信息必刷卷04（江苏南京专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向： 1、 命题趋势 1. 核心素养导向：2025年南京中考数学试题预计将更加注重对数学核心素养的考查。这包括数学建模能力，如通过实际问题（环保、交通、经济等）抽象出方程、函数或几何模型；数据分析能力，即结合统计图表（折线图、扇形图、频数分布表）分析社会热点（人口变化、能源使用等）；以及逻辑推理能力，特别是在几何证明题中，难度可能有所提升，侧重考察“逆向思维”或“多结论辨析”。 2. 跨学科融合：题目可能出现与物理、化学、信息技术等学科的结合。例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或者给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求学生现场理解并解题。此外，还可能出现开放探究题，如设计一种测量建筑物高度的方案，并说明原理及计算误差。 二、高频考点与分值预测 虽然具体的高频考点和分值分布需要依据考试大纲和历年真题进行深入分析，但一些基础知识点和常见题型仍然是备考的重点。这包括有理数、代数式、方程与不等式、函数、几何图形与性质等基础知识，以及应用题、证明题、开放性问题、应用性问题等多种题型。 2、 备考策略建议 1. 基础巩固：重视基础知识的巩固和基本技能的提升。通过系统复习和练习，确保对数学基本概念、公式和定理有深入的理解和掌握。 2. 能力提升：针对核心素养导向的命题趋势，加强数学建模、数据分析和逻辑推理等能力的提升。通过参与实践活动、解决实际问题等方式，培养综合运用数学知识解决问题的能力。 3. 跨学科融合：关注数学与其他学科的交叉点，拓宽知识面和视野。通过阅读相关书籍、参加学科竞赛等方式，了解数学在其他学科中的应用和融合方式。 4. 模拟考试与真题演练：定期进行模拟考试和真题演练，熟悉考试形式和流程，提高应试技巧和心理素质。同时，通过分析错题和薄弱环节，有针对性地进行查漏补缺。 中考·新考法： 一、题型趋势预测 1.二次函数与几何图形的结合：预计2025年南京中考数学会加强对二次函数与线段、面积、角度等几何图形结合问题的考察。这类问题往往难度较大，需要考生具备扎实的二次函数基础和良好的几何直观能力。 2.动态几何问题：动态几何问题也是近年来的热点，特别是抛物线与动直线、动线段的交点问题，以及二次函数图像随参数变化而动态变化的问题。这类问题考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3.实际应用问题：中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此预计会出现一些与现实生活紧密相关的应用题，如利润问题、行程问题等。这类问题需要考生能够将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识进行求解。 二、备考建议 1.加强基础知识复习：扎实的基础知识是解题的关键。考生需要加强对二次函数、一次函数、几何图形等基础知识的复习，确保在考试中能够迅速准确地运用这些知识。 2.提高解题技巧：在掌握基础知识的基础上，考生还需要提高解题技巧。例如，对于二次函数与几何图形的结合问题，可以采用数形结合的思想，通过画图辅助解题；对于动态几何问题，可以采用特殊值法、参数法等方法进行求解。 3.加强模拟训练：模拟训练可以帮助考生熟悉考试形式和节奏，提高应试能力。考生可以选择一些质量较高的模拟试卷进行训练，并在训练后认真总结反思，查漏补缺。 4.注重实际应用能力的培养：考生在平时的学习中要注重培养自己的实际应用能力，学会将数学知识应用于实际生活中。可以通过做一些应用题、参加数学竞赛等方式来提高自己的实际应用能力。 中考·新情境： 一、新定义、新情境题型 这类题型通常会给出一种新的运算规则或情境，要求考生根据这些新信息解决问题。例如，可能会定义一种新的数学运算，或者给出一个与现实生活紧密相关的数学问题，如测量两地高度差等。这类题型旨在考察考生的学习能力和适应能力，要求考生能够迅速理解新信息，并将其应用于解题过程中。例：第25题、 二、实际应用题型 中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此可能会出现一些与现实生活紧密相关的题型，如利润问题、几何图形在实际问题中的应用等。这些题型通常会要求考生根据题目中的信息，建立数学模型，然后进行求解。例：第6题、第20题、第23题。 三、压轴题型预测 压轴题型通常具有较高的难度和区分度，可能会涉及多个知识点的综合运用。在2025年南京中考数学中，可能会出现一些涉及函数、几何、代数等多个知识点的综合题型。这些题型可能会要求考生进行复杂的计算和推理，以检验他们的数学素养和解题能力。例：第26题、第27题。 四、备考建议 1.加强基础知识的学习：掌握扎实的数学基础知识是解题的关键。因此，考生需要加强对数学基本概念、公式和定理的理解和记忆。 2.提高解题能力：通过大量的练习，提高解题的速度和准确性。同时，要注重解题方法的总结和归纳，形成自己的解题思路和技巧。 3.关注实际应用：加强与实际生活相关的数学问题的练习，提高解决实际问题的能力。 4.模拟考试：参加模拟考试可以帮助考生熟悉考试流程和题型，同时检验自己的备考情况，及时调整备考策略。 命题·大预测： 一、数与代数 可能涉及的考点包括科学记数法、实数运算、数轴、整式运算、数的估算、因式分解、分式运算、一次方程（组）、分式方程以及一元二次方程等。这些考点是数学基础，预计会以选择题、填空题和解答题的形式出现。 二、函数 函数部分可能重点考察一次函数、反比例函数和二次函数的性质、图像以及应用。特别是二次函数，其图像和性质的理解以及应用解决实际问题，预计会是命题的热点。 三、几何 几何部分可能涉及三角形、多边形、圆以及图形变换与坐标等考点。其中，圆的性质和定理、三角形的相似和全等以及图形的平移、旋转和对称等变换，预计会是考试的重点。 四、统计概率 统计和概率部分可能考察数据的收集、整理和分析，以及概率的基本概念和计算。特别是统计图表的理解和分析，以及利用概率解决实际问题，预计会是命题的难点。 五、综合应用题 预计会出现一些结合生活实际和热点问题的综合应用题，如利用数学知识解决实际问题（如利润问题、行程问题等），这些题目可能涉及多个知识点的综合运用，旨在考察学生的解题能力和数学素养。 为了应对这些可能的考点，建议学生加强基础知识的学习和巩固，提高解题能力和数学思维能力。同时，多做真题和模拟题，熟悉考试形式和题型，为中考做好充分的准备。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，绝对值最大的是（   ） A．2 B． C．0 D．-3 2．下列各数中是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 3．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形为的内接四边形，，若点为上的一点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 5．已知一个立体图形，其正视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图为半径为1cm的圆（含圆心），若它的侧面展开图的面积为2π，则此几何体的高为（　　） A． B．2cm C． D．4cm 6．如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（　　） A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．2022的相反数的倒数是 ． 8．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 9．代数式与代数的值相等，则 ． 10．如图，为等边三角形，，，则的度数为 ． 11．我省将球类运动纳入中考体育必测项目，学生可以从篮球、足球、排球三种球类技能中选择一项作为球类测试项目．小明和小丽选择排球作为中考体育测试项目之一，如图是他们进行了6次1分钟定时隔空垫球练习的数量统计．根据图中信息，估计小明和小丽两人中成绩比较稳定的是 ． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 13．如图，点是外一点，是的切线，点为切点，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为 14．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点，则点的坐标为 ． 15．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 16．如图，在矩形中，，，为矩形内一点，连接、、，，则的最大值为 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）先化简，再求值：，其中． 19．（7分）如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)当______时，四边形是正方形． 20．（8分）国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 21．（8分）为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息： ①随机抽取男同学和女同学各名； ②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）； ③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表： 性别 平均数 中位数 众数 女 82.1 88 89 男 83.5 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值是_____； (2)下列描述中正确的有_____； ①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下． ②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人． ③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多． (3)成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数． 22．（8分）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 23．（8分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？ 24．（8分）如图，为斜边上的一点，，以点为圆心，的长为半径作圆，交于点，交于点，经过上一点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 25．（9分）阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 26．（8分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 27．（10分）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷04（南京专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 D C C D A D 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 7. 8. 9．7 10． 11．小明 12． 且 13. 14. 15. ①②④ 16. 三、解答题:本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（7分） 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18．（7分） 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先计算括号内的分式加减法，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 19．（7分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定,三角形中位线定理，正方形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，熟知菱形和正方形的判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明结论； （2）根据当菱形的一个内角是时，该菱形是正方形，则可推出是等腰直角三角形，则有. 【详解】（1）解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，D是中点， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴若四边形是正方形，则， 又∵是的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，当时，四边形是正方形． 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）∵共有4个主题， ∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是； （2）列表如下： 乙甲 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果． 所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）． 21．（8分） 【答案】(1)； (2)③ (3)该校九年级约有人的成绩记为优秀． 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案； （3）利用样本估计总体即可得到答案． 【详解】（1）解：男同学一共有名同学，在和共有人， 中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、 故中位数， 故答案为：； （2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误； 抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误； 由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人， 由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人， ∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确； 故答案为：③； （3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据， ∴第个数据是， ∴女同学的成绩不低于分的人数有人， 男同学的成绩不低于分的人数有人， ∴（人）， 估计该校九年级约有人的成绩记为优秀． 22．（8分） 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元； (2)最多可以购买20副羽毛球拍． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． （2）解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 23．（8分） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：设上升的高度为， 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形， ， ，， ， 于点，， ， ， ， ， ， ． ，即， ， ， ． ，， ． 答：点在竖直方向上上升了． 24．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，垂径定理． （1）连接，由圆周角定理得，再根据，可推出，即可得出结论； （2）过点作于点，由平行线的判定和性质推出，进而得，设，则，由勾股定理求出，证明四边形为矩形，得，由垂径定理得，再由得关于x的方程，进而可以得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ，即， ， 点是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 解得， ， 在中，， 的长为20． 25．（9分） 【答案】操作实验：见解析；深入探究：情形1：；（答案不唯一）；情形2：①见解析；②见解析 【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 操作实验：连接对角线，线段即为所求； 深入探究：情形1：利用等边三角形的性质即可解答； 情形2：①按题意作出图形即可； ②利用相似三角形的性质，作出图形即可． 【详解】解：操作实验：如图， 四边形为平行四边形， ， 和的高相同， 和的面积相同， 线段即为所求 ； 深入探究：情形1： 如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时， 根据“面径”的定义可得， ，， ， ； 如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时， , 根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为， ， 根据“面径”的定义可得， 那可使，则， 过点作， ，， , ， 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是， 故答案为：；（答案不唯一）； 情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求， ②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形， 再作， 则， ， ， 的面积比的面积为， 则线段即为所求． 26．（8分） 【答案】（1）   （2）  （3）或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 27．（10分） 【答案】(1)①；②的值为或 (2) (3)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可； （3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， 故答案为：； ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：， 解得：； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（南京专用） 考情速递 中考·新动向： 1、 命题趋势 1. 核心素养导向：2025年南京中考数学试题预计将更加注重对数学核心素养的考查。这包括数学建模能力，如通过实际问题（环保、交通、经济等）抽象出方程、函数或几何模型；数据分析能力，即结合统计图表（折线图、扇形图、频数分布表）分析社会热点（人口变化、能源使用等）；以及逻辑推理能力，特别是在几何证明题中，难度可能有所提升，侧重考察“逆向思维”或“多结论辨析”。 2. 跨学科融合：题目可能出现与物理、化学、信息技术等学科的结合。例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或者给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求学生现场理解并解题。此外，还可能出现开放探究题，如设计一种测量建筑物高度的方案，并说明原理及计算误差。 二、高频考点与分值预测 虽然具体的高频考点和分值分布需要依据考试大纲和历年真题进行深入分析，但一些基础知识点和常见题型仍然是备考的重点。这包括有理数、代数式、方程与不等式、函数、几何图形与性质等基础知识，以及应用题、证明题、开放性问题、应用性问题等多种题型。 2、 备考策略建议 1. 基础巩固：重视基础知识的巩固和基本技能的提升。通过系统复习和练习，确保对数学基本概念、公式和定理有深入的理解和掌握。 2. 能力提升：针对核心素养导向的命题趋势，加强数学建模、数据分析和逻辑推理等能力的提升。通过参与实践活动、解决实际问题等方式，培养综合运用数学知识解决问题的能力。 3. 跨学科融合：关注数学与其他学科的交叉点，拓宽知识面和视野。通过阅读相关书籍、参加学科竞赛等方式，了解数学在其他学科中的应用和融合方式。 4. 模拟考试与真题演练：定期进行模拟考试和真题演练，熟悉考试形式和流程，提高应试技巧和心理素质。同时，通过分析错题和薄弱环节，有针对性地进行查漏补缺。 中考·新考法： 一、题型趋势预测 1.二次函数与几何图形的结合：预计2025年南京中考数学会加强对二次函数与线段、面积、角度等几何图形结合问题的考察。这类问题往往难度较大，需要考生具备扎实的二次函数基础和良好的几何直观能力。 2.动态几何问题：动态几何问题也是近年来的热点，特别是抛物线与动直线、动线段的交点问题，以及二次函数图像随参数变化而动态变化的问题。这类问题考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3.实际应用问题：中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此预计会出现一些与现实生活紧密相关的应用题，如利润问题、行程问题等。这类问题需要考生能够将实际问题抽象为数学问题，并运用所学知识进行求解。 二、备考建议 1.加强基础知识复习：扎实的基础知识是解题的关键。考生需要加强对二次函数、一次函数、几何图形等基础知识的复习，确保在考试中能够迅速准确地运用这些知识。 2.提高解题技巧：在掌握基础知识的基础上，考生还需要提高解题技巧。例如，对于二次函数与几何图形的结合问题，可以采用数形结合的思想，通过画图辅助解题；对于动态几何问题，可以采用特殊值法、参数法等方法进行求解。 3.加强模拟训练：模拟训练可以帮助考生熟悉考试形式和节奏，提高应试能力。考生可以选择一些质量较高的模拟试卷进行训练，并在训练后认真总结反思，查漏补缺。 4.注重实际应用能力的培养：考生在平时的学习中要注重培养自己的实际应用能力，学会将数学知识应用于实际生活中。可以通过做一些应用题、参加数学竞赛等方式来提高自己的实际应用能力。 中考·新情境： 一、新定义、新情境题型 这类题型通常会给出一种新的运算规则或情境，要求考生根据这些新信息解决问题。例如，可能会定义一种新的数学运算，或者给出一个与现实生活紧密相关的数学问题，如测量两地高度差等。这类题型旨在考察考生的学习能力和适应能力，要求考生能够迅速理解新信息，并将其应用于解题过程中。例：第25题、 二、实际应用题型 中考数学越来越注重考察学生的实际应用能力，因此可能会出现一些与现实生活紧密相关的题型，如利润问题、几何图形在实际问题中的应用等。这些题型通常会要求考生根据题目中的信息，建立数学模型，然后进行求解。例：第6题、第20题、第23题。 三、压轴题型预测 压轴题型通常具有较高的难度和区分度，可能会涉及多个知识点的综合运用。在2025年南京中考数学中，可能会出现一些涉及函数、几何、代数等多个知识点的综合题型。这些题型可能会要求考生进行复杂的计算和推理，以检验他们的数学素养和解题能力。例：第26题、第27题。 四、备考建议 1.加强基础知识的学习：掌握扎实的数学基础知识是解题的关键。因此，考生需要加强对数学基本概念、公式和定理的理解和记忆。 2.提高解题能力：通过大量的练习，提高解题的速度和准确性。同时，要注重解题方法的总结和归纳，形成自己的解题思路和技巧。 3.关注实际应用：加强与实际生活相关的数学问题的练习，提高解决实际问题的能力。 4.模拟考试：参加模拟考试可以帮助考生熟悉考试流程和题型，同时检验自己的备考情况，及时调整备考策略。 命题·大预测： 一、数与代数 可能涉及的考点包括科学记数法、实数运算、数轴、整式运算、数的估算、因式分解、分式运算、一次方程（组）、分式方程以及一元二次方程等。这些考点是数学基础，预计会以选择题、填空题和解答题的形式出现。 二、函数 函数部分可能重点考察一次函数、反比例函数和二次函数的性质、图像以及应用。特别是二次函数，其图像和性质的理解以及应用解决实际问题，预计会是命题的热点。 三、几何 几何部分可能涉及三角形、多边形、圆以及图形变换与坐标等考点。其中，圆的性质和定理、三角形的相似和全等以及图形的平移、旋转和对称等变换，预计会是考试的重点。 四、统计概率 统计和概率部分可能考察数据的收集、整理和分析，以及概率的基本概念和计算。特别是统计图表的理解和分析，以及利用概率解决实际问题，预计会是命题的难点。 五、综合应用题 预计会出现一些结合生活实际和热点问题的综合应用题，如利用数学知识解决实际问题（如利润问题、行程问题等），这些题目可能涉及多个知识点的综合运用，旨在考察学生的解题能力和数学素养。 为了应对这些可能的考点，建议学生加强基础知识的学习和巩固，提高解题能力和数学思维能力。同时，多做真题和模拟题，熟悉考试形式和题型，为中考做好充分的准备。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，绝对值最大的是（   ） A．2 B． C．0 D．-3 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、有理数大小比较等知识点，掌握求一个的绝对值的方法是解题的关键． 先求出各项的绝对值，然后再比较其大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值最大的数是． 故选：D． 2．下列各数中是无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，根据无限不循环小数是无理数；即可判定选择项． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．，是有理数，故此选项不符合题意； C．是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； D．，是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力．影片截至2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：144.17亿， 故选：C． 4．如图，四边形为的内接四边形，，若点为上的一点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了四点共圆对角互补，等腰三角形，圆周角定理，解题的关键是对点的位置进行分两种情况讨论． 【详解】解：四边形为的内接四边形，， 如下图：当点为上的一点，连接，则的度数为， ，则， 当点为上的一点，连接，则， 故选：D． 5．已知一个立体图形，其正视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图为半径为1cm的圆（含圆心），若它的侧面展开图的面积为2π，则此几何体的高为（　　） A． B．2cm C． D．4cm 【答案】A 【分析】先由三视图判断几何体为圆锥，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，先求出母线长，再根据勾股定理求出此几何体的高． 【详解】解∶ ∵圆锥的底面半径为1cm，侧面展开图的面积为2π， ∴圆锥的母线长=2π÷π=2(cm)， ∴此几何体的高为==(cm)． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是根据三视图求物体的高，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状是解答本题的关键． 6．如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（　　） A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C 【答案】D 【详解】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），故选D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．2022的相反数的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数，根据相反数和倒数的定义解答即可． 【详解】解：2022的相反数是，的倒数是． 故答案为：． 8．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 9．代数式与代数的值相等，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：7． 10．如图，为等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据平行线性质得，最后根据周角的定义可得出的度数． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．我省将球类运动纳入中考体育必测项目，学生可以从篮球、足球、排球三种球类技能中选择一项作为球类测试项目．小明和小丽选择排球作为中考体育测试项目之一，如图是他们进行了6次1分钟定时隔空垫球练习的数量统计．根据图中信息，估计小明和小丽两人中成绩比较稳定的是 ． 【答案】小明 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定． 【详解】解：由于小丽的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定； 小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定． 故答案为：小明． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系，掌握此关系是解题的关键．根据根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，进行求解即可． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 是一元二次方程， ， 且． 故答案：且． 13．如图，点是外一点，是的切线，点为切点，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质和三角形的内角和定理以及圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，掌握求交点坐标的方法是解题的关键．利用待定系数法求得两直线的解析式，然后联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点， ，， 解得：，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为； 解方程组，得或， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记I，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；②I，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形；③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；证明和都是等边三角形，则，即可证明Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确；，，，即可得到Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误；证明，得，故④说法正确． 【详解】解：如图所示， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，同理可证， ∴，故④说法正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 16．如图，在矩形中，，，为矩形内一点，连接、、，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意判断出点在以为直径的圆上，要想使的取最大值，此题中其实就是要越大就可以，根据图形可知当与相切时，的最大，如图此时算出CG的长度即可解决问题； 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以点在以为直径的圆上， 如图，作以为直径的，要使取最大值，即当与相切时，连接， ∵， ∴是的切线， ∵与相切， ∴ ∵为中点， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 过点作于， ∴， 即 ， 解得：， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质和解直角三角形等知识点，解决此题的关键是要找到点的位置． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18．（7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先计算括号内的分式加减法，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 19．（7分）如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定,三角形中位线定理，正方形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，熟知菱形和正方形的判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明结论； （2）根据当菱形的一个内角是时，该菱形是正方形，则可推出是等腰直角三角形，则有. 【详解】（1）解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，D是中点， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴若四边形是正方形，则， 又∵是的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，当时，四边形是正方形． 20．（8分）国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）∵共有4个主题， ∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是； （2）列表如下： 乙甲 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果． 所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）． 21．（8分）为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息： ①随机抽取男同学和女同学各名； ②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）； ③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表： 性别 平均数 中位数 众数 女 82.1 88 89 男 83.5 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值是_____； (2)下列描述中正确的有_____； ①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下． ②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人． ③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多． (3)成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数． 【答案】(1)； (2)③ (3)该校九年级约有人的成绩记为优秀． 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案； （3）利用样本估计总体即可得到答案． 【详解】（1）解：男同学一共有名同学，在和共有人， 中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、 故中位数， 故答案为：； （2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误； 抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误； 由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人， 由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人， ∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确； 故答案为：③； （3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，； ∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据， ∴第个数据是， ∴女同学的成绩不低于分的人数有人， 男同学的成绩不低于分的人数有人， ∴（人）， 估计该校九年级约有人的成绩记为优秀． 22．（8分）为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元； (2)最多可以购买20副羽毛球拍． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． （2）解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 23．（8分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图1），图2是其示意图．为转动点，，与水平线的夹角，，，当点绕点旋转下落到上时，线段，旋转到线段，位置，那么点在竖直方向上上升了多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：设上升的高度为， 连接，过点作于点，过作于点，于点，则四边形是矩形， ， ，， ， 于点，， ， ， ， ， ， ． ，即， ， ， ． ，， ． 答：点在竖直方向上上升了． 24．（8分）如图，为斜边上的一点，，以点为圆心，的长为半径作圆，交于点，交于点，经过上一点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，垂径定理． （1）连接，由圆周角定理得，再根据，可推出，即可得出结论； （2）过点作于点，由平行线的判定和性质推出，进而得，设，则，由勾股定理求出，证明四边形为矩形，得，由垂径定理得，再由得关于x的方程，进而可以得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ，即， ， 点是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 解得， ， 在中，， 的长为20． 25．（9分）阅读下列材料，完成相应任务． 面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”． 例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”． 操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径． 在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）； 深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？ 情形1：特例研究 已知等边三角形的边长为2， 当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________． 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________． 情形2：一般研究 ①当面径经过三角形的一个顶点时． 已知：如图3，已知． 求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积． 小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）； ②当面径不经过三角形的顶点时． 已知：如图4，已知． 求作：直线m，使直线m平分的面积． 小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求） 【答案】操作实验：见解析；深入探究：情形1：；（答案不唯一）；情形2：①见解析；②见解析 【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 操作实验：连接对角线，线段即为所求； 深入探究：情形1：利用等边三角形的性质即可解答； 情形2：①按题意作出图形即可； ②利用相似三角形的性质，作出图形即可． 【详解】解：操作实验：如图， 四边形为平行四边形， ， 和的高相同， 和的面积相同， 线段即为所求 ； 深入探究：情形1： 如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时， 根据“面径”的定义可得， ，， ， ； 如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时， , 根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为， ， 根据“面径”的定义可得， 那可使，则， 过点作， ，， , ， 当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是， 故答案为：；（答案不唯一）； 情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求， ②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形， 再作， 则， ， ， 的面积比的面积为， 则线段即为所求． 26．（8分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 27．（10分）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②的值为或 (2) (3)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可； （2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可； （3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， ∴点， 故答案为：； ②∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大， ∴时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：， 解得：； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：； Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$