第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版2024）

第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义：两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、是二元二次方程组，不符合题意； C、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元二次方程组，不符合题意； 故选A． 2．是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加减法解一元二次方程，由②①即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：②①得： ， 故选：B． 4．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：． 故选： B． 5．若与是同类项，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，解二元一次方程组，根据同类项的定义可得，解方程组即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得， 故选：． 6．已知x、y是方程组的解，那么的值是（   ） A．14 B．17 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求代数式的值；原方程组可化为，两方程相加即可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：原方程组可化为， 两式相加得：， ∴， ∴； 故选：B． 7．以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺.现设绳长尺，井深尺，则可得方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：将绳三折后为，将绳四折后为 ∵三折测之，绳多五尺， ∴， ∵四折测之，绳多一尺， ∴， 故可得方程组为：， 故选：A． 8．已知，则的值分别是（   ） A．1， B．1， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 故选：D． 9．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则， 根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 10．小明设计了一台数值转换机，只要依次输入整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，，，，，则最后输出的结果是55； ②若将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是11，最小值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，5，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，若的最小值为，那么的最大值是． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，二元一次方程组的应用，通过列举计算并验证是解题的关键．根据有理数的减法法则计算即可判断①；利用和计算，可求得最大值和最小值，可判断②；分三种情况讨论，可判断③． 【详解】解：①根据题意， ，故①错误； ②将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入， ， ， 则最大值为11，最小值为，故②正确； ③，5，是三个互不相等的正整数， 若，这时不存在最小值为的情况； 若，则，，即，，无解， 若，则，，即，，解得：，，故③正确． 综上，正确的有②③， 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若二元一次方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解与解一元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键．将代入，然后解方程即可． 【详解】解：由二元一次方程的解是，可得 解得： 故答案为：． 12．已知方程：为二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：因为方程为二元一次方程， 所以， 解得． 故答案为：3 13．已知，且，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的非负性可得，从而可得，代入可得，再根据绝对值的性质可得，，解二元一次方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 联立，解得， ∴， 故答案为：1． 14．对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据题意确定关于的二元一次方程，求解即可确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴． 故答案为：． 15．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 16．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 3、 解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~24题每小题10分。 17．解下列方程组： （1）（用代入法）     （2）(用加减法） （3）                       （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用代入法解二元一次方程组； （2）利用加减法解二元一次方程组； （3）先整理方程组，再用加减法解二元一次方程组； （4）先整理方程组，再用加减法解二元一次方程组； 【详解】（1）     由②得：y=3x−7③， 把③代入①得：5x+6x−14=8， 解得：x=2， 把x=2代入③得：y=−1， 则方程组的解为 ； （2） ①+②得：4x=24，即x=6， 把x=6代入②得：y=5， 则方程组的解为； （3）方程组整理得：                       ①+②×2得：5x=20，即x=4， 把x=4代入①得：y=2， 则方程组的解为； （4）方程组整理得：． ②×3−①×4得：−7x=−14，即x=2， 把x=2代入①得：y=2， 则方程组的解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，代入法和加减法是解二元一次方程组的方法，正确解题是关键． 18．小明解方程组的过程如下： 解：由①，得，…………第一步 ，得，…………第二步 得.…………第三步 把代入①，得，…………第四步 所以原方程组的解为． (1)小明的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解方程组的过程. 【答案】(1)二 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据得，得出答案； （2）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解： 得， 第二步开始出现错误； 故答案为：二； （2）解： 解：①，得， 得，， 将代入①得， 解得：， ∴． 19．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)A型车15万元/辆，B型车20万元/辆； (2)①A型车4辆，B型车8辆；②A型车8辆，B型车5辆；③A型车12辆，B型车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计50万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 依据题意可得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价为15万元，每辆B型汽车的进价为20万元． （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进4辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案2：购进8辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进12辆A型汽车，2辆B型汽车． 20．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 21．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，以及二元一次方程组的特殊解法，先整理原方程组为，结合关于x，y的方程组的解是，则，然后解出，即可作答． 【详解】解：∵， ， 关于x，y的方程组的解是， 由得， 把代入， 解得， ∴， 解得． 22．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 23．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】（1）  （2）  （3）比不打折少花了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． （1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； （3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】解：（1）， 把②代入①中，得：， 解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为； （2）， ①②得： ； （3）设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， ∴(元)， 答：比不打折少花了元． 24．某中学库存一批旧桌凳，准备修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务，经协商得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，乙小组每天比甲小组多修8套，甲小组每天修16套桌凳；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元． （1）求甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需多少天． （2）在修理桌凳的过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有下面三种修理方案供选择： ①由甲小组单独修理；②由乙小组单独修理；③由甲、乙两小组合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． 【答案】（1）60天，40天；（2）方案③既省时又省钱. 【分析】(1)设甲小组单独修完需要x天，乙小组单独修完需要y天，根据“甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天”，以及桌凳总数不变，便可建立方程组进行解答； (2)综合(1)所得求出这批旧桌凳的数目，然后求出三种方案的工作时间与实际花费，再进行比较即可. 【详解】解：(1)设甲小组单独修理这批桌凳需要x天，乙小组单独修理这批桌凳需要y天． 根据题意，得 解得 答：甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需60天、40天． (2)这批旧桌凳的数目为60×16＝960(套)． 方案①：学校需付费用为60×(80＋10)＝5400(元)； 方案②：学校需付费用为40×(120＋10)＝5200(元)； 方案③：学校需付费用为×(120＋80＋10)＝5040(元)． 比较知，方案③既省时又省钱． 故答案为（1）60天，40天；（2）方案③既省时又省钱. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 3．用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 4．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．若与是同类项，则（  ） A．， B．， C．， D．， 6．已知x、y是方程组的解，那么的值是（   ） A．14 B．17 C．12 D．15 7．以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺.现设绳长尺，井深尺，则可得方程组为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值分别是（   ） A．1， B．1， C． D． 9．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 10．小明设计了一台数值转换机，只要依次输入整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，，，，，则最后输出的结果是55； ②若将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是11，最小值是； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，5，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，若的最小值为，那么的最大值是． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若二元一次方程的解是，则的值是 ． 12．已知方程：为二元一次方程，则的值为 ． 13．已知，且，那么 ． 14．对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ． 15．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 16．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 3、 解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~24题每小题10分。 17．解下列方程组： （1）（用代入法）     （2）(用加减法） （3）                       （4）． 18．小明解方程组的过程如下： 解：由①，得，…………第一步 ，得，…………第二步 得.…………第三步 把代入①，得，…………第四步 所以原方程组的解为． (1)小明的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解方程组的过程. 19．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元． (1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 20．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 21．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 22．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 23．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 24．某中学库存一批旧桌凳，准备修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务，经协商得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，乙小组每天比甲小组多修8套，甲小组每天修16套桌凳；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元． （1）求甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需多少天． （2）在修理桌凳的过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有下面三种修理方案供选择： ①由甲小组单独修理；②由乙小组单独修理；③由甲、乙两小组合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． / 学科网（北京）股份有限公司 $$