第十一章 不等式与不等式组（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版2024）

第十一章 不等式与不等式组 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．根据不等式的性质求出的范围即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 3．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式，根据题意，分别求出不等式的解，继而得到不等式组的解集，即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： 故选：B． 4．下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，符合题意； D．当时，，原判断错误，故本选项不符合题意 故选：C． 5．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据，则由不等式的性质可得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次不等式组、在数轴上表示解集，根据点P在第三象限可得，再解不等式组，并在数轴上表示即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解①得：； 解②得：， ∴x的取值范围在数轴上可表示如图： 故选：C． 7．某品牌亚麻服装进价为200元/件，标价为300元/件，由于搞活动，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则该品牌亚麻服装每件最多可打（  ） A．9折 B．8折 C．7折 D．3.5折 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设可以打折，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设可打折，利润率不低于， 根据题意得：， ， 则最多打7折． 故选：C． 8．满足不等式组的整数解是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，求出不等式组的解集，即可求解；会解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： ， 是整数， ； 故选：C． 9．不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，代数式求值，先解不等式组，进而根据不等式组的解集求出的值，最后代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 10．定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法及二元一次方程组的解，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键．根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①若， 当时，得， 解得，不符合题意，舍去； 当时，得， 解得，符合题意， 综上，若，则， 故说法①错误，不符合题意； ②，且， ， ， 解得或， 故说法②正确，符合题意； ③ 可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6， 故说法③正确，符合题意； ④的解为 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， a的值为0或4． 故说法④正确，符合题意． 正确的结论有：②③④，一共3个． 故选：C 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．用不等式表示“与的和是正数” ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的运用，列一元一次不等式，掌握代数式表示数或数量关系的表示方法，不等式的列式是解题的关键． 先表示出与的和，再根据“和是正数”即“”可列不等式． 【详解】解：根据题意，可列不等式：． 故答案为：． 12．满足的整数是 ． 【答案】，1/， 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，不等式的意义，解题的关键是理解题意，根据，写出满足条件的整数即可． 【详解】解：满足的整数是，1． 故答案为：，1． 13．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为； 故答案：． 14．点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且，，那么表示数b的点为 ．    【答案】M 【分析】本题考查了有理数与数轴上的点的对应关系，数形结合、明确有理数的混合运算法则及不等式的性质，是解题的关键． 根据，可得异号，再根据，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得对应着点与点；根据，变形可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ∴对应着点与点， ， ， ∴数对应的点为点， 故答案为：M． 15．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数． 【详解】解：方程组的解为 ， ， ， 解得，， 解不等式组， 不等式①的解集是， 不等式②的解集是， ∵不等式组有解， ∴， 解得，， ， ∵a取整数， ， ∴符合条件的整数a有7个． 故答案为：7． 16．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~24题每小题10分。 17．解下列一元一次不等式组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出每个不等式的解集，找出公共部分即可； （2）求出每个不等式的解集，找出公共部分即可； （3）求出每个不等式的解集，找出公共部分即可； （4）求出每个不等式的解集，找出公共部分即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是； （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是； （3）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是； （4）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是； 【点睛】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 18．解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）求出不等式的解集即可； （2）求出不等式的解集即可； （3）在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）根据数轴写出不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下： （4）解：不等式组的解集为：， 故答案为：． 19．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． （1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【详解】（1）解：两个方程相加可得， 则， 根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴，得， 又∵且为整数， ． 20．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】(1)数学书有35本，语文书有45本 (2)87本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上数学书有本，则有语文书有本，根据题意列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设摆放数学书本，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，则有语文书有本， 根据题意得 ， 解得（本）， ∴（本）， 答：书架上数学书有35本，语文书有45本； （2）设摆放数学书本， 根据题意，可得， 解得， 即数学书最多还可以摆87本． 21．已知点， (1)当点在轴上时，求的值． (2)当点在第二象限时，求的取值范围． (3)当点在第二、四象限的角平分线上时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了坐标轴上及各象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握平面直角坐标系的特征是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标是0，可得，解方程即可求出的值； （2）根据第二象限的点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）根据第二、四象限的角平分线上的点的横坐标、纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得：； （3）解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：． 22．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 【答案】(1)是“友好组合”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查一元一次不等式、解一元一次方程，关键是对“友好组合”与“非友好组合”的理解． （1）先求方程的解，再解不等式，根据“友好组合”和“非友好组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“非友好组合”的定义求a的取值范围． 【详解】（1）解：关于的组合是“友好组合”，理由如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵在范围内， ∴组合是“友好组合”； （2）解方程， 去分母，得， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵关于x的组合是“非友好组合， ∴， 解得：． 23．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用： （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）①设，构成方程组，求出的范围，代入即可； ②解方程组得到关于a的不等式组解出，利用，套入a的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴； 故答案为：； （2）①设， 构成方程组，解得：， ∵， ∴，解得：； ∴． ②解，得：， ∵， ∴，解不等式组得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 24．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ 【答案】(1)A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元 (2)共有4种不同的进货方案：①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台；②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台；③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台；④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元，根据6台A型号8台B型号的电扇收入3040元，12台A型号7台B型号的电扇收入4280元，列方程组求解； （2）设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台，根据“A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍，200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元”，列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号暖风机的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号暖风机的销售单价分别为240元、200元． （2）解：①设采购A种型号暖风机a台，则采购B种型号暖风机台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴，131，132，133， ∴，69，68，67， ∴共有4种不同的进货方案： ①采购A种型号的暖风机130台，B种型号的暖风机70台； ②采购A种型号的暖风机131台，B种型号的暖风机69台； ③采购A种型号的暖风机132台，B种型号的暖风机68台； ④采购A种型号的暖风机133台，B种型号的暖风机67台． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组 （A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 3．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 7．某品牌亚麻服装进价为200元/件，标价为300元/件，由于搞活动，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则该品牌亚麻服装每件最多可打（  ） A．9折 B．8折 C．7折 D．3.5折 8．满足不等式组的整数解是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．用不等式表示“与的和是正数” ． 12．满足的整数是 ． 13．不等式组的解集是 ． 14．点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且，，那么表示数b的点为 ．    15．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 16．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~24题每小题10分。 17．解下列一元一次不等式组： (1) (2) (3) (4) 18．解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 19．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 20．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 21．已知点， (1)当点在轴上时，求的值． (2)当点在第二象限时，求的取值范围． (3)当点在第二、四象限的角平分线上时，求的值． 22．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 23．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 24．随着“双十一”购物节的到来，某电器超市选定了A、B两种型号的暖风机进行促销，购物节期间两种型号的暖风机进价与售价均保持不变，下表是两种暖风机近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售额 A型号 B型号 第一周 6台 8台 3040元 第二周 12台 7台 4280元 (1)求A、B两种型号的暖风机的销售单价； (2)该电器超市计划购进A、B两种型号的暖风机共200台，其中A型号暖风机的数量不超过B型号暖风机数量的2倍．已知A型号暖风机每台进价190元，B型号暖风机每台进价160元，若要使这200台暖风机全部售完后获得的总利润不少于9300元，则该电器超市共有多少种不同的进货方案？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$