信息必刷卷01（江苏常州专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（常州专用） 考情速递 中考·新动向： 一、中考命题趋势变化 2025年常州市中考数学命题趋势将紧密围绕《义务教育数学课程标准》（2022年版）进行，注重考察学生的基础知识、基本技能和基本思想方法。同时，结合常州市教育教学实际情况，命题将呈现以下趋势： 1.强化基础知识考察：基础知识占比约70%，涵盖公式记忆、基本运算等内容。这将确保学生具备扎实的数学基础，为后续学习和生活打下良好基础。 2.注重能力培养：中等难度题占比20%，涉及几何证明、函数综合等内容，旨在考察学生的逻辑推理、空间想象和问题解决能力。此外，部分题目将结合社会热点或生活场景设计，考察学生的数学建模能力和实际应用能力。 3.鼓励创新思维：难题占比10%，包括创新题型或复杂应用题，鼓励学生突破传统思维模式，培养创新意识和实践能力。 4.实验操作与信息技术考核：部分省份已开始将实验操作类题目纳入中考评分体系，并增加信息技术考核。常州市也可能逐步引入这些考核内容，以推动学生综合素质的全面提升。 二、题目呈现方式变化 1.多样化题型：中考数学题目将呈现多样化题型，包括选择题、填空题、解答题等。其中，解答题将更加注重考察学生的解题过程和思路，鼓励学生用多种方法解决问题。 2.图文并茂：题目呈现方式将更加图文并茂，通过图形、表格、文字等多种形式展示问题，帮助学生更好地理解题意和解决问题。 3.情境化设计：题目将更多地结合生活情境或社会热点进行设计，考察学生在实际情境中运用数学知识解决问题的能力。这将有助于学生将数学知识与实际生活相结合，提高数学学习的实用性和趣味性。 4.技术融合：随着信息技术的不断发展，中考数学题目可能逐步引入数字化、智能化等新技术手段，如在线答题、智能评分等，以提高考试的效率和准确性。 中考·新考法： 一、常规考点的新设问或知识融合 1.数与式：可能会结合实际问题，如经济、工程等背景，考察方程与不等式的应用，同时融入函数思想，考察学生对数学模型的建立与求解能力。 2.图形与几何：在考察基础图形性质与定理的同时，可能会增加开放性题目，如给定条件不唯一或结论不唯一的题目，鼓励学生多角度思考，培养创新思维。 3.统计与概率：结合数据分析、概率统计等现实生活紧密相关的问题，考察学生的实际应用能力，如根据样本数据推断总体特征，或利用概率知识解决实际问题。 二、非常规考点的创新糅合 1.数学建模：增设数学建模作为新的考查内容，可能会给出实际问题，要求学生运用数学知识建立模型并求解，考察学生的综合应用能力和创新思维。 2.逻辑推理：强化对逻辑推理能力的考查，通过逻辑推理题目锻炼学生的思维能力，如给出一系列条件，要求学生通过逻辑推理得出正确结论。 3.跨学科融合：可能会将数学知识与其他学科知识相融合，如物理、化学等，考察学生的跨学科应用能力。 4.创新题型：探索采用新的题型，如选择题变为多选题，或增加填空题、简答题的开放性，鼓励学生多角度、多层次地思考问题。 中考·新情境： 一、创新性 2025年常州市中考数学《新情境》题目可能会更加注重创新，通过设计新颖、独特的数学情境，激发学生的思维活力。例如，可能会结合最新的科技动态、社会热点或生活实例，构建出既贴近学生生活实际，又富有挑战性的数学问题。例：第26题。 二、实时性 新情境题目将紧密关注当下的社会发展和时代变迁，及时将最新的信息融入到数学题目中。比如，可能会涉及近年来备受关注的环保问题、科技创新、人工智能等领域，通过数学的方式探讨这些话题，既考察了学生的数学能力，又增强了他们的社会责任感。例：第3题、第12题。 三、开放性 开放性是新情境题目的重要特征之一。这类题目往往没有固定的答案或解题思路，鼓励学生根据自己的理解和经验，多角度、多层次地思考问题。例如，可能会给出一个实际问题的数学模型，让学生自行分析、求解，并给出合理的解释和结论。这样的题目能够充分展示学生的个性思维和创新能力。例：第8题、第24题、第27题。 四、跨学科的融合性 新情境题目还可能会涉及跨学科的知识融合，将数学与其他学科如物理、化学、生物、地理等相结合，构建出综合性的数学问题。这样的题目能够帮助学生更好地理解数学在现实生活中的应用，同时也能够促进他们综合素质的提升。例：第4题、第6题、第7题、第22题。 具体来说，可能会看到以下类型的题目： 1. 结合环保问题，设计一道关于碳排放量计算的数学问题，让学生分析不同生活方式对碳排放量的影响，并提出节能减排的建议。 2. 利用人工智能技术，构建一道关于机器学习算法的数学模型，让学生探讨算法的性能优化和实际应用。 3. 结合生物学科中的细胞分裂问题，设计一道关于指数增长和衰减的数学问题，让学生分析细胞分裂的规律并预测未来的细胞数量。 4. 利用地理学科中的地形图数据，设计一道关于空间几何和数据分析的数学问题，让学生分析地形特征并预测自然灾害的可能性。 命题·大预测： 一、命题趋势预测 1.核心素养导向： 2025年常州市中考数学试题将更加注重对数学核心素养的考查。这包括数学建模能力，如通过实际问题抽象出方程、函数或几何模型；数据分析能力，如结合统计图表分析社会热点；以及逻辑推理能力，特别是在几何证明题中，难度可能提升，侧重“逆向思维”或“多结论辨析”。 2.跨学科融合： 可能出现与物理、化学、信息技术等学科结合的题目。例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求学生现场理解并解题。此外，还可能出现开放探究题，如设计一种测量建筑物高度的方案，并说明原理及计算误差。 3.题型与结构： 预计选择题、填空题和解答题将涵盖代数、几何、统计与概率等多个领域。其中，解答题可能涉及方程思想、数形结合思想、特殊值法、逐步淘汰法等解题策略的应用。同时，压轴题可能更加侧重于考查学生的综合应用能力和创新思维。 二、高频考点与分值预测 1.基础运算与代数式： 包括有理数运算、整式分式运算、方程与不等式求解等，这些知识点是数学学习的基石，预计将在中考中占有一定比例的分值。 2.几何图形与性质： 几何图形的性质、图形的变换（平移、旋转、轴对称）、圆的性质及计算等，特别是与直角坐标系结合的几何问题，可能成为考查的重点。 3.数据分析与概率： 统计图表（如折线图、扇形图、频数分布表）的理解与分析，以及概率的基本概念和计算，预计将在中考中占有一席之地。 4.函数与方程： 一次函数、二次函数的性质及应用，特别是与实际问题相结合的函数问题，以及方程组的求解，将是中考数学的重要考点。 三、备考方向建议 1.强化基础巩固： 在全面复习的基础上，重点巩固掌握得不够牢固的知识点，确保基础知识不丢分。 2.提升解题能力： 通过大量练习，提升解题速度和准确率。特别是针对高频考点和难点，要进行有针对性的训练。 3.培养创新思维： 鼓励学生尝试不同的解题方法和策略，培养创新思维和解决问题的能力。同时，要注重跨学科知识的融合和应用。 4.模拟考试与查漏补缺： 定期进行模拟考试，检验复习效果。针对模拟考试中发现的问题，及时进行查漏补缺，调整复习策略。 5.心理调适与应试技巧： 中考不仅是对知识的考查，也是对心理素质的考验。因此，要注重心理调适，保持良好的心态。同时，要掌握一些应试技巧，如合理支配答题时间、先易后难的答题顺序等。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的倒数是（　　） A． B．-2025 C． D． 2．若分式无意义，则（   ） A． B． C． D． 3．位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 4．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 5．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 6．过新年，䑤窗花，是春节的传统习俗，寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某社区开展“剪窗花·庆元旦”活动，营造春节气氛，体验传统剪纸文化．小铭同学在“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：如图，将一个正方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原正方形周长．能正确解释这一现象的数学依据是（    ） A．过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．两点之间，直线最短 7．如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 8．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．计算： ． 10．若，，则的值为 ． 11．代数式和代数式的值相等，则 ． 12．随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的（即）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为 ． 13．“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 14．如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为 15．如图，底边长为2的等腰直角的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 16．如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，则 ． 17．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 18．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，在边上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接，作点D关于直线的对称点E，设点P的运动时间为．在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻，使点E到直线的距离等于3，则所有这样的m的取值范围为 ． 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．（6分）化简求值：，其中，． 21．（8分）某校对九年级男生进行体育健康监测，九（1）班共20名男生，他们的引体向上成绩按照高低排序依次为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 素材一：《国家学生体质健康标准》将九年级男生的引体向上测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩，且均为整数（单位：个）． 素材二： 九年级全体男生引体向上测试成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 及格率 34.7 31.5 请根据相关信息，回答下列问题： (1)根据九（1）班所测数据并结合素材一，完成九（1）班全体男生引体向上测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 33.5 ______ ______ (2)下列说法中一定正确的是______（多选）． ①该校参加测试的九年级男生人数一定为偶数 ②可能存在某个成绩在学校排名中等以上，在九（1）班中等以下 ③九（1）班以外的其余男生引体向上的优秀率一定低于 (3)请你结合九（1）班全体男生引体向上测试成绩对比九年级男生引体向上测试成绩，对九（1）班全体男生引体向上测试成绩的达标情况做出评价，并提出一条合理化建议． 22．（8分）俗话说“狡兔三窟”，此话不假．处在众多天敌的窥伺之下，野兔必须有惊人的求生本领才能存活，实际上野兔巢穴的出入洞口还不止三个．若一只野兔的巢穴有 A，B，C，D，4个出入口，巢穴内有甲、乙两只野兔，并且每只野兔从每个出入口爬出巢穴的机会是均等的． (1)请用列表或画树状图的方法表示两只野兔爬出巢穴的所有可能情况； (2)若两只野兔都爬出巢穴，求甲、乙两只野兔从不同洞口爬出巢穴的概率． 23．（8分）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（8分）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 25．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 26．（10分）定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若，则称点M、N是线段的“弦割点”，其中点M称为“左弦点”，点N称“右弦点”． (1)如图1，已知点M、N是线段的“弦割点”，若，，求的长； (2)如图2，直线与坐标轴分别交于A、B两点，C、D为线段的“弦割点”，以为斜边在上方作等腰直角三角形，连接、． ①______； ②若点G的坐标为，请求出的值． (3)如图3，已知点P是线段的“左弦点”，请作出线段的“右弦点”（尺规作图，保留作图痕迹）． 27．（10分）综合与实践 在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料： (1)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的正方形零件的边长是多少？ (2)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？（用含，的代数式表示） (3)如图3，已知四边形的小木块，测得，，，，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？ 28．（10分）如图①，抛物线过点和，点在线段上，且点P的横坐标为．点的坐标为，以为斜边在轴下方作等腰直角三角形． (1)求抛物线的解析． (2)当时，分别求的最大值和最小值， (3)如图②，过点P作轴的垂线，与抛物线交于点，与折线交于点． ①若，是直角三角形，则__________． ②设，当在点之间的抛物线（包括点）上和折线上到轴的距离为的点共有个时，直接写出的取值范围． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷01（常州专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D C A B D B 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 9．3 10．-6 11．1 12． 13. 3 14. 52 15. 16. 3 17. / 18. 三、解答题:本大题有10个小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 20．（6分） 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式以及合并同类项法则化简，然后把x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 21．（8分） 【答案】(1)， (2)①②③ (3)见解析 【分析】本题考查平均数，中位数，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据中位数，及优秀率定义即可求解； （2）根据平均数，中位数，及优秀率定义即可求解； （3）根据平均数，中位数，及优秀率即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，； （2）由于九年级全体男生测试成绩的中位数为小数，而所有的样本数据为整数，故中位数一定是两个整数的平均数，也就是说数据样本一定是偶数，故①正确； 九年级全体男生测试成绩的中位数是31.5，九（1）班全体男生测试成绩的中位数是34，若一个学生成绩为32，在九年级排在中等以上，在九（1）班只能排在中等以下，故②正确； 由于九（1）班男生引体向上优秀率为，高于整体平均男生优秀率，故九（1）班以外的男生引体向上的优秀率一定低于，故③正确， 故答案为：①②③． （3）如果从平均数和及格率来看，九（1）班与九年级平均成绩尚有差距，如果从中位数和优秀率来看，九（1）班比九年级平均成绩高，建议九（1）班加强不及格学生的训练，提高及格率和平均分． 22．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法或树状图求概率，掌握列表法求概率的方法是解题的关键． （1）运用列表法得到所有等可能结果； （2）找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题． 【详解】（1）解：画树状图如答图： （2）解：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两只野兔从不同洞口爬出巢穴的结果有12种， ∴P（甲、乙两只野兔从不同洞口爬出巢穴） 23．（8分） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 24．（8分） 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 25．（8分） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 26．（10分） 【答案】(1) (2)①；② (3)作图见解析 【分析】（1）根据定义得出，然后把，代入计算，即可作答． （2）①先得，将绕点O逆时针旋转至，连接，整理得，再结合、D为线段AB的“弦割点”，得，，再证明，则 再结合是等腰直角三角形，即可作答． ②延长交于V延长交于V，得出，同理得，，则，再整理得； （3）先作的垂直平分线，交于B，在上截取，再连接，作垂直，然后作的平分线，交于Q，则Q是求作的点． 【详解】（1）解：∵已知点M、N是线段的“弦割点”， ， ∵，， ， （负值已舍去）； （2）解：①如图1， ∵直线与坐标轴分别交于A、B两点， ∴当时，，则； ∴当，则； ，， ， ， ， 将绕点O逆时针旋转至，连接， ，，，， ， ， 、D为线段AB的“弦割点”， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； ②如图2， 延长交于V延长交于V， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：Ⅰ作的垂直平分线，交于B，在上截取， Ⅱ连接，作垂直， Ⅲ作的平分线，交于Q， 则Q是求作的点．如图所示 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 27．（10分） 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长是； (2)加工成的矩形零件面积的最大值是； (3)加工成的矩形零件面积的最大值为． 【分析】（）设正方形零件的边长，由四边形是正方形得，则，故，即可解得加工成的正方形零件的边长是； （）设，由可得，故，从而，由二次函数性质可得答案； （）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，由得是等边三角形，有，，设，则，故，由二次函数性质可得答案； 本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键． 【详解】（1）设正方形零件的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的高， ∴是的高， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， 解得， ∴加工成的正方形零件的边长是； （2）设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴加工成的矩形零件面积的最大值是； （3）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，如图， ∵， ∴是等边三角形； ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴加工成的矩形零件面积的最大值为． 28． （10分） 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 (3)①；②或或 【分析】（1）点和代入解方程组即得； （2）抛物线，开口向下，对称轴为直线，在内，当时，取最大值，当时，取最小值； （3）①根据等腰直角三角形性质，得，，在内，是直角三角形，只有，得为等腰直角三角形，由解答即得； ②求出抛物线与交点，与轴另一交点，顶点坐标，分，，，，，五种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取最大值，； 当时，取最小值，； ∴的最大值为，最小值为； （3）解：①∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∵，是直角三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得或（不合，舍去）， 故答案为：； ②∵点的坐标为，以为斜边在轴下方作等腰直角三角形． ∴, ∴, 设直线解析式为, 则， ∴， ∴， 设直线解析式为, 将代入， 得， 解得， ∴， 联立， ∴， 解得（舍）， ∴抛物线与线段的交点为， ∵时，， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∵， ∴抛物线顶点为， ∴顶点和到轴距离都是， ∵， ∴， 当时，如图，， 当时，在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的有三个点，折线上到轴的距离为的点有个，共个点，不合题意； 当时，在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的有个（顶点和点），折线上到轴的距离为的点有个（点），共个点，符合题意；此时，解得，此时； 当时，在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点不存在，折线上到轴的距离为的点不存在，共个点，不合题意； 当时，如图， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的有三个点，折线上到轴的距离为的点有个，共个点，不合题意； 当时，如图，，， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点必定有两个， ∴使折线上到轴的距离为的点有个，此时， ∴， 解得或， 此时； 当时，如图，，， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点必定有一个（点）， ∴使折线上到轴的距离为的点有个，此时， ∴， 解得且， 此时； 当时，如图，，， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点必定有一个（点），折线上到轴的距离为的点有个，共个点，不合题意； 在点之间的抛物线（包括点）上和折线上到轴的距离为的点没有个； 综上：或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，由对称性增减性求函数最值，等腰直角三角形性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（常州专用） 考情速递 中考·新动向： 一、中考命题趋势变化 2025年常州市中考数学命题趋势将紧密围绕《义务教育数学课程标准》（2022年版）进行，注重考察学生的基础知识、基本技能和基本思想方法。同时，结合常州市教育教学实际情况，命题将呈现以下趋势： 1.强化基础知识考察：基础知识占比约70%，涵盖公式记忆、基本运算等内容。这将确保学生具备扎实的数学基础，为后续学习和生活打下良好基础。 2.注重能力培养：中等难度题占比20%，涉及几何证明、函数综合等内容，旨在考察学生的逻辑推理、空间想象和问题解决能力。此外，部分题目将结合社会热点或生活场景设计，考察学生的数学建模能力和实际应用能力。 3.鼓励创新思维：难题占比10%，包括创新题型或复杂应用题，鼓励学生突破传统思维模式，培养创新意识和实践能力。 4.实验操作与信息技术考核：部分省份已开始将实验操作类题目纳入中考评分体系，并增加信息技术考核。常州市也可能逐步引入这些考核内容，以推动学生综合素质的全面提升。 二、题目呈现方式变化 1.多样化题型：中考数学题目将呈现多样化题型，包括选择题、填空题、解答题等。其中，解答题将更加注重考察学生的解题过程和思路，鼓励学生用多种方法解决问题。 2.图文并茂：题目呈现方式将更加图文并茂，通过图形、表格、文字等多种形式展示问题，帮助学生更好地理解题意和解决问题。 3.情境化设计：题目将更多地结合生活情境或社会热点进行设计，考察学生在实际情境中运用数学知识解决问题的能力。这将有助于学生将数学知识与实际生活相结合，提高数学学习的实用性和趣味性。 4.技术融合：随着信息技术的不断发展，中考数学题目可能逐步引入数字化、智能化等新技术手段，如在线答题、智能评分等，以提高考试的效率和准确性。 中考·新考法： 一、常规考点的新设问或知识融合 1.数与式：可能会结合实际问题，如经济、工程等背景，考察方程与不等式的应用，同时融入函数思想，考察学生对数学模型的建立与求解能力。 2.图形与几何：在考察基础图形性质与定理的同时，可能会增加开放性题目，如给定条件不唯一或结论不唯一的题目，鼓励学生多角度思考，培养创新思维。 3.统计与概率：结合数据分析、概率统计等现实生活紧密相关的问题，考察学生的实际应用能力，如根据样本数据推断总体特征，或利用概率知识解决实际问题。 二、非常规考点的创新糅合 1.数学建模：增设数学建模作为新的考查内容，可能会给出实际问题，要求学生运用数学知识建立模型并求解，考察学生的综合应用能力和创新思维。 2.逻辑推理：强化对逻辑推理能力的考查，通过逻辑推理题目锻炼学生的思维能力，如给出一系列条件，要求学生通过逻辑推理得出正确结论。 3.跨学科融合：可能会将数学知识与其他学科知识相融合，如物理、化学等，考察学生的跨学科应用能力。 4.创新题型：探索采用新的题型，如选择题变为多选题，或增加填空题、简答题的开放性，鼓励学生多角度、多层次地思考问题。 中考·新情境： 一、创新性 2025年常州市中考数学《新情境》题目可能会更加注重创新，通过设计新颖、独特的数学情境，激发学生的思维活力。例如，可能会结合最新的科技动态、社会热点或生活实例，构建出既贴近学生生活实际，又富有挑战性的数学问题。例：第26题。 二、实时性 新情境题目将紧密关注当下的社会发展和时代变迁，及时将最新的信息融入到数学题目中。比如，可能会涉及近年来备受关注的环保问题、科技创新、人工智能等领域，通过数学的方式探讨这些话题，既考察了学生的数学能力，又增强了他们的社会责任感。例：第3题、第12题。 三、开放性 开放性是新情境题目的重要特征之一。这类题目往往没有固定的答案或解题思路，鼓励学生根据自己的理解和经验，多角度、多层次地思考问题。例如，可能会给出一个实际问题的数学模型，让学生自行分析、求解，并给出合理的解释和结论。这样的题目能够充分展示学生的个性思维和创新能力。例：第8题、第24题、第27题。 四、跨学科的融合性 新情境题目还可能会涉及跨学科的知识融合，将数学与其他学科如物理、化学、生物、地理等相结合，构建出综合性的数学问题。这样的题目能够帮助学生更好地理解数学在现实生活中的应用，同时也能够促进他们综合素质的提升。例：第4题、第6题、第7题、第22题。 具体来说，可能会看到以下类型的题目： 1. 结合环保问题，设计一道关于碳排放量计算的数学问题，让学生分析不同生活方式对碳排放量的影响，并提出节能减排的建议。 2. 利用人工智能技术，构建一道关于机器学习算法的数学模型，让学生探讨算法的性能优化和实际应用。 3. 结合生物学科中的细胞分裂问题，设计一道关于指数增长和衰减的数学问题，让学生分析细胞分裂的规律并预测未来的细胞数量。 4. 利用地理学科中的地形图数据，设计一道关于空间几何和数据分析的数学问题，让学生分析地形特征并预测自然灾害的可能性。 命题·大预测： 一、命题趋势预测 1.核心素养导向： 2025年常州市中考数学试题将更加注重对数学核心素养的考查。这包括数学建模能力，如通过实际问题抽象出方程、函数或几何模型；数据分析能力，如结合统计图表分析社会热点；以及逻辑推理能力，特别是在几何证明题中，难度可能提升，侧重“逆向思维”或“多结论辨析”。 2.跨学科融合： 可能出现与物理、化学、信息技术等学科结合的题目。例如，通过平面直角坐标系模拟机器人运动轨迹，或给出一段数学史或新定义（如“共生函数”“黄金分割点变式”），要求学生现场理解并解题。此外，还可能出现开放探究题，如设计一种测量建筑物高度的方案，并说明原理及计算误差。 3.题型与结构： 预计选择题、填空题和解答题将涵盖代数、几何、统计与概率等多个领域。其中，解答题可能涉及方程思想、数形结合思想、特殊值法、逐步淘汰法等解题策略的应用。同时，压轴题可能更加侧重于考查学生的综合应用能力和创新思维。 二、高频考点与分值预测 1.基础运算与代数式： 包括有理数运算、整式分式运算、方程与不等式求解等，这些知识点是数学学习的基石，预计将在中考中占有一定比例的分值。 2.几何图形与性质： 几何图形的性质、图形的变换（平移、旋转、轴对称）、圆的性质及计算等，特别是与直角坐标系结合的几何问题，可能成为考查的重点。 3.数据分析与概率： 统计图表（如折线图、扇形图、频数分布表）的理解与分析，以及概率的基本概念和计算，预计将在中考中占有一席之地。 4.函数与方程： 一次函数、二次函数的性质及应用，特别是与实际问题相结合的函数问题，以及方程组的求解，将是中考数学的重要考点。 三、备考方向建议 1.强化基础巩固： 在全面复习的基础上，重点巩固掌握得不够牢固的知识点，确保基础知识不丢分。 2.提升解题能力： 通过大量练习，提升解题速度和准确率。特别是针对高频考点和难点，要进行有针对性的训练。 3.培养创新思维： 鼓励学生尝试不同的解题方法和策略，培养创新思维和解决问题的能力。同时，要注重跨学科知识的融合和应用。 4.模拟考试与查漏补缺： 定期进行模拟考试，检验复习效果。针对模拟考试中发现的问题，及时进行查漏补缺，调整复习策略。 5.心理调适与应试技巧： 中考不仅是对知识的考查，也是对心理素质的考验。因此，要注重心理调适，保持良好的心态。同时，要掌握一些应试技巧，如合理支配答题时间、先易后难的答题顺序等。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的倒数是（　　） A． B．-2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 2．若分式无意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 3．位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案． 【详解】解；从上面看，看到的图形是一个圆，故“中国天眼”的俯视图是圆， 故选：D． 4．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为， 故选：C 5．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， 解得：， 在中只有 ∴的值可以是， 故选：A． 6．过新年，䑤窗花，是春节的传统习俗，寄予着人们对新年和新生活的美好期盼．某社区开展“剪窗花·庆元旦”活动，营造春节气氛，体验传统剪纸文化．小铭同学在“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：如图，将一个正方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原正方形周长．能正确解释这一现象的数学依据是（    ） A．过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长．能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 7．如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 将四种生活现象分别记作A、B、C、D，画树状图，得出所有等可能结果共有12种，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为A、B、C、D，则属于物理变化的有A、D，不属于物理变化的有B、C， 画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即AD、DA， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的概率是． 故选：D． 8．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的立方根和算术平方根，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，再进行减法计算． 【详解】解：， 故答案为：3． 10．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用．提公因式对所求式子因式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 11．代数式和代数式的值相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可． 【详解】解：由题可得：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是所列方程的根， 故答案为：1． 12．随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的（即）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故答案为：． 13．“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为，底面圆的半径为1，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设这个圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得：， 这个圆锥的母线长为3． 故答案为：3． 14．如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为 【答案】52 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算求出，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， 是的外角，， ， 的度数为：， 故答案为：． 15．如图，底边长为2的等腰直角的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形等知识，根据旋转的性质得出，，，，进而求出，然后等腰三角形的性质并结合平面直角坐标系求解即可． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵等腰直角的底边长为2， ∴，， ∵等腰直角的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且，若，则 ． 【答案】3 【分析】过点作于点，连接，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，得出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵将绕点旋转，点恰好落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 【点睛】本题考查了菱形、旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 17．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值．根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到的长，再根据余弦的定义计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，在边上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接，作点D关于直线的对称点E，设点P的运动时间为．在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻，使点E到直线的距离等于3，则所有这样的m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分两种情形求出的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在的下方，点E到的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在的上方，点E到的距离为3． 【详解】解：如图2中，当点P与A重合时，点E在的下方，点E到的距离为3． 作于Q，于M．则， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵关于对称， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴ ∴，（当时，直线上方还有一个点满足条件，见图2） 如图3中，当点P与A重合时，点E在的上方，点E到的距离为3． 作于Q，延长交于M．则 ， 在中，， 同理可得：， ∴ ， ∴ ∴， 综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线的距离等于3，这样的m的取值范围． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 20．（6分）化简求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式以及合并同类项法则化简，然后把x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 21．（8分）某校对九年级男生进行体育健康监测，九（1）班共20名男生，他们的引体向上成绩按照高低排序依次为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 素材一：《国家学生体质健康标准》将九年级男生的引体向上测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩，且均为整数（单位：个）． 素材二： 九年级全体男生引体向上测试成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 及格率 34.7 31.5 请根据相关信息，回答下列问题： (1)根据九（1）班所测数据并结合素材一，完成九（1）班全体男生引体向上测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 33.5 ______ ______ (2)下列说法中一定正确的是______（多选）． ①该校参加测试的九年级男生人数一定为偶数 ②可能存在某个成绩在学校排名中等以上，在九（1）班中等以下 ③九（1）班以外的其余男生引体向上的优秀率一定低于 (3)请你结合九（1）班全体男生引体向上测试成绩对比九年级男生引体向上测试成绩，对九（1）班全体男生引体向上测试成绩的达标情况做出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】(1)， (2)①②③ (3)见解析 【分析】本题考查平均数，中位数，从统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据中位数，及优秀率定义即可求解； （2）根据平均数，中位数，及优秀率定义即可求解； （3）根据平均数，中位数，及优秀率即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，； （2）由于九年级全体男生测试成绩的中位数为小数，而所有的样本数据为整数，故中位数一定是两个整数的平均数，也就是说数据样本一定是偶数，故①正确； 九年级全体男生测试成绩的中位数是31.5，九（1）班全体男生测试成绩的中位数是34，若一个学生成绩为32，在九年级排在中等以上，在九（1）班只能排在中等以下，故②正确； 由于九（1）班男生引体向上优秀率为，高于整体平均男生优秀率，故九（1）班以外的男生引体向上的优秀率一定低于，故③正确， 故答案为：①②③． （3）如果从平均数和及格率来看，九（1）班与九年级平均成绩尚有差距，如果从中位数和优秀率来看，九（1）班比九年级平均成绩高，建议九（1）班加强不及格学生的训练，提高及格率和平均分． 22．（8分）俗话说“狡兔三窟”，此话不假．处在众多天敌的窥伺之下，野兔必须有惊人的求生本领才能存活，实际上野兔巢穴的出入洞口还不止三个．若一只野兔的巢穴有 A，B，C，D，4个出入口，巢穴内有甲、乙两只野兔，并且每只野兔从每个出入口爬出巢穴的机会是均等的． (1)请用列表或画树状图的方法表示两只野兔爬出巢穴的所有可能情况； (2)若两只野兔都爬出巢穴，求甲、乙两只野兔从不同洞口爬出巢穴的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法或树状图求概率，掌握列表法求概率的方法是解题的关键． （1）运用列表法得到所有等可能结果； （2）找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题． 【详解】（1）解：画树状图如答图： （2）解：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两只野兔从不同洞口爬出巢穴的结果有12种， ∴P（甲、乙两只野兔从不同洞口爬出巢穴） 23．（8分）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 24．（8分）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 25．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 26．（10分）定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若，则称点M、N是线段的“弦割点”，其中点M称为“左弦点”，点N称“右弦点”． (1)如图1，已知点M、N是线段的“弦割点”，若，，求的长； (2)如图2，直线与坐标轴分别交于A、B两点，C、D为线段的“弦割点”，以为斜边在上方作等腰直角三角形，连接、． ①______； ②若点G的坐标为，请求出的值． (3)如图3，已知点P是线段的“左弦点”，请作出线段的“右弦点”（尺规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①；② (3)作图见解析 【分析】（1）根据定义得出，然后把，代入计算，即可作答． （2）①先得，将绕点O逆时针旋转至，连接，整理得，再结合、D为线段AB的“弦割点”，得，，再证明，则 再结合是等腰直角三角形，即可作答． ②延长交于V延长交于V，得出，同理得，，则，再整理得； （3）先作的垂直平分线，交于B，在上截取，再连接，作垂直，然后作的平分线，交于Q，则Q是求作的点． 【详解】（1）解：∵已知点M、N是线段的“弦割点”， ， ∵，， ， （负值已舍去）； （2）解：①如图1， ∵直线与坐标轴分别交于A、B两点， ∴当时，，则； ∴当，则； ，， ， ， ， 将绕点O逆时针旋转至，连接， ，，，， ， ， 、D为线段AB的“弦割点”， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； ②如图2， 延长交于V延长交于V， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：Ⅰ作的垂直平分线，交于B，在上截取， Ⅱ连接，作垂直， Ⅲ作的平分线，交于Q， 则Q是求作的点．如图所示 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 27．（10分）综合与实践 在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料： (1)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的正方形零件的边长是多少？ (2)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？（用含，的代数式表示） (3)如图3，已知四边形的小木块，测得，，，，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？ 【答案】(1)加工成的正方形零件的边长是； (2)加工成的矩形零件面积的最大值是； (3)加工成的矩形零件面积的最大值为． 【分析】（）设正方形零件的边长，由四边形是正方形得，则，故，即可解得加工成的正方形零件的边长是； （）设，由可得，故，从而，由二次函数性质可得答案； （）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，由得是等边三角形，有，，设，则，故，由二次函数性质可得答案； 本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键． 【详解】（1）设正方形零件的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的高， ∴是的高， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， 解得， ∴加工成的正方形零件的边长是； （2）设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴加工成的矩形零件面积的最大值是； （3）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，如图， ∵， ∴是等边三角形； ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴加工成的矩形零件面积的最大值为． 28．（10分）如图①，抛物线过点和，点在线段上，且点P的横坐标为．点的坐标为，以为斜边在轴下方作等腰直角三角形． (1)求抛物线的解析． (2)当时，分别求的最大值和最小值， (3)如图②，过点P作轴的垂线，与抛物线交于点，与折线交于点． ①若，是直角三角形，则__________． ②设，当在点之间的抛物线（包括点）上和折线上到轴的距离为的点共有个时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 (3)①；②或或 【分析】（1）点和代入解方程组即得； （2）抛物线，开口向下，对称轴为直线，在内，当时，取最大值，当时，取最小值； （3）①根据等腰直角三角形性质，得，，在内，是直角三角形，只有，得为等腰直角三角形，由解答即得； ②求出抛物线与交点，与轴另一交点，顶点坐标，分，，，，，五种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取最大值，； 当时，取最小值，； ∴的最大值为，最小值为； （3）解：①∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∵，是直角三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得或（不合，舍去）， 故答案为：； ②∵点的坐标为，以为斜边在轴下方作等腰直角三角形． ∴, ∴, 设直线解析式为, 则， ∴， ∴， 设直线解析式为, 将代入， 得， 解得， ∴， 联立， ∴， 解得（舍）， ∴抛物线与线段的交点为， ∵时，， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∵， ∴抛物线顶点为， ∴顶点和到轴距离都是， ∵， ∴， 当时，如图，， 当时，在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的有三个点，折线上到轴的距离为的点有个，共个点，不合题意； 当时，在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的有个（顶点和点），折线上到轴的距离为的点有个（点），共个点，符合题意；此时，解得，此时； 当时，在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点不存在，折线上到轴的距离为的点不存在，共个点，不合题意； 当时，如图， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的有三个点，折线上到轴的距离为的点有个，共个点，不合题意； 当时，如图，，， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点必定有两个， ∴使折线上到轴的距离为的点有个，此时， ∴， 解得或， 此时； 当时，如图，，， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点必定有一个（点）， ∴使折线上到轴的距离为的点有个，此时， ∴， 解得且， 此时； 当时，如图，，， 在点之间的抛物线（包括点）上到轴的距离为的点必定有一个（点），折线上到轴的距离为的点有个，共个点，不合题意； 在点之间的抛物线（包括点）上和折线上到轴的距离为的点没有个； 综上：或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，由对称性增减性求函数最值，等腰直角三角形性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$