一中2025届高三月考试卷（八） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    ) A. B. C. D. 2. 若集合、、满足：，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 4. 已知直线与圆交于两点，则一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 6. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理:“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体. 被平行于这两个平面的任意平面所截. 如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图（1），其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线 与两直线围成的平面区域，如图（2），根据祖暅原理，计算该段水管的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知桌面上灯光的强度可以用表示，其中是灯与桌面上被照点的距离，是光线与桌面的夹角，在半径为的圆桌中心正上方安装一个吊灯，为使桌边最亮，吊灯应离桌面的高度为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 对于二项式的展开式正确的说法是（ ） A. 常数项是第3项 B. 各项的系数和为1 C. 偶数项的二项式系数和为32 D. 第4项的二项式系数最大 10. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形能够被这个圆完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．下列曲线围成的图形的最小覆盖圆的半径为2的是（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，，角的对边分别为，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为____________． 13. 已知当且时，函数取得最大值，则a值为________. 14. 若，恒有，则正整数的最大值为____________．（参考数据：） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． （1）根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； （3）从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 2095 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 16. 如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为．线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点． （1）当时，证明：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当，求在区间上的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点，且的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）圆，直线与圆相切，并与椭圆交于两点，且两点均在轴右侧． （i）当时，证明：； （ii）是否存在，使得的周长为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知数列满足． （1）若，求的值； （2）若，满足，恒有，求集合； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市一中2025届高三月考试卷（八） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于的方程组解出即可. 【详解】 复数为纯虚数 ，解得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2. 若集合、、满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，结合韦恩图与集合运算逐项判断即可. 【详解】如下图所示： 由韦恩图可知，，，，， 故选：C. 3. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 4. 已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由几何法求弦长时的取值范围，再求其真子集即可. 【详解】的充要条件是：圆心，到直线的距离， 即，故的充分不必要条件是的真子集. 故选：A. 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 6. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理:“幂势既同，则积不容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体. 被平行于这两个平面的任意平面所截. 如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图（1），其横截面为圆面，最大纵截面是由曲线 与两直线围成的平面区域，如图（2），根据祖暅原理，计算该段水管的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造一个底面直径为，高为的圆柱，利用正切函数的性质及祖暅原理，即可求解. 【详解】根据正切函数的周期性，在图（2）中，平行于直线的任一直线与曲线两个交点的距离都为， 构造一个底面直径为，高为圆柱，如图（3）， 如图，用距离上底面为的平面分别去截水管、圆柱，所得截面圆、圆的面积都为， 根据祖暅原理，水管和圆柱的体积相等，而圆柱的体积为，所以水管的体积为. 故选：C. 7. 已知桌面上灯光的强度可以用表示，其中是灯与桌面上被照点的距离，是光线与桌面的夹角，在半径为的圆桌中心正上方安装一个吊灯，为使桌边最亮，吊灯应离桌面的高度为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设吊灯应离桌面的高度为，则，，利用导数求出函数取最大值时的，即可得解. 【详解】设吊灯应离桌面的高度为， 则，， 所以， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，取得最大值，此时也取得最大值，即桌边最亮. 此时吊灯应离桌面的高度为. 故选：C. 8. 如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正方形放于两个全等正方体的公共面上，根据旋转的情况结合正方体的结构特征，计算所求二面角. 【详解】由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上， 正方形ABCD和正方形的位置如图所示， 连接，如图所示， 平面与平面平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角， 平面，平面，， 正方形中，， 平面，，平面， 同理平面， 平面与平面所成的锐二面角，等于直线AP与AN所成的角， 由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为. 故选：C. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 对于二项式的展开式正确的说法是（ ） A. 常数项是第3项 B. 各项的系数和为1 C. 偶数项的二项式系数和为32 D. 第4项的二项式系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项； 【详解】二项式的展开式通项公式为， 对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错； 对于B选项，各项的系数和是，B对； 对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对 对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大为，D对； 故选：BCD 10. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形能够被这个圆完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．下列曲线围成的图形的最小覆盖圆的半径为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】可根据最小覆盖圆的定义，分别分析各曲线围成图形的特征，找出能覆盖该图形的最小圆的半径. 【详解】对于Ａ，分类讨论去绝对值符号， 当，时，可化为，即； 同理，当，时，可化为，即； 当，时，可化为，即； 当，时，可化为，即. 所以表示的是以，，，为顶点的正方形. 该正方形的对角线长为，则其外接圆半径为对角线长的一半，即，所以能覆盖该正方形的最小圆半径为， 故Ａ正确. 对于Ｂ，表示的是一个焦点在轴上的椭圆，其长半轴，短半轴. 能覆盖该椭圆的最小圆是以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆，所以最小覆盖圆半径为.故B正确. 对于C，因为，则，，可得，. 当时，；当时，. 该曲线关于轴、轴对称，且在，的范围内，能覆盖该曲线的最小圆是以原点为圆心， ,最小覆盖圆的半径为,故C错误. 对于D，由成立可得该曲线关于原点中心对称，所以该曲线的最小覆盖圆的圆心位于坐标原点， 由可得， 即，所以，当且仅当时等号成立，所以该曲线的最小覆盖圆的半径为2，故D正确. 故选：ABD. 11. 在锐角中，，角的对边分别为，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，化简得到，结合正弦定理，可判定A正确；由，利用余弦定理化简得，结合基本不等式，可判定B正确； 由为锐角三角形，得到，求得，再由，求得，可判定C错误；利用导数可判断结合三角变换公式D正确. 【详解】对于A中，由，可得， 即，即， 由正弦定理，可得，所以A正确； 对于B中，因为，由余弦定理可得， 化简得， 又由基本不等式得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以B正确； 对于C中，因为为锐角三角形，可得，则， 因为，所以，可得， 又因为，所以，即， 所以，所以，所以C错误； 对于D中，在锐角，由，且， 整理得， 所以，所以， 故，设， 则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在为增函数，故， 此时，三角形为锐角三角形，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线的离心率公式列式计算，再求解渐近线方程即可. 【详解】设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 且，则，设，则，则， 则双曲线的渐近线的方程为. 故答案为：. 13. 已知当且时，函数取得最大值，则a的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简函数f（x），运用整体思想，当f（x）的最大值时，确定的取值，运用诱导公式计算进而得到，再利用二倍角的正切公式求a的取值即可. 【详解】函数f（x）＝sinx (sinx+acosx)= (，cos), 当时，函数f（x）取得最大值，此时 ∴cos，∴， ∴a＝ 故答案为． 【点睛】考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 14. 若，恒有，则正整数的最大值为____________．（参考数据：） 【答案】3 【解析】 【分析】由题，任意，，，后构造函数（）与函数（），利用导数研究单调性，可得，则可将问题求使得最大的正整数. 【详解】由题，任意，，恒有，则. 令（），则. 令得，则在上单调递增，在上单调递减， 则有最大值. 令（），则. 令，. 当时，在单调递增，，此时，必有成立； 当时，则在上单调递减，在上单调递增，故有最小值. 则，即. 两边取自然对数可得，即求最大的使得. 因，则上述不等式可转化为. 令，即求使得的最大的正整数. 恒成立，则在上单调递减. 因为，，则使成立的最大正整数为3. 故答案为：3 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． （1）根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； （3）从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 【答案】（1）选择更合适． （2），12.68万人 （3）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）观察散点图结合增长速度情况即可求解； （2）两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程； （3）的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期望. 【小问1详解】 根据散点图可知，选择更合适． 【小问2详解】 因为，所以两边同时取常用对数，得． 设，则，先求关于的线性回归方程． 因为， ， ， 所以． 把代入上式，得， 故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人． 小问3详解】 这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以的所有可能取值为1，2，3． ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 16. 如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为．线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点． （1）当时，证明：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直于圆锥的底面，所以，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （2） 解：由圆锥的侧面积为，求得，当三棱锥的体积最大时，得到为弧的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为垂直于圆锥的底面，所以， 当时，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：由题意知：， 因为圆锥的侧面积为，可得，解得， 所以， 当三棱锥的体积最大时，只需的面积最大，此时为弧的中点， 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为. 17. 已知函数． （1）当，求在区间上的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数正负来确定原函数的单调性即可； （2）利用这个隐含条件，从而来分析导函数在左右两边的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以有， 当时，，即在区间上单调递增； 当时，，即在区间上单调递减； 当时，，即在区间上单调递减； 当时，，即在区间上单调递增； 综上，在区间上的单调递增区间是和，单调递减区间是和； 【小问2详解】 由求导得：， 因为，所以要证明， 而当时，， 此时，，则在区间上单调递减， 且，，则在区间上单调递增， 此时有，不满足题意，故舍去， 当时，， 此时，，则在区间上单调递增， 且，，则在区间上单调递减， 此时有，满足题意，故， 当时，，在区间上必存在两个根 所以当，，则在区间上单调递减， 且，，则在区间上单调递增， 所以在区间上恒有，不满足题意，故舍去， 综上可得：实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：利用不等式恒成立在时取到等号，从而含参分析的左边附近的导数值必须为正，右边附近的导数值必须为负，否则原不等式肯定不成立，从而展开解析. 18. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点，且的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）圆，直线与圆相切，并与椭圆交于两点，且两点均在轴右侧． （i）当时，证明：； （ii）是否存在，使得的周长为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）存在，的周长为定值 【解析】 【分析】（1）先根据两点间距离公式和椭圆方程得到关于的表达式，再根据的取值范围求出的最大值，最后联立方程组求解和的值，进而得到椭圆方程. （2）（i）先根据直线与圆相切得出距离等式，再联立直线与椭圆方程得到交点纵坐标的关系，最后通过向量数量积的运算以及代入化简得出垂直关系. （ii）对直线与圆相切的距离等式进行了平方处理得到得到，后续会在计算以及相关问题中用到.对于的表达式和的表达式，进一步计算，联立方程求解等操作来化简或计算与线段长度相关的值. 【小问1详解】 设，右焦点，根据两点间距离公式，又因为椭圆方程，则，代入可得，所以． 已知，当时，取最大值，又，且，联立，由，把代入得，再与联立解得，，椭圆方程为． 【小问2详解】 直线与椭圆有两个在轴右侧交点，斜率不为， 设．直线与圆相切，根据点到直线距离公式，即． 联立方程并求相关量： 设，，联立，消去得，则，，． （i）， 将与代入化简得，再把代入得，所以． （ii）已知依题意，等式两边同时平方可得：． 已知． 由前面知道，，可得， 又因为，，所以，进而． 且，将与的表达式代入可得： 故当时，，则． 19. 已知数列满足． （1）若，求的值； （2）若，满足，恒有，求集合； （3）若，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，能推出.当和时，利用绝对值性质分情况讨论，结合已有等式算出的值. （2）由且，得出与的两种可能情况.对和分别分析，时根据递推关系得到数列周期，再结合确定使的的集合. （3）由推出，对进行放缩，拆分式子后变形，通过移项得出与的大小关系. 【小问1详解】 已知，且． 当时，； 当时，，绝对值为意味着或者， 若，结合等条件可算出； 若，则． 小问2详解】 因为，且，所以， 那么或者． 若，则，根据递推关系会得出所有，这与矛盾． 若，当时，通过依次往前推，能得到时，，此时符合条件； 当时，同样根据递推关系能算出，． 已知 且 ，因为 时数列呈周期变化，周期 ，即 ． 要找使 的 的集合．在周期数列中，从 开始，周期为 3， 设 （），当 取合适值时能涵盖所有使 的正整数 ，所以 ． 当 时，因为 时 ，那么 ，不符合题意，舍去这种情况． 综上所得，所求的集合． 【小问3详解】 由 可得 ． ，根据 进行放缩： ． 把右边式子拆分：． 进一步变形为 ． 移项可得 ，即 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$