信息必刷卷01（江苏淮安专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（淮安专用） 考情速递 中考·新动向： 一、预测方向 1.知识点覆盖：中考数学通常涵盖数与代数、几何与图形、统计与概率等核心领域。预计2025年淮安中考数学将继续测试这些基础知识，并可能增加对实际应用题、思维拓展题的考察。 2.题型与难度：可能会保持选择题、填空题和解答题等多种题型，以全面考察学生的数学能力和解题技巧。难度方面，可能会适当提升，以区分不同水平的学生，但整体仍会保持在一个合理的范围内。 3.新增科目影响：考虑到2025年中考改革新增了“信息科技”为必考科目，并调整了部分科目的分值，这可能会对数学的备考产生一定影响。例如，学生可能需要更加注重时间管理，以确保在有限的时间内完成数学和其他科目的复习。 4.时政分析与生活实际：道德与法治、历史科目权重的增加，以及物理化学实验操作部分的单独列出，都体现了中考对学生综合素质和实际能力的重视。在数学备考中，也可以关注与时政分析、生活实际相关的题目，以提高解题的灵活性和应用能力。 二、备考建议 1.巩固基础知识：扎实掌握数与代数、几何与图形、统计与概率等基础知识，这是解题的关键。 2.提升解题技巧：通过练习不同类型的题目，提升解题速度和准确率。特别是要注重对实际应用题、思维拓展题的训练。 3.注重时间管理：在备考过程中，要学会合理分配时间，确保每个科目都能得到充分的复习。同时，在模拟考试中也要注重时间管理，以适应中考的紧张氛围。 4.关注教育改革动态：及时了解中考改革的相关政策和动态，以便调整备考策略和方向。 中考·新考法： 一、重点内容预测 1.基础知识与基本技能：中考数学始终重视对学生基础知识和基本技能的考察。因此，代数、几何、概率统计等基础知识，以及方程求解、图形变换、数据分析等基本技能仍是复习的重点。 2.数学思想与方法：中考数学注重考察学生的数学思维和解决问题的能力。因此，数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想，以及配方法、公式法、因式分解法等数学方法将是考试中的重要内容。 3.热点题型与专题：中考数学常会出现一些热点题型和专题，如应用题、几何证明题、函数图像与性质题等。这些题型和专题往往与实际生活紧密相关，能够考察学生的综合应用能力。 二、考法预测 1.注重考查学生的理解能力和应用能力：中考数学将更加注重考查学生对数学概念、公式、定理的理解程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。 2.增加开放性和探究性题目：为了培养学生的创新思维和解决问题的能力，中考数学可能会增加一些开放性和探究性题目，让学生根据题目条件进行探索、分析和解答。 3.强化数学文化和数学史的渗透：中考数学可能会通过一些与数学文化和数学史相关的题目，让学生感受数学的魅力和价值，激发学习数学的兴趣。 三、备考建议 1.夯实基础：复习时要注重基础知识和基本技能的掌握，确保对每个知识点都能理解透彻、运用自如。 2.提高解题能力：通过大量的练习和模拟考试，提高自己的解题能力和应试技巧。同时，要注重解题过程的规范性和严谨性。 3.关注热点题型和专题：针对中考数学中常出现的热点题型和专题进行有针对性的复习和训练。 4.培养数学思维和创新能力：在复习过程中要注重培养自己的数学思维和创新能力，学会从不同角度思考问题、解决问题。 中考·新情境： 一、命题趋势 2025年淮安中考数学命题可能会继续注重数学核心素养的考查，包括数学建模、数据分析和逻辑推理等能力。同时，跨学科融合也可能成为新的命题趋势，例如结合物理、化学、信息技术等学科知识出题。 二、《新情境》题型特点 《新情境》题型通常涉及实际问题，要求考生通过抽象思维，将实际问题转化为数学模型进行求解。这类题型往往注重考查考生的数学建模能力和问题解决能力。 3、 预测内容 1. 可能涉及的实际问题领域：环保、交通、经济、人口变化、能源使用等社会热点问题，这些问题可能以数据、图表或文字描述的形式出现，要求考生进行分析和建模。例：第3题、第4题、第13题、第22题、 第23题。 2. 可能出现的新情境：例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或者给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求考生现场理解并解题。 3. 可能的解题策略：对于《新情境》题型，考生需要首先理解题目中的实际问题或新定义，然后抽象出数学模型（如方程、函数或几何模型），最后进行求解。在解题过程中，逻辑推理和逆向思维可能起到关键作用。例：第8题、第16题、第27题。 4、 备考建议 1. 加强数学核心素养的培养：注重数学建模、数据分析和逻辑推理等能力的培养，多进行实际问题的抽象和建模练习。 2. 关注跨学科融合：了解物理、化学、信息技术等学科的基本概念和原理，以便在遇到跨学科融合题目时能够迅速理解并解题。例：第14题、第15题、第21题。 3. 多做模拟题和真题：通过模拟题和真题的练习，熟悉《新情境》题型的出题方式和解题策略，提高解题速度和准确率。 4. 注重错题归因和改进：对于做错的题目，要认真分析错误原因（如知识漏洞、审题失误、计算错误等），并针对性地进行改进。 命题·大预测： 一、命题方向预测 1.基础知识与基本技能：中考数学命题通常会涵盖初中数学的基础知识和基本技能，包括代数、几何、概率统计等各个领域。因此，考生需要牢固掌握这些基础知识，并能够熟练运用它们解决实际问题。 2.数学思想与方法：中考数学命题注重考查考生的数学思想和方法，如函数思想、方程思想、数形结合思想等。这些思想和方法是解决问题的关键，考生需要在平时的学习中加强训练。 3.应用能力与创新能力：近年来，中考数学命题越来越注重考查考生的应用能力和创新能力。这要求考生能够将数学知识与实际问题相结合，运用所学知识解决实际问题，并能够在解决问题的过程中展现出创新思维。 二、备考建议 1.回归教材，巩固基础：考生需要认真复习初中数学教材，确保掌握所有基础知识和基本技能。同时，要注重对教材中例题和习题的演练，加深对知识点的理解和记忆。 2.加强训练，提升能力：考生需要通过大量的练习来提升解题能力和应试技巧。可以选择一些历年的中考真题或模拟试题进行演练，熟悉考试形式和题型特点。同时，要注重对错题的分析和总结，找出自己的薄弱环节并加以改进。 3.关注热点，拓展视野：考生需要关注数学学科的最新动态和热点问题，了解数学在现实生活中的应用和价值。这有助于拓展考生的视野和思维方式，提高解决问题的能力。 4.调整心态，保持自信：面对中考压力，考生需要保持良好的心态和自信心。可以通过适当的放松和娱乐活动来缓解压力，同时要保持积极向上的心态和乐观的精神状态。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的倒数是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．若实数，下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． B． C． D． 5．等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．17 6．如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A．5 B． C．6 D．4 7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 8．如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　） ①当时，随的增大而减小； ②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； ③与直线没有交点； ④若的图象与的图象只有1个交点，则或0 A．③ B．②③④ C．③④ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．5的算术平方根是 ． 10．方程的解是 ． 11．已知某校53名学生“希望杯排球比赛”成员的年龄与人数情况如表所示，那么“希望杯排球比赛”成员年龄的中位数是 岁． 年龄（岁） 11 12 13 14 15 人数 5 5 16 15 12 12．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ． 13．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 14．虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为 cm． 15．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是 ． 16．如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是 ． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）（1）计算：． （2）化简：． 18．（8分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 19．（8分）如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． (1)求证：． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 20．（8分）为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息． 信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用表示，单位：个）．分成六组：；；；；；． 信息二：“一分钟跳绳”成绩在这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，185，188，188，189； 信息三：“立定跳远”成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表： 分组 人数 2 10 9 6 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)被随机抽取的男生人数为________人，并请补全条形统计图； (2)下列结论正确的是________（将所有正确的序号填在横线上）； ①； ②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于； ③立定跳远成绩的中位数记为，则； (3)若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数． 21．（8分）小明学习了电学知识后，选取了四个开关按键，一个电源，一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．    (1)若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______； (2)随机闭合开关，，，中的两个，求能够点亮灯泡的概率．（用列表或树状图法） 22．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场在销售中发现：“弗里热”纪念品的进价为每件25元． 当纪念品售价为每件40元时，每月销售量达到400件． 若纪念品售价每降价1元，销售量就会增加5件． (1)若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品 件（用含x的代数式表示）． (2)求当纪念品每降价多少元时，商场可以获利4250元？ 23．（8分）如图1，空调挡风板是一块安装在空调出风口处的屏障，主要功能是改变空调风的流向，使其不会直接吹向人体．如图2，在侧面示意图中，挡风板底部和空调底部在一条水平线上，出风口顶部距挡风板顶部长为与水平面的夹角为，出风区域总高为，空调挡风板与水平面夹角为． (1)求侧面示意图中空调挡风板顶部到墙体的距离； (2)求挡风板底部和空调底部的长度． （结果精确到，参考数据：） 24．（8分）如图中，，平分交边于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）中作图基础上，求证：与相切； (3)若，，求（1）中所作的的半径． 25．（10分）问题情境  借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，∠B=90°，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 26．（12分）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； (3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 27．（14分）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（淮安专用） 考情速递 中考·新动向： 一、预测方向 1.知识点覆盖：中考数学通常涵盖数与代数、几何与图形、统计与概率等核心领域。预计2025年淮安中考数学将继续测试这些基础知识，并可能增加对实际应用题、思维拓展题的考察。 2.题型与难度：可能会保持选择题、填空题和解答题等多种题型，以全面考察学生的数学能力和解题技巧。难度方面，可能会适当提升，以区分不同水平的学生，但整体仍会保持在一个合理的范围内。 3.新增科目影响：考虑到2025年中考改革新增了“信息科技”为必考科目，并调整了部分科目的分值，这可能会对数学的备考产生一定影响。例如，学生可能需要更加注重时间管理，以确保在有限的时间内完成数学和其他科目的复习。 4.时政分析与生活实际：道德与法治、历史科目权重的增加，以及物理化学实验操作部分的单独列出，都体现了中考对学生综合素质和实际能力的重视。在数学备考中，也可以关注与时政分析、生活实际相关的题目，以提高解题的灵活性和应用能力。 二、备考建议 1.巩固基础知识：扎实掌握数与代数、几何与图形、统计与概率等基础知识，这是解题的关键。 2.提升解题技巧：通过练习不同类型的题目，提升解题速度和准确率。特别是要注重对实际应用题、思维拓展题的训练。 3.注重时间管理：在备考过程中，要学会合理分配时间，确保每个科目都能得到充分的复习。同时，在模拟考试中也要注重时间管理，以适应中考的紧张氛围。 4.关注教育改革动态：及时了解中考改革的相关政策和动态，以便调整备考策略和方向。 中考·新考法： 一、重点内容预测 1.基础知识与基本技能：中考数学始终重视对学生基础知识和基本技能的考察。因此，代数、几何、概率统计等基础知识，以及方程求解、图形变换、数据分析等基本技能仍是复习的重点。 2.数学思想与方法：中考数学注重考察学生的数学思维和解决问题的能力。因此，数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想，以及配方法、公式法、因式分解法等数学方法将是考试中的重要内容。 3.热点题型与专题：中考数学常会出现一些热点题型和专题，如应用题、几何证明题、函数图像与性质题等。这些题型和专题往往与实际生活紧密相关，能够考察学生的综合应用能力。 二、考法预测 1.注重考查学生的理解能力和应用能力：中考数学将更加注重考查学生对数学概念、公式、定理的理解程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。 2.增加开放性和探究性题目：为了培养学生的创新思维和解决问题的能力，中考数学可能会增加一些开放性和探究性题目，让学生根据题目条件进行探索、分析和解答。 3.强化数学文化和数学史的渗透：中考数学可能会通过一些与数学文化和数学史相关的题目，让学生感受数学的魅力和价值，激发学习数学的兴趣。 三、备考建议 1.夯实基础：复习时要注重基础知识和基本技能的掌握，确保对每个知识点都能理解透彻、运用自如。 2.提高解题能力：通过大量的练习和模拟考试，提高自己的解题能力和应试技巧。同时，要注重解题过程的规范性和严谨性。 3.关注热点题型和专题：针对中考数学中常出现的热点题型和专题进行有针对性的复习和训练。 4.培养数学思维和创新能力：在复习过程中要注重培养自己的数学思维和创新能力，学会从不同角度思考问题、解决问题。 中考·新情境： 一、命题趋势 2025年淮安中考数学命题可能会继续注重数学核心素养的考查，包括数学建模、数据分析和逻辑推理等能力。同时，跨学科融合也可能成为新的命题趋势，例如结合物理、化学、信息技术等学科知识出题。 二、《新情境》题型特点 《新情境》题型通常涉及实际问题，要求考生通过抽象思维，将实际问题转化为数学模型进行求解。这类题型往往注重考查考生的数学建模能力和问题解决能力。 3、 预测内容 1. 可能涉及的实际问题领域：环保、交通、经济、人口变化、能源使用等社会热点问题，这些问题可能以数据、图表或文字描述的形式出现，要求考生进行分析和建模。例：第3题、第4题、第13题、第22题、 第23题。 2. 可能出现的新情境：例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或者给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求考生现场理解并解题。 3. 可能的解题策略：对于《新情境》题型，考生需要首先理解题目中的实际问题或新定义，然后抽象出数学模型（如方程、函数或几何模型），最后进行求解。在解题过程中，逻辑推理和逆向思维可能起到关键作用。例：第8题、第16题、第27题。 4、 备考建议 1. 加强数学核心素养的培养：注重数学建模、数据分析和逻辑推理等能力的培养，多进行实际问题的抽象和建模练习。 2. 关注跨学科融合：了解物理、化学、信息技术等学科的基本概念和原理，以便在遇到跨学科融合题目时能够迅速理解并解题。例：第14题、第15题、第21题。 3. 多做模拟题和真题：通过模拟题和真题的练习，熟悉《新情境》题型的出题方式和解题策略，提高解题速度和准确率。 4. 注重错题归因和改进：对于做错的题目，要认真分析错误原因（如知识漏洞、审题失误、计算错误等），并针对性地进行改进。 命题·大预测： 一、命题方向预测 1.基础知识与基本技能：中考数学命题通常会涵盖初中数学的基础知识和基本技能，包括代数、几何、概率统计等各个领域。因此，考生需要牢固掌握这些基础知识，并能够熟练运用它们解决实际问题。 2.数学思想与方法：中考数学命题注重考查考生的数学思想和方法，如函数思想、方程思想、数形结合思想等。这些思想和方法是解决问题的关键，考生需要在平时的学习中加强训练。 3.应用能力与创新能力：近年来，中考数学命题越来越注重考查考生的应用能力和创新能力。这要求考生能够将数学知识与实际问题相结合，运用所学知识解决实际问题，并能够在解决问题的过程中展现出创新思维。 二、备考建议 1.回归教材，巩固基础：考生需要认真复习初中数学教材，确保掌握所有基础知识和基本技能。同时，要注重对教材中例题和习题的演练，加深对知识点的理解和记忆。 2.加强训练，提升能力：考生需要通过大量的练习来提升解题能力和应试技巧。可以选择一些历年的中考真题或模拟试题进行演练，熟悉考试形式和题型特点。同时，要注重对错题的分析和总结，找出自己的薄弱环节并加以改进。 3.关注热点，拓展视野：考生需要关注数学学科的最新动态和热点问题，了解数学在现实生活中的应用和价值。这有助于拓展考生的视野和思维方式，提高解决问题的能力。 4.调整心态，保持自信：面对中考压力，考生需要保持良好的心态和自信心。可以通过适当的放松和娱乐活动来缓解压力，同时要保持积极向上的心态和乐观的精神状态。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的倒数是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得，再根据倒数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2．若实数，下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项和积的乘方，根据单项式乘以单项式，同底数幂除法，积的乘方，合并同类项运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B．，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选：D． 3．中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：B． 4．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】 解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 5．等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（   ） A．4 B．9 C．4或9 D．17 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义等知识，易错点是题目中没有明确告诉等腰三角形的腰和底而忽视讨论．本题没告诉腰是4还是9，要分情况论．确定腰是9还是4后，再根据三角形三边关系看是否能构成三角形，最后确定第三边的长． 【详解】分两种情况讨论． 第一种情况，当一腰是4时，则底边为9，另一腰长为4．此时因为，不符合三角形三边不等关系，此种情况不成立； 第二种情况，当一腰是9时，则底边为4，另一腰为9．此时，符合三边不等关系．此时等腰三角形的三条边长分别为9、9、4．所以第二种情况下底边长为4． 综上所述，底边长为4． 故选：A． 6．如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A．5 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】该题考查了平行线的性质，圆周角定理，等角对等边，连接，根据，得出，根据角平分线得出， 等量代换得出，等角对等边得出，圆周角定理和等量代换得出，等角对等边得出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，若，，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】如图所示，过点D作，勾股定理求出，由作图可得，平分，垂直平分，证明出，得到，，设，则，勾股定理求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴ 由作图可得，平分，垂直平分 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，尺规作角平分线和垂直平分线，角平分线和垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图是函数的图象，下列说法正确的有（　　） ①当时，随的增大而减小； ②是由先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； ③与直线没有交点； ④若的图象与的图象只有1个交点，则或0 A．③ B．②③④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，观察图象判定①和②；根据当时，无意义即可判断③；联立方程组，展开化简得，然后分和讨论，即可判定④． 【详解】解：观察图象知：当时，随的增大而减小；是由先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的； 故①、②错误； 当时，无意义， ∴与直线没有交点， 故③正确； 联立方程组， 化简得， 当时， ∵的图象与的图象只有1个交点， ∴， 解得， 当时，方程可化为，解得，符合题意， 综上，的图象与的图象只有1个交点，则或， 故④正确， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．5的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根．熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键，如果一个正数x的平方根是a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，规定0算术平方根为0．注意非负数的算术平方根只有一个，算术平方根与平方根的区别． 根据算术平方根的定义解答，注意算术平方根只有一个． 【详解】∵， ∴5的算术平方根是 ； 10．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴， 故答案为：． 11．已知某校53名学生“希望杯排球比赛”成员的年龄与人数情况如表所示，那么“希望杯排球比赛”成员年龄的中位数是 岁． 年龄（岁） 11 12 13 14 15 人数 5 5 16 15 12 【答案】14 【分析】本题主要考查中位数的定义，掌握中位数的求法是解题的关键． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这53人的年龄从小到大排列后，处在中间位置的是第27个数为14岁，因此中位数是14岁． 故答案为：14． 12．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键． 根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式求解即可中． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴方程有两个的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为 cm． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解． 根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高． 【详解】解：设光屏上像的高度为． 在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比， 已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高）， 根据比例关系，即，解得：， 故答案为：9． 15．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，图形与坐标，过点作轴，则，解直角三角形得点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为，进而求得直线的解析式为，代入的坐标及可求解，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴，则， ，，则，， ∴, ， 点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得： 直线的解析式为， 代入的坐标可得， ， ． 故答案为：． 16．如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先取的中点K，连接，作，再结合已知令，根据勾股定理求出，即可得出是等腰直角三角形，可知，然后根据中位线的性质，得，进而求出，最后根据三角形三边关系得出答案即可． 【详解】解：取的中点K，连接，过点A作于点H， ∵， 令， ∵， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴． 由旋转的性质得到， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形三边关系，三角形中位线的性质等，作出辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）39；（2） 【分析】此题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算负整数指数幂，化简算术平方根，乘法，绝对值，再计算加减法； （2）先分解分式的分子和分母，除法化为乘法，再计算分式减法． 【详解】解：（1）解： ． （2）解： ． 18．（8分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解答． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 19．（8分）如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． (1)求证：． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据三线合一证明即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 20．（8分）为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息． 信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用表示，单位：个）．分成六组：；；；；；． 信息二：“一分钟跳绳”成绩在这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，185，188，188，189； 信息三：“立定跳远”成绩（成绩用表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表： 分组 人数 2 10 9 6 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)被随机抽取的男生人数为________人，并请补全条形统计图； (2)下列结论正确的是________（将所有正确的序号填在横线上）； ①； ②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于； ③立定跳远成绩的中位数记为，则； (3)若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数． 【答案】(1)40；图见解析 (2) (3)全年级男生一分钟跳绳满分人数约276人 【分析】本题考查条形统计图与频数分布表，中位数，用样本估计总体． （1）将D组的人数除以其百分比，即可求出被随机抽取的男生人数，将人数减去其他各组的人数，求得B组的人数，即可补全条形统计图； （2）①将抽取的男生人数40减去各分组的人数，求出m的值，即可判断； ②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人），除以总人数即可判断； ③根据中位数的定义判断即可； （3）由题意得到C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有23人，进而计算即可解答． 【详解】（1）解：（人） ∴被随机抽取的男生人数为40人． B组的人数为：（人） 补全条形图如下： 故答案为：40； （2）解：①，故①正确； ②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人）， 占抽取人数为；故②错误； ③抽取的男生人数为40，故立定跳远成绩的中位数是第20，21个数据的平均数，由分布表可知第20，21个数据位于第三组，故中位数n满足；故③正确． 综上，结论正确的是①③． 故答案为：①③ （3）解：由题意可得，C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有（人） ∴估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数为（人） 21．（8分）小明学习了电学知识后，选取了四个开关按键，一个电源，一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．    (1)若闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为______； (2)随机闭合开关，，，中的两个，求能够点亮灯泡的概率．（用列表或树状图法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法求概率以及根据概率公式求概率，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． （1）结合物理知识，判断出只有闭合，开关按键，灯泡才会发光，即可求解； （2）列表计算即可． 【详解】（1）解：若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合，开关按键，灯泡才会发光， ∴小灯泡能发光的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 第2个 第1个 由表格可知，共有12种等可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的情况共8种， ∴P（能够点亮灯泡）． 22．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场在销售中发现：“弗里热”纪念品的进价为每件25元． 当纪念品售价为每件40元时，每月销售量达到400件． 若纪念品售价每降价1元，销售量就会增加5件． (1)若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品 件（用含x的代数式表示）． (2)求当纪念品每降价多少元时，商场可以获利4250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场可以获利4250元 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识点，正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）由题意可得：商场可以获利，再根据商场可以获利4250元列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品件． 故答案为：． （2）解：商场可以获利， 当商场可以获利4250元时，则：， 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）． 答：当商品降价5元时，商场可以获利4250元． 23．（8分）如图1，空调挡风板是一块安装在空调出风口处的屏障，主要功能是改变空调风的流向，使其不会直接吹向人体．如图2，在侧面示意图中，挡风板底部和空调底部在一条水平线上，出风口顶部距挡风板顶部长为与水平面的夹角为，出风区域总高为，空调挡风板与水平面夹角为． (1)求侧面示意图中空调挡风板顶部到墙体的距离； (2)求挡风板底部和空调底部的长度． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴， ∴空调挡风板顶部到墙体的距离约为； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴阴影的长约为． 24．（8分）如图中，，平分交边于点D． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）中作图基础上，求证：与相切； (3)若，，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与相交即为点； （2）根据等边对等角结合角平分线证明，则，即可证明切线； （3）先由勾股定理得．设的半径为，则由（1）知：，则，易证，则，即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示 （2）证明：因为平分， 所以． 又由（1）知：经过、两点． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以．即． 因为点在上， 所以与相切； （3）解：在中，， 所以． 设的半径为，则由（1）知：． 所以． 由（2）知：． 所以． 所以， 即， 解得． 所以的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（10分）问题情境  借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，∠B=90°，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、． 【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长． 【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积． 【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考： 【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； （类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； （延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答． 【详解】（探究发现）解：， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． （类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（探究发现）可得：， ， 解得：； （延伸思考）解：过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． 26．（12分）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； (3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式是；直线的解析式是： (2)或 (3)①或②或 【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值， ∴抛物线的解析式是：，即； 当时，， 即点坐标是， 当时，， 解得：或2， 即点坐标是点坐标是． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）解：过点作为垂足， ， ， ， 由勾股定理，得， 当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足， ， ， ， ∴， ， ， ∴点； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上，或； （3）解：①存在的值，使得， 设直线与抛物线的交点为在左侧 ）． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， ∴，即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：或， ∴当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 27．（14分）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； ∴； （2）解：作于点M，作于点N，记的交点为， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于， 同理可得：，四边形为矩形，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷01（淮安专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B C A A A C 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上 9． 10． 11．14 12． 13. 14. 9 15. / 16. 三、解答题:本大题有11个小题,共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分） 【答案】（1）39；（2） 【分析】此题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算负整数指数幂，化简算术平方根，乘法，绝对值，再计算加减法； （2）先分解分式的分子和分母，除法化为乘法，再计算分式减法． 【详解】解：（1）解： ． （2）解： ． 18． （8分） 【答案】，数轴表示见解答． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 19．（8分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据三线合一证明即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 20．（8分） 【答案】(1)40；图见解析 (2) (3)全年级男生一分钟跳绳满分人数约276人 【分析】本题考查条形统计图与频数分布表，中位数，用样本估计总体． （1）将D组的人数除以其百分比，即可求出被随机抽取的男生人数，将人数减去其他各组的人数，求得B组的人数，即可补全条形统计图； （2）①将抽取的男生人数40减去各分组的人数，求出m的值，即可判断； ②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人），除以总人数即可判断； ③根据中位数的定义判断即可； （3）由题意得到C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有23人，进而计算即可解答． 【详解】（1）解：（人） ∴被随机抽取的男生人数为40人． B组的人数为：（人） 补全条形图如下： 故答案为：40； （2）解：①，故①正确； ②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为（人）， 占抽取人数为；故②错误； ③抽取的男生人数为40，故立定跳远成绩的中位数是第20，21个数据的平均数，由分布表可知第20，21个数据位于第三组，故中位数n满足；故③正确． 综上，结论正确的是①③． 故答案为：①③ （3）解：由题意可得，C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有（人） ∴估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数为（人） 21．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法求概率以及根据概率公式求概率，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． （1）结合物理知识，判断出只有闭合，开关按键，灯泡才会发光，即可求解； （2）列表计算即可． 【详解】（1）解：若闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合，开关按键，灯泡才会发光， ∴小灯泡能发光的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 第2个 第1个 由表格可知，共有12种等可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的情况共8种， ∴P（能够点亮灯泡）． 22．（8分） 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场可以获利4250元 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识点，正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）由题意可得：商场可以获利，再根据商场可以获利4250元列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品件． 故答案为：． （2）解：商场可以获利， 当商场可以获利4250元时，则：， 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）． 答：当商品降价5元时，商场可以获利4250元． 23．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴， ∴空调挡风板顶部到墙体的距离约为； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴阴影的长约为． 24．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与相交即为点； （2）根据等边对等角结合角平分线证明，则，即可证明切线； （3）先由勾股定理得．设的半径为，则由（1）知：，则，易证，则，即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示 （2）证明：因为平分， 所以． 又由（1）知：经过、两点． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以．即． 因为点在上， 所以与相切； （3）解：在中，， 所以． 设的半径为，则由（1）知：． 所以． 由（2）知：． 所以． 所以， 即， 解得． 所以的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25．（10分） 【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考： 【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论； （类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解； （延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答． 【详解】（探究发现）解：， 理由如下： ∵点和点为分别为中点， ∴， ， ∴， ， ， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， 即． （类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点， ， ， ， ∴当所在直线经过点时，， 根据勾股定理可得：， 由（探究发现）可得：， ， 解得：； （延伸思考）解：过点作于点， 根据题意可得：， ， ， ， ∵， ， 根据旋转的性质可得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． 26．（12分） 【答案】(1)抛物线的解析式是；直线的解析式是： (2)或 (3)①或②或 【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值， ∴抛物线的解析式是：，即； 当时，， 即点坐标是， 当时，， 解得：或2， 即点坐标是点坐标是． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）解：过点作为垂足， ， ， ， 由勾股定理，得， 当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足， ， ， ， ∴， ， ， ∴点； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上，或； （3）解：①存在的值，使得， 设直线与抛物线的交点为在左侧 ）． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， ∴，即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：或， ∴当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 27．（14分） 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； ∴； （2）解：作于点M，作于点N，记的交点为， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于， 同理可得：，四边形为矩形，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$