第12章 定义 命题 证明（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第12章 定义 命题 证明 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 2．如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中： （1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）同位角相等． 其中真命题的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．七边形的内角和为 ． 8．命题“若，则”的逆命题是 ；其真假性是 ． 9．命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是 命题．（填“真”或“假”） 10．如图，直线，点、分别在直线、上，，若，则的度数为 ． 11．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 12．如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 13．如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 14．小亮从起点沿着水平方向行走，向右转前进，再向右转 后，行走的方向与原方向相反． 15．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 16．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 18．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 19．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 20．读小明和小红的对话，解决下列问题．小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．”小红：“多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个锐角．” (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和． 21．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 22．如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 23．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 24．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 25．规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． (2)如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 26．【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    27．已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 定义 命题 证明 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义对各选项进行判断，熟知判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 【详解】解：A、“作两条相交直线”为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项不符合题意； C、对顶角相等，它是命题，所以C选项符合题意； D、“若，求的值”为描述性语言，它不是命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 3．下列命题中： （1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度； （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）同位角相等． 其中真命题的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、平行公理的应用、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】考查了命题与定理的知识，利用点到直线的距离的定义、垂直的性质、对顶角的性质及平行的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，正确，是真命题，符合题意； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； （4）两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 综上，真命题有1个， 故选：A． 4．如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，再由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意正八边形外角和为， ∴每一个外角为． 故选：B． 6．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．七边形的内角和为 ． 【答案】/900度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和公式即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．命题“若，则”的逆命题是 ；其真假性是 ． 【答案】 若，则 真命题 【知识点】不等式的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了判断命题的真假、写出命题的逆命题、不等式的性质，先写出命题的逆命题，再根据不等式的性质判断真假即可得解． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是若，则，是真命题， 故答案为：若，则；真命题． 9．命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题的正确性，判断每个命题是否正确，即可求解；掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：过直线外一点只能作这条直线的一条平行线；结论正确， 是真命题； 故答案为：真． 10．如图，直线，点、分别在直线、上，，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行得到，再根据垂直得到，再由角度的和差计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题，找出命题的题设和结论是解题的关键． 根据命题的题设和结论写出即可． 【详解】解：如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为， 故答案为：如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为． 12．如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解． 根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】， ， ，， ， 故答案为：． 13．如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和，平行线的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．过点作，先求出正五边形每个内角为，再利用平行线的性质求解即可 ． 【详解】解：如图，过点作， 五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．小亮从起点沿着水平方向行走，向右转前进，再向右转 后，行走的方向与原方向相反． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，如解析图示，，利用平角的定义求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，小亮从点A出发，沿着射线的方向走到底点E后左转沿着射线的方向走到点D，然后右转后沿着射线的方向行走，则， ∴， ∴， ∴再向右转后，行走的方向与原方向相反． 故答案为：． 15．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 16．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 若，则：， ∴；故⑦正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤⑦． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 【答案】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 【知识点】判断是否是命题 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：（1）今天的天气真好，是陈述句，不是命题； （2）这本书你看完了吗？不是命题； （3）如果，那么是命题， （4）奇数不能被2整除，是命题． 综上：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 18．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的条件和结论； （1）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （2）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （3）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； 理解命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】（1）解：条件：两直线平行； 结论：同位角相等； （2）解：条件：，， 结论：； （3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数， 结论：不等号方向改变． 19．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 20．读小明和小红的对话，解决下列问题．小明：“我把一个多边形的各内角相加，得到的和为．”小红：“多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个锐角．” (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由； (2)求该多边形的内角和． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键． （1）设多边形的边数是，根据多边形的内角和公式求出，由于取整数，所以多边形的内角和不可能是； （2）根据十边形的内角和为，十一边形的内角和为，即可得到答案． 【详解】（1）解：设多边形的边数是，由题意得，解得， 因为取整数， 所以多边形的内角和不可能是； （2）解：十边形的内角和为，而十一边形的内角和为， 所以该多边形的内角和是． 21．仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质和三角形外角的性质找到角之间的关系． 因为，根据两直线平行，同位角相等，可得：，又因为，再次利用两直线平行，同位角相等，可得：； 根据三角形的外角的性质可知，从而可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：在中， ，， ， ． 22．如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是真命题，理由见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 解题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是真命题． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论； （2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 24．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理， （1）直接根据三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解； （3）同（2）求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． (2)如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为智慧四边形，理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，理解相关定义是解决问题的关键． （1）设，则，，由四边形是智慧四边形得，则，即可求得，则； （2）由题意可得，，进而可知，再结合三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【详解】（1）设， ∵， ∴，， ∵四边形是智慧四边形， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． （2）四边形为智慧四边形，理由如下： ∵的两个外角、的角平分线交于点E， ∴，， 则 ， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为智慧四边形． 26．【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：   ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 27．已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． （1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$