信息必刷卷03（江苏南京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷03（南京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 A B C C C A 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 7. , 8. 9． 10．/56度 11．95 12． /0.75 13. 14. 15. 16. / 三、解答题:本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（7分） 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．（7分） 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19．（7分） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，则，结合，得，再证明，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)①② (3)个 【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体： （1）根据调查方式的选择，进行说明即可； （2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式． （2）解：由统计表可知：这50块动力电池的完全充放电次数都不低于300次；故①正确； 将数据排序后，第20个和第21个数据均位于，故这50块动力电池的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确； 由统计表的中的数据可知，的数据只有5个，故平均数一定大于，故③错误； 故答案为：①②； （3）解：（个）． 21．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种，根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种， 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是； （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为． 22．（8分） 【答案】平方米 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系，列方程是解答本题的关键． 设每人每小时的绿化面积为x平方米．然后根据对话内容列出分式方程求解即可． 【详解】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米． 根据题意，得， 方程两边乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 答：每人每小时的绿化面积为平方米． 23．（8分） 【答案】(1) (2)风筝的飞行高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形． （1）过点作于，作于，利用坡度得到，不妨设，，利用勾股定理，，求得，最后得到； （2）先通过勾股定理求得，不妨设，那么，，是等腰直角三角形，那么，最后利用算得，最后得到的长度． 【详解】（1）解：过点作于，作于，如图所示： 从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处， ，， 不妨设，， ， ， （舍去负值）， ， 答：坡顶处的高度为． （2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处， 不妨设 ，， 四边形是矩形 ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 答：风筝的飞行高度为． 24．（8分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）过点作直径，连接，由圆周角定理得，根据平行线的性质得，进而可得，即得，即可求证； （）由切线的性质得，即得，得到，，进而由勾股定理得，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理可得，得到，，由三角形中位线性质得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 过点作直径，连接，如图， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴与相切； （2）解：是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设的半径为，则，， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（9分） 【答案】(1)2 (2)关于的函数关系式为 (3)①作图见解析；②的面积为6 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的和差求得，代入化简即可得出结论； （3）①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置； ②利用矩与正方形的性质，设，则，利用（2）的结论得到，利用三角形的面积公式求得的面积，再利用矩形的面积求得的值，则结论可求 【详解】（1）解：（1）由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由题意得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图： ②∵正方形、正方形、矩形、矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴的面积． ∵矩形的面积为12， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，矩形的面积，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（8分） 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图角与性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是理解题干中所给的弦和弦长的定义，根据定义得到二次函数的各项系数之间的关系． 首先令，可得：，解方程求出点，的横坐标，根据弦长的定义即可求出弦长的值； 令，可得：，利用求根公式可得：，再根据弦长的公式可得，从而可得，再根据，分情况求出的取值情况即可； 由可知：，因为恒成立，所以且，从而可得，根据平方的非负性可得，又因为、为正整数，从而可知、的值． 【详解】（1）解：令， 可得：， 解得：，， ； （2）解：令， 可得：， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， ， 即， 令，， 由题意可知，分成两种情况： 若，即时，， ，（舍）； 若，即时，， ，（舍）； 综上所述，或； （3）解：由可知： 拋物线的弦长为， 抛物线的弦长为， ，， ， 恒成立， 且； 为正整数， ， ， ， ， 或． 27．（10分） 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得，由全等的性质可得出，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出． （2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出． （3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．画出图形结合正方形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）． 理由∶如下图，延长交的延长线于点P，    图4 ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴ （2）不变． 理由如下：设的中点为，连接，如下图所示．   是的中点， 是的中位线． ． ． ． ， ． （3）或． 理由如下： 连接， 如下图 分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆． 当三点共线时，分以下两种情况进行讨论． ①当点在线段上时，连接， 过点作于点，如下图所示，    ∵为正方形，B为中心， ∴ ， ， 在中，， ． ． ． ②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示， 同理 ∴ 在中， ． ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质等知识，熟虑掌握以上知识是解题的关键， 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向： 1、 命题趋势 1. 核心素养导向：2025年南京中考数学试题预计将更加注重对数学核心素养的考查。这包括数学建模能力，如通过实际问题（环保、交通、经济等）抽象出方程、函数或几何模型；数据分析能力，即结合统计图表（折线图、扇形图、频数分布表）分析社会热点（人口变化、能源使用等）；以及逻辑推理能力，特别是在几何证明题中，难度可能有所提升，侧重考察“逆向思维”或“多结论辨析”。 2. 跨学科融合：题目可能出现与物理、化学、信息技术等学科的结合。例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或者给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求学生现场理解并解题。此外，还可能出现开放探究题，如设计一种测量建筑物高度的方案，并说明原理及计算误差。 二、高频考点与分值预测 虽然具体的高频考点和分值分布需要依据考试大纲和历年真题进行深入分析，但一些基础知识点和常见题型仍然是备考的重点。这包括有理数、代数式、方程与不等式、函数、几何图形与性质等基础知识，以及应用题、证明题、开放性问题、应用性问题等多种题型。 2、 备考策略建议 1. 基础巩固：重视基础知识的巩固和基本技能的提升。通过系统复习和练习，确保对数学基本概念、公式和定理有深入的理解和掌握。 2. 能力提升：针对核心素养导向的命题趋势，加强数学建模、数据分析和逻辑推理等能力的提升。通过参与实践活动、解决实际问题等方式，培养综合运用数学知识解决问题的能力。 3. 跨学科融合：关注数学与其他学科的交叉点，拓宽知识面和视野。通过阅读相关书籍、参加学科竞赛等方式，了解数学在其他学科中的应用和融合方式。 4. 模拟考试与真题演练：定期进行模拟考试和真题演练，熟悉考试形式和流程，提高应试技巧和心理素质。同时，通过分析错题和薄弱环节，有针对性地进行查漏补缺。 中考·新考法： 一、题型趋势预测 1.二次函数与几何图形的结合：预计2025年南京中考数学会加强对二次函数与线段、面积、角度等几何图形结合问题的考察。这类问题往往难度较大，需要考生具备扎实的二次函数基础和良好的几何直观能力。 2.动态几何问题：动态几何问题也是近年来的热点，特别是抛物线与动直线、动线段的交点问题，以及二次函数图像随参数变化而动态变化的问题。这类问题考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3.实际应用问题：中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此预计会出现一些与现实生活紧密相关的应用题，如利润问题、行程问题等。这类问题需要考生能够将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识进行求解。 二、备考建议 1.加强基础知识复习：扎实的基础知识是解题的关键。考生需要加强对二次函数、一次函数、几何图形等基础知识的复习，确保在考试中能够迅速准确地运用这些知识。 2.提高解题技巧：在掌握基础知识的基础上，考生还需要提高解题技巧。例如，对于二次函数与几何图形的结合问题，可以采用数形结合的思想，通过画图辅助解题；对于动态几何问题，可以采用特殊值法、参数法等方法进行求解。 3.加强模拟训练：模拟训练可以帮助考生熟悉考试形式和节奏，提高应试能力。考生可以选择一些质量较高的模拟试卷进行训练，并在训练后认真总结反思，查漏补缺。 4.注重实际应用能力的培养：考生在平时的学习中要注重培养自己的实际应用能力，学会将数学知识应用于实际生活中。可以通过做一些应用题、参加数学竞赛等方式来提高自己的实际应用能力。 中考·新情境： 一、新定义、新情境题型 这类题型通常会给出一种新的运算规则或情境，要求考生根据这些新信息解决问题。例如，可能会定义一种新的数学运算，或者给出一个与现实生活紧密相关的数学问题，如测量两地高度差等。这类题型旨在考察考生的学习能力和适应能力，要求考生能够迅速理解新信息，并将其应用于解题过程中。例：第25题、第26题。 二、实际应用题型 中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此可能会出现一些与现实生活紧密相关的题型，如利润问题、几何图形在实际问题中的应用等。这些题型通常会要求考生根据题目中的信息，建立数学模型，然后进行求解。例：第6题、第22题、第23题。 三、压轴题型预测 压轴题型通常具有较高的难度和区分度，可能会涉及多个知识点的综合运用。在2025年南京中考数学中，可能会出现一些涉及函数、几何、代数等多个知识点的综合题型。这些题型可能会要求考生进行复杂的计算和推理，以检验他们的数学素养和解题能力。例：第27题。 四、备考建议 1.加强基础知识的学习：掌握扎实的数学基础知识是解题的关键。因此，考生需要加强对数学基本概念、公式和定理的理解和记忆。 2.提高解题能力：通过大量的练习，提高解题的速度和准确性。同时，要注重解题方法的总结和归纳，形成自己的解题思路和技巧。 3.关注实际应用：加强与实际生活相关的数学问题的练习，提高解决实际问题的能力。 4.模拟考试：参加模拟考试可以帮助考生熟悉考试流程和题型，同时检验自己的备考情况，及时调整备考策略。 命题·大预测： 一、数与代数 可能涉及的考点包括科学记数法、实数运算、数轴、整式运算、数的估算、因式分解、分式运算、一次方程（组）、分式方程以及一元二次方程等。这些考点是数学基础，预计会以选择题、填空题和解答题的形式出现。 二、函数 函数部分可能重点考察一次函数、反比例函数和二次函数的性质、图像以及应用。特别是二次函数，其图像和性质的理解以及应用解决实际问题，预计会是命题的热点。 三、几何 几何部分可能涉及三角形、多边形、圆以及图形变换与坐标等考点。其中，圆的性质和定理、三角形的相似和全等以及图形的平移、旋转和对称等变换，预计会是考试的重点。 四、统计概率 统计和概率部分可能考察数据的收集、整理和分析，以及概率的基本概念和计算。特别是统计图表的理解和分析，以及利用概率解决实际问题，预计会是命题的难点。 五、综合应用题 预计会出现一些结合生活实际和热点问题的综合应用题，如利用数学知识解决实际问题（如利润问题、行程问题等），这些题目可能涉及多个知识点的综合运用，旨在考察学生的解题能力和数学素养。 为了应对这些可能的考点，建议学生加强基础知识的学习和巩固，提高解题能力和数学思维能力。同时，多做真题和模拟题，熟悉考试形式和题型，为中考做好充分的准备。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在，2，，3这四个数中，比小的数是（   ） A． B．2 C． D．3 2．北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．等腰三角形顶角的度数为，则该三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．估算的结果（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 5．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 6．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ）    A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．的绝对值是 ，倒数是 ； 8．在函数中，自变量的取值范围是 ． 9．计算的结果是 ． 10．春节期间，小明一家去哈尔滨冰雪大世界观赏冰雕．小明从某个角度发现如图①所示的冰雕，隐藏着数学问题，并建立了如图②所示的几何模型．已知，点在直线上，点在直线上，平分，交于点，若，则的度数为 ． 11．为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级（1）班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如下表所示． 分数（分） 90 92 94 96 98 100 人数（人） 4 10 11 13 9 3 在本次调查中，八年级（1）班这50名学生竞赛成绩的中位数是 分． 12．若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ． 13．如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为的直径，连结，若，则的度数为 ． 14．我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则 ． 15．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 . 16．如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）先化简，再求值：，其中． 18．（7分）解不等式组： 19．（7分）如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 20．（8分）近年来，在国家大力支持发展新能源汽车的政策下，我国新能源汽车蓬勃发展，尤其是电动汽车，电动汽车的关键之一是动力电池．某企业生产了5000块动力电池，为了解这批动力电池的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了50块动力电池进行检测，数据汇总如下： 次数（） 数量/块 5 12 25 8 (1)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由． (2)根据上述信息，下列说法中正确的是______（写出正确说法的序号）； ①这50块动力电池完全充放电次数都不低于1000次； ②这50块动力电池完全充放电次数的中位数满足； ③这50块动力电池完全充放电次数的平均数满足． (3)估计这批动力电池中完全充放电次数在1600次及以上的数量． 21．（8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 22．（8分）一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该工程师的一段对话： 如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积． 23．（8分）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内） (1)求坡顶处的高度； (2)求风筝的飞行高度（即的长）． 24．（8分）如图，是的切线，切点为，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 25．（9分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． (1)若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； (2)当时，设，，求关于的函数关系式； (3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 26．（8分）如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做弦，、两点之间的距离称为抛物线的弦长． (1)求抛物线的弦长， (2)已知抛物线的弦长的最小值是，当时，求的值； (3)设，为正整数，且，拋物线的弦长为，抛物线的弦长为，，试求出与之间的函数头系式：若不论为何值，恒成立，求，的值． 27．（10分）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向： 1、 命题趋势 1. 核心素养导向：2025年南京中考数学试题预计将更加注重对数学核心素养的考查。这包括数学建模能力，如通过实际问题（环保、交通、经济等）抽象出方程、函数或几何模型；数据分析能力，即结合统计图表（折线图、扇形图、频数分布表）分析社会热点（人口变化、能源使用等）；以及逻辑推理能力，特别是在几何证明题中，难度可能有所提升，侧重考察“逆向思维”或“多结论辨析”。 2. 跨学科融合：题目可能出现与物理、化学、信息技术等学科的结合。例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或者给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求学生现场理解并解题。此外，还可能出现开放探究题，如设计一种测量建筑物高度的方案，并说明原理及计算误差。 二、高频考点与分值预测 虽然具体的高频考点和分值分布需要依据考试大纲和历年真题进行深入分析，但一些基础知识点和常见题型仍然是备考的重点。这包括有理数、代数式、方程与不等式、函数、几何图形与性质等基础知识，以及应用题、证明题、开放性问题、应用性问题等多种题型。 2、 备考策略建议 1. 基础巩固：重视基础知识的巩固和基本技能的提升。通过系统复习和练习，确保对数学基本概念、公式和定理有深入的理解和掌握。 2. 能力提升：针对核心素养导向的命题趋势，加强数学建模、数据分析和逻辑推理等能力的提升。通过参与实践活动、解决实际问题等方式，培养综合运用数学知识解决问题的能力。 3. 跨学科融合：关注数学与其他学科的交叉点，拓宽知识面和视野。通过阅读相关书籍、参加学科竞赛等方式，了解数学在其他学科中的应用和融合方式。 4. 模拟考试与真题演练：定期进行模拟考试和真题演练，熟悉考试形式和流程，提高应试技巧和心理素质。同时，通过分析错题和薄弱环节，有针对性地进行查漏补缺。 中考·新考法： 一、题型趋势预测 1.二次函数与几何图形的结合：预计2025年南京中考数学会加强对二次函数与线段、面积、角度等几何图形结合问题的考察。这类问题往往难度较大，需要考生具备扎实的二次函数基础和良好的几何直观能力。 2.动态几何问题：动态几何问题也是近年来的热点，特别是抛物线与动直线、动线段的交点问题，以及二次函数图像随参数变化而动态变化的问题。这类问题考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3.实际应用问题：中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此预计会出现一些与现实生活紧密相关的应用题，如利润问题、行程问题等。这类问题需要考生能够将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识进行求解。 二、备考建议 1.加强基础知识复习：扎实的基础知识是解题的关键。考生需要加强对二次函数、一次函数、几何图形等基础知识的复习，确保在考试中能够迅速准确地运用这些知识。 2.提高解题技巧：在掌握基础知识的基础上，考生还需要提高解题技巧。例如，对于二次函数与几何图形的结合问题，可以采用数形结合的思想，通过画图辅助解题；对于动态几何问题，可以采用特殊值法、参数法等方法进行求解。 3.加强模拟训练：模拟训练可以帮助考生熟悉考试形式和节奏，提高应试能力。考生可以选择一些质量较高的模拟试卷进行训练，并在训练后认真总结反思，查漏补缺。 4.注重实际应用能力的培养：考生在平时的学习中要注重培养自己的实际应用能力，学会将数学知识应用于实际生活中。可以通过做一些应用题、参加数学竞赛等方式来提高自己的实际应用能力。 中考·新情境： 一、新定义、新情境题型 这类题型通常会给出一种新的运算规则或情境，要求考生根据这些新信息解决问题。例如，可能会定义一种新的数学运算，或者给出一个与现实生活紧密相关的数学问题，如测量两地高度差等。这类题型旨在考察考生的学习能力和适应能力，要求考生能够迅速理解新信息，并将其应用于解题过程中。例：第25题、第26题。 二、实际应用题型 中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此可能会出现一些与现实生活紧密相关的题型，如利润问题、几何图形在实际问题中的应用等。这些题型通常会要求考生根据题目中的信息，建立数学模型，然后进行求解。例：第6题、第22题、第23题。 三、压轴题型预测 压轴题型通常具有较高的难度和区分度，可能会涉及多个知识点的综合运用。在2025年南京中考数学中，可能会出现一些涉及函数、几何、代数等多个知识点的综合题型。这些题型可能会要求考生进行复杂的计算和推理，以检验他们的数学素养和解题能力。例：第27题。 四、备考建议 1.加强基础知识的学习：掌握扎实的数学基础知识是解题的关键。因此，考生需要加强对数学基本概念、公式和定理的理解和记忆。 2.提高解题能力：通过大量的练习，提高解题的速度和准确性。同时，要注重解题方法的总结和归纳，形成自己的解题思路和技巧。 3.关注实际应用：加强与实际生活相关的数学问题的练习，提高解决实际问题的能力。 4.模拟考试：参加模拟考试可以帮助考生熟悉考试流程和题型，同时检验自己的备考情况，及时调整备考策略。 命题·大预测： 一、数与代数 可能涉及的考点包括科学记数法、实数运算、数轴、整式运算、数的估算、因式分解、分式运算、一次方程（组）、分式方程以及一元二次方程等。这些考点是数学基础，预计会以选择题、填空题和解答题的形式出现。 二、函数 函数部分可能重点考察一次函数、反比例函数和二次函数的性质、图像以及应用。特别是二次函数，其图像和性质的理解以及应用解决实际问题，预计会是命题的热点。 三、几何 几何部分可能涉及三角形、多边形、圆以及图形变换与坐标等考点。其中，圆的性质和定理、三角形的相似和全等以及图形的平移、旋转和对称等变换，预计会是考试的重点。 四、统计概率 统计和概率部分可能考察数据的收集、整理和分析，以及概率的基本概念和计算。特别是统计图表的理解和分析，以及利用概率解决实际问题，预计会是命题的难点。 五、综合应用题 预计会出现一些结合生活实际和热点问题的综合应用题，如利用数学知识解决实际问题（如利润问题、行程问题等），这些题目可能涉及多个知识点的综合运用，旨在考察学生的解题能力和数学素养。 为了应对这些可能的考点，建议学生加强基础知识的学习和巩固，提高解题能力和数学思维能力。同时，多做真题和模拟题，熟悉考试形式和题型，为中考做好充分的准备。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在，2，，3这四个数中，比小的数是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则求解．运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小进行比较即可． 【详解】解：， 故，2，，3这四个数中，比小的数是． 故选：A． 2．北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3．等腰三角形顶角的度数为，则该三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，根据等腰三角形两个底角相等且三角形内角和为180度列式求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角的度数为， ∴该三角形底角的度数为， 故选：C． 4．估算的结果（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确进行二次根式的计算是关键；首先进行二次根式的混合运算，再对无理数进行估算即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴； 故选：C． 5．如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到的长度，最后根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：C． 6．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ）    A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，    即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故选：A． 【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．的绝对值是 ，倒数是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】解：的绝对值是， ∵， ∴的绝对值是， 故答案为：；． 8．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，分式有意义的条件，根据分式分母不等于零求解即可． 【详解】根据题意得， ∴． 故答案为：． 9．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则，二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．春节期间，小明一家去哈尔滨冰雪大世界观赏冰雕．小明从某个角度发现如图①所示的冰雕，隐藏着数学问题，并建立了如图②所示的几何模型．已知，点在直线上，点在直线上，平分，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/56度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由两直线平行，内错角相等得到的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级（1）班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如下表所示． 分数（分） 90 92 94 96 98 100 人数（人） 4 10 11 13 9 3 在本次调查中，八年级（1）班这50名学生竞赛成绩的中位数是 分． 【答案】95 【分析】本题主要考查了求中位数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为， 则中位数是：（分）． 故答案为：95． 12．若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到，，代入分式中求解即可． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为的直径，连结，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定理、圆周角定理等知识，由，得，则，由切线的性质得，则，再由，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，且与相切于点A， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题根据面积关系列式得到：，然后得到，然后由题可得：，最后联立方程组即可求解； 【详解】解：∵， ∴解得：， 由题可得：， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 15．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 . 【答案】, 【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可. 【详解】解： 【点睛】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目. 16．如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 【详解】解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．（7分）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19．（7分）如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得，则，结合，得，再证明，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（8分）近年来，在国家大力支持发展新能源汽车的政策下，我国新能源汽车蓬勃发展，尤其是电动汽车，电动汽车的关键之一是动力电池．某企业生产了5000块动力电池，为了解这批动力电池的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了50块动力电池进行检测，数据汇总如下： 次数（） 数量/块 5 12 25 8 (1)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由． (2)根据上述信息，下列说法中正确的是______（写出正确说法的序号）； ①这50块动力电池完全充放电次数都不低于1000次； ②这50块动力电池完全充放电次数的中位数满足； ③这50块动力电池完全充放电次数的平均数满足． (3)估计这批动力电池中完全充放电次数在1600次及以上的数量． 【答案】(1)见解析 (2)①② (3)个 【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体： （1）根据调查方式的选择，进行说明即可； （2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式． （2）解：由统计表可知：这50块动力电池的完全充放电次数都不低于300次；故①正确； 将数据排序后，第20个和第21个数据均位于，故这50块动力电池的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确； 由统计表的中的数据可知，的数据只有5个，故平均数一定大于，故③错误； 故答案为：①②； （3）解：（个）． 21．（8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种，根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种， 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是； （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为． 22．（8分）一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该工程师的一段对话： 如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积． 【答案】平方米 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系，列方程是解答本题的关键． 设每人每小时的绿化面积为x平方米．然后根据对话内容列出分式方程求解即可． 【详解】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米． 根据题意，得， 方程两边乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 答：每人每小时的绿化面积为平方米． 23．（8分）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内） (1)求坡顶处的高度； (2)求风筝的飞行高度（即的长）． 【答案】(1) (2)风筝的飞行高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形． （1）过点作于，作于，利用坡度得到，不妨设，，利用勾股定理，，求得，最后得到； （2）先通过勾股定理求得，不妨设，那么，，是等腰直角三角形，那么，最后利用算得，最后得到的长度． 【详解】（1）解：过点作于，作于，如图所示： 从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处， ，， 不妨设，， ， ， （舍去负值）， ， 答：坡顶处的高度为． （2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处， 不妨设 ，， 四边形是矩形 ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 答：风筝的飞行高度为． 24．（8分）如图，是的切线，切点为，是的弦．过点作，交于点，连接，过点作，交于点．连接并延长交于点，交过点的直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）过点作直径，连接，由圆周角定理得，根据平行线的性质得，进而可得，即得，即可求证； （）由切线的性质得，即得，得到，，进而由勾股定理得，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理可得，得到，，由三角形中位线性质得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 过点作直径，连接，如图， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴与相切； （2）解：是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设的半径为，则，， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（9分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． (1)若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； (2)当时，设，，求关于的函数关系式； (3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 【答案】(1)2 (2)关于的函数关系式为 (3)①作图见解析；②的面积为6 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的和差求得，代入化简即可得出结论； （3）①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置； ②利用矩与正方形的性质，设，则，利用（2）的结论得到，利用三角形的面积公式求得的面积，再利用矩形的面积求得的值，则结论可求 【详解】（1）解：（1）由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由题意得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图： ②∵正方形、正方形、矩形、矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴的面积． ∵矩形的面积为12， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，矩形的面积，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（8分）如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做弦，、两点之间的距离称为抛物线的弦长． (1)求抛物线的弦长， (2)已知抛物线的弦长的最小值是，当时，求的值； (3)设，为正整数，且，拋物线的弦长为，抛物线的弦长为，，试求出与之间的函数头系式：若不论为何值，恒成立，求，的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图角与性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是理解题干中所给的弦和弦长的定义，根据定义得到二次函数的各项系数之间的关系． 首先令，可得：，解方程求出点，的横坐标，根据弦长的定义即可求出弦长的值； 令，可得：，利用求根公式可得：，再根据弦长的公式可得，从而可得，再根据，分情况求出的取值情况即可； 由可知：，因为恒成立，所以且，从而可得，根据平方的非负性可得，又因为、为正整数，从而可知、的值． 【详解】（1）解：令， 可得：， 解得：，， ； （2）解：令， 可得：， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， ， 即， 令，， 由题意可知，分成两种情况： 若，即时，， ，（舍）； 若，即时，， ，（舍）； 综上所述，或； （3）解：由可知： 拋物线的弦长为， 抛物线的弦长为， ，， ， 恒成立， 且； 为正整数， ， ， ， ， 或． 27．（10分）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得，由全等的性质可得出，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出． （2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出． （3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．画出图形结合正方形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）． 理由∶如下图，延长交的延长线于点P，    图4 ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴ （2）不变． 理由如下：设的中点为，连接，如下图所示．   是的中点， 是的中位线． ． ． ． ， ． （3）或． 理由如下： 连接， 如下图 分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆． 当三点共线时，分以下两种情况进行讨论． ①当点在线段上时，连接， 过点作于点，如下图所示，    ∵为正方形，B为中心， ∴ ， ， 在中，， ． ． ． ②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示， 同理 ∴ 在中， ． ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质等知识，熟虑掌握以上知识是解题的关键， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$