第5章 分式与分式方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第5章 分式与分式方程（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）在，，，，，中，分式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（3分）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若关于x的方程无解，那么m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 5．（3分）已知x＞y＞0，，则分式值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 6．（3分）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文 7．（3分）在体育课上，甲、乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳x下，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1．25倍，比小亮少用了70秒，设小亮的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　） A．70×1.25x﹣70x＝1500 B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）计算：a﹣b＝　 　，　 　． 10．（3分）关于x的方程无解，则m的值是 　 　． 11．（3分）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则的值为　 　． 12．（3分）有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是 　 　． 13．（3分）依据如图流程图计算，需要经历的路径是　 　（只填写序号），输出的运算结果是　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）化简下列各式： （1）a（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣2b） （2）． 15．（7分）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍． （1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案． 16．（8分）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息： 信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元； 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元． 根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？ 17．（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距聚会还有42分钟，于是分立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校，已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟． （1）李明步行的速度是多少米/分？ （2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 18．（9分）某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？ 19．（12分）已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 20．（12分）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　 　（增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 分式与分式方程（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）在，，，，，中，分式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在代数式中，分式有，共有3个． 故选：B． 2．（3分）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不是最简分式，不符合题意； B、，故B不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故D不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 3．（3分）的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：原式• ． 故选：A． 4．（3分）若关于x的方程无解，那么m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 【分析】分式方程无解有两种情况①去分母后的整式方程无解，②解出的根为增根．将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可． 【详解】解：将分式方程变为整式方程得：4+3（x+3）＝m． 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴x＝﹣3， ∴， 解得：m＝4． 故选：A． 5．（3分）已知x＞y＞0，，则分式值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 【分析】先求出，，然后求出，结合x＞y＞0即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， ∵x＞y＞0， ∴x+y＞0，x﹣y＞0， ∴， 故选：A． 6．（3分）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文 【分析】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺， 设绫布有x尺，则可得方程为， ∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 7．（3分）在体育课上，甲、乙两名同学进行跳绳比赛．在相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40下．已知甲每分钟比乙多跳20下，设甲每分钟跳x下，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设甲每分钟跳x 下，那么乙每分钟跳（x﹣20）下，根据：“相同时间内，甲跳360下，乙比甲少跳40 下”，据此可列出方程． 【详解】解：设甲每分钟跳x 下，那么乙每分钟跳（x﹣20）下， 根据题意得：， 故选：A． 8．（3分）体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1．25倍，比小亮少用了70秒，设小亮的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　） A．70×1.25x﹣70x＝1500 B． C． D． 【分析】设小亮的速度是x米/秒，则小明的速度是1.25x米/秒，根据小明比小亮少用了70秒，列出分式方程即可． 【详解】解：设小亮的速度是x米/秒，则小明的速度是1.25x米/秒， 由题意得：70， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）计算：a﹣b＝　　，　　． 【分析】先算括号里的再乘除． 【详解】解：a﹣b ； ． 10．（3分）关于x的方程无解，则m的值是 　1或0　． 【分析】先把分式方程化为整式方程得到mx＝3，由于关于x的分式方程无解，当x＝3时，最简公分母x﹣3＝0，将x＝3代入方程mx＝3，解得m＝1，当m＝0时，方程也无解． 【详解】解：去分母得mx＝3， ∵x＝3时，最简公分母x﹣3＝0，此时整式方程的解是原方程的增根， ∴当x＝3时，原方程无解，此时3m＝3，解得m＝1， 当m＝0时，整式方程无解 ∴m的值为1或0时，方程无解． 故答案为：1或0． 11．（3分）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则的值为　2　． 【分析】先把z当作已知条件表示出x、y的值，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵解方程组，解得， ∴原式2． 故答案为：2． 12．（3分）有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是 　48　． 【分析】设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯外面的级数为n，从而根据题意可得出两个分式方程，相除即可得出答案． 【详解】解：设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯外面的级数为n， 则， 两式相除得：， 解得：n＝48， 经检验得n＝48是方程的根． 故答案为：48． 13．（3分）依据如图流程图计算，需要经历的路径是　②③　（只填写序号），输出的运算结果是　　． 【分析】根据流程图可得需经历路径为②，然后按照流程计算得出结果再判断经过③，④． 【详解】解：∵两个分式分母不同， ∴经历路径为②． 根据路径②计算如下： 原式， ， ， ∴原式为最简分式，再经过路径③得出结果． 故答案为：②③，． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）化简下列各式： （1）a（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣2b） （2）． 【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝a2﹣ab﹣a2+ab+2b2＝2b2； （2）原式••． 15．（7分）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍． （1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案． 【分析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据甲做的工作量+乙做的工作量＝工作总量建立方程求出其解即可； （2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y﹣1500）元，根据两个公司合做共需付施工费102 000元为等量关系建立方程求出其解即可，从施工费用和施工时间两方面考虑． 【详解】解：（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天， 根据题意，得， 解得，x＝20， 经检验，x＝20是方程的解且符合题意， ∴乙公司单独完成需要的时间为1.5x＝30天． 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天； （2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y﹣1500）元， 根据题意，得12（y+y﹣1500）＝102000， 解得，y＝5000， ∴甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000＝100000（元）， 乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000﹣1500）＝105000 （元）， 从施工费用考虑，选择甲公司； 从完工时间考虑，选择甲乙合作． 16．（8分）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息： 信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元； 信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元． 根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？ 【分析】设原来报名参加的学生有x人，根据原来每位同学平均分摊的费用﹣参加活动后的每位同学平均分摊的费用＝4元，列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：设原来报名参加的学生有x人， 依题意，得4， 解这个方程，得x＝20． 经检验，x＝20是原方程的解且符合题意． 答：现在报名参加的学生有40人． 17．（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距聚会还有42分钟，于是分立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后骑自行车（匀速）返回学校，已知李明骑自行车的速度是步行速度的3倍，李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟． （1）李明步行的速度是多少米/分？ （2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 【分析】（1）设李明步行的速度是x米/分，根据李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟列出方程，即可得出答案； （2）求出李明赶到学校所用的时间，再与42分钟比较，即可得出答案． 【详解】解：（1）设李明步行的速度是x米/分，根据题意得： 20， 解得：x＝70， 经检验x＝70是原方程的解； 答：李明步行的速度是70米/分； （2）∵1＝41＜42， ∴李明能在联欢会开始前赶到学校． 18．（9分）某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？ 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【详解】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： （）×101． 解得：x＝30． 经检验x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（）＝18（天）， 则该工程施工费用是：18×（5000+3000）＝144000（元）， 答：该工程的费用为144000元． 19．（12分）已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15， 10x＝﹣2， x， 检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x． 答：分式方程的解是x． （2）把a＝1代入分式方程 得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， （x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， （11﹣2b）x＝3b﹣10， ①当11﹣2b＝0时，即，方程无解； ②当11﹣2b≠0时，， 时，分式方程无解，即，b不存在； x＝5时，分式方程无解，即，b＝5． 综上所述，或b＝5时，分式方程 无解． （3）把a＝3b代入分式方程 中，得： 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：（10+b）x＝18b﹣15， ∴， ∵，且b为正整数，x为整数， ∴10+b必为195的因数，10+b≥11， ∵195＝3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， 但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解x为3、5、13、15、17， 由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去． 对应地，b只可以取3、29、55、185， 所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 20．（12分）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，的值 　减小　（增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　减小　（增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【分析】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由2，再结合x的取值范围即可求解． 【详解】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小． （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2． （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． / 学科网（北京）股份有限公司 $$